2013年东城区初三一模数学试卷及答案

北京市东城区 2012－－2013 学年第二学期初三综合练习（一） 数学试卷 2013.5 学校 班级 姓名 考号 考 生 须 知 1.本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分.考试时间 120 分钟. 2.在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名和考号. 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5.考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回. 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1. 1 5  的倒数是 A. 5 B. 1 5 C. 1 5  D. －5 2. 2013 年国家财政支出将大幅向民生倾斜，民生领域里流量最大的开销是教育，预算支出 达到 23 000 多亿元.将 23 000 用科学记数法表示应为 A. 23×104 B. 0.23×106 C. 2.3×105 D. 2.3×104 3．用配方法解方程 2 4 1 0x x   ，配方后的方程是 A． 2( 2) 3x   B． 2( 2) 3x   C． 2( 2) 5x   D． 2( 2) 5x   4．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人 10 次射击的平均成绩恰好都是 9.4 环，方差分 别是 S2 甲=0.90，S2 乙=1.22，S2 丙=0.43，S2 丁=1.68.在本次射击测试中，成绩最稳定的是 A．甲 B．乙 C．丙 D． 丁 5. 如图，下面是利用尺规作 AOB∠ 的角平分线 OC 的作法，在用尺规作角平分线时，用到 的三角形全等的判定方法是 作法：○1 以 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OA，OB 于点 D，E. ○2 分别以 D，E 为圆心，以大于 1 2 DE 的长为半径作弧， 两弧在 AOB 内交于点 C. ○3 作射线 OC.则 OC 就是 AOB 的平分线. A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 6. 如图，AB 与⊙O 相切于点 B，AO 的延长线交⊙O 于点 C，连结 BC，若 1 2OC OA ， 则∠C 等于 A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 7. 在一个不透明的口袋中有 3 个完全相同的小球，标号为 1，2，3，现随机地取出一个小球， 然后放回，再随机地取出一个小球，两次取得小球的标号相同的概率是 ww w. A. 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 8. 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，动点 P 从 A 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度 沿 AB 向 B 点运动，同时动点 Q 从 B 点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 BC→CD 方 向运动，当 P 运动到 B 点时，P，Q 两点同时停止运动．设 P 点运动的时间为 t，△APQ 的面积为 S，则 S 与 t 的函数关系的图象是 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9. 已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+k=0 有两个相等的实数根，则 k 的值为 ． 10. 分解因式： 3 16a a =________________. 11. 已知每个网格中小正方形的边长都是 1，图中的阴影图 案是由三段以格点为圆心，半径分别为 1 和 2 的圆弧围成． 则阴影部分的面积是 ． 12. 在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的位置如右图所示， 点 A 的坐标为（1，0），点 D 的坐标为（0，2）．延长 CB 交 x 轴于点 A1，作正方形 A1B1C1C；延长 C1B1 交 x 轴于 点 A2，作正方形 A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去， 第 2013 个正方形的面积为 ．ww w. 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13.计算： 1 0112 2sin 60 ( ) (2013)3     ． 14．求不等式 2x+9 ≥ 3(x+2) 的正整数解． 15.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，作∠EAB=∠BAD，AE 边交 CB 的延长线于点 E，延长 AD 到点 F，使 AF=AE，连结 CF． 求证：BE=CF． 16．先化简，再求值： 21) 3(2 1)m m  2( ，其中 m 是方程 2 1 0x x   的根． 17.列方程或方程组解应用题 小红到离家 2100 米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，此时 距联欢会开始还有 45 分钟，于是她马上步行回家取道具，随后骑自行车返回学校．已 知小红骑自行车到学校比她从学校步行到家用时少 20 分钟，且骑自行车的平均速度是 步行平均速度的 3 倍．初中 数学 辅 导网 (1)小红步行的平均速度(单位：米/分)是多少？ (2)小红能否在联欢会开始前赶到学校？（通过计算说明你的理由） 18.如图，平行四边形 ABCD 放置在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(－2，0)，B（2，0）， D(0，3)，反比例函数 ky x  （x＞0）的图象经过点 C. （1）求此反比例函数的解析式； （2）问将平行四边形 ABCD 向上平移多少个单位，能使点 B 落在双曲线上. 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19. 中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者随机调查了某市城 区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成）， 并将调査结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下 列问题： （1）此次抽样调査中，共调査了 名中学生家长； （2）将图①补充完整； （3）根据抽样调查结果，请你估计该市城区 80 000 名中学生家长中有多少名家长持赞 成态度？ 20． 如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 在线段 CB 的延长线上，连接 DE 交 AB 于点 F， ∠AED=2∠CED，点 G 是 DF 的中点． （1）求证：∠CED=∠DAG； （2）若 BE=1，AG=4，求 sin AEB 的值． 21. 如图，C 是以 AB 为直径的⊙O 上一点，过 O 作 OE⊥AC 于点 E，过点 A 作⊙O 的切线 交 OE 的延长线于点 F，连结 CF 并延长交 BA 的延长线于点 P. （1）求证：PC 是⊙O 的切线. （2）若 AB=4， AP ∶ PC =1∶2，求 CF 的长. 22. 如图，在菱形纸片 ABCD 中，AB=4cm，∠ABC=120°，按下列步骤进行裁剪和拼图： 第一步：如图 1，在线段 AD 上任意取一点 E，沿 EB，EC 剪下一个三角形纸片 EBC(余 下部分不再使用)； 第二步：如图 2，沿三角形 EBC 的中位线 GH 将纸片剪成两部分，并在线段 GH 上任意 取一点 M，线段 BC 上任意取一点 N，沿 MN 将梯形纸片 GBCH 剪成两部分； 第三步：如图 3，将 MN 左侧纸片绕 G 点按顺时针方向旋转 180°，使线段 GB 与 GE 重 合，将 MN 右侧纸片绕 H 点按逆时针方向旋转 180°，使线段 HC 与 HE 重合，再与三角形 纸片 EGH 拼成一个与三角形纸片 EBC 面积相等的四边形纸片． (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠) （1）请你在图 3 中画出拼接成的四边形； （2）直接写出拼成的四边形纸片周长的最小值为________cm，最大值为________cm． 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0． （1）求证：无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）当 m 为何整数时，原方程的根也是整数． 24. 问题 1：如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=BC=CD，点 M，N 分别在 AD， CD 上，若∠MBN= 1 2 ∠ABC，试探究线段 MN，AM，CN 有怎样的数量关系？请直接 写出你的猜想，不用证明； 问题 2：如图 2，在四边形 ABCD 中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点 M，N 分别在 DA，CD 的延长线上，若∠MBN= 1 2 ∠ABC 仍然成立，请你进一步探究线段 MN，AM， CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明. 25.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 22 9y x mx m    与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧，且 OA＜OB），与 y 轴的交点坐标为（0，－5）.点 M 是线段 AB 上的任 意一点，过点 M（a，0）作直线 MC⊥x 轴，交抛物线于点 C，记点 C 关于抛物线对称 轴的对称点为 D（C，D 不重合），点 P 是线段 MC 上一点，连结 CD，BD，PD. （1）求此抛物线的解析式； （2）当 1a  时，问点 P 在什么位置时，能使得 PD⊥BD； （3）若点 P 满足 1 4MP MC ，作 PE⊥PD 交 x 轴于点 E，问是否存在这样的点 E，使 得 PE=PD，若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由. ww w. 参考答案及评分标准 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 D D A C A B C D 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 题 号 9 10 11 12 答 案 1 ( 4)( 4)a a a  π 2 201295 ( )4  三、解答题：（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．（本小题满分 5 分） 解：原式= 32 3 2 3 12     ………………4 分 = 3 2 . ………………5 分 14．（本小题满分 5 分） 解： 2 9 3 6x x   ， ………………1 分 2 3 6 9x x   ， ………………2 分 3x   ， ………………3 分 3x  ． ………………4 分 ∴ 不等式的正整数解为 1,2,3 ． ………………5 分 15．（本小题满分 5 分） 证明：∵ AB=AC，点 D 是 BC 的中点， ∴ ∠CAD=∠BAD． ………………1 分 又∵ ∠EAB=∠BAD， ∴ ∠CAD=∠EAB． ………………2 分 在△ACF 和△ABE 中， , , , AC AB CAF BAE AF AE       ∴ △ACF≌△ABE． ………………4 分 ∴ BE=CF． ………………5 分 16．（本小题满分 5 分） 解：原式= 2 2 1) 6 3m m m   2( = 2 4 2 6 3m m m   2 = 2 2 5m m 2 ． ………………3 分 ∵ m 是方程 2 1 0x x   的根， ∴ 2 1 0m m   ． ∴ 2 1m m  ． ∴ 原式= 2 ) 5m m 2( =7．………………………5 分 17．（本小题满分 5 分） 解：(1)设小红步行的平均速度为 x 米/分，则骑自行车的平均速度为3x 米/分． 1 分 根据题意得： 2100 2100 203x x   ． ············································ 2 分 得 70x  ． ···································································3 分 经检验 70x  是原方程的解 ． ··················································· 4 分 答：小红步行的平均速度是 70 米/分． (2)根据题意得: 2100 2100 40 4570 3 70    ． ∴小红能在联欢会开始前赶到． …………………………………5 分 18.（本小题满分 5 分） 解：（1）∵ 平行四边形 ABCD，A(－2，0)，B（2，0），D(0，3)， ∴ 可得点 C 的坐标为（4,3）. ∴ 反比例函数的解析式为 12y x  . …………………………………3 分 （2）将点 B 的横坐标 2 代入反比例函数 12y x  中，可得 y=6. ∴ 将平行四边形 ABCD 向上平移 6 个单位，能使点 B 落在双曲线上.………5 分 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19.（本小题满分 5 分） 解：（1）调查家长总数为：50÷25%=200 人； …………………………1 分 （2）持赞成态度的学生家长有 200﹣50﹣120=30 人， 故统计图为： …………………………3 分 （3）持赞成态度的家长有：80000×15%=12000 人．………………………………5 分 20.（本小题满分 5 分） 解：（1）证明：∵ 矩形 ABCD， ∴ AD∥BC. ∴ ∠CED =∠ADE. 又∵点 G 是 DF 的中点， ∴ AG=DG. ∴ ∠DAG =∠ADE. ∴ ∠CED =∠DAG. …………………………2 分 (2) ∵ ∠AED=2∠CED，∠AGE=2∠DAG， ∴ ∠AED=∠AGE. ∴ AE=AG. ∵ AG=4， ∴ AE=4. 在 Rt△AEB 中，由勾股定理可求 AB= 15 . ∴ 15sin 4 ABAEB AE    . …………………………5 分 21．（本小题满分 5 分） 解：（1）证明：连结 OC ． ∵ OE⊥AC， ∴ AE=CE ． ∴ FA=FC． ∴ ∠FAC=∠FCA． ∵ OA=OC， ∴ ∠OAC=∠OCA． ∴ ∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA． 即∠FAO=∠FCO ． ∵ FA 与⊙O 相切，且 AB 是⊙O 的直径， ∴ FA⊥AB． ∴ ∠FCO=∠FAO=90°． ∴ PC 是⊙O 的切线． ………………………………………………… 2 分 （2）∵∠PCO=90°， 即∠ACO +∠ACP =90°. 又∵∠BCO+∠ACO =90°， ∴ ∠ACP=∠BCO. ∵ BO=CO， ∴ ∠BCO=∠B. ∴ ∠ACP=∠B. ∵ ∠P 公共角， ∴ △PCA∽△PBC . ∴ PC PA AC PB PC BC   . ∵ AP ∶ PC =1∶2， ∴ 1= 2 AC BC . ∵ ∠AEO=∠ACB=90°， ∴ OF∥BC. ∴ AOF ABC   . ∴ 1tan tan 2AOF ABC    . ∴ 1tan 2 AFAOF AO    . ∵ AB=4， ∴ AO=2 . ∴ AF=1 . ∴ CF=1 . ………………5 分 22．（本小题满分 5 分） 解： （1）拼接成的四边形所图虚线所示； ………………2 分 （2）8 2 3 ； 8 4 7 . …………………………5 分 （注：通过操作，我们可以看到最后所得的四边形纸片是一个平行四边形，其上下两条 边的长度等于原来菱形的边 AB=4，左右两边的长等于线段 MN 的长，当 MN 垂直于 BC 时， 其长度最短，等于原来菱形的高的一半，于是这个平行四边形的周长的最小值为 2（ 3 +4） =8 2 3 ；当点 E 与点 A 重合，点 M 与点 G 重合，点 N 与点 C 重合时，线段 MN 最长， 等于 2 7 ，此时，这个四边形的周长最大，其值为8 4 7 .） 五、解答题：（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．（本小题满分 7 分） 解：(1)证明： Δ= 23) 4( 1)m m  （ = 2 6 9 4 4m m m    = 2 2 5m m  = 2( 1) 4m   ． ∵ 2( 1)m  ≥0， ∴ 2( 1) 4m   ＞0． ∴ 无论 m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根. …………2 分 （2） 解关于 x 的一元二次方程 x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0， 得 23 ( 1) 4 2 m mx      . ………………3 分 要使原方程的根是整数，必须使得 2( 1) 4m   是完全平方数. 设 2 2( 1) 4m a   ， 则 ( 1)( 1) 4a m a m     . ∵ a + 1m  和 1a m  的奇偶性相同， 可得 1 2, 1 2. a m a m        或 1 2, 1 2. a m a m          解得 2, 1. a m     或 2, 1. a m      . ………………5 分 将 m=－1 代入 23 ( 1) 4 2 m mx      ，得 1 22, 0x x   符合题意. ………………6 分 ∴ 当 m=－1 时 ，原方程的根是整数. ……………7 分 24. （本小题满分 7 分） 解：（1）猜想的结论：MN=AM+CN ． ……………1 分 （2）猜想的结论：MN=CN－AM． ……………3 分 证明: 在 NC 截取 CF= AM，连接 BF． ∵ ∠ABC+∠ADC=180°， ∴ ∠DAB+∠C=180°． 又∵ ∠DAB+∠MAB=180°， ∴ ∠MAB=∠C． ∵ AB=BC AM=CF， ∴ △AMB≌△CFB ． ∴ ∠ABM=∠CBF ， BM=BF． ∴ ∠ABM +∠ABF =∠CBF+∠ABF． 即 ∠MBF =∠ABC． ∵ ∠MBN= 1 2 ∠ABC， ∴∠MBN= 1 2 ∠MBF． 即∠MBN=∠NBF． 又∵ BN=BN BM=BF， ∴ △MBN≌△FBN． ∴ MN=NF． ∵ NF=CN－CF， ∴ MN=CN－AM ． ……………… …7 分 25．（本小题满分 8 分） 解：（1）抛物线 2 22 9y x mx m    与 y 轴交点坐标为（0,-5）， 25 9m   . 解得 2m   .  抛物线 2 22 9y x mx m    与 x 轴交于 ,A B 两点（点 A 在点 B 的左侧，且OA OB ）， 2m  . 抛物线的解析式为 2 4 5y x x   . ……….. 2 分 （2）过 D 点作 DF x 轴 于点 F ，ww w. / / ,CD MF DF MF ， CD MF  . PD BD , . PDC BDF   . 又 =90PCD BFD    ， PCD BFD ∽ . CD PC FD BF   . (1, 8), (3, 8), (3,0), (5,0)C D F B  ，设 P y（1， ）， 2 8=8 2 y  . 解得 15 2y   . 当 P 的坐标为 15(1, )2  时， PD BD . ……….. 4 分 （3）假设 E 点存在， MC EM ，CD MC ， EMP PCD   . PE PD ， EPM PDC   . ,PE PD EPM PDC ≌ . ,PM DC EM PD   . 设 0 0( , )C x y ，则 0 0(4 , )D x y ， 0 0 1( , )4P x y . 0 0 12 4 4x y    . 2 0 0 0 12 4 ( 4 5)4x x x      . 解得 0 1x  或 0 3x  . (1,-2) (3,-2)P P 或 . 6PC  . 6ME PC   . (7,0)E 或 (-3,0)E . …………………………………………… 8 分