江苏省扬州市宝应县曹甸中学 2014-2015 学年第一学期期中模拟
九年级数学试卷
一、选择题 24 分
1．下列方程中有实数根的是（ ）
A． 022 xx B． 022 xx
C． 012 xx D． 032 xx
考点：根的判别式． .
分析：根据题意对各选项进行逐一分析即可．
解答：解：A、∵△=12﹣8=﹣7＜0，∴此方程无实数根，故本选项错误；
B、∵△=（﹣1）2﹣8=﹣7＜0，∴此方程无实数根，故本选项错误；
C、∵△=（﹣1）2+4=5＞0，∴此方程有实数根，故本选项正确；
D、∵△=（﹣1）2﹣12=﹣11＜0，∴此方程无实数根，故本选项错误．
故选 C．
点评：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）中的根与△的关系是解答此题的
关键．
2.若 是方程 的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
考点：根与系数的关系． .
分析：由一元二次方程根与系数的关系：得到 3+另一个根=5，由此得出答案即可．
解答：解：由根与系数的关系，设另一个根为 x，
则 3+x=5，
即 x=2．
故选：B．
3、如图 1，从圆O 外一点 P 引圆O 的两条切线 PA PB， ，切点分别为 A B， ．如果 60APB ， 8PA ，
那么弦 AB 的长是 （ ）
A．4 B．8 C． 4 3 D．8 3
考点：切线长定理；等边三角形的判定与性质． .
专题：压轴题．
分析：根据切线长定理知 PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB 是等边三角形，由此求得弦 AB 的长．
解答：解：∵PA、PB 都是⊙O 的切线，
∴PA=PB，
又∵∠P=60°，
∴△PAB 是等边三角形，即 AB=PA=8，
故选 B．
点评：此题主要考查的是切线长定理以及等边三角形的判定．
4．如图，□ABCD 的顶点 A、B、D 在⊙O 上，顶点 C 在⊙O 的直径 BE 上，∠ADC＝70°，连接 AE，则
∠AEB 的度数为 （ ）
A．20° B．24° C．25° D．26°
考点：圆周角定理；平行四边形的性质． .
P
B
A
O
图 3
（第 4 题）
A
B C
D
O E
专题：计算题．
分析：根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠ADC=70°，再根据圆周角定理的推论由 BE 为⊙O 的直径得到
∠BAE=90°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠AEB 的度数．
解答：解：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=70°，
∵BE 为⊙O 的直径，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEB=90°﹣∠ABC=20°．
故选 A．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆
心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了平行四
边形的性质．
5.甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均环数 及方差 如下表所示：
若要选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
考点：方差；算术平均数． .
专题：分类讨论．
分析：先比较平均数，乙丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答．
解答：解：由图可知，乙、丙的平均成绩好，
由于 S2 乙＜S2 丙，故丙的方差大，波动大．
故选 B．
点评：本题考查方差的定义与意义：一般地设 n 个数据，x1，x2，…xn 的平均数为 ，则方差 S2= [（x1﹣ ）
2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2
]
，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
6．如图，圆锥的底面半径 OB＝6cm，高 OC＝8cm，则这个圆锥的侧面积是
A．30 2cm B．30π 2cm C．60π 2cm D．48π 2cm
考点：圆锥的计算；勾股定理． .
分析：首先根据底面半径 OB=6cm，高 OC=8cm，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可．
解答：解：∵它的底面半径 OB=6cm，高 OC=8cm．
∴BC= =10（cm），
∴这个圆锥漏斗的侧面积是：πrl=π×6×10=60π（cm2）．
故选：C．
点评：此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键．
甲 乙 丙 丁
A B
C
O
（第 6 题）
7.如图，⊙O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点 Q，则
PQ 的最小值为
A． 13 B． 5 C．3 D．5
考点：切线的性质． .
专题：压轴题．
分析：因为 PQ 为切线，所以△OPQ 是 Rt△．又 OQ 为定值，所以当 OP 最小时，PQ 最小．根据垂线段
最短，知 OP=3 时 PQ 最小．根据勾股定理得出结论即可．
解答：
解：∵PQ 切⊙O 于点 Q，
∴∠OQP=90°，
∴PQ2=OP2﹣OQ2，
而 OQ=2，
∴PQ2=OP2﹣4，即 PQ= ，
当 OP 最小时，PQ 最小，
∵点 O 到直线 l 的距离为 3，
∴OP 的最小值为 3，
∴PQ 的最小值为 = ．
故选 B．
点评：此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定 PQ 最小时点 P 的位置是解题的关键，
难度中等偏上．
8．如图，在扇形纸片 AOB 中，OA =10，AOB=36，OB 在直线 l 上．将此扇形沿 l 按顺时针方向旋转(旋
转过程中无滑动)，当 OA 落在 l 上时，停止旋转．则点 O 所经过的路线长为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．10 5 5 5
考点：弧长的计算；三角形的面积；旋转的性质． .
专题：计算题；压轴题．
分析：点 O 所经过的路线是 2 段弧和一条线段，一段是以点 B 为圆心，10 为半径，圆心角为 90°的弧，另
一段是一条线段，和弧 AB 一样长的线段，最后一段是以点 A 为圆心，10 为半径，圆心角为 90°的弧，从
而得出答案．
解答：解：点 O 所经过的路线长= + +
= =12π．
故选 A．
第 7 题
二、填空题 30 分
9．如果一组数据 －2，0，3，5，x 的极差是 9，那么 x 的值是 ．
考点：极差． .
分析：根据极差的定义，分两种情况：x 为最大值或最小值时分别列式计算即可．
解答：解：∵数据﹣2，0，3，5，x 的极差是 9，
∴当 x 为最大值时，x﹣（﹣2）=9，解得 x=7，
当 x 是最小值时，5﹣x=9，解得：x=﹣4；
故答案为：﹣4 或 7．
点评：此题主要考查了极差的定义，正确理解极差的定义，列出算式是本题的关键，注意应该分两种情况
讨论．
10． 关于 x 的一元二次方程(a－1)x2＋x＋|a|－1＝0 的一个根是 0，则实数 a 的值是 .
考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义． .
分析：已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出 a 的值．
解答：解：∵关于 x 的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0 的一个根是 0，
∴|a|﹣1=0，
即 a=±1，
∵a﹣1≠0
∴a=﹣1，
故答案为：﹣1．
点评：此题主要考查了方程解的定义，所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值．
11.方程 x2﹣9x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 。
考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质． .
专题：计算题；分类讨论．
分析：求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边是 3，3，6 时，②当等腰三角形的三边是
3，6，6 时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可．
解答：解：x2﹣9x+18=0，
∴（x﹣3）（x﹣6）=0，
∴x﹣3=0，x﹣6=0，
∴x1=3，x2=6，
当等腰三角形的三边是 3，3，6 时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，
∴此时不能组成三角形，
当等腰三角形的三边是 3，6，6 时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是 3+6+6=15，
故答案为：15．
点评：本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，等腰三角形的性质的应用，关键是确定三角
形的三边的长度，用的数学思想是分类讨论思想．
12．如右图，一圆与平面直角坐标系中的 x 轴切于点 A(8，0)，与 y 轴交于点 B(0，4)，C(0，16)，则该圆
的直径为 ．
考点：坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理． .
分析：过圆心 O′作 y 轴的垂线，垂足为 D，连接 O′A，由垂径定理可知，D 为 BC 中点，BC=16﹣4=12，
OD=6+4=10，由切线性质可知，O′A⊥x 轴，四边形 OAO′D 为矩形，半径 O′A=OD=10，故可求得圆的直
径．
解答：解：过圆心 O′作 y 轴的垂线，垂足为 D，连接 O′A，
∵O′D⊥BC，
∴D 为 BC 中点，
∴BC=16﹣4=12，OD=6+4=10，
∵⊙O′与 x 轴相切，
∴O′A⊥x 轴，
∴四边形 OAO′D 为矩形，
半径 O′A=OD=10，
∴直径是 20．
故本题答案为：20．
点评：求某一点的坐标可以过这一点向 x 轴，y 轴作垂线，求这个矩形的长宽，根据点的象限确定点的坐
标，由于圆与 x 轴相切，O′A 恰好是半径．
13.如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它
们外缘边上的公共点 P 在小量角器上对应的度数为 65°，那么在大量角器上对应的度数为__________°（只
需写出 0°～ 90°的角度）。
考点：圆周角定理． .
专题：压轴题．
分析：依题意，设大量角器的左端点为 A，小量角器的圆心为 B．利用三角形的内角和定理求出∠PAB 的
度数．然后根据圆的知识可求出大量角器上对应不度数．
解答：解：设大量角器的左端点是 A，小量角器的圆心是 B，连接 AP，BP，则∠APB=90°，∠ABP=65°，
因而∠PAB=90°﹣65°=25°，在大量角器中弧 PB 所对的圆心角是 50°，因而 P 在大量角器上对应的度数为
50°．
故答案为：50．
点评：本题主要考查了直径所对的圆周角是 90 度．能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．
14.设 a、b 是方程 x2+x-2014=0 的两个不等的根，则 a2+2a+b 的值为 ．
考点：根与系数的关系． .
分析：由方程的解的定义求得 a2+a=2014，由根与系数的关系求得 a+b=﹣1，然后将其代入所求的代数式
进行解题．
解答：解：∵a、b 是方程 x2+x﹣2014=0 的两个不等的根，
∴a2+a=2014，a+b=﹣1，
∴a2+2a+b=a2+a+a+b=2014﹣1=2013．
故答案是：2013．
点评：本题考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系．把方程的解代入原方程，等式的两边相等．
15. 已知实数 a、b 满足等式 8)2)(( 2222 baba ，则 a2+b2= .
考点：换元法解一元二次方程． .
分析：将 a2+b2 看作一个整体，然后用换元法解方程即可．
解答：解：设 a2+b2=x，则有：
x（x﹣2）=8
x2﹣2x﹣8=0，
（x+2）（x﹣4）=0
解得 x1=﹣2，x2=4；
∵a2+b2≥0，
故 a2+b2=x2=4；
点评：本题的关键是把 a2+b2 看成一个整体来计算，即换元法思想．
16．一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为 10cm 的圆盘，如图所示，AB 与 CD
是平行的，且水平，BC 与水平面的夹角为 60°，其中 AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，则该小朋友将圆盘从
A 点滚动到 D 点其圆心所经过的路线的长度为 ．
考点：弧长的计算． .
专题：应用题；压轴题．
分析：A 点滚动到 D 点其圆心所经过的路线在点 B 处少走了一段，在点 C 处又多求了一段弧长，所以 A
点滚动到 D 点其圆心所经过的路线=（60+40+40）﹣ + = cm．
解答：解：A 点滚动到 D 点其圆心所经过的路线=（60+40+40）﹣ +
= cm．
点评：本题的关键是弄明白圆中心所走的路线是由哪几段组成的．
17．在矩形 ABCD 中，已知 AB=2cm，BC=4cm，现有一根长为 2cm 的木棒 EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始
终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的图形的面积
为 cm2．
A
B
（第 17 题图）
D
C
E
F
·P
考点：直角三角形斜边上的中线；扇形面积的计算；轨迹． .
分析：连接 BP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 BP= EF，然后判断出点 P 在运动过
程中所围成的图形的面积为长方形的面积减去四个扇形的面积，列式计算即可得解．
解答：解：如图，∵P 是 EF 的中点，
∴BP= EF= ×2=1cm，
∵AB=2，
∴点 P 在运动过程中所围成的图形的面积为长方形的面积减去四个扇形的面积，：
又∵四个扇形的面积正好等于一个相同半径的圆的面积，
∴4×2﹣π•12=（8﹣π）cm2．
故答案为：（8﹣π）．
点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，扇形面积的计算，轨迹，判断出点的
P 运动的轨迹和所组成的图形的面积组成是解题的关键．
18、我们知道，一元二次方程 2 1x 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于 1 .若我们规定一个新
数“ i ”,使其满足 2 1i （即方程 2 1x 有一个根为 i ）。并且进一步规定：一切实数可以与新数进行
四 则 运 算 ， 且 原 有 运 算 律 和 运 算 法 则 仍 然 成 立 ， 于 是 有
,1)1()(1 22242321 iiiiiiiii ，，， 从 而 对 于 任 意 正 整 数 n , 我 们 可 以 得 到
4 1 4 4 nn ni i i i i i , 同 理 可 得 4 2 1ni , 4 3ni i , 4 1ni . 那 么
20142013432 iiiiii 的值为 。
考点：解一元二次方程-直接开平方法． .
专题：新定义．
分析：i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1，从而可得 4
次一循环，一个循环内的和为 0，计算即可．
解答：
解：由题意得，i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1，
故可发现 4 次一循环，一个循环内的和为 0，
∵ =503…2，
∴i+i2+i3+i4+…+i2013+i2014=i﹣1．
故答案是：i﹣1．
点评：本题考查了实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的
和再计算，有一定难度．
三、解答题
19.解方程（每小题 4 分，共 8 分）
⑴ 122 xx ; (配方法) ⑵ 0)3(2)3( 2 xx
考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法． .
AA1
CBO
y
x5
1
3
2
第 21 题图
专题：计算题．
分析：（1）方程两边加上 1 变形后，开方即可求出解；
（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求
解．解答：
解：（1）配方得：x2﹣2x+1=2，
即（x﹣1）2=2，
开方得：x﹣1=± ，
解得：x1=1+ ，x2=1﹣ ；
（2）分解因式得：（x+3）（x+3﹣2）=0，
可得 x+3=0 或 x+1=0，
解得：x1=﹣3，x2=﹣1．
点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
20．（8 分）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了 5 箭，他们的总成绩（单
位：环）相同，小宇根据他们的成绩计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
甲、乙两人射箭成绩统计表
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次
甲成绩 9 4 7 4 6
乙成绩 7 5 7 a 7
（1）求 a 和乙的方差 S 乙；
（2）请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
考点：方差；算术平均数． .
分析：（1）根据总成绩相同可以求得 a 的值，然后求得平均数，利用方差的公式进行计算即可；
（2）因平均数相同，故谁的方差小谁就更稳定，谁就会被选中．
解答：解：（1）∵ 乙= （7+5+7+a+7）=6，
∴a=4；
S2 乙= [（7﹣6）2+（5﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2
]
=1.6；
（2）因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，
所以乙将被选中．
点评：本题考查了方差及算术平均数的知识，解决本题的关键是熟记方差的计算公式及意义．
21．（本题满分 8 分）如图，在平面直角坐标系中，以 A(5，1)为圆心，2 个单位长度为半径的⊙A 交 x 轴
于点 B、C．解答下列问题：
（1）将⊙A 向左平移 个单位长度与 y 轴首次．．
相切，得到⊙A1．此时点 A1 的坐标为 ，
阴影部分的面积 S＝ ；
（2）求 BC 的长．
考点：直线与圆的位置关系；坐标与图形性质． .
分析：（1）根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，知点 A′的坐标是（2，1），从而求得
移动的距离；阴影部分的面积即为底 3、高 2 的平行四边形的面积；
（2）连接 AC，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D．根据垂径定理和勾股定理进行计算．
解答：解：（1）根据直线和圆相切的位置关系与数量之间的联系，得点 A′的坐标是（2，1）；
则移动的距离是 5﹣2=3；
根据平移变换的性质，则阴影部分的面积即为图中平行四边形的面积=2×3=6；
（2）如图，连接 AC，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
则 BC=2DC．由 A（5，1）可得 AD=1．
又∵半径 AC=2，
∴在 Rt△ADC 中，
DC= = = ，
∴BC=2 ．
故答案为 3，（2，1），6．
点评：本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，平移变换、垂径定理和勾股定理，难度适中．
22．（本题满分 8）已知关于 x 的方程 024102 axx ．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求 a 的范围；
（2）在（1）的条件下，当 a 取满足条件的最小整数，求此时方程的解．
考点：根的判别式；解一元二次方程-因式分解法． .
分析：（1）先根据方程有两个不相等的实数根可知△＞0，求出 a 的取值范围即可；
（2）根据（1）中 a 的取值范围得出 a 的最小整数解，代入原方程求出 x 的值即可．
解答：解：（1）∵关于 x 的方程 x2+10x+24﹣a=0 有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=100﹣4（24﹣a）＞0，解得 a＞﹣1；
（2）∵a＞﹣1，
∴a 的最小整数解为 a=0，
∴此时方程为 x2+10x+24=0
解得：x1=﹣4，x2=﹣6．
点评：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）中，当△＞0 时，方程有两个不相
等的两个实数根是解答此题的关键．
23.（本题满分 10 分）
小林准备进行如下操作实验：把一根长为 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于 ，小林该怎么剪？
（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能．．．等于 ．”他的说法对吗？请说明理由．
考点：一元二次方程的应用． .
专题：几何图形问题．
分析：（1）利用正方形的性质表示出边长进而得出等式求出即可；
（2）利用正方形的性质表示出边长进而得出等式，进而利用根的判别式求出即可．
解答：解：设剪成的较短的这段为 xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，
由题意，得（ ）2+（ ）2=52；
解得：x1=16，x2=24，
当 x=16 时，较长的为 40﹣16=24cm，当 x=24 时，较长的为 40﹣24=16＜24（舍去）
∴较短的这段为 16cm，较长的这段就为 24cm；
（2）设剪成的较短的这段为 mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，
由题意得：（ ）2+（ ）2=44，
变形为：m2﹣40m+448=0，
∵△=﹣192＜0，∴原方程无解，
∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于 44cm2．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据正方形的性质表示出正方形的边长是解题关键．
24．（本题共 10 分）如图⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC＝45°，AD 是⊙O 的切线交 BC 的延长线于 D，
AB 交 OC 于 E。(1)求证：AD∥OC
(2)若 AE=2 5 CE=2. 求⊙O 的半径和线段 BE 的长。
考点：切线的性质． .
专题：证明题．
分析：（1）连结 OA，根据切线的性质得到 OA⊥AD，再根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，然后
根据平行线的判定即可得到结论；
（2）设⊙O 的半径为 R，则 OA=R，OE=R﹣2，AE=2 ，在 Rt△OAE 中根据勾股定理可计算出 R=4；
作 OH⊥AB 于 H，根据垂径定理得 AH=BH，再利用面积法计算出 OH= ，然后根据勾股定理计算出
AH= ，则 HE=AE﹣AH=2 ﹣ = ，再利用 BE=BH﹣HE 进行计算．
解答：（1）证明：连结 OA，如图，
∵AD 是⊙O 的切线，
∴OA⊥AD，
∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，
∴OA⊥OC，
∴AD∥OC；
（2）解：设⊙O 的半径为 R，则 OA=R，OE=R﹣2，AE=2 ，
在 Rt△OAE 中，∵AO2+OE2=AE2，
_O _E
_D
_C
_B
_A
∴R2+（R﹣2）2=（2 ）2，解得 R=4，
作 OH⊥AB 于 H，如图，OE=OC﹣CE=4﹣2=2，
则 AH=BH，
∵ OH•AE= •OE•OA，
∴OH= = = ，
在 Rt△AOH 中，AH= = ，
∴HE=AE﹣AH=2 ﹣ =
∴BH= ，
∴BE=BH﹣HE= ﹣ = ．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切
点．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理．
25．（本题满分 10 分）
某市的特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中属于菌类的一种猴头菇远销国外，上市时，有一外
商按市场价格 10 元/千克收购了 2000 千克猴头菇存入冷库中，据预测，猴头菇的市场价格每天每千克上涨
0.5 元，但冷库存放这批猴 头菇时每天需要支出各种费用合计 220 元，而且这种猴头菇在冷库中最多能保
存 130 天，同时，平均每天有 6 千克的猴头菇损坏不能出售．
（1 ）若外 商要将这批 猴头菇存放 x 天后一 次性出售， 则 x 天后这 批猴头菇的 销售单价为
元，销售量是 千克（用含 x 的代数式表示）；
（2）如果这位外商想获得利润 24000 元，需将这批猴头菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额―
收购成本―各种费用）
考点：一元二次方程的应用． .
专题：销售问题．
分析：（1）根据猴头菇的销售单价市场价格+0.5×存放天数和销售量=原购入量﹣6×存放天数列出代数式即
可；
（2）利用总利润﹣各种费用﹣收购成本即可列出方程求解；
解答：解：（1）10+0.5x，2000﹣6x；
（2）由题意得：（10+0.5x）（2000﹣6x）﹣10×2000﹣220x=24000，
解得 x1=40，x2=200（不合题意，舍去）
答：这位外商想获得利润 24000 元需将这批猴头菇存放 40 天后出售．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是分别表示出销售单价和销售量．
26．（本小题满分 10 分）如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心 O，且与小圆相交于点 A、与
大圆相交于点 B。小圆的切线 AC 与大圆相交于点 D，且 CO 平分∠ACB。
（1）试判断 BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；
（2）试判断线段 AC、AD、BC 之间的数量关系，并说明理由；
（3）若 AB=8 ㎝，BC=10 ㎝，求大圆与小圆围成的圆环的面积。（结果保留π）
考点：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理． .
专题：几何综合题；压轴题．
分析：（1）只要证明 OE 垂直 BC 即可得出 BC 是小圆的切线，即与小圆的关系是相切．
（2）利用全等三角形的判定得出 Rt△OAD≌Rt△OEB，从而得出 EB=AD，从而得到三者的关系是前两者
的和等于第三者．
（3）根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积．
解答：解：（1）BC 所在直线与小圆相切．
理由如下：
过圆心 O 作 OE⊥BC，垂足为 E；
∵AC 是小圆的切线，AB 经过圆心 O，
∴OA⊥AC；
又∵CO 平分∠ACB，OE⊥BC，
∴OE=OA，
∴BC 所在直线是小圆的切线．
（2）AC+AD=BC．
理由如下：
连接 OD．
∵AC 切小圆 O 于点 A，BC 切小圆 O 于点 E，
∴CE=CA；
∵在 Rt△OAD 与 Rt△OEB 中， ，
∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），
∴EB=AD；
∵BC=CE+EB，
∴BC=AC+AD．
（3）∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，
∴AC=6cm；
A
C
O B
D
∵BC=AC+AD，
∴AD=BC﹣AC=4cm，
∵圆环的面积为：S=π（OD）2﹣π（OA）2=π（OD2﹣OA2），
又∵OD2﹣OA2=AD2，
∴S=42π=16π（cm2）．
点评：此题考查了学生对切线的性质与判定，全等三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用能力．
27. （本题满分 12 分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 30 元，根据市场调查：在一段时间
内，销售单价是 40 元时，销售量是 600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具.
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 元（x > 40），请你分别用 x 的代数式来表示销售量 y 件和销售
该品牌玩具获得利润 w 元，并把结果填写在表格中：
（2）在（1）条件下，若商场获得了 10000 元销售利润，求该玩具销售单价 x 应定为多少元？
考点：一元二次方程的应用． .
专题：销售问题．
分析：（1）由销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具得 y=600﹣（x﹣40）×10=1000﹣10x，利润=（1000
﹣10x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000；
（2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出 x 的值即可；
解答：解：（1）
销售单价（元） x
销售量 y（件） 1000﹣10x
销售玩具获得利润 w（元） ﹣10x2+1300x﹣30000
（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000，
解之得：x1=50 x2=80，
答：玩具销售单价为 50 元或 80 元时，可获得 10000 元销售利润．
点评：本题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是得出 W 与 x 的函数关系
28.（12 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 坐标为（1，0），以 OA 为边在第一象限内作等边
△OAB，C 为 x 轴正半轴上的一个动点（OC＞1），连接 BC，以 BC 为边在第一象限内作等边△BCD，直
线 DA 交 y 轴于 E 点．
（1）如图，当 C 点在 x 轴上运动时，设 AC＝x，请用 x 表示线段 AD 的长；
（2）随着 C 点的变化，直线 AE 的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线 AE 的解析式．
销售单价（元） x
销售量 y（件）
销售玩具获得利润 w（元）
（3）以线段 BC 为直径作圆，圆心为点 F，
①当 C 点运动到何处时直线 EF∥直线 BO？此时⊙F 和直线 BO 的位置关系如何？请说明理由．
②G 为 CD 与⊙F 的交点，H 为直线 DF 上的一个动点，连结 HG、HC，求 HG＋HC 的最小值，并
将此最小值用 x 表示．
考点：一次函数综合题；等边三角形的性质；直线与圆的位置关系；轴对称-最短路线问题．.
专题：综合题．
分析：（1）由△OAB 和△BCD 都为等边三角形，等边三角形的边长相等，且每一个内角都为 60°，得到
∠OBA=∠DBC，等号两边都加上∠ABC，得到∠OBC=∠ABD，根据“SAS”得到△OBC≌△ABD，即可得
到对应边 AD 与 OC 相等，由 OC 表示出 AD 即可；
（2）随着 C 点的变化，直线 AE 的位置不变．理由为：由（1）得到的两三角形全等，得到∠BAD=∠BOC=60°，
又等边三角形 BCD，得到∠BAO=60°，根据平角定义及对顶角相等得到∠OAE=60°，在直角三角形 OAE
中，由 OA 的长，根据 tan60°的定义求出 OE 的长，确定出点 E 的坐标，设出直线 AE 的方程，把点 A 和
E 的坐标代入即可确定出解析式；
（3）由 EA 与 OB 平行，且 EF 也与 OB 平行，根据过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条，得
到 EF 与 EA 重合，所以 F 为 BC 与 AE 的交点，又 F 为 BC 的中点，得到 A 为 OC 中点，由 A 的坐标即
可求出 C 的坐标；相切，理由是由 F 为等边三角形 BC 边的中点，根据“三线合一”得到 DF 与 BC 垂直，
由 EF 与 OB 平行得到 BF 与 OB 垂直，得证；
（4）根据等边三角形的“三线合一”得到 DF 垂直平分 BC，所以 C 与 D 关于 DF 对称，所以 GB 为 HC+HG
的最小值，GB 的求法是：由 B，C 及 G 三点在圆 F 圆周上，得到 FB，FC 及 FG 相等，利用一边的中线
等于这边的一半得到三角形 BCG 为直角三角形，根据“三线合一”得到∠CBG 为 30°，利用 cos30°和 BC 的
长即可求出 BG，而 BC 的长需要过 B 作 BM 垂直于 x 轴，根据等边三角形的性质求出 BM 及 AM，表示
出 CM，在直角三角形 BMC 中，根据勾股定理表示出 BC 的长即可．
解答：解：（1）∵△OAB 和△BCD 都为等边三角形，
∴OB=AB，BC=BD，
∠OBA=∠DBC=60°，即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，
∴∠OBC=∠ABD，
∴△OBC≌△ABD，
∴AD=OC=1+x；
（2）随着 C 点的变化，直线 AE 的位置不变．理由如下：
由△OBC≌△ABD，得到∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠BAO=60°，∴∠DAC=60°，
∴∠OAE=60°，又 OA=1，
在直角三角形 AOE 中，tan60°= ，
则 OE= ，点 E 坐标为（0，﹣ ），A（1，0），
xO
y
B
A
D
C
E
－1
1
设直线 AE 解析式为 y=kx+b，把 E 和 A 的坐标代入得： ，
解得： ，
所以直线 AE 的解析式为 y= x﹣ ；
（3）根据题意画出图形，如图所示：
∵∠BOA=∠DAC=60°，EA∥OB，又 EF∥OB，
则 EF 与 EA 所在的直线重合，∴点 F 为 DE 与 BC 的交点，
又 F 为 BC 中点，∴A 为 OC 中点，又 AO=1，则 OC=2，
∴当 C 的坐标为（2，0）时，EF∥OB；
这时直线 BO 与⊙F 相切，理由如下：
∵△BCD 为等边三角形，F 为 BC 中点，
∴DF⊥BC，又 EF∥OB，
∴FB⊥OB，即∠FBO=90°，
故直线 BO 与⊙F 相切；
（4）根据题意画出图形，如图所示：
由点 B，点 C 及点 G 在圆 F 的圆周上得：FB=FC=FG，即 FG= BC，
∴△CBG 为直角三角形，又△BCD 为等边三角形，
∴BG 为∠CBD 的平分线，即∠CBG=30°，
过点 B 作 x 轴的垂直，交 x 轴于点 M，由△OAB 为等边三角形，
∴M 为 OA 中点，即 MA= ，BM= ，MC=AC+AM=x+ ，
在直角三角形 BCM 中，根据勾股定理得：
BC= = ，
∵DF 垂直平分 BC，∴B 和 C 关于 DF 对称，∴HC=HB，
则 HC+HG=BG，此时 BG 最小，
在直角三角形 BCG 中，BG=BCcos30°= ．
点评：此题综合考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质以及对称的有关
知识．此题的难点是（3）和（4）小问，（3）重点要确定出点 F 的特殊位置即直线 ED 与 BC 的交点，把
EF 平行 OB 作为已知条件，推导点 C 的位置；（4）解题的关键是利用等边三角形“三线合一”的性质找出 C
关于 FD 的对称点为 B，进而得到 BG 为所求的最小值．
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