2013年昌平区初三二模数学试卷及答案

昌平区 2013 年初三年级第二次统一练习 数 学 试 卷 2013．6 考 生 须 知 1．本试卷共 6 页，共五道大题，25 个小题，满分 120 分．考试时间 120 分钟。 2．在答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考试编号。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作 答。 5．考试结束，请将答题卡交回。 一、选择题（共 8 道小题，每小题 4 分，共 32 分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1． 3 的相反数是 A． 1 3  B． 1 3 C． 3 D． 3 2．中国公安部副部长 3 月 6 日表示，中国户籍制度改革的步伐已经明显加快，力度明显加 大.2010 年至 2012 年，中国共办理户口“农转非”2 500 多万人. 请将 2 500 用科学记数法表示为 A． 250 10 B． 225 10 C． 32.5 10 D． 40.25 10 3. 在水平的讲台桌上放置圆柱形笔筒和长方体形粉笔盒（右图），则它的主视图是 A B C D 4．如右图所示，已知 AB∥CD，EF 平分∠CEG， ∠1＝80°， 则∠2 的度数为 A．80° B．60° C．50° D．40° 5．在一次学校田径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动员的成绩如下表所示： 成绩（m） 1.30 1.35 1.40 1.45 1.47 1.50 人数 1 2 4 3 3 2 实物图 1 2 G B DC A F E A B C P 这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是 A. 1.40, 1.40 B. 1.45, 1.40 C. 1.425, 1.40 D. 1.40, 1.45 6．将抛物线 y=3x2 向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，那么得到的抛物线的解析式 为 A. 23( 2) 3y x   B. 23( 2) 3y x   C. 23( 2) 3y x   D. 23( 2) 3y x   7．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在 AB，AC 上，将△ADE 沿 DE 翻折 后，点 A 落在点 A′处，若 A′为 CE 的中点，则折痕 DE 的长为 A. 1 B.6 C. 4 D. 2 8．正三角形 ABC 的边长为 2，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的 速度，沿 A→B→C→A 的方向运动，到达点 A 时停止．设运动时间为 x 秒， y＝PC 2，则 y 关于 x 的函数的图象大致为 A B C D 二、填空题（共 4 道小题，每小题 4 分，共 16 分） 9．若分式 2 4 02 x x   ，则 x 的值为 . 10．有两名学员小林和小明练习射击，第一轮 10 枪打完后两人 打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中 的信息，估计小林和小明两人中新手是 ． 11．如图，□ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F， CD=2DE.若△DEF 的面积为 1，则□ABCD 的面积为 ． 12．如图，从原点 A 开始，以 AB=1 为直径画半圆，记为第 1 个半 圆；以 BC=2 为直径画半圆，记为第 2 个半圆；以 CD=4 为直径画 半圆，记为第 3 个半圆；以 DE=8 为直径画半圆，记为第 4 个半 圆；……，按此规律，继续画半圆，则第 5 个半圆的面积为 ， 第 n 个半圆的面积为 ． 三、解答题（共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分） 13.计算：   1 0112 4sin60 13 π         ． 14. 解分式方程： 2 313 1 6 2x x    ． 15. 已知 2 5 14 0m m   ，求     21 2 1 1 1m m m     的值． 16. 如图，AC//FE,点 F、C在 BD 上，AC=DF, BC=EF. 求证：AB=DE. 17. 已知：如图，一次函数 3 3 y x m  与反比例函数 3y x  的图象在 第一象限的交点为 (1 )A n， ． （1）求 m 与 n 的值； A B C D E F （2）设一次函数的图象与 x 轴交于点 B ，求 ABO 的度数． 18. 如图，AC、BD 是四边形 ABCD 的对角线，∠DAB=∠ABC=90°，BE⊥BD 且 BE=BD ， 连接 EA 并延长交 CD 的延长线于点 F. 如果∠AFC=90°，求∠DAC 的 度数. 19. 某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品. 美术社团从九年级 14 个班中随机抽取 了 4 个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图. 图 1 图 2 （1）直接回答美术社团所调查的 4 个班征集到作品共 件，并把图 1 补充完整； （2）根据美术社团所调查的四个班征集作品的数量情况，估计全年级共征集到作品的数量 为 ； （3）在全年级参展作品中有 5 件获得一等奖，其中有 3 名作者是男生，2 名作者是女生. 现 在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女 生的概率. 20. 如图，点 A、B、C 分别是⊙O 上的点，∠B=60°， CD 是⊙O 的直 径，P 是 CD 延长线上的点，且 AP=AC. （1）求证：AP 是⊙O 的切线； （2）若 AC=3，求 PD 的长. 21. 如图所示，等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝15， AD＝20，∠C＝30°．点 M、N 同时以相同的速度分别从 点 A、点 D 开始在 AB、DA 上向点 B、点 A 运动． (1)设 ND 的长为 x，用 x 表示出点 N 到 AB 的距离； (2)当五边形 BCDNM 面积最小时，请判断△AMN 的形状． 22. （1）【原题呈现】如图，要在燃气管道 l 上修建一个泵站分别向 A、B 两镇供气. 泵站 修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 解决问题：请你在所给图中画出泵站 P 的位置，并保留作图痕迹； （2）【问题拓展】已知 a>0，b>0，且 a+b=2，写出 2 21 4m a b    的最小值； （3）【问题延伸】已知 a>0，b>0，写出以 2 2a b 、 2 24a b 、 2 24a b 为边长的三 角形的面积. 五、解答题（共 3 道小题，第 23 题 6 分，第 24 题 7 分，第 25 题 9 分，共 22 分） 23. 已知点 A（a， 1y ）、B（2a，y 2 ）、C（3a，y 3 ）都在抛物 线 21 1 2 2 y x x  上. （1）求抛物线与 x 轴的交点坐标； （2）当 a=1 时，求△ABC 的面积； （3）是否存在含有 1y 、y 2 、y 3 ，且与 a 无关的等式？如果 存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，请说明理由. 24．（1）如图 1，以 AC 为斜边的 Rt△ABC 和矩形 HEFG 摆放在直线 l 上（点B、C、E、F 在直线 l 上），已知 BC=EF=1，AB=HE=2. △ABC 沿着直线 l 向右平移，设 CE=x，△ABC 与矩形 HEFG 重叠部分的面积为 y（y≠0）. 当 x= 3 5 时，求出 y 的值； （2）在（1）的条件下，如图 2，将 Rt△ABC 绕 AC 的中点旋转 180°后与 Rt△ABC 形 成一个新的矩形 ABCD，当点 C 在点 E 的左侧，且 x =2 时，将矩形 ABCD 绕着点 C 顺时针 旋转α角，将矩形 HEFG 绕着点 E 逆时针旋转相同的角度. 若旋转到顶点 D、H 重合时，连 接 AG，求点 D 到AG 的距离； （3）在（2）的条件下，如图 3，当α=45°时，设 AD 与 GH 交于点 M，CD 与 HE 交于 点 N，求证：四边形 MHND 为正方形. 25. 如图，已知半径为 1 的 1Oe 与 x 轴交于 A B， 两点，OM 为 1Oe 的切线，切点为 M ， 圆心 1O 的坐标为 (2 0)， ，二次函数 2y x bx c    的图象经过 A B， 两点． （1）求二次函数的解析式； （2）求切线OM 的函数解析式； （3）线段OM 上是否存在一点 P ，使得以 P O A， ， 为顶点的三角形 与 1OO M△ 相似．若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 昌平区 2013 年初三年级第二次统一练习 数学试卷参考答案及评分标准 2013．6 一、选择题（共 8 道小题，每小题 4 分，共 32 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B C B A D A 二、填空题（共 4 道小题，每小题 4 分，共 16 分） 题 号 9 10 11 12 答 案 2 小林 12 32 , 2 52 n  （各 2 分） 三、解答题（共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分） 13 ． 解 ： 原 式 = 32 3 4 3 1 2     …………………………………………………………… 4 分 = -2． ……………………………………………………………………… 5 分 14．解：方程两边同时乘以 2（3x﹣1），得 4﹣2（3x﹣1） =3. ……………………………………………………………………… 2 分 化简，得﹣6x=﹣ 3. ……………………………………………………………………… 3 分 解得 x= ． …………………………………………………………………………… 4 分 检验：x= 时，2（3x﹣1）=2×（3× ﹣1）≠ 0． ………………………………………… 5 分 所以，x= 是原方程的解． 15．解：     21 2 1 1 1m m m     = 2 22 2 1 ( 2 1) 1m m m m m       …………………………………………… …………2 分 = 2 22 2 1 2 1 1m m m m m       …………………………………………… ……… 3 分 = 2 5 1m m  ． …………………………………………………………………… ……… 4 分 当 2 5 14m m  时， 原 式 = 2( 5 ) 1 14 1 15m m     . …………………………………………………………… 5 分 16．证明：∵ AC //EF， ∴ ACB DFE   ．…………………………………………………………… 1 分 在△ABC 和△DEF 中，       , , , EFBC DFEACB DFAC ∴ △ABC≌△DEF．…………………………………… 4 分 ∴ AB=DE． …………………………………………… 5 分 17．解：（1）∵点 (1, )A n 在双曲线 3y x  上， ∴ 3n  . …………………………………………………………………………1 分 A B C D E F 又∵ (1, 3)A 在直线 3 3y x m  上， ∴ 2 3 3m  . ………………………………………………………………………2 分 （2）过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M. ∵ 直线 3 32 3 3  xy 与 x 轴交于点 B ， ∴ 点 B 的坐标为 -2 0（ ，）. ∴ 2OB .…………………………………………3 分 ∵点 A 的坐标为 (1, 3) ， ∴ 1,3  OMAM . ∴ 3.BM  ………………………………………………………………………………… 4 分 在 Rt△ BAM 中，∠ 90AMB = °, ∵ tan ∠ 3 3 AMABM BM = = ， ∴ ∠ 30ABM = °. ……………………………………………………………………5 分 18．解：∵∠DAB = ∠ABC = 90°， ∴∠DAB + ∠ABC = 180°,∠3 + ∠FAD = 90°. ∴ AD∥BC.. ∴ ∠ADF = ∠BCF． ………………………………… 1 分 ∵∠AFC = 90°， ∴ ∠FAD + ∠ADF = 90°. ∴ ∠3 = ∠ADF = ∠BCF. ① …………………… 2 分 ∵BE⊥BD, ∴ ∠EBD=90°. ∴ ∠1 = ∠2. ② ………………………………………………………………… 3 分 ∵BE=BD ，③ ∴ △ABE≌△CBD. ……………………………………………………………… 4 分 ∴ AB = BC. ∴ ∠BAC = ∠ACB = 45°. ∴ ∠DAC = ∠BAD - ∠BAC = 45°. …………………………………………… 5 分 四、解答题（共 ４道小题，每小题各 5 分，共 20 分） 19．解：(1) 12. …………………………………………………………………………… 1 分 如图所示. ………………………………………………………………… 2 分 (2)42. …………………………………………………………………………3 分 （3）列表如下: …………………………………………………………………4 分 共有 20 种机会均等的结果，其中一男生一女生占 12 种， ∴ P （ 一 男 生 一 女 生 ） ＝ 12 3 20 5  . …………………………………………………5 分 男 1 男 2 男 3 女 1 女 2 男 1 男 1 男 2 男 1 男 3 男 1 女 1 男 1 女 2 男 2 男 2 男 1 男 2 男 3 男 2 女 1 男 2 女 2 男 3 男 3 男 1 男 3 男 2 男 3 女 1 男 3 女 2 女 1 女 1 男 1 女 1 男 2 女 1 男 3 女 1 女 2 女 2 女 2 男 1 女 2 男 2 女 2 男 3 女 2 女 1 即恰好抽中一男生一女生的概率为 3 5 . 20．解 ：（1）证明:如图， 连接 OA. ∵∠B=600， ∴∠AOC=2∠B=1200. …………… 1 分 ∵OA=OC, ∴∠ACP=∠CAO=300. ∴∠AOP=600. 又∵AP=AC ， ∴∠P=∠ACP=300. ∴∠OAP=900. 即 OA ⊥ AP. …………………………………………………………………………… 2 分 ∵ 点 O 在⊙O 上， ∴ AP 是 ⊙ O 的 切 线. ………………………………………………………………… 3 分 (2) 解：连接 AD. ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠CAD=900. ∴ AD=AC∙tan300= 3 .…………………………………………………………………4 分 ∵∠ADC=∠B=600， ∴∠PAD=∠ADC-∠P=300. ∴∠P=∠PAD. ∴PD=AD= 3 .…………………………5 分 21．解：(1)过点 N 作 BA 的垂线 NP，交 BA 的延长线于点 P． 由已知得，AM＝x，AN＝20-x. ∵四边形 ABCD 是等腰梯形，AB∥DC，AD＝BC， ∴∠D＝∠C＝30°. ∴∠PAN＝∠D＝30°．………………………………………1 分 在 Rt△APN 中， 1sin (20 )2PN AN PAN x    . ……………………… 2 分 即点 N 到 AB 的距离为 1 (20 )2 x ． (2)根据(1)， 21 1 1(20 ) 52 4 4AMNS AM NP x x x x     △ ．………………… 3 分 ∵ 1 04   ， ∴ 当 x＝10 时， AMNS△ 有最大值．………………………………………………… 4 分 又∵ AMNBCDNMS S S  △五边形 梯形 ，且 S梯形 为定值， ∴当 x＝10 时，五边形 BCDNM 面积最小.此时，ND＝AM＝10，AN＝AD-ND＝10， ∴AM＝AN． ∴当五边形 BCDNM 面积最小时，△AMN 为等腰三角形．…………………………… 5 分 22．解：（1）如图所示. ……………………………………… 1分 （2） 13 . …………………………………………… 2分 （3） 3 2 ab ． ………………………………………… 5分 五、解答题（共 3 道小题，第 23 题 6 分，第 24 题 7 分，第 25 题 9 分，共 22 分） 23．解：（1）由 21 1 2 2y x x  =0，得 01 x ， 2 1x  ． ∴抛物线与 x 轴的交点坐标为（0，0）、（1，0）．·································2 分 （2）当 a=1 时，得 A（1，0）、B（2，1）、C（3，3），······························· 3 分 分别过点 B、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为 E、F，则有 ABCS = AFCS△ - AEBS△ - BEFCS梯形 = 1 2 （个单位面积）…………………………………4 分 （3）如： )(3 123 yyy  ． ∵ 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2y a a a a      ，    2 2 2 1 12 2 22 2y a a a a      ，    2 2 3 1 1 9 33 32 2 2 2y a a a a      ， 又∵3（ 12 yy  ）=    2 21 1 1 13 2 22 2 2 2a a a a                 = 29 3 2 2a a ．····················································· 5 分 ∴ )(3 123 yyy  ． ··································································· 6 分 24．（1）解：如图 1，当 x= 3 5 时，设 AC 与 HE 交与点 P. 由已知易得∠ABC=∠HEC=90°. ∴tan∠PCE = tan∠ACB. ∴ 2PE AB EC BC   . ∴PE= 6 5 . …………………………………… 1 分 ∴ 1 1 6 3 9 2 2 5 5 25y EP CE       . …………… 2 分 （2）如图 2，作 DK⊥AG 于点 K. ∵CD=CE=DE=2， ∴△CDE 是等边三角形. ………………………… 3 分 ∴∠CDE=60°. ∴∠ADG=360°- 2 90°- 60°=120°. ∵AD=DG=1， ∴∠DAG=∠DGA=30°. ………………… 4 分 ∴DK= 1 2 DG= 1 2 . ∴点 D 到 AG 的距离为 1 2 . ……………………………………………………5 分 （3）如图 3， ∵α=45°， ∴∠NCE=∠NEC=45°. ∴∠CNE=90°. ∴∠DNH=90°. ∵∠D=∠H=90°， ∴四边形 MHND 是矩形. ………………6 分 ∵CN=NE，CD＝HE. ∴DN=NH. ∴矩形 MHND 是正方形. ……………………………………………………… 7 分 25．解：（1）圆心 1O 的坐标为 (2 0)， ， 1O 半径为 1， (1 0)A ， ， (3 0)B ， . …………………………………………………………1 分 二次函数 2y x bx c    的图象经过点 A B， ， 可得方程组 1 0 9 3 0 b c b c         解得： 4 3 b c     . 二次函数解析式为 2 4 3y x x    ················································2 分 （2）如图，过点 M 作 MF x 轴，垂足为 F ． OM 是 1O 的切线， M 为切点， 1O M OM  ． 在 1Rt OO M△ 中， 1 1 1 1sin 2 O MO OM OO    ， 1O OM 为锐角， 1 30O OM   ·············································4 分 1 3cos30 2 32OM OO     ， 在 Rt MOF△ 中， 3 3cos30 3 2 2OF OM    ， 1 3sin30 3 2 2MF OM    ． 点 M 坐标为 3 3 2 2       ， ······································································ 5 分 设切线OM 的函数解析式为 ( 0)y kx k  ，由题意可知 3 3 2 2 k ， 3 3k  . 切线OM 的函数解析式为 3 3y x ···················································· 6 分 （3）存在． ①如图，过点 A 作 1AP x 轴于 A，与OM 交于点 1P ． 可得 1 1Rt RtAPO MO O△ ∽ △ . 1 1 3tan tan30 3P A OA AOP    ， 1 31 3P       ， .··················································································7 分 ②过 点 A 作 2AP OM ，垂足为 2P ，过 2P 点作 2P H OA ，垂足为 H ． 可得 2 1Rt RtAP O O MO△ ∽ △ . 在 2Rt OP A△ 中， 1OA  ， 2 3cos30 2OP OA   . 在 2Rt OP H△ 中， 2 2 3 3 3cos 2 2 4OH OP AOP     ， 2 2 2 3 1 3sin 2 2 4P H OP AOP     ， 2 3 3 4 4P       ， .·················································································9 分 综上所述，符合条件的 P 点坐标有 31 3       ， ， 3 3 4 4       ，