2013年高淳区数学一模试卷及答案

南京市高淳 2013 年质量调研检测试卷(一) 九年级数学试卷（一模） 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分，在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确的 选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．2 的倒数是 A． 2 1 B． 2 1 C． 2 D． 2 2．第四届高淳国际慢城金花旅游节期间，全区共接待游客 686000 人次．将 686000 用科学 记数法表示为 A．686×104 B．68.6×105 C．6.86×105 D．6.86×106 3．右图是某个几何体的三个视图，则该几何体的形状是 A．长方体 B．正方体 C．圆柱体 D．三棱柱 4．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 A．等边三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．矩形 5．若反比例函数 y＝－1 x 与一次函数 y＝x＋b 的图像没有．．交点，则 b 的值可以是 A． 2 B．2 C．2 2 D．－2 6．如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，动点 P 从 A 点出发，以每秒 1 个单位长度的速 度沿 AB 向 B 点运动，同时动点 Q 从 B 点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 BC→CD 方向运动，当 运动到 点时， 、 两点同时停止运动．设 点运动的时间为 ， △APQ 的面积为 S，则 S 与 t 的函数关系的图象是 二、填空题（本大题 共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分，不需要写出解答过程，请把答案 直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．4 的平方根是 ▲ ． 8．函数 y＝x－1 x 中自变量 x 的取值范围是 ▲ ． A． B． C． D． 俯 视 左 视主 视 (第 3 题) (第 6 题) (第 16 题) A B C M D N B′ A′ x y A B C O (第 11 题)(第 10 题) (第 12 题) A B C OP 9．方程组      93 ,523 yx yx 的解为 ▲ ． 10．菱形 OBCA 在平面直角坐标系的位置如图所示，若 OA＝2，OC＝ 32 ，则点 B 的坐 标为 ▲ ． 11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树 AB 的高度，他调整自己的位置， 使斜边 保持水平，并且边 与点 在同一直线上．已知纸板的两条直角边 40DE cm ， 20EF cm ，测得边 离地面的高度 1.5AC m ， 8CD m ，则 ＝ ▲ ． 12．如图，A，P，B，C 是半径为 4 的⊙O 上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°，则弦 BC 的长为 ▲ ． 13．若一元二次方程 x2－(a＋2)x＋2a＝0 的一个实数根是 3，则另一个实根为 ▲ ． 14. 如图，半径为 2 的两个等圆⊙O1 与⊙O2 外切于点 P，过 O1 作⊙O2 的两条切线，切点 分别为 A、B，与⊙O1 分别交于 C、D，则弧 APB 与弧 CPD 的长度之和为 ▲ ． 15．△ABC 在如图所示的平面直角坐标系中，将△ABC 向右平移 3 个单位长度后得 △A1B1C1，再将△A1B1C1 绕点 O 旋转 180°后得到△A2B2C2 则∠AC2O＝ ▲ °． 16．如图，四边形 ABCD 是边长为 6 的正方形纸片，将其沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上 的 B′处，点 A 对应点为 A′，且 B′C＝2，则 AM 的长为 ▲ ． 三、解答题（本大题共 12 小题，共 88 分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5 分）计算：（－3）2－｜－1 2 ｜+ 12 － 9 ． 18．（6 分）化简： )2 32(42 1   aaa a ． 19．（6 分）解不等式组 1+x≥0， x 3 +1＞ x+1 2 ． A B C O1 D P O2 (第 14 题) (第 15 题) y A B C 20．（7 分）某校九年级（1）班学生进行了一周的体育毕业考试训练，下面是该班学 生训练前后的测试成绩统计图表（其中，统计图不完整）． （1）根据统计表提供的信息，补全统计图． （2）下列说法正确的是 ▲ ．（填写 所有正确说法的序号） ①训练前各成绩段中，人数最多的是 “24～26”； ②训练前后成绩的中位数所落在的成 绩段由“24～26”到了“27～29”． （3）小明说：“由统计表、统计图可知， 训练后成绩的平均数一定大于训练前成绩的平均数．”你认为他的说法正确吗？ 如果正确，请通过计算说明；如果不正确，请举例说明． 21．（7 分）已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝DC．点 E，F，G 分别在边 AB，BC，CD 上，AE＝GF＝GC． （1）求证：四边形 AEFG 是平行四边形； （2）当∠FGC＝2∠EFB 时，求证：四边形 AEFG 是矩形． 22．（7 分）在一个不透明的口袋里装有白、红两种颜色的小球，其中白球 2 只，红球 2 只， 它们除了颜色之外没有其它区别．从袋中随机地摸出 1 只球，记录下颜色后放回搅匀， 测试前 18~20 分 21~23 分 24~26 分 27~29 分 30 分 人数 6 8 9 8 5 A B CF D E G (第 21 题) 训练前成绩统计表（满分 30 分） 训练后成绩统计图（满分 30 分） 2 9 人数 成绩/分 2 4 6 8 10 18～20分 21～23分 24～26分 27～29分 30分 8 7 再摸出第二个球并记录下颜色．求两次都摸出相同颜色的球的概率． 23．（7 分）据报道，南京到高淳的轻轨将于 2015 年建成通车．通车前，客运汽车从高淳 到南京南站的路程约为 100 千米；通车后，轻轨从高淳到南京南站的路程比原来缩短 30 千米．预计，轻轨的平均速度是客运汽车的平均速度的 1.5 倍，轻轨的运行时间比 客运汽车的运行时间要缩短 40 分钟，试求出轻轨的平均速度． 24．（7 分）如图，在一笔直的海岸线上有 A、B 两个观测点，B 在 A 的正东方向，AB＝3km， 从 A 测得船 C 在北偏东 53°的方向，从 B 测得船 C 在北偏西 30°的方向，求船 C 离 海岸线的距离（精确到 0.1km）． (参考数据:sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 3≈1.73) 25．（8 分）甲、乙两车从 A 地将一批物品匀速运往 B 地，已知甲出发 0.5h 后乙开始出发， 如图，线段 OP、MN 分别表示甲、乙两车离 A 地的距离 S（km）与时间 t（h）的关 系，请结合图中的信息解决如下问题： （1）计算甲、乙两车的速度及 a 的值； （2）乙车到达 B 地后以原速立即返回． ①在图中画出乙车在返回过程中离 A (第 25 题) 4.5O S(千米) t(小时) —甲 …乙 1.5 60 a M N P (第 24 题) B C A 53° 30° 3km 北 北 地的距离 S（km）与时间 t（h）的 函数图象； ②请问甲车在离 B 地多远处与返程中的 乙车相遇? 26．（9 分）已知二次函数 y＝x2－mx＋m－2． （1）求证：无论 m 为任何实数，该二次函数的 图像与 x 轴都有两个交点； （2）若该二次函数的图像过点（－1，3）． ①求该二次函数的关系式，并写出它的顶点坐标； ②在平面直角坐标系中画出该二次函数的图像； ③直接写出，当 y＜0 时 x 的取值范围． 27．（9 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，cosA＝4 5 ．以 AB 为直径作半圆，圆心为 O， 半圆分别交 BC、AC 于点 D、E． （1）求证：CD＝BD； （2）求CE AE 的值； （3）若过点 D 的直线与⊙O 相切，且交 AB 的延长 线于点 P，交 AC 于点 Q，求CQ BP 的值． 28．（10 分）如图①，若点 P 是△ABC 内或边上一点，且∠BPC＝2∠A，则称点 P 是△ABC 内∠A 的二倍角点． （1）如图②，点 O 等边△ABC 的外心，连接 OB、OC． ①求证：点 O 是△ABC 内∠A 的一个二倍角点； ②作△BOC 的外接圆，求证：弧 BOC 上任意一点（B、C 除外）都是△ABC 内 ∠A 的二倍角点． （2）如图③，在△ABC 的边 AB 上求作一点 M，使点 M 是△ABC 内∠A 的一个二倍角 A BO P C D Q (第 27 题) E (第 26 题) 1 2 3 4 1 2 3 4 O x y －1 －1 －2 －3 －4 －2－3－4 点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，并写出作法）． （3）在任意三角形形内，是否存在一点 P 同时为该三角形内三个内角的二倍角点？ 请直接写出结论，不必说明理由． 九年级数学参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分，在每小题所给出的四个选项中，恰 有一 项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1 2 3 4 5 6 A C D B A D 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分，不需要写出解答过程，请把答案直 接填 写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．±2 8．x≠0 9．      2 3 y x 10．( 13 ， ) 11．5.5 12． 34 13．2 14．2π 15．45 16．4 3 三、解答题（本大题共 12 小题，共 88 分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文 字说明、 证明过程或演算步骤） 17．（5 分）解：原式＝9－1 2 ＋1 2 －3……………………………………………………4 分 ＝6 ………………………………………………………………………5 分 18．（6 分）解：原式＝ )2 3 2 4(42 1 2    aa a a a ……………………………………1 分 ＝ 2 1 42 1 2    a a a a ………………………………………………………3 分 ＝ )1)(1( 2 )2(2 1    aa a a a ………………………………………………5 分 (第 28 题) ② ③1 P B C A B C O B C A A ＝ )1(2 1  a ……………………………………………………………6 分 19．（6 分） 解：解不等式①得：x≥－1． …………………………………………2 分 解不等式②得：x＜3． ……………………………………………………4 分 所以，不等式组的解集是：－1≤x＜3 ……………………………………6 分 20．（7 分）解：（1）补全统计图正确 …………………………………………2 分 （2）① …………………………………………………………………………4 分 （3）不一定．理由如下： 若训练前各段成绩取最大值，则总成绩为 20×6+23×8＋26×9＋29×8＋30×5＝920； 若训练后各段成绩取最小值，则总成绩为 18×2＋21×8＋24×10＋27×9＋30×7＝897． 因训练前后参与测试的人数不变，训练后成绩的平均数可能小于训练前成绩的平均数．…7 分 21．（7 分）证明：(1)∵GF＝GC，∴∠GFC＝∠C．…………………………………………1 分 ∵在梯形 ABCD 中 AD∥BC，AB＝DC， ∴∠B＝∠C， ∴∠GFC＝∠B，………………………………………………………………………3 分 ∴AE∥GF， 又∵AE＝GF，∴四边形 AEFG 是平行四边形． …………………………………4 分 (2)设∠EFB＝ x，则∠FGC＝2 x， ∴在等腰三角形 GFC 中，∠GFC＝1 2 (180°－2x)＝90°－ x． ∴∠EFB＋∠GFC＝90° ．……………………………………………………………5 分 ∴∠EFG＝180°-（∠EFB＋∠GFC）＝180°-90°＝90° ． ∴四边形 AEFG 是矩形．………………………………………………………… ……7 分 22．（7 分）解：分别用红 1、红 2 代表 2 个红球，白 1、白 2 代表 2 个白球．根据题意， 列表如下： 红 1 红 2 白 1 白 2 红 1 （红 1，红 1） （红 1，红 2） （红 1，白 1） （红 1，白 2） 红 2 （红 2，红 1） （红 2，红 2） （红 2，白 1） （红 2，白 2） 白 1 （白 1，红 1） （白 1，红 2） （白 1，白 1） （白 1，白 2） 白 2 （白 2，红 1） （白 2，红 2） （白 2，白 1） （白 2，白 2） …………………………………………………………4 分 由表可知，可能的结果共有 16 种，且它们都是等可能的， 其中，两次都摸出相同颜色的球的情况有 8 种………………………………5 分 ∴P(两次都摸出相同颜色的球) ＝ 8 16 ＝1 2 ．…………………………7 分 23．（7 分）解：设客运汽车的平均速度是 x 千米/小时， 则轻轨的平均速度是 1.5x 千米/小时．… ……………………………………1 分 根据题意，得：100 x － 70 1.5x ＝2 3 ………………………………………………4 (第 25 题) 4.5O S(千米) t(小时) —甲 …乙 1.5 60 a M N P 6.53.5 Q (第 24 题) B C A 53° 30° 3km 北 北 分 解得：x＝80．…………………………………………………………5 分 经检验，x＝80 是原方程的解．………………………………………6 分 1.5x＝120． 答：轻轨的平均速度是 120 千米/小时．…………………………………………7 分 24．（7 分）解： 作 CD⊥AB，垂足为 D，………………………1 分 设 CD 长为 x． 由题可知，∠CAD＝37°，∠CBD＝60°． 在 Rt△ADC 中，tan 37°＝CD AD ， 即 AD＝ 75.0 x ， ……………………3 分 在 Rt△BDC 中，tan 60°＝CD BD ， 即 BD＝ 3 x ，…………………………………………4 分 ∵AD+BD=AB=3， ∴ 3 375.0  xx ， ∴ 33 3 3 4  xx ， ∴ 6.173.14 9 x 答：船 C 离海岸线的距离约为 1.6 km．…………………………………7 分 25．（8 分）解：（1）由题意可知 M(0.5，0)，线段 OP、MN 都经过（1.5，60） 甲车的速度 60÷1.5＝40 km/小时，…1 分 乙车的速度 60÷（1.5－0.5）＝60 km/小时，………………………… ……2 分 a＝40×4.5＝180 km；…………3 分 （2）①乙车在返回过程中离 A 地的距离 S（km）与时间 t（h）的函数图象 为线段 NQ．……………………………5 分 ②乙车到达 B 地，所用时间为 180÷60＝3，所以点 N 的横坐标为 3.5………6 分 此时，甲车离 A 地的距离是： 40×3.5＝140 km； 设乙车返回与甲车相遇所用时间为 t0， 则（60＋40）t0＝180－140， 解得 t0＝0.4h．60×0.4＝24 km 所以甲车在离 B 地 24 km 处与返程中 的乙车相遇．………………8 分 26．（9 分） （1）证明：∵Δ＝m²－4(m－2) ＝m²－4m＋4＋4＝(m－2)² ＋4≥4＞0， …………… 2 分 ∴x²－mx＋m－2＝0 一定有两个不等的实数解． ∴无论 m 为任何实数，该二次函数的图象与 x 轴都有两个交点；………… ………3 分 A BO P C D Q (第 27 题)（1） （2）解：①把 x＝－1，y＝3，代入 y＝x2－mx＋m－2，解得 m＝2， 则二次函数的关系式为 y＝x2－2x． …………………4 分 配方得 y＝（x－1）2－1，所以，顶点坐标为（1，－1）． ………………………5 分 ②画图正确；……………………………………………………………………………7 分 ③当 y＜0 时 x 的取值范围为 0＜x＜2．………………………………………………9 分 27．（9 分）（1）证明：连结 AD． ∵点 D 在以 AB 为直径作半圆上， ∴AD⊥BC．………………………………1 分 又∵AB＝AC，∴CD＝BD．……………2 分 （2）连结 EB． ∵点 E 在以 AB 为直径作半圆上， ∴BE⊥AC．…………………………………………………3 分 在 RtAEB 中，∵cosA＝4 5 ，∴AE AB ＝4 5 ． 设 AE＝4k，则 AB＝5k， 又∵AB＝AC， ∴CE＝AC－AE＝5k－4k＝k． ∴CE AE ＝ k 4k ＝1 4 ．………………………………5 分 （3）连结 OD． ∵CD＝BD，AO＝BO， ∴OD 是△ABC 的中位线．∴OD∥AC． ∵过点 D 的直线 PQ 与⊙O 相切， ∴OD⊥PQ．…………………………………6 分 过 B 作 BH⊥PQ，H 为垂足，∴BH∥OD∥AC． 易证△DBH≌△DCQ，∴QC＝BH．………7 分 在 Rt△PBH 中，cos∠HBP＝BH BP ， ∴BH BP= cos∠HBP＝cosA ∵cosA＝4 5 ，∴BH BP ＝4 5 ．即CQ BP ＝4 5 ．……………9 分 28．（10 分） 解：（1）①∵点 O 等边△ABC 的外心，∴∠OBC＝∠OCB＝30° ∴∠BOC＝120°， 又∵∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A 又∵点 O 在△ABC 内，∴点 O 是△ABC 内∠A 的一个二倍角点．………2 分 ②设 O′弧 BOC 上任意一点， 则∠BO′C＝∠BOC＝120°，∴∠BO′C＝2∠A， 又∵点 O′是△ABC 的内一点， ∴点 O′是△ABC 内∠A 的二倍角点．……………… 4 分 （2）如右图，作 AC 的垂直平分线交 AB 于点 M，连接 MC， A BO P C D Q (第 27 题)（2） E A BO P C D Q (第 27 题)（3） H A B C M 则点 M 为所求作的点．………………6 分 （3）ⅰ）当三角形为锐角或直角三角形时，三角形外接圆的圆心即为该三角形内三个 内角 的二倍角点； …………………………8 分 ⅱ）当三角形为钝角三角形时，不存在一点同时为该三角形内三个内角的二倍角 点．…10 分