2013年房山区初三一模数学试题与答案

房山区 2013 年初三数学综合练习（一）2013.4 考 生 须 知 1.本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分，考试时间 120 分钟。 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4.在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字 笔作答。 5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）下面各题均有四个选项，其中只有一 个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1．-3 的相反数是 A．-3 B．3 C． 3 1 D． 0.3 2．我国 2012 年末全国民用汽车保有量达到 12089 万辆，比上年末增长 14.3％. 将 12089 用科学记数法表示应为 A． 4102089.1  B． 5102089.1  C. 410089.12  D. 41012089.0  3.如图，把一块含有 30°角的直角三角板的两个顶点 放在直尺的对边上，如果∠1=20°，那么∠2 的度数为 A. 20° B. 30° C. 60° D. 40° 4.下面的几何体中，主视图为三角形的是 D.　C.　B.　A.　 5．如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，点 P 是 劣弧 CD⌒上不同于点 C 的任意一点，则∠BPC 的度数是 A．45° B．60° C．75° D．90° P O D C B A 第 5 题图 6．一个口袋中装有 4 个红球,3 个绿球,2 个黄球,每个球除颜色外其它都相同, 搅匀后随机地从中摸出一个球是绿球的概率是 A. 9 4 B. 9 2 C. 3 1 D. 3 2 ww w. 7．将二次函数 322  xxy 化成 khxy  2)( 形式，则 kh  结果为 A. 5 B. 5 C. 3 D. 3 8．如图，正方形 ABCD 的边长为 4，P 为正方形边上一动点，运动路线是 A→D→ C→B→A,设 P 点经过的路程为 x，以点 A、P、D 为顶点的三角形的面积是 y.则下 列图象能大致反映 y 与 x 的函数关系的是 二、填空题（本大题共 16 分，每小题 4 分）： 9．在函数 1y x  中，自变量 x 的取值范围是 ． 10．分解因式： 3x y xy  ． 11．如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内 M 处 的运动员林丹把球从 N 点击到了对方场内的点 B， 已知网高 OA=1.52 米，OB=4 米，OM=5 米，则林 丹起跳后击球点 N 离地面的距离 MN= 米． 12．如图，在平面直角坐标系中，以原点 O 为圆 心的同心圆半径由内向外依次为 1，2，3，4，…， 同心圆与直线 y x 和 y x  分别交于 1A ， 2A ， 3A ， 4A ，…，则点 31A 的坐标是 ． 第 8 题图 第11题图 N MO A B 第 12 题图 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13. 计算： 10 2 1 2 312            +tan60. 14. 解分式方程： 11 3 1  xx x ． 15．已知 a 是关于 x 的方程 2 4 0x   的解，求代数式    711 2  aaaa 的值． 16．如图，点 C、B、E 在同一条直线上， AB∥DE ∠ACB=∠CDE，AC=CD． 求证：AB=CD ． 17．如图，反比例函数 xy 3 的图象与一次函数 bkxy  的图象交于 A(m,3)、 B(-3,n)两点． （1）求一次函数的解析式及 AOB 的面积； （2）若点 P 是坐标轴上的一点，且满足 PAB 的面积等于 AOB 的面积的 2 倍， 直接写出点 P 的坐标． （第 17 题图） 18. 列方程（组）解应用题： 2013 年 3 月 5 日“全国人民代表大会”和“政协全国委员会”在北京召开．从某 地到北京，若乘飞机需要 3 小时，若乘汽车需要 9 小时．这两种交通工具平均每 小时二氧化碳的排放量之和为 70 千克，飞机全程二氧化碳的排放总量比汽车全 程二氧化碳的排放总量多 54 千克，求飞机和汽车平均每小时二氧化碳的排放量． E D C B A 第 16 题图图 四、解答题（本题共 20 题，每小题 5 分）： 19.一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长 线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求 CD 的长． 20. 如图，BC 为半⊙O 的直径，点 A，E 是半圆周上的三等分点， AD BC ，垂足为 D， 联结 BE 交 AD 于 F，过 A 作 AG ∥BE 交 CB 的延长线于 G． （1）判断直线 AG 与⊙O 的位置关系，并说明理由． （2）若直径 BC=2，求线段 AF 的长． 21. 吸烟有害健康！为配合“禁烟”行动，某校组织同学们在我区某社区开展了 “你支持哪种戒烟方式”的问卷调查，征求居民意见，并将调查结果整理后制成 了如下统计图： 根据统计图解答： (1) 同学们一共随机调查了多少人? (2) 请你把统计图补充完整； (3)假定该社区有 1 万人，请估计该地区支持“警示戒烟”这种方式大约有多 少人? 第 19 题图 第 20 题图 F D G E A O B C （第 21 题图） 22.已知，矩形纸片 ABCD 中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行操作： 图③ 图② 图① H G C H G C D C A B B B E E M N E M N 如图①，在线段 AD 上任意取一点 E，沿 EB，EC 剪下一个三角形纸片 EBC(余 下部分不再使用)； 如图②，沿三角形 EBC 的中位线 GH 将纸片剪成两部分，并在线段 GH 上任意 取一点 M，线段 BC 上任意取一点 N，沿 MN 将梯形纸片 GBCH 剪成两部分； 如图③，将 MN 左侧纸片绕 G 点按顺时针方向旋转 180°，使线段 GB 与 GE 重合，将 MN 右侧纸片绕 H 点按逆时针方向旋转 180°，使线段 HC 与 HE 重合， 拼成一个与三角形纸片 EBC 面积相等的四边形纸片． (注：裁剪和拼图过程均无 缝且不重叠) （1）通过操作，最后拼成的四边形为 （2）拼成的这个四边形的周长的最小值为_______________________________cm, 最大值为___________________________cm． 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）： 23.已知，抛物线 2y x bx c    ，当 1＜x＜5 时，y 值为正；当 x＜1 或x＞5 时， y 值为负. （1）求抛物线的解析式. （2）若直线 y kx b  （k≠0）与抛物线交于点 A（ 3 2 ，m）和 B（4，n），求直线 的解析式. （3）设平行于 y 轴的直线 x=t 和 x=t+2 分别交线段 AB 于 E、F，交二次函数于 H、G. ①求 t 的取值范围 ②是否存在适当的 t 值，使得 EFGH 是平行四边形？若存在，求出 t 值；若 不存在，请说明理由. 24（1）如图 1，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且 B、C、D 三点共线，联结 AD、BE 相交于点 P，求证： BE = AD. （2）如图 2，在△BCD 中，∠BCD＜120°，分别以 BC、CD 和 BD 为边在△BCD 外部作等 边三角形 ABC、等边三角形 CDE 和等边三角形 BDF，联结 AD、BE 和 CF 交于点 P，下列 结论中正确的是 （只填序号即可） ①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°； （3）如图 2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE. 25. 已知：半径为 1 的⊙O1 与 x 轴交 A 、 B 两点，圆心 O1 的坐标为（2, 0)，二 次函数 2y x bx c    的图象经过 A 、 B 两点，与 y 轴交于点C （1）求这个二次函数的解析式； （2）经过坐标原点 O 的直线l 与⊙O1 相切，求直线l 的解析式； （3）若 M 为二次函数 2y x bx c    的图象上一点，且横坐标为 2，点 P 是 x 轴 上的任意一点，分别联结 BC 、 BM ．试判断 PC PM 与 BC BM 的大小关系，并说明理由. w w w . （第 25 题图） 第 24 题图 1 第 24 题图 2 初三数学综合练习（一）参考答案及评分标准 一、选择题： 1.B ； 2.A ； 3.D ； 4.C ； 5.A ； 6.C ； 7.D ； 8.B . 二、填空题： 9. x≥ 1 ； 10. ( 1)( 1)xy x x  ； 11.3.42 ； 12.（ 24,24  ）. 三、解答题： 13．解： 10 2 1 2 312            +tan60. = 32132  --------------------------------------------------------4 分 = 333  --------------------------------------------------------5 分 14．解分式方程 11 3 1  xx x ． 解：去分母,得：       11131  xxxxx -----------------------1 分 整理得 ： 42  x . ---------------------------------------2 分 解得： 2x ---------------------------------------3 分 经检验 2x 是原方程的解. ----------------------------------------4 分 ∴ 原方程的解是 2x . -------------------------------------5 分 15．解法一: ∵a 是关于 x 的方程 2 4 0x   的解 ∴ 42 a . -------------------------------------------1分 ∵    711 2  aaaa = 712 22  aaaaa --------------------------------------------3 分 = 62 2 a --------------------------------------------4 分 当 42 a 时，原式= 2 ---------------------------------------------5 分 解法二:     711 2  aaaa = 712 22  aaaaa -----------------------------------------2 分 = 62 2 a -------------------------------------3 分 ∵a 是关于 x 的方程 2 4 0x   的解 ∴ 2a 或 2a -----------------------------------------------------------4 分 当 2a 时， 原式=2 -----------------------------------------------------------5分 16. 证明：∵AB∥DE ∴∠ABC=∠E ------------------------------1 分 ∵∠ACB=∠CDE，AC=CD -------------------------------------------3 分 ∴△ABC≌△CED -------------------------4 分 ∴AB=CD --------------------------5 分 17．解： （1）∵反比例函数 xy 3 的图象与一次函数 bkxy  的 图象交于 A(m,3)、B(-3,n)两点 ∴m=1,n=-1， ∴A(1,3)、 B(-3,-1) -------------------------------1 分 ∴所求一次函数的解析式为 y=x+2 ------------------2 分 ∵直线 y=x+2 与 x 轴、y 轴的交点坐标为（-2,0）、（0,2） ∴ AOB 的面积= 4)31(22 1  --------------------------------------------------3 分 （2）P 1 （-6，0）、P 2 （0，6）、 )0,2(3p 、 )2,0(4 p -------------------------5 分 18．解法一： 设飞机和坐汽车每小时的二氧化碳排放量分别是 x 千克和y 千克. -------1 分 根据题意，得 70, 3 9 54. x y x y      ---------------------------------------------------2 分 解得： 57, 13. x y    -------------------------------------------------4 分 答: 飞机和汽车每小时的二氧化碳排放量分别是 57 千克和 13 千克. ---5 分 解法二： 设汽车每小时的二氧化碳排放量是 x 千克，则飞机每小时的二氧化碳排放量 是(70- x )千克 -------------------------------------------------------1 分 根据题意,得 3(70- x )-9 x =54 ----------------------------------------------------2 分 解得：x =13 -------------------------------------------------------3 分 70- x =57 ------------------------------------------------------4 分 答: 飞机和汽车每小时的二氧化碳排放量分别是 57 千克和 13 千克. -------5 分 19.解：过点 B 作 BM⊥FD 于点 M． ----------------------------------------1 分 在△ACB 中，∠ACB=90°, ∠A=60°,AC=10, ∴∠ABC=30°, BC=AC tan60°=10 3 , -------------------------------------2 分 ∵AB∥CF，∴∠BCM=30°． ∴ 1sin30 10 3 5 32BM BC      ---------------------------------------3 分 3cos30 10 3 152CM BC      -------4 分 在△EFD 中，∠F=90°, ∠E=45°, ∴∠EDF=45°, ∴ 5 3MD BM  ．ww w. ∴ 15 5 3CD CM MD    ． --------------------------------------------5 分 20. 解：（1）直线 AG 与⊙O 相切. --------------------------------------------------1 分 证明：连接 OA，∵点 A，E 是半圆周上的三等分点， ∴弧 BA、AE、EC 相等，∴点 A 是弧 BE 的中点， ∴OA⊥BE． 又∵AG∥BE，∴OA⊥AG． ∴直线 AG 与⊙O 相切． ------------ -----------------------------2 分 （2）∵点 A，E 是半圆周上的三等分点， ∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°． 又 OA=OB，∴△ABO 为正三角形． ---------------------------------3 分 又 AD⊥OB，OB=1， ∴BD=OD= 1 2 ， AD= 3 2 ． ------------------------------------------4 分 又∠EBC= 1 2 EOC =30°， 在 Rt△FBD 中， FD=BDtan∠EBC= BD tan30°= 3 6 ， ∴AF=AD DF= 3 2 - 3 6 = 3 3 --------------------------------------------5 分 A B C E D F G O 21.解：(1) 300；--------------------1 分 (2) 如图所示----------------3 分 (3) 3500------------------ ---5 分 22. （1）平行四边形；-----------------------------1 分 （2）拼成的平行四边形上下两条边的长度等于原来矩形的边 AD=6，左右 两边的长等于线段 MN 的长， 当 MN 垂直于 BC 时，其长度最短，等于原来矩形的边 AB 的一半，等于 4， 于是这个平行四边形的周长的最小值为 2（6+4）=20；----------------------------3 分 当点 E 与点 A 重合，点 M 与点 G 重合，点 N 与点 C 重合时，线段 MN 最 长，等于 2 24 +6 =2 13 ，此时，这个四边形的周长最大， 其值为 2（6+2 13 ）=12+ 4 13 . ----------------------------------------5 分 24.(1)证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形 ∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60° ∴∠BCE=∠ACD ∴△BCE≌△ACD（SAS） ∴BE=AD --------------1 分 （2）①②③都正确 --------------4 分 （3）证明：在 PE 上截取 PM=PC，联结 CM 由（1）可知，△BCE≌△ACD（SAS） ∴∠1=∠2 设 CD 与 BE 交于点 G,,在△CGE 和△PGD 中 ∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD ∴∠DPG=∠ECG=60°同理∠CPE=60° ∴△CPM 是等边三角形--------------5 分 ∴CP=CM，∠PMC=60° ∴∠CPD=∠CME=120° ∵∠1=∠2,∴△CPD≌△CME（AAS）---6 分 ∴PD=ME ∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD. -------7 分 即 PB+PC+PD=BE. 23.解： （1）根据题意，抛物线 2y x bx c    与 x 轴交点为（1,0）和（5,0）----1 分 ∴ 1 0 25 5 0 b c b c         ，解得 6 5 b c     . ∴抛物线的解析式为 2 6 5y x x    . --------------------2 分 （2）∵ 2 6 5y x x    的图象过 A（ 3 2 ，m）和 B（4，n）两点 ∴ m= 7 4 ，n=3 ， ∴A（ 3 2 ， 7 4 ）和 B（4，3） ------------ 3 分 ∵直线 y kx b  （k≠0）过 A（ 3 2 ， 7 4 ）和 B（4，3）两点 ∴ 3 7 2 4 4 3 k b k b       ，解得 1 2 1 k b     . ∴直线的解析式为 1 12y x  . -------------------4 分 （3）①根据题意 3 2 2 4 t t    ＞ ＜ ，解得 3 2  t 2 -------------------5 分 ②根据题意 E（t， 1 t 12  ），F（t+2， 1 t 22  ） H（t， 2t 6t 5   ），G（t+2， 2t 2t 3   ）， ∴EH= 2 11t t 62    ，FG= 2 3t t 12    . 若 EFGH 是平行四边形，则 EH=FG，即 2 11t t 62    = 2 3t t 12    解得 t= 7 4 ， - ---------------------6 分 ∵t= 7 4 满足 3 2  t 2. ∴存在适当的 t 值，且 t= 7 4 使得 EFGH 是平行四边形.----------7 分 25.解：（1）由题意可知 (1,0), (3,0)A B ------------------------- 1 分 因为二次函数 2y ax bx c   的图象经过点 A ， B 两点 ∴ 1 9 3 b c b c      解得： 4 3 b c     ∴二次函数的解析式 2 4 3y x x    --------------------------2 分 （2）如图，设直线l 与⊙O 相切于点 E，∴O1E⊥l ∵O1O=2, O1E=1 ，∴ 3OE  过点 E 作 EH⊥ x 轴于点 H ∴ 3 2EH  , 3 2OH  ∴ 3 3( , )2 2E ,∴l 的解析式为： 3 3y x ----------------3 分 根据对称性，满足条件的另一条直线l 的解析式为： 3 3y x  -----4 分 ∴所求直线l 的解析式为： 3 3y x 或 3 3y x  （3）结论： PC PM BC BM   -----5 分 理由：∵ M 为二次函数 2y x bx c    的图象上一点 且横坐标为 2， ∴ (2,1)M 1 当点 P与点B 重合时， 有 PC PM BC BM   ---------------6 分 ②当 P点 异于点B时 ， ∵直线 BM 经过点 (3,0)B 、 (2,1)M ， ∴直线 BM 的解析式为 3y x   ∵直线 BM 与 y 轴相交于点 F 的坐标为 (0,3)F ∴ (0,3) (0, 3)F C 与 关于 x 轴对称 联结结 PF ， ∴ BC BF ， PF PC -------------------7 分 ∴ BC BM BF BM MF    ， PF PM PC PM   ∵在 FPM 中，有 PF PM FM  ∴ PMPC  BMBF  综上所述：PC PM BC BM   ------------------------------------8 分