2013年朝阳区初三二模数学试卷及答案

北京市朝阳区九年级综合练习（二） 数学试卷 2013.6 学校 班级 姓名 考 生 须 知 1．本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分. 考试时间 120 分钟. 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回. 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．的绝对值是 A．2 B． 1 2  C． 1 2 D．2 2．我国质检总局规定，针织内衣等直接接触皮肤的制品，每千克的衣物上甲醛含量应在 0.000075 千克以下．将 0.000075 用科学记数法表示为 A． 57.5 10´ B. 57.5 10-´ C． 40.75 10-´ D. 675 10-´ 3．如图，在△ABC 中，DE∥BC,如果 AD=3，BD=5，那么 DE BC 的值是 A. 3 5 B. 9 25 C. 3 8 D. 5 8 4．从分别标有 1 到 9 数字的 9 张卡片中任意抽取一张，抽到所标数字是 3 的倍数的概率为 A． 1 9 B． 1 8 C． 2 9 D． 1 3 5．如图，圆锥的底面半径 OA 为 2，母线 AB 为 3，则这个圆锥的侧面积为 A.3π B. 6π C. 12π D. 18π 6．如图，下列水平放置的几何体中，主视图不是．．长方形的是 7. 某校篮球课外活动小组 21 名同学的身高如下表 则该篮球课外活动小组 21 名同学身高的众数和中位数分别是 A．176，176 B．176，177 C．176，178 D．184，178 8．图 1 是一个正方体的展开图，该正方体从图 2 所示的位置依次翻到第 1 格、第 2 格、第 3 格、第 4 格、第 5 格，此时这个正方体朝上．．一面的字是 A．我 B．的 C．梦 D．中 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．在函数 2 3y x= - 中，自变量 x 的取值范围是 ． 10．分解因式： 3 22 4 2x x x- + = ． 11．如图，在⊙O 中，直径 CD⊥弦 AB 于点 E，点 F 在弧 AC 上， 若∠BCD＝32°，则∠AFD 的度数为 ． 12．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 与 x、y 轴分别交于点 A、B，且 A(-2，0)， B(0，1)，在直线 AB 上截取 BB1=AB，过点 B1 分别作 x、y 轴的垂线，垂足分别为点 A1 、 C1，得到矩形 OA1B1C1；在直线 AB 上截取 B1B2= BB1，过点 B2 分别作 x、y 轴的垂线， 垂足分别为点 A2 、C2，得到矩形 OA2B2C2；在直线 AB 上截取 B2B3= B1B2，过点 B3 分 别作 x、y 轴的垂线，垂足分别为点 A3 、C3，得到矩形 OA3B3C3；……则第 3 个矩形 OA3B3C3 的面积是 ；第 n 个矩形 OAnBnCn 的面积是 （用含 n 的式子表示，n 是正整数）． 身高（cm） 170 176 178 182 184 人数 4 6 5 4 2 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．计算：  2 01 9 3 4 2 cos452          ． 14．计算： 2 3 1 2( )1 1 1x x x     　． 15．如图，为了测量楼 AB 的高度，小明在点 C 处测得楼 AB 的顶端 A 的仰角为 30º，又向 前走了 20 米后到达点 D，点 B、D、C 在同一条直线上，并在点 D 测得楼 AB 的顶端 A 的仰 角为 60º，求楼 AB 的高． 16．已知：如图，E、F 为 BC 上的点，BF=CE，点 A、D 分别在 BC 的两侧，且 AE∥DF， AE=DF． 求证：AB∥CD． 17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y kx －2 的图象与 x、y 轴分别交于点 A、 B，与反比例函数 3 2y x   （x＜0）的图象交于点 3( )2M n ， ． （1）求 A、B 两点的坐标； （2）设点 P 是一次函数 y kx －2 图象上的一点，且满足 △APO 的面积是△ABO 的面积的 2 倍，直接写出点 P 的坐标． 18．某新建小区要铺设一条全长为 2200 米的污水排放管道，为了尽量减少施工对周边居民 所造成的影响，实际施工时，每天铺设的管道比原计划增加 10%，结果提前 5 天完成 这一任务，原计划每天铺设多少米管道？ 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD = 4，∠B=105º，E 是 BC 边的中点，∠BAE=30º， 将△ABE 沿 AE 翻折，点 B 落在点 F 处，连接 FC，求四边形 ABCF 的周长． 20．如图，在△ABC 中，AC=BC，D 是 BC 上的一点，且满足∠BAD＝ 1 2 ∠C，以 AD 为直 径的⊙O 与 AB、AC 分别相交于点 E、F. （1）求证：直线 BC 是⊙O 的切线； （2）连接 EF，若 tan∠AEF＝ 4 3 ，AD＝4，求 BD 的长. 21．今年“五一”假期，小翔参加了学校团委组织的一项社会调查活动，了解他所在小区家 庭的教育支出情况．调查中，小翔从他所在小区的 500 户家庭中，随机调查了 40 个家 庭，并将调查结果制成了部分统计图表． （注：每组数据含最小值，不含最大值） 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）频数分布表中的 a = ，b = ； （2）补全频数分布直方图； （3）请你估计该小区家庭中，教育支出不足 1500 元的家庭大约有多少户？ 分组 频数 频率 1100 ~ 1300 2 0.050 1300 ~ 1500 6 0.150 1500 ~ 1700 18 0.450 1700 ~ 1900 9 0.225 1900 ~ 2100 a b 2100 ~ 2300 2 0.050 合计 40 1.000 1100 1300 1500 1700 1900 2100 23000 4 8 12 16 20 (户数) (元) 教育支出频数分布表 教育支出频数分布直方图 22．阅读下列材料： 小华遇到这样一个问题，如图 1, △ABC 中，∠ACB=30º，BC=6，AC=5，在△ABC 内部有一点 P，连接 PA、PB、PC，求 PA+PB+PC 的最小值． 小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分 离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线 段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法， 发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图 2，将△APC 绕点 C 顺时针旋转 60º， 得到△EDC，连接 PD、BE，则 BE 的长即为所求． （1）请你写出图 2 中，PA+PB+PC 的最小值为 ； （2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题： ①如图 3，菱形 ABCD 中，∠ABC=60º，在菱形 ABCD 内部有一点 P，请在图 3 中画出并指明长度等于 PA+PB+PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）； ②若①中菱形 ABCD 的边长为 4，请直接写出当 PA+PB+PC 值最小时 PB 的长． 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．已知关于 x 的一元二次方程 x2+(4-m)x+1-m = 0． （1）求证：无论 m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）此方程有一个根是-3，在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线 y=x2+(4-m)x+1-m 向右平移 3 个单位，得到一个新的抛物线，当直线 y=x+b 与这个新抛物线有且只 有一个公共点时，求 b 的值． 图 2 图 3图 1 24．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y= ax2+bx+4 与 x 轴交于点 A(-2，0)、 B(6，0)，与 y 轴交于点 C，直线 CD∥x 轴，且与抛物线交于点 D，P 是抛物线上一动 点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点 P 作 PQ⊥CD 于点 Q，将△CPQ 绕点 C 顺时针旋转，旋转角为α（0º﹤α﹤90º）， 当 cosα= 3 5 ，且旋转后点 P 的对应点 'P 恰好落在 x 轴上时，求点 P 的坐标． 25. 在□ABCD 中，E 是 AD 上一点，AE=AB，过点 E 作直线 EF，在 EF 上取一点 G，使得 ∠EGB=∠EAB，连接 AG. （1）如图 1，当 EF 与 AB 相交时，若∠EAB=60°，求证：EG =AG+BG； （2）如图 2，当 EF 与 AB 相交时，若∠EAB= α（0º﹤α﹤90º），请你直接写出线段 EG、 AG、BG 之间的数量关系（用含α的式子表示）； （3）如图 3，当 EF 与 CD 相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段 EG、AG、BG 之间 的数量关系，并证明你的结论. 北京市朝阳区九年级综合练习（二） 数学试卷参考答案 2013.6 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 备用图 图 3图 2图 1 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C D B B C A 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9. x≥ 2 3 10. 22 ( 1)x x- 11. 32° 12.24，2n2+2n 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13. 解：  2 01 9 3 4 2 cos452          24 3 1 2 2= - + - ´ … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 4 分 1= . ………………………………………………………………………5 分 14. 解： 2 3 1 2 1 1 1x x x ÷ç - ¸÷ç ÷ç - + -     3( 1) 1 1 ( 1) 1 ( 1) x x x x x x          2 2 1x¸ - … … … … … … … … … … … … 2 分    2 2 4 2 1 1 1 x x x x     …………………………………………………………………3 分      1 12 4 1 1 2 x xx x x     …………………………………………………………4 分 2x  .……………………………………………………………………………………5 分 15. 解： 由题意可知∠ACB=30°，∠ADB=60°，CD=20， 在 Rt△ABC 中，   3tan30 = 20 3AB BC BD     .………………………………1 分 在 Rt△ABD 中， tan 60 = 3AB BD BD    .………………………………………2 分 ∴   320 = 33BD BD   ，…………………………………………………………3 分 ∴ 10BD  .…………………………………………………………………………4 分 ∴ 10 3AB  .……………… ……………………………………………………5 分 16. 证明：∵AE∥DF， ∴∠AEB＝∠DFC. ………………………………………………………………1 分 ∵BF=CE， ∴BF+EF＝CE+EF. 即 BE＝CF. ………………………………………………………………………2 分 在△ABE 和△DCF 中， AE DF AEB DFC BE CF ì =ïïïïÐ = Ðíïï =ïïî ∴△ABE≌△DCF. … ……………………………………………………………3 分 ∴∠B=∠C. ………………………………………………………………………4 分 ∴AB∥CD. … ……………………………………………………………………5 分 17. 解：（1）∵点 3( )2M n ， 在反比例函数 3 2y x   （x＜0）的图象上， ∴ 1n = .…………………………………………………………………………1 分 ∴ 3( )2M  ，1 . ∵一次函数 y kx －2 的图象经过点 3( )2M  ，1 ， ∴ 31 22 k= - - . ∴ 2k = - . ∴一次函数的解析式为 2 2y x   . ∴A(1，0)，B(0，2) . ………………………………………………………3 分 （2）P1(3，4)，P2(1，4) . ………………………………………………………5 分 18. 解：设原计划每天铺设 x 米管道．…………………………………………………1 分 由题意，得 2200 2200 5(1 10%)x x   ……………………………………………3 分 解得 40x  ． ……………………………………………………………4 分 经检验 40x  是原方程的根． …………………………………………………5 分 答：原计划每天铺设 40 米管道． 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．解：作 BG⊥AE，垂足为点 G， ∴∠BGA＝∠BGE＝90º. 在平行四边形 ABCD 中，AD = 4， ∵E 是 BC 边的中点， ∴ 1 1 2.2 2BE EC BC AD    ……………………………………………………1 分 ∵∠BAE=30º，∠ABC=105º， ∴∠BEG=45º. 由已知得△ABE≌△AFE. ∴AB=AF，BE＝FE，∠BEF=90º. 在 Rt△BGE 中， BG＝GE= 2.……… ………………………………………………………………2 分 在 Rt△ABG 中， ∴AB=AF= 2 2.………………………………………………………………………3 分 在 Rt△ECF 中， 2 2 2 2.FC EF EC   ………………………………………………… ……4 分 ∴四边形 ABCF 的周长 4 6 2. ……………………………………………………5 分 20. （1）证明：在△ABC 中， ∵AC=BC， ∴∠ CAB = ∠B. ∵∠ CAB +∠B+∠C＝180º， ∴2∠B+∠C＝180º. ∴ 1 2B CÐ + Ð ＝90º. ……………………………………………………1 分 ∵∠BAD＝ 1 2 ∠C， ∴ B BADÐ +Ð ＝90º. ∴∠ADB＝90º. ∴AD⊥BC. ∵AD 为⊙O 直径的， ∴直线 BC 是⊙O 的切线. …………………………………………………2 分 （2）解：如图，连接 DF， ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠AFD = 90º. ……………………………………………………………………3 分 ∵∠ADC＝90º， ∴∠ADF+∠FDC＝∠CD+∠FDC＝90º. ∴∠ADF＝∠C. …………………………………………………………………4 分 ∵∠ADF＝∠AEF，tan∠AEF＝ 4 3 ， ∴tan∠C＝tan∠ADF＝ 4 3 . 在 Rt△ACD 中， 设 AD＝4x，则 CD＝3x. ∴ 2 2 5 .AC AD DC x   ∴BC＝5x，BD＝2x. ∵AD＝4， ∴x＝1. ∴BD＝2. …………………………………………………………………………5 分 21．解：（1）a=3，b=0.075； ……………………………………………………………2 分 （2） …………………………3 分 （3）500 (0.05 0.15) 100   . 所以该小区家庭中，教育支出不足 1500 元的家庭大约有 100 户.…………5 分 21．解：（1） 61 .………………………………………………………………………………1 分 （2）①如图， …………………………………………2 分 BD； ……………………………………………………………………………3 分 (3) 4 3 3 . …………………………………………………………………………5 分 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23. （1）证明：∵△=   24 4 1m m   .……………………………………………… 1 分 = 2 4 12m m  = 22 8m   …………………………………………………………2 分 ∴△＞0. …………………………………………………………………3 分 ∴无论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根. （2）把 x=-3 代入原方程，解得 m=1. …………………………………………………4 分 ∴ 2 3y x x  . 即 23 9 2 4y x      . 依题意，可知新的抛物线的解析式为 23 9' 2 4y x      . ………………………5 分 即 2' 3y x x  ∵抛物线 'y 与直线 y x b  只有一个公共点， ∴ 2 3x x x b   ..…………………………………………………………………6 分 即 2 4 0x x b   . ∵△=0. ∴   24 4 0b     . 解得 b= -4. ……………………………………………………………………7 分 24. 解：（1）根据题意得 4 2 4 0 36 6 4 0 a b a b        ， ．…………………………………………………………1 分 解得 1 3 4 3 a b      ， ． 所以抛物线的解析式为 21 4 43 3y x x    .………………………………2 分 （2）如图 1，过点 Q 的对应点 'Q 作 EF⊥CD 于点 E，交 x 轴于点 F. 设 P(x，y)，则 CQ= x，PQ=4- y. 由题意可知 'CQ = CQ= x， ' 'P Q =PQ=4- y，∠CQP =∠C ' 'Q P =90°. ∴ ' ' ' ' 'QCQ CQ E P Q F CQ E       =90°. ∴ ' ' 'P Q F QCQ     .……………………………………………………3 分 又∵cosα= 3 5 ， ∴ 4' 5EQ x 　， 3' (4 )5FQ y  . ∴ 4 3 (4 ) 45 5x y   . ∵ 21 4 43 3y x x    ， 整理可得 21 45 x  . ∴ 1 2 5x  ， 2 2 5x   （舍去）. ∴ 8 5-8(2 5 )3P ， .………………………………………………………………5 分 如图 2，过点 Q 的对应点 'Q 作 EF⊥CD 于点 E，交 x 轴于点 F. 设 P(x，y)，则 CQ=- x，PQ=4- y. 可得 ' ' 'P Q F QCQ     .……………………………………………………6 分 又∵cosα= 3 5 ， ∴ 4' 5EQ x  　， 3' (4 )5FQ y  . ∴ 4 34 (4 )5 5x y    . ∵ 21 4 43 3y x x    ， 整理可得 21 45 x  . ∴ 1 2 5x  （舍去）， 2 2 5x   . ∴ 8 5+8( 2 5 )3P  ，- .……………………………………………………………7 分 ∴ 8 5-8(2 5 )3P ， 或 8 5+8( 2 5 )3P  ，- . 25. 解：（1）证明：如图，作∠GAH=∠EAB 交 GE 于点 H. ∴∠GAB=∠HAE. ………………………………………………………………1 分 ∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG， ∴∠ABG=∠AEH. ∵又 AB=AE， ∴△ABG≌△AEH. ………………2 分 ∴BG=EH，AG=AH. ∵∠GAH=∠EAB=60°， ∴△AGH 是等边三角形. ∴AG=HG. ∴EG =AG+BG. …………………………………………………………………3 分 (2) 2 sin .2EG AG BG  …………………………………………………………5 分 （3） 2 .EG AG BG  ……………………………………………………………6 分 如图，作∠GAH=∠EAB 交 GE 于点 H. ∴∠GAB=∠HAE. ∵∠EGB=∠EAB=90°， ∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH =180°. ∴∠ABG=∠AEH. ∵又 AB=AE， ∴△ABG≌△AEH. ………………7 分 ∴BG=EH，AG=AH. ∵∠GAH=∠EAB=90°， ∴△AGH 是等腰直角三角形. ∴ 2 AG=HG. ∴ 2 .EG AG BG  …………………………………………………………8 分 说明：各解答题其它正确解法请参照给分.