2013年海淀区初三一模数学试题及答案

海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习 数 学 2013.5 考 生 须 知 1．本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分.考试时间 120 分钟. 2．在答题卡上准确填写学校名称、班级名称、姓名. 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效. 4．考试结束，请将本试卷、答题纸和草稿纸一并交回. 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2 的相反数是 A. 2 B. 2 C. 2 1 D. 2 1 2．十八大开幕当天,网站关于此信息的总浏览量达 5.5 亿次.将 5.5 亿用科学记数法表示为 A. 8105.5 B. 81055 C. 7550 10 D. 10100.55 3．如图是某几何体的三视图，则这个几何体是 A. 圆柱 B. 正方体 C. 球 D. 圆锥 4．一个多边形的外角和是内角和的一半，则这个多边形的边数为 A. 5 B.6 C. 7 D. 8 5．小林在元宵节煮了 20 个元宵，其中 10 个黑芝麻馅，6 个山楂馅，4 个红豆馅（除馅料不 同外，其它都相同）.煮好后小明随意吃一个，吃到红豆馅元宵的概率是 A． 1 2 B． 1 3 C． 1 5 D． 2 5 6.一副三角板如图放置，若∠1＝ 90 ，则∠2 的度数为 A．45° B．60° C．75° D．90° 7.在篮球比赛中，某队员连续 10 场比赛中每场的得分情况如下表所示： 场次（场） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分（分） 13 4 13 16 6 19 4 4 7 38 则这 10 场比赛中他得分的中位数和众数分别是 A.10, 4 B.10，7 C.7，13 D. 13，4 8.如图，△ ABC 是等边三角形， 6AB  厘米，点 P 从点 B 出发,沿 BC 以每秒1厘米的速度运动到点 C 停止；同时点 M 从点 B 出发,沿 折线 BA AC 以每秒 3 厘米的速度运动到点 C 停止.如果其中一个 点停止运动，则另一个点也停止运动.设点 P 的运动时间为 t 秒，P 、 M 两点之间的距离为 y 厘米，则表示 y 与 t 的函数关系的图象大致 是 A. B. C. D. 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9． 分解因式： 2 2 36 9a b ab b   ． 10．若关于 x 的一元二次方程 2 3 0x x m   有实数根，则 m 的取值范 围是 ． 11．如图,将正方形纸片对折，折痕为 EF .展开后继续折叠，使点 A 落在 EF 上，折痕为GB ，则 ABG 的正切值是 . 12. 如图 1 所示，圆上均匀分布着 11 个点 1 2 3 11, , , ,A A A A .从 A1 起每 隔 k个点顺次连接，当再次与点 A1 连接时，我们把所形成的图形称为“ k1阶正十一角星”， 其中1 8k  （ k为正整数）.例如，图 2 是“2 阶正十一角星”，那么 1 2 11A A A       °；当 1 2 11A A A       900°时， k= . 图 1 图 2 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．计算： 0 1112 2cos30 ( 3 1) ( )8      ． 14．解不等式组： 2 0, 1 1 .2 x x x      15．先化简，再求值： 42 1 2 11 2        x x x ，其中 3x ． 16.已知：如图，点 A ， D ， C 在同一直线上， AB ∥ EC ， AC CE ， .B EDC   求证： .BC DE 17. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 xy 2 的图 象与一次函数 kkxy  的图象的一个交点为 ( 1, )A n ． （1）求这个一次函数的解析式； （2）若 P 是 x 轴上一点，且满足 45APO  ，直接写出点 P 的 坐标． 18. 列方程（组）解应用题： 雅安地震灾情牵动全国人民的心．某厂计划加工 1500 顶帐篷支援灾区，加工了 300 顶 帐篷后，由于救灾需要，将工作效率提高到原计划的 2 倍，结果提前 4 天完成了任务．求原 计划每天加工多少顶帐篷. 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19. 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， 对 角 线 AC , BD 相 交 于 点 E , DAB = CDB = 90 , ABD = 45 ,∠ DCA = 30 , 6AB  .求 AE 的长和△ ADE 的面积． 20.已知：如图，在△ ABC 中， AB AC ．以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D ，过点 D 作 DE ⊥ AC 于点 E . (1)求证： DE 与⊙O 相切； (2)延长 DE 交 BA 的延长线于点 F .若 6AB  ， sin B = 5 ,5 求线段 AF 的长. 21. 下图为北京某天空气质量指数实时查询的一个结果. 为了解今年北京市春节假期空气质量情况，小静查到下表所示的某天 15 个监测子站的 空气质量指数；小博从环境监测网随机抽取了某天部分监测点的空气质量情况，并绘制了 以下两个统计图. 解答下列问题： （1）小静查到的统计表中重度污染出现的频率为 ； （2）计算小博抽取的监测点的个数，并补全条形统计图； （3）据统计数据显示，春节期间燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因. 市民在今年 春节期间自觉减少了购买和燃放烟花爆竹的数量，全市销售烟花爆竹 37 万余箱，比去年减 少 35%.求今年比去年同期少销售多少万箱烟花爆竹.（结果保留整数） 22.问题：如图 1，a 、b 、c 、d 是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为 1）.画出一个正方形 ABCD ，使它的顶点 A 、 B 、C 、 D 分别在直线 a 、b 、 d 、 c 上， 并计算它的边长. 图 1 图 2 小明的思考过程： 他利用图 1 中的等距平行线构造了3 3 的正方形网格，得到了辅助正方形 EFGH ，如 图 2 所示, 再分别找到它的四条边的三等分点 A 、 B 、C 、 D ，就可以画出一个满足题目 要求的正方形. 请回答：图 2 中正方形 ABCD 的边长为 . 请参考小明的方法，解决下列问题：ww w. （1）请在图 3 的菱形网格（最小的菱形有一个内角为 60 ，边长为 1）中，画出一个 等边△ ABC ，使它的顶点 A 、 B 、 C 落在格点上，且分别在直线 a、b、c 上； （3）如图 4， 1l 、 2l 、 3l 是同一平面内的三条平行线， 1l 、 2l 之间的距离是 21 5 ， 2l 、 3l 之间的距离是 21 10 ，等边△ ABC 的三个顶点分别在 1l 、 2l 、 3l 上，直接写出△ ABC 的边长. 图 3 图 4 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 2y mx mx n   与 x 轴交于 A 、B 两点，点 A 的 坐标为 ( 2,0) ． （1）求 B 点坐标； （2）直线 y  1 2 x 4m n经过点 B . ①求直线和抛物线的解析式； ②点 P 在抛物线上，过点 P 作 y 轴的垂线l ，垂足为 (0, )D d ．将抛物线在直线l 上方 的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当 图象G 与直线 y  1 2 x 4m n只有两个公共点时， d 的取值范围是 ． 24．在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90 ．经过点 B 的直线 l（l 不 与直线 AB 重合）与直线 BC 的夹角等于 ABC ，分别过点 C 、点 A 作直线 l 的垂线，垂足分别为点 D 、点 E ． （ 1 ） 若 45ABC   ， CD = 1 （ 如 图 ）， 则 AE 的 长 为 ； （2）写出线段 AE 、 CD 之间的数量关系，并加以证明； （3）若直线CE 、AB 交于点 F ， 5 6 CF EF  ，CD =4，求 BD 的长． 25. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 22y x mx m m    的顶点为C . (1) 求点C 的坐标（用含 m 的代数式表示）； (2) 直线 2y x  与抛物线交于 A 、 B 两点，点 A 在抛物线的对称轴左侧. ①若 P 为直线OC 上一动点，求△ APB 的面积； ②抛物线的对称轴与直线 AB 交于点 M ，作点 B 关于直线 MC 的对称点 'B . 以 M 为 圆心， MC 为半径的圆上存在一点 Q ，使得 2' 2QB QB 的值最小，则这个最小值 为 . 2013 海淀中考一模数学参考答案 数学试卷答案及评分参考 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 B A D B C C A D 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 题 号 9 10 11 12 答 案 2( 3 )b a b m ≤ 9 4 2 3 1260 ；2 或 7 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．计算： 0 1112 2cos30 ( 3 1) ( )8      ． 解：原式 32 3 2 1 82      ………………………4 分 3 7  ．………………………5 分 解：由①得 2x   ．………………………2 分 由②得 1x  ．………………………4 分 则不等式组的解集为 12  x ．………………………5 分 15．先化简，再求值： 42 1 2 11 2        x x x ，其中 3x ． 解：原式 2 2 1 2 4 2 1 x x x x      ………………………2 分 )1)(1( )2(2 2 1    xx x x x ………………………3 分 1 2  x . ………………………4 分 当 3x 时，原式= 2 1 1 2 x .………………………5 分 16.证明： AB ∥ EC ， ∴ .A DCE   ………………………1 分 在△ ABC 和△CDE 中， , , , B EDC A DCE AC CE         ∴△ ABC ≌△CDE .………………………4 分 ∴ .BC DE ………………………5 分 17.解：（1）∵ 点 A ( 1, )n 在反比例函数 xy 2 的图象上， ∴ 2n  . ………………………1 分 ∴ 点 A 的坐标为 1 2（ ，）. ∵ 点 A 在一次函数 y kx k  的图象上， ∴ 2 k k   . ∴ 1k .………………………2 分 ∴ 一次函数的解析式为 1 xy ．………………………3 分 （2）点 P 的坐标为（-3,0）或（1,0）．………………………5 分 （写对一个给 1 分） 18.解：设原计划每天加工 x 顶帐篷. ………………………1 分 1500 300 1500 300 42x x    .………………………3 分 解得 150x  . ………………………4 分 经检验， 150x  是原方程的解，且符合题意. 答：原计划每天加工 150 顶帐篷. ………………………5 分 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19. 解：过点 A 作 AF ⊥ BD 于 F . ∵∠CDB =90°,∠1=30°, ∴∠2=∠3=60°. ………………………1 分 在△ AFB 中，∠ AFB =90°. ∵∠4=45°， 6AB  , ∴ AF = BF = 3 .………………………2 分 在△ AFE 中，∠AFE=90°. ∴ 1, 2EF AE  .………………………3 分 在△ ABD 中，∠ DAB =90°. ∴ 2 3DB  . ∴ 3 1DE DB BF EF     .………………………4 分 ∴ 1 1 3 3( 3 1) 32 2 2ADES DE AF       .………………………5 分 20.(1)证明：连接 OD . ………………………1 分 ∵ AB = AC , ∴ B C   . 又∵OB OD , ∴ 1B   . ∴ 1C   . ∴ OD ∥ AC . ∵ DE ⊥ AC 于 E , ∴ DE ⊥OD . ∵点 D 在⊙O 上， ∴ DE 与⊙O 相切. ………………………2 分 (2)解：连接 AD . ∵ AB 为⊙O 的直径， ∴∠ ADB =90°. ∵ AB =6，sin B = 5 5 ， ∴ sinAD AB B  = 5 56 .………………3 分 ∵ 1 2 3 2 90        ， ∴ 1 3   . ∴ 3.B   在△ AED 中，∠ AED =90°. ∵ 5sin 3 5 AE AD    ， ∴ 5 5 6 5 6 5 5 5 5AE AD    . ………………………4 分 又∵OD ∥ AE ， ∴△ FAE ∽△ FOD . ∴ FA AE FO OD  . ∵ 6AB  , ∴ 3OD AO  . ∴ 2 3 5 FA FA  . ∴ 2AF  . ………………………5 分 21.（1） 1 3 .………………………1 分 （2）∵(3 3 18) 80% 30    ， ∴被小博同学抽取的监测点个数为 30 个. ………………………2 分 ………………………3 分 （3）设去年同期销售 x 万箱烟花爆竹. (1 35%) 37x  . 解得 125613x  .………………………4 分 ∴ 12 1256 37 19 2013 13    .ww w. 答：今年比去年同期少销售约 20 万箱烟花爆竹. ……………………… 5 分 22.（1） 5 .………………………2 分 （2）①如图： (答案不唯一) ………………………4 分 ② 7 215 .………………………5 分 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为 2 12 mx m    .………………………1 分 ∵抛物线与 x 轴交于 A 、 B 两点，点 A 的坐标为 ( 2,0) ， ∴点 B 的坐标为 (4,0) ．………………………2 分 （2）∵点 B 在直线 y  1 2 x 4m n上， ∴ 0 2 4m n   ①. ∵点 A 在二次函数 2 - 2y mx mx n  的图象上， ∴ 0 4 4m m n   ②. ………………………3 分 由①、②可得 1 2m  ， 4n   . ………………………4 分 ∴ 抛物线的解析式为 y＝ 21 42 x x  ，直线的解析式为 y＝ 1 22 x  ． ……………5 分 （3）  5 02 d  ． ………………………7 分 24．（1） 2AE  .………………………1 分 （2）线段 AE 、CD 之间的数量关系为 2AE CD .………………………2 分 证明：如图 1，延长 AC 与直线l 交于点G ． 依题意，可得∠1＝∠2． ∵∠ ACB ＝ 90 ， ∴∠3=∠4. ∴ BA BG . ∴CA ＝CG ．………………………3 分 ∵ AE ⊥l ，CD ⊥l ， ∴CD ∥ AE ． ∴△GCD ∽△GAE ． ∴ 1 2 CD GC AE GA ＝ ． ∴ 2AE CD ．………………………4 分 （3）解：当点 F 在线段 AB 上时，如图 2， 过点C 作CG ∥l 交 AB 于点 H ，交 AE 于点G ． ∴∠2＝∠ HCB． ∵∠1=∠2， ∴∠1＝∠ HCB． ∴CH BH ． ∵∠ ACB ＝ 90 ， ∴∠3+∠1＝∠HCB+∠4 =90 ． ∴∠3＝∠4． ∴CH AH BH  ． ∵CG ∥l ， ∴△ FCH ∽△ FEB ． ∴ 5 6 CF CH EF EB ＝ ． 设 5 , 6CH x BE x  ，则 10AB x ． ∴在△ AEB 中，∠ AEB ＝ 90 ， 8AE x ． 图 2 由（2）得， 2AE CD ． ∵ 4CD  , ∴ 8AE  . ∴ 1x  . ∴ 10, 6, 5AB BE CH   ． ∵CG ∥l ， ∴△ AGH ∽△ AEB ． ∴ 1 2 HG AH BE AB   ． ∴ 3HG  ．………………………5 分 ∴ 8CG CH HG   ． ∵CG ∥l ， CD ∥ AE , ∴四边形CDEG 为平行四边形. ∴ 8DE CG  . ∴ 2BD DE BE   ．……………………6 分 当点 F 在线段 BA的延长线上时，如图 3， 同理可得 5CH  , 3GH  , 6BE  . ∴ DE = 2CG CH HG   ． ∴ 8BD DE BE   ． ∴ 2BD  或 8．……………………7 分 25.解：（1）  22 22y x mx m m x m m       ，……………………1 分 ∴顶点坐标为 C m,m  .……………………2 分 （2）① 2y x  与抛物线 2 22y x mx m m    交于 A 、 B 两点， ∴ 2 22 2x x mx m m     . 解方程，得 1 21, 2x m x m    .……………………4 分 A点 在点 B 的左侧， ∴ ( 1, 1), ( 2, 4).A m m B m m    ∴ 3 2.AB  ……………………5 分  直线 OC 的解析式为 y x ，直线 AB 的解析式为 2y x  ， ∴ AB ∥OC ，两直线 AB 、OC 之间距离 h 2 . ∴ 1 1 3 2 2 32 2APBS AB h      .………………………6 分 ②最小值为 10. ……………………8 分 (注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)