2013年朝阳区初三一模数学试卷及答案

北京市朝阳区九年级综合练习（一）数 学 试 卷 2013.5 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1.-3 的倒数是 A． 1 3 B． 1 3  C． 3 D．-3 2．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行．最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合为粮食大 约是 200000000 人一年的口粮．将 200000000 用科学记数法表示为 A． 82 10 B． 92 10 C． 90.2 10 D． 720 10 3． 若一个正多边形的一个外角是 72°，则这个正多边形的边数是 A．10 B．9 C．8 D．5 4．如图，AB∥CD，E 是 AB 上一点，EF 平分∠BEC 交 CD 于点 F，若∠BEF=70°， 则∠C 的度数是 A．70° B．55° C．45° D．40° 5．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，掷得面朝上 的点数大于 4 的概率为 A． 6 1 B． 3 1 C． 4 1 D． 2 1 6．把方程 2 6 3 0x x   化成 2x n m  的形式，正确的结果为 A． 23 6x   B． 23 6x   C． 23 12x   D． 26 33x   7．某校春季运动会上，小刚和其他 16 名同学参加了百米预赛，成绩各不相同，小刚已经知道了自己的成 绩，如果只取前 8 名参加决赛，他想知道自己能否进入决赛，还需要知道所有参加预赛同学成绩的 A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 8．如图，将一张三角形纸片 ABC 折叠，使点 A 落在 BC 边上，折痕 EF∥BC，得到△EFG；再继续将纸 片沿△BEG 的对称轴 EM 折叠，依照上述做法，再将△CFG 折叠，最终得到矩形 EMNF，折叠后的△EMG 和△FNG 的面积分别为 1 和 2，则△ABC 的面积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．在函数 1 2y x   中，自变量 x 的取值范围是 ． 10．分解因式： 3m m  . 11．如图，AB 为⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D，AB= 32 ， ∠B=30°，则△AOC 的周长为 . 12. 在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 从原点 O 出发，每次向上平移 1 个单位长度或向右平移 2 个单位 长度，在上一次平移的基础上进行下一次平移．例如第 1 次平移后可能到达的点是（0，1）、（2，0）， 第 2 次平移后可能到达的点是（0，2）、（2，1）、（4，0），第 3 次平移后可能到达的点是（0，3）、（2， 2）、（4，1）、（6，0），依此类推……．我们记第 1 次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为 l1， l1=3；第 2 次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为 l2，l2=9；第 3 次平移后可能到达的所有点 的横、纵坐标之和为 l3，l3=18；按照这 ww w. 样的规律，l4= ； ln= (用含 n 的式子表示，n 是正整数)． 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．计算：  022 3tan 60 27 2013    ． 14．求不等式 1 3( 1)x x   的非负整数解. 15．已知 2 2 7 0x x   ，求 2( 2) ( 3)( 3)x x x    的值． 16．已知：如图，OP 平分∠MON，点 A、B 分别在 OP、ON 上， 且 OA=OB，点 C、D 分别在 OM、OP 上，且∠CAP=∠DBN． 求证：AC=BD． 17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y= -x 的图象 与反比例函数  0ky xx   的图象相交于点  4A m ， ． （1）求反比例函数 ky x  的解析式； （2）若点 P 在 x 轴上，AP=5，直接写出点 P 的坐标． 18. 北京地铁 6 号线正式运营后，家住地铁 6 号线附近的小李将上班方式由自驾车改为了乘坐地铁，这样 他从家到达上班地点的时间缩短了 0.3 小时．已知他从家到达上班地点，自驾车时要走的路程为 17.5 千米， 而改乘地铁后只需走 15 千米，并且他自驾车平均每小时走的路程是乘坐地铁平均每小时所走路程的 2 3 ．小 李自驾车从家到达上班地点所用的时间是多少小时？ 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19. 如图，在四边形 ABCD 中，∠D=90°，∠B=60°，AD=6，AB=10 3 3 ，AB⊥AC,在 CD 上选取一点 E， 连接 AE，将△ADE 沿 AE 翻折，使点 D 落在 AC 上的点 F 处． 求（1）CD 的长； （2）DE 的长． 20. 如图，⊙O 是△ABC 是的外接圆，BC 为⊙O 直径，作∠CAD=∠B，且点 D 在 BC 的延长线上． (1)求证：直线 AD 是⊙O 的切线； (2)若 sin∠CAD = 2 4 ，⊙O 的半径为 8，求 CD 长． 21. “2012 年度中国十大科普事件”今年 4 月份揭晓，“PM2.5 被写入‘国标’，大气环境质量广受瞩目” 名列榜首．由此可见，公众对于大气环境质量越来越关注，某市对该市市民进行一项调查，以了解 PM2.5 浓度升高时对人们户外活动是否有影响，并制作了统计图表的一部分如下： PM 2.5 浓度升高时对于户外活动 公众的态度的统计表 （1）结合上述统计图表可得：p = ，m = ； （2）根据以上信息，请直接补全条形统计图； （3）若该市约 400 万人，根据上述信息，请你估计一下持有“影响很大，尽可能不去户外活动”这 种态度的约有多少万人． （说明：“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于 2.5 微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物） 22．阅读下面材料： 小雨遇到这样一个问题：如图 1，直线 l1∥l2∥l3 ，l1 与 l2 之间的距离是 1，l2 与 l3 之间的距离是 2，试 画出一个等腰直角三角形 ABC，使三个顶点分别在直线 l1、l2、l3 上，并求出所画等腰直角三角形 ABC 的 面积． 小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试 用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图 2 所示：在直线 l1 任取一点 A，作 AD⊥l2 于点 D， 作∠DAH=90°，在 AH 上截取 AE=AD，过点 E 作 EB⊥AE 交 l3 于点 B，连接 AB，作∠BAC=90°，交直线 l2 于点 C，连接 BC，即可得到等腰直角三角形 ABC． 请你回答：图 2 中等腰直角三角形 ABC 的面积等于 ． 参考小雨同学的方法，解决下列问题： 如图 3，直线 l1∥l2∥l3, l1 与 l2 之间的距离是 2，l2 与 l3 对于户外活动公众的态度 百分比 A．没有影响 2% B．影响不大，还可以进行户外活动 p C．有影响，减少户外活动 42% D．影响很大，尽可能不去户外活动 m E．不关心这个问题 6% 图 3 图 1 图 2 之间的距离是 1,试画出一个等边三角形 ABC，使三个顶 点分别在直线 l1、l2、l3 上，并直接写出所画等边三角形 ABC 的面积（保留画图痕迹）． 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23 ． 二 次 函 数 2 1 3 4y x x n    的 图 象 与 x 轴 只 有 一 个 交 点 ； 另 一 个 二 次 函 数 2 2 2 2( 1) 4 6y nx m x m m      的图象与 x 轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且 m 是小于 5 的整数． 求（1）n 的值； （2）二次函数 2 2 2 2( 1) 4 6y nx m x m m      的图象与 x 轴交点的坐标． 24．在 Rt△ABC 中，∠A=90°，D、E 分别为 AB、AC 上的点． （1）如图 1，CE=AB，BD=AE，过点 C 作 CF∥EB，且 CF=EB，连接 DF 交 EB 于点 G，连接 BF，请 你直接写出 EB DC 的值； （2）如图 2，CE=kAB，BD=kAE， 1 2 EB DC  ，求 k 的值． 25．如图，二次函数 y=ax2+2ax+4 的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，∠CBO 的正切值是 2． (1)求此二次函数的解析式． (2)动直线 l 从与直线 AC 重合的位置出发，绕点 A 顺时针旋转，与直线 AB 重合时终止运动，直线 l 与 BC 交于点 D，P 是线段 AD 的中点． ①直接写出点 P 所经过的路线长． ②点 D 与 B、C 不重合时，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E、作 DF⊥AB 于点 F，连接 PE、PF，在旋转 过程中，∠EPF 的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由． ③在②的条件下，连接 EF，求 EF 的最小值． 图 2图 1 北京市朝阳区九年级综合练习（一） 数学试卷参考答案及评分标准 2013.5 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 1.B 2.A 3.D 4.D 5.B 6.A 7.C 8.C 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．x ≠-2 10. ( 1)( 1)m m m  11.6 12.30；  3 1 2 n n  （说明：结果正确，不化简整理不扣分）.（每空 2 分） 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 1 3 . 解 ： 原 式 1 3 3 3 3 14= - + - … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4 分 3 4=- . … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5 分 14.解： 1 3 3x x   ……………………………………………… ………………………1 分 2 4x   2x  .… …………………………………………………………………………3 分 ∴原等式的非负整数解为 1，0. ……………………………………………………5 分 15. 解：原式 2 24 4 9x x x     ………………………………………………………2 分 22 4 5x x   .∵ 2 2 7 0x x   ， ∴ 2 2 7x x  .∴原式 22( 2 ) 5x x   9 .………………………………………………………………………………5 分 16.证明：∵OP 平分∠MON， ∴∠COA=∠DOB.…………………………………………………………………1 分 ∵∠CAP=∠DBN， ∴ CAO DBO   .………………………………………………………………2 分 ∵OA=OB，…………………………………………………………………………3 分 ∴ COA ≌ DOB . ………………………………………………………………4 分 ∴AC=BD. …………………………………………………………………………5 分 17.（1）解:把  4A m ， 代入 y = -x，得 m=4.……………………………………………1 分 ∴  4 4A  ， . 把  4 4A  ， 代入 ky x  ，得 k = -16. ∴反比例函数解析式为 16y x   . （2）（-7，0）或（-1，0）. 18. 解：设小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是 x 小时. …………………………1 分由题意，得 17.5 15 2 0.3 3x x   . ……………………………………………………2 分 解方程，得 x =0.7. ………………………………………………………………………3 分 经检验，x=0.7 是原方程的解，且符合题意.……………………………………………4 分 答：小李自驾车从家到达上班地点所用的时间是 0.7 小时. ……………………………5 分 四、解答题（本题共 20 分，题每小题 5 分） 19．解：（1）∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°.∵∠B=60°，AB=10 3 3 ， ∴AC=10. ∵∠D=90°,AD=6，∴CD=8. … （2）由题意，得∠AFE=∠D=90°，AF=AD=6， EF=DE. ∴∠EFC=90°, ∴FC=4. … … 设 DE=x,则 EF=x,CE=8-x. 在 Rt△EFC 中，由勾股定理,得 2 2 24 (8 )x x   .…解得 x=3. 所以 DE=3. ……………………………………………………………………5 分 20.（1）证明：连接 OA. ∵BC 为⊙O 的直径， ∴∠BAC=90°. …∴∠B+∠ACB=90°. ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA.∵∠CAD=∠B，∴∠CAD+∠OAC=90°. 即∠OAD=90°.∴OA⊥AD. ∴AD 是⊙O 的切线. ……………………………………………………………………2 分 (2) 解：过点 C 作 CE⊥AD 于点 E. ∵∠CAD=∠B,∴sinB =sin∠CAD = 2 4 .… ∵⊙O 的半径为 8，∴BC=16. ∴AC= sinBC B  4 2 . ∴在 Rt△ACE 中，CE= sinAC CAD   2.……∵CE⊥AD, ∴∠CED=∠OAD=90°. ∴CE∥OA.∴△CED ∽△OAD. ∴ CD CE OD OA  .设 CD=x，则 OD=x+8. 即 2 8 8 x x  .解得 x= 8 3 . 所以 CD= 8 3 .………………………………………………………………………………5 分 21.解：（1）30%，20%； ………………………2 分 （2）如图；………………………………4 分 （3）400×20%=80（万人）. …………5 分 22. 解： 5；……………………………………………2 分 如图； ………………………………………3 分 7 3 3 . ………………………………………5 分 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23. 解：(1)∵ 2 1 3 4y x x n    的图象与 x 轴只有一个交点， ∴令 1 0y  ，即 2 3 04x x n    .……………………………………………1 分 ∴ 1 31 4 04n        .解得 n=1. (2)由(1)知，  2 2 2 2 1 4 6y x m x m m      . ww w. ∵  2 2 2 2 1 4 6y x m x m m      的图象与 x 轴有两个交点， ∴  2 2 2 2( 1) 4( 4 6)m m m       8 20m  . ∵ 2 0  ，∴ 5 2m  .又∵ 5m  且 m 是整数， ∴m=4 或 3.当 m=4 时， 2 2 6 6y x x   的图象与 x 轴的交点的横坐标不是整数； 当 m=3 时， 2 2 4 3y x x   ，令 2 0y  ，即 2 4 3 0x x   ，解得 1 1x  ， 2 3x  . 综上所述，交点坐标为（1，0），（3，0）. ………………………………………7 分 24. 解：(1) 2 2 EB DC  . ………………………………………………………………………2 分 (2)过点 C 作 CF∥EB 且 CF=EB，连接 DF 交 EB 于点 G, 连接 BF. ∴四边形 EBFC 是平行四边形. …………………………………………………3 分 ∴CE∥BF 且 CE=BF. ∴∠ABF=∠A=90°.∵BF=CE=kAB.∴ BF kAB  .∵BD=kAE， ∴ BD kAE  .…∴ BF BD AB AE  . ∴ DBF ∽ EAB . ……………∴ DF kBE  ,∠GDB=∠AEB. ∴∠DGB=∠A=90°.∴∠GFC=∠BGF=90°. ∵ 1 2 CF EB DC DC   .∴ 3DF DF EB CF   . ∴k= 3 .…………… 25. 解：(1)根据题意，C (0，4)． ∴OC=4．∵tan∠CBO=2，∴OB=2． ∴B (2，0)．∴ 0 4 4 4a a   ．∴ 1 2a   ． ∴二次函数的解析式为 21 42y x x    ．……………………………………2 分 (2) ①点 P 所经过的路线长是 5 ．…… ……………………………………………3 分 ②∠EPF 的大小不发生改变．………………………………………………………4 分 由 21 42y x x    可得，A (-4，0)． ∴OA= OC． ∴△AOC 是等腰直角三角形． ∴∠CAO=45°． ∵DE⊥AC， DF⊥AB， ∴∠AED= ∠AFD=90°． ∵点 P 是线段 AD 的中点， ∴PE= PF = 1 2 AD = AP． ∴∠EPD=2∠EAD ，∠FPD=2∠FAD ． ∴∠EPF =∠EPD+∠FPD =2∠EAD +2∠FAD= 2∠CAO=90°．…………………5 分 ③由②知，△EPF 是等腰直角三角形． ∴EF= 2 PE= 2 2 AD．……………………………………………………………6 分 ∴当 AD⊥BC 时，AD 最小，此时 EF 最小．……………………………………7 分 在 Rt△ABD 中， ∵tan∠CBO=2，AB=6， ∴AD=12 5 5 ．ww w. ∴EF = 6 10 5 ． 即此时 EF 的最小值为 6 10 5 ．……………………………………………………8 分