2013年济南市市中区中考数学一模试卷及答案

山东省济南市市中区 2013 届九年级 4 月中考一模 数 学 测 试 题 注意事项： 1．本试题分第 I 卷和第 II 卷两部分．第 I 卷满分 45 分；第 II 卷满分 75 分．本试题共 10 页，满分 120 分，考试时间为 120 分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考 点、姓名、准考证号、座号填写在试卷的密封线内． 3．第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标 号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案写在试卷上无效． 4．考试期间，一律不得使用计算器；考试结束，应将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共 45 分） 一、选择题（本大题共 15 个小题．每小题 3 分，共 45 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1． 的算术平方根为 ( ) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2.据济南市旅游局统计，2012 年春节约有 359525 人来济旅游， 将这个旅游人数 (保留三 个有效数字)用科学计数法表示为 ( ) A．3.59× B．3.60× C．3.5 × D．3.6 × 3．下列运算正确的是 ( ) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4．如图，由几个小正方体组成的立体图形的左视图是 ( ) 5.已知 为锐角， ，则 = （ ） A. B. C. D. 6．下列事件中确定事件是 ( ) Ａ．掷一枚均匀的硬币，正面朝上 Ｂ．买一注福利彩票一定会中奖 Ｃ．把 4 个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有 个球 Ｄ．掷一枚六个面分别标有， ， ， ， ， 的均匀正方体骰子，骰子停止转动后奇 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 数点朝上 7．如图，把一块含有 45°角的直角三角板的两个顶点放 在直尺的对边上．如果∠1=15°，则∠2 的度数是（ ） A．30° B．55° C．55° D．60° 8.若式子 有意义，则 x 的取值范围为 （ ） A.x≥2 B.x≠3 C.x≥2 或 x≠3 D.x≥2 且 x≠3 9．已知 且 ，则 的取值范围为 ( ) Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 10.下列关于 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 11.二次函数 的图像与 图像的形状、开口方向相同，只是位置不 同，则二次函数 的顶点坐标是 （ ） A.( ) B.( ) C.( ) D.( ) 12.如图 2，点 A、B、C、D 为圆 O 的四等分点，动点 P 从圆心 O 出发， 沿 O-C-D-O 的路线作匀速运动.设运动时间为秒, ∠APB 的度数 为 y 度，则下列图象中表示 y 与 t 之间函数关系最恰当的是（ ） （图 2 ） 13．如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC．BD 的长分别为 6cm、8cm，AE⊥BC 于点 E，则 AE 的长是（ ） （第 7 题图） A. B. C . D． 14. 如图，P1 是反比例函数 在第一象限图像上的一点，点 A1 的坐标为 (2，0)．若△P1O A1 与△P2 A1 A2 均为等边三角形，则 A2 点的坐标为（ ） Ａ．2 Ｂ．2 -1 Ｃ．2 Ｄ．2 -1 15．在平面坐标系中，正方形 ABCD 的位置如 图所示，点 A 的坐标为（1，0），点 D 的坐标 为（0，2），延长 CB 交 x 轴于点 A1，作正方 形 A1B1C1C，延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作正方形 A2B2C2C1,………按这样的规律进行下去， 第 2012 个正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 注意事项： 1．第Ⅱ卷共 6 页．用蓝、黑钢笔或圆珠笔直接答在考试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．考试期间，一律不得使用计算器． 第 II 卷（非选择题 共 72 分） 二、填空题（本大题共 6 个小题．每小题 3 分，共 18 分．把答案填在 题中横线上） 16.分解因式：2 2＋4 ＋2＝ ． 17．当宽为 3cm 的刻度尺的一边与圆相切时， 另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位： cm），那 么该圆的半径为 cm． 18. 化简 的结果是_______________． 19．在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其他完全相同的球，这 a 个球中红色球只有 3 个，每 次将球摇匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱通过大量试验后发现，摸到红球的频 率稳定在 25％，那么可以推算出 a 大约是 . 20．如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，点 P 在 AD 上，PE⊥AC 于 E，PF⊥BD 于 F，则 PE+PF 等于 21. 将边长为 8cm 的正方形 ABCD 的四边沿直线 l 向右滚动(不滑动)，当正方形滚动两周时， 正方形的顶点 A 所经过的路线的长是 cm 三、解答题（本大题共 7 个小题．共 57 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22.（本题满分 7 分） (1)(3 分)计算： 得 分 评卷人 得 分 评卷人 A D B C E F P A B C (B) DA B C(D) … (A)D l （2）(4 分)解方程： . 23. （本题满分 7 分） (1) (3 分)一个人由山底爬到山顶，需先爬 的山坡 ，再爬 的山坡 ， 求山的高度（结果可保留根号）． (2) (4 分)如图，△ABC 与△ABD 中， AD 与 BC 相交于 O 点，∠1=∠2,请你添加一个条 件(不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，使 AC=BD,并给出证明. 你添加的条件是: ． 证明: 24.（本题满分 8 分） 某楼盘准备以每平方米 6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台 得 分 评卷人 后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以 每平方米 4860 元的均价开盘销售． (1)求平均每次下调的百分率； (2)某人准备以开盘价均价购买一套 100 平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案 以供选择：①打 9.8 折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米 80 元，试问哪种方案更 优惠？ 25．（本题满分 8 分） “五·一”假期，某公司组织部分员工分别到 A、B、C、D 四地旅游，公司按定额购买 了前往各地的车票.下图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列 问题： （1）若去 D 地的车票占全部车票的 10%，请求出 D 地车票的数量，并补全统计图； （2）若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、 质地完全相同且充分洗匀），那么员工小胡抽到去 A 地的概率是多少？ （3）若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有 1,2,3,4 的 正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数 字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李”.试用“列表法或画树状图” 的方法分析，这个规则对双方是否公平？ 26. (本题满分 9 分) 得 分 评卷人 x y O A B C D E M N 第 26 题图 如图，反比例函数 (x＞0)的图象经过线段 OA 的端点 A，O 为原点，作 AB⊥x 轴 于点 B，点 B 的坐标为(2，0)，tan∠AOB= . (1)求 k 的值； (2)将线段 AB 沿 x 轴正方向平移到线段 DC 的位置，反比例函数 (x＞0)的图象恰好 经过 DC 的中点 E，求直线 AE 的函数表达式； (3)若直线 AE 与 x 轴交于点 M、与 y 轴交于点 N，请你探索线段 AN 与线段 ME 的大小关 系，写出你的结论并说明理由. 得 分 评卷人 27. (本题满分 9 分) 如图 1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，D、F 分别在 AB、AC 边上， 此时 BD=CF，BD⊥CF 成立． （1）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图 2，BD=CF 成立吗？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （2）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 45°时，如图 3，延长 BD 交 CF 于点 G． 求证：BD⊥CF； (3)在(2)小题的条件下, AC 与 BG 的交点为 M， 当 AB=4，AD= 时，求线段 CM 的长． 28．（本题满分 9 分） 如图，已知直线 y=kx-6 与抛物线 y=ax2+bx+c 相交于 A，B 两点，且点 A（1，-4）为抛 物线的顶点，点 B 在 x 轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点 P，使△POB 与△POC 全等？若存 在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点 Q 是 y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点 Q 的坐标． 得 分 评卷人 数学答案 一、选择题 1.Ａ 2.B 3.Ｂ 4.Ａ 5. D 6. Ｃ 7. A 8. C 9.Ｄ 10.D 11.B 12.C 13. D 14. Ｃ 15. D 二、填空题 16． 2 17. 18. 19. 12 20. 21. 三、解答题 22.(1)原式 ………………………2 分 …………………………………………3 分 (2)解：愿方程可化为：x＝3(x－2 ) ...............4 分 x＝3 …………………………5 分 经检验 ：x＝3 是原方程的解． …………………………6 分 所以原方程的解是 x＝3 ………………………………7 分 23.(1)解；依题意，可得山高 …………1 分 ……………………2 分 ………………………3 分 所以山高为 ． (2)解:添加条件例举：AD＝BC；OC＝OD；∠C＝∠D；∠CAO＝∠DBC 等. ……4 分 证明例举（以添加条件 AD＝BC 为例）： ∵ AB=AB，∠1＝∠2，BC＝AD， ∴ △ABC≌△BAD． ……………………6 分 ∴ AC=BD． ………………………………7 分 24．解：(1)设平均每次下调的百分率 x，……………..1 分 则 6000（1－x）2＝4860．……………………………3 分 解得：x1＝0.1，x2＝1.9（舍去）．……………………5 分 (2)方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）＝9720 元………………………6 分 方案②可优惠：100×80＝8000 元．…………………….7 分 答：平均每次下调的百分率 10%，方案①更优惠．………………8 分 25．解：（1）补全图 1 分, 设 D 地车票有 x 张，则 x＝（x+20+40+30）×10% 解得 x＝10. 即 D 地车票有 10 张. …………………3 分 （2）小胡抽到去 A 地的概率为 ＝ . ……………5 分 （3）以列表法说明 小李掷得数字 小王掷得数字 1 2 3 4 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） 或者画树状图法说明（如右下图） 列表或图 6 分 由此可知，共有 16 种等可能结果.其中小王掷得数字比小李掷 得数字小的有 6 种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3）， （2，4），（3，4） ∴小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为 ＝ . 则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为 ＝ …7 分 所以这个规则对双方不公平…………………..8 分 26. 解：（1）由已知条件得，在 Rt△OAB 中，OB=2，tan∠AOB= ，∴ = ， ∴AB=3，∴A 点的坐标为（2，3）………………………………1 分 ∴k=xy=6……………………………………2 分 （2）∵DC 由 AB 平移得到，点 E 为 DC 的中点， ∴点 E 的纵坐标为 ，…………………………………3 分 又∵点 E 在双曲线 上，∴点 E 的坐标为（4， ）……………4 分 设直线 MN 的函数表达式为 y=k1x+b，则 ， 解得 ，∴直线 MN 的函数表达式为 .·…5 分 （3）结论：AN=ME………………………………………………6 分 理由：在表达式 中，令 y=0 可得 x=6，令 x=0 可得 y= ， x y O A B C D E M N 第 26 题图 F ∴点 M（6，0），N（0， ）……………………………7 分 解法一：延长 DA 交 y 轴于点 F，则 AF⊥ON，且 AF=2，OF=3， ∴NF=ON－OF= ，…………………………8 分 ∵CM=6－4=2=AF，EC= =NF， ∴Rt△ANF≌Rt△MEC， ∴AN=ME………………………………9 分 解法二：延长 DA 交 y 轴于点 F，则 AF⊥ON，且 AF=2，OF=3， ∴NF=ON－OF= ， ∴根据勾股定理可得 AN= …………………………………………8 分 ∵CM=6－4=2，EC= ∴根据勾股定理可得 EM= ∴AN=ME…………………………………………………9 分 解法三：连接 OE，延长 DA 交 y 轴于点 F，则 AF⊥ON，且 AF=2， ∵S△EOM ，S△AON ………8 分 ∴S△EOM= S△AON， ∵AN 和 ME 边上的高相等， ∴AN=ME………………………………………9 分 27.（9 分）解（1）BD=CF 成立． 理由：∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形， ∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°， ∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC， ∴∠BAD=∠CAF， 在△BAD 和△CAF 中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）． ∴BD=CF．…3 分 （2）证明：设 BG 交 AC 于点 M． ∵△BAD≌△CAF（已证）， ∴∠ABM=∠GCM． ∵∠BMA=∠CMG， ∴△BMA∽△CMG． ∴∠BGC=∠BAC=90°． ∴BD⊥CF．…6 分 (3)过点 F 作 FN⊥AC 于点 N． ∵在正方形 ADEF 中，AD=DE= ， ∴AE= =2， ∴AN=FN=AE=1． ∵在等腰直角△ABC 中，AB=4， ∴CN=AC﹣AN=3，BC= =4 ． ∴在 Rt△FCN 中，tan∠FCN= =． ∴在 Rt△ABM 中，tan∠ABM= =tan∠FCN=． ∴AM=AB=． ∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM= = ．.......9 分 28.（本小题满分 9 分） 解：（1）把 A（1，-4）代入 y=kx-6，得 k=2，∴y=2x-6，∴B（3，0）． ∵A 为顶点，∴设抛物线的解析为 y=a(x-1)2-4，解得 a=1， ∴y=(x-1)2-4=x2-2x-3 …………………………3 分 （2）存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴当∠POB=∠POC 时，△POB≌△POC， 此时 PO 平分第三象限，即 PO 的解析式为 y=-x． 设 P（m，-m），则-m=m2-2m-3，解得 m= （m= >0，舍）， ∴P（ ， ）． ………………………6 分 （3）①如图，当∠Q1AB=90°时，△DAQ1∽△DOB， ∴ ，即 ，∴DQ1= ， ∴OQ1= ，即 Q1（0， ）； ②如图，当∠Q2BA=90°时，△BOQ2∽△DOB， ∴ ，即 ， ∴OQ2= ，即 Q2（0， ）； ③如图，当∠AQ3B=90°时，作 AE⊥y 轴于 E， 则△BOQ3∽△Q3EA， ∴ ，即 ， ∴OQ3 2-4OQ3+3=0，∴OQ3=1 或 3， 即 Q3（0，-1），Q4（0，-3）． 综上，Q 点坐标为（0， ）或（0， ）或（0，-1）或（0，-3）．…… 9 分