2013年东城区初三二模数学试卷及答案

北京市东城区 2012--2013 学年第二学期初三综合练习（二） 数 学 试 卷 2013.6 学校 班级 姓名 考号 考 生 须 知 1.本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分.考试时间 120 分钟. 2.在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名和考号. 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5.考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回. 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1. 3 的相反数是 A． 3 B．3 C． 1 3 D． 1 3  2. 太阳的半径大约是 696 000 千米，用科学记数法可表示为 A．696×103 千米 B．6.96×105 千米 C．6.96×106 千米 D．0.696×106 千米 3．下列四个立体图形中，主视图为圆的是 A B C D 4．已知在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A= ，AC=3，那么 AB 的长为 A.3sin B.3cos C. sin 3 D. cos 3 5. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，掷得朝上 一面的点数为 3 的倍数的概率为 A． 1 6 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 6. 若一个多边形的内角和等于 720，则这个多边形的边数是 A．5 B．6 C．7 D．8 7. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动员的成绩如下表所示： 成绩（m） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 1 2 4 3 3 2 这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是 A．1.65，1.70 B．1.70，1.70 C．1.70，1.65 D．3，4 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为 1，动直 线 AB 与 x 轴交于点 ( , 0)P x ，直线 AB 与 x 轴正方向夹角 为 45，若直线 AB 与⊙O有公共点，则 x 的取值范围是 A． 1 1x   B． 2 2x   C． 0 2x  D． 2 2x   二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9. 在函数 2 3  xy 中，自变量 x 的取值范围是 ． 10. 分解因式： 2 4 4mn mn m   ． 11. 如图，已知正方形 ABCD 的对角线长为 2 2 ，将正方 形 ABCD 沿直线 EF 折叠，则图中折成的 4 个阴影三 角形的周长之和为 . 12. 如图，∠ACD 是△ ABC 的外角， ABC 的平分线 与 ACD 的平分线交于点 1A ， 1A BC 的平分线与 1ACD 的平分线交于点 2A ，…， 1nA BC 的平分 线与 1nA CD 的平分线交于点 nA . 设 A   , 则 1A ＝ ； nA ＝ . 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13. 计算： 1 012cos45 ( ) 8 ( 3)4        ． 14. 解分式方程： 2 1 1 32 2 x x x     ． 15. 已知：如图，点 E，F 分别为□ABCD 的边 BC，AD 上的点，且 1 2   . 求证：AE=CF. 16. 已知 2 4 1 0x x   ，求 2( 1) 6 4 x x x x   的值. 17. 列方程或方程组解应用题： 我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资源占有 量仅为美国人均淡水资源占有量的 1 5 ，中、美两国人均淡水资源占有量之和为 13 800m3，问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少（单位：m3）？ 18. 如图，一次函数 1y x   的图象与 x 轴交于点 A， 与 y 轴交于点 B，与反比例函数 ky x  图象的一个 交点为 M（﹣2，m）． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 P 是反比例函数 ky x  图象上一点， 且 2BOP AOBS S△ △ ，求点 P 的坐标． 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．某中学九（1）班同学为了解 2013 年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区 部分家庭，并将调查数据进行如下整理. 月均用水量 x (吨) 频数(户) 频率 0 5x  6 0.12 5 10x  0.24 10 15x  16 0.32 15 20x  10 0.20 20 25x  4 25 30x  2 0.04 请解答以下问题： （1）把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整； （2）求该小区用水量不超过 15 吨的家庭占被调查家庭总数的百分比； （3）若该小区有 1000 户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过 20 吨的 家庭大约有多少户？ 20． 已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 为边 BC 的中 点，DF 与对角线 AC 交于点 M，过 M 作 ME⊥ CD 于点 E. (1）求证：AM=2CM； （2）若 1 2   ， 2 3CD  ，求 ME 的值. 21．如图，点 A，B，C 分别是⊙O 上的点，∠B=60°，AC=3，CD 是⊙O 的直径，P 是 CD 延长线上的一点，且 AP=AC． （1）求证：AP 是⊙O 的切线； （2）求 PD 的长． 22. 阅读并回答问题： 数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下： 作法：①在 OA，OB 上分别截取 OD，OE，使 OD=OE. ②分别以 D，E 为圆心，以大于 1 2 DE 为半径作弧， 两弧在 AOB 内交于点 C. ③作射线 OC，则 OC 就是 AOB 的平分线 小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，方法如下： 作法： ①利用三角板上的刻度，在 OA，OB 上分 别截取 OM，ON，使 OM=ON. ②分别过以 M，N 为 OM，ON 的垂线， 交于点 P. ③作射线 OP，则 OP 就是 AOB 的平分 线. 小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线.根据以 上情境，解决下列问题： （1） 小聪的作法正确吗？请说明理由； （2） 请你帮小颖设计用刻度尺作 AOB 平分线的方法.（要求：不与小聪方法相 同，请画出图形，并写出画图的方法，不必证明）. 五．解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23. 已知：关于 x 的一元二次方程 01)2()1( 2  xmxm （m 为实数）. （1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）求证：抛物线 1)2()1( 2  xmxmy 总过 x 轴上的一个定点； （3）若 m 是整数，且关于 x 的一元二次方程 01)2()1( 2  xmxm 有两个不相等 的整数根时，把抛物线 1)2()1( 2  xmxmy 向右平移 3 个单位长度，求平 移后的解析式． 24. 在矩形 ABCD 中， 4AB  ， 3BC  ，E 是 AB 边上一点，EF CE 交 AD 于点 F ， 过点 E 作 AEH BEC   ，交射线 FD 于点 H ，交射线 CD 于点 N . （1）如图 1，当点 H 与点 F 重合时，求 BE 的长； （2）如图 2，当点 H 在线段 FD 上时，设 BE x ， DN y ，求 y 与 x 之间的函数 关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）连结 AC ，当以点 E，F，H 为顶点的三角形与△AEC 相似时，求线段 DN 的长. 25．定义：P，Q 分别是两条线段 a 和 b 上任意一点，线段 PQ 长度的最小值叫做线段 a 与线段b 的距离. 已知 O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角坐标系中 的四点. （1）根据上述定义，当 m=2，n=2 时，如图 1，线段 BC 与线段 OA 的距离是_____； 当 m=5，n=2 时，如图 2，线段 BC 与线段 OA 的距离是______ . （2）如图 3，若点 B 落在圆心为 A，半径为 2 的圆上，求线段 BC 与线段 OA 的距离 d. （3）当 m 的值变化时，动线段 BC 与线段 OA 的距离始终 为 2，若线段 BC 的中点为 M，直接写出点 M 随线段 BC 运动所形成的图形的周长 . 16. 解: 2( 1) 6 4 x x x x   2 ( 1) ( 4)( 6)= ( 4) x x x x x x      2 2 4 24= 4 x x x x    2 4 1 0x x   ， 2 4 = 1x x   . 2 2 4 24 1 24= = 23.4 1 x x x x        原式 ………………………………………5 分 17. 解：设中国人均淡水资源占有量为 xm3，美国人均淡水资源占有量为 ym3． 根据题意得： 5 , 13800. y x x y     ……………………………………………2 分 解得： 2 300, 11500. x y    ……………………………………………4 分 答：中、美两国人均淡水资源占有量各为 2 300m3，11 500m3．………………………5 分 18．解: (1) ∵M（﹣2，m）在一次函数 1y x   的图象上， ∴ 2 1 1m    . ∴ M（﹣2，1）. 又 M（﹣2，1）在反比例函数 ky x  图象上， ∴ 2k   . ∴ 2y x  . ……........................3 分 (2)由一次函数 1y x   可求 ( 1 0)A  ， ， (0, 1)B  . ∴ 1 1 1 2 2 11 2AOBS OB OA       . ∴ 2 1=BOP AOBS  . 设 BOP 边OB 上的高位 h ，则 =2h . 则 P 点的横坐标为 2 . 把 P 点的横坐标为 2 代入 2y x  可得 P 点的纵坐标为 1 . (2, 1)P  或 ( 2,1)P  . ……5 分 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．解：（1） 表格：从上往下依次是：12，0.08；图略； ……3 分 （2）68％；……4 分 （3）120 户. ……5 分 20．解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形． ∴BC//AD. ∴△ ∽△CFM ADM . ∴ CF CM AD AM  . ∵F 为边 BC 的中点， ∴ 1 1 2 2CF BC AD  . ∴ 1 2 CF CM AD AM   . ∴ 2AM MC . ……………………2 分 （2）∵AB//DC， ∴ 1= 4  . ∵ 1= 2  , ∴ 2= 4  . ∵ME⊥CD， ∴ 1 2CE CD . ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ 3= 4  . ∵F 为边 BC 的中点， ∴ 1 2CF BC . CF CE  . 在 △ CMF 和 △ CME 中， 3= 4  ，CF=CE，CM 为公共边， ∴△CMF≌△CME． ∴ = 90CFM CEM    . ∵ 2= 3 4    , ∴ 2= 3 4 30      . ∴ 3 3 ME CE  . ∵ 2 2 3CD CE  ,∴ 3CE  . ∴ 1ME  . ……………………………5 分 21．解：（1）证明：连接 OA． ∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°． 又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°．∴∠AOP=60°． ∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°． ∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP． ∴ AP 是⊙O 的切线． …………………2 分 （2）解：连接 AD． ∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CAD=90°． ∴AD=AC•tan30°= 33 = 33  ． ∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°．∴∠P=∠PAD． ∴PD=AD= 3 ． …………………5 分 22．解： （1）小聪的作法正确. …………………1 分 理由：∵PM⊥OM , PN⊥ON， ∴∠ OMP=∠ONP=90°. 在 Rt△OMP 和 Rt△ONP 中， ∵OP=OP , OM=ON， ∴Rt △ OMP≌Rt △ ONP（HL）. ∴ MOP NOP   . ∴ OP 平分∠AOB. …………………2 分 （2）解：如图所示. …………………3 分 作法：①利用刻度尺在 OA，OB 上分别截取 OG=OH. ②连结 GH，利用刻度尺作出 GH 的中点 Q. ③作射线 OQ，则 OQ 为∠AOB 的平分线. …5 分 五．解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．解：（1） 2 2( 2) 4( 1)m m m      . ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ 0m .……………………………………………………………………………1 分 ∵ 01 m ， ∴m 的取值范围是 0 1m m 且 .………………………………………………………2 分 （2）证明：令 0y 得， 01)2()1( 2  xmxm . ∴ )1(2 )2( )1(2 )2( 2    m mm m mmx . ∴ 1)1(2 2 1   m mmx ， 1 1 )1(2 2 2   mm mmx . …………………………………4 分 ∴抛物线与 x 轴的交点坐标为（ 0,1 ），（ 0,1 1 m ）. ∴无论 m 取何值，抛物线 1)2()1( 2  xmxmy 总过定点（ 1, 0 ）.……5 分 （3）∵ 1x 是整数 ∴只需 1 1 m 是整数. ∵ m 是整数，且 0 1m m 且 , ∴ 2m .…………………………………………………………………………6 分 当 2m 时，抛物线为 12  xy ． 把它的图象向右平移 3 个单位长度，得到的抛物线解析式为 861)3( 22  xxxy .…………………………………………………7 分 24．解：（1）∵ EF EC ， ∴ 90AEF BEC     . ∵ AEF BEC   ， ∴ 45BEC   . ∵ 90B   ，∴ BE BC . ∵ 3BC  ，∴ 3BE  .…………………2 分 （2）过点 E 作 EG CN ，垂足为点 G . ∴ BE CG .∵ AB ∥CN ，∴ AEH N   ， BEC ECN   . ∵ AEH BEC   ，∴ N ECN   .∴ EN EC . ∴ 2 2CN CG BE  . ∵ BE x ， DN y ， 4CD AB  ， ∴  2 4 2 3y x x    .…………………4 分 （3）∵矩形 ABCD， ∴ 90BAD  .∴ 90AFE AEF     . ∵ EF EC ，∴ 90AEF CEB     . ∴ AFE CEB   .∴ HFE AEC   . 当以点 E，F，H 为顶点的三角形与 AEC 相似时， ⅰ）若 FHE EAC   ， ∵ BAD B   ， AEH BEC   ，∴ FHE ECB   .∴ EAC ECB   . ∴ tan tanEAC ECB   ，∴ BC BE AB BC  .∴ 9 4BE  .∴ 1 2DN  . ⅱ)若 FHE ECA   ，如图所示，记 EG 与 AC 交于点 O . ∵ AEH BEC   ，∴ AHE BCE   . ∴ ENC ECN   . ∵ EN EC ， EG CN ， ∴ 1 2   . ∵ AH ∥ EG ，∴ 1FHE   .∴ 2FHE   . ∴ 2 ECA   . ∴ EO CO . 设 3EO CO k  ，则 4 , 5AE k AO k  ， ∴ 8 5AO CO k   . ∴ 5 8k  . ∴ 5 2AE  ， 3 2BE  . ∴ 1DN  . 综上所述，线段 DN 的长为 1 2 或 1. ………………7 分 25.解：（1）2， 5 ； ………………4 分 （2）当 2 4m  时， ( 2 2)d n n    ； 当 4 6m  时， 2d  . ………………6 分 （3）16+4 . ………………8 分