(卷面分值：150 分 答卷时间：120 分)
一.选择题：(本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．已知方程 2kx —x+1=0 有两个不等的实数根,则 k 的范围是( ▲ )
A．k＞1
4 B．k＜1
4 C．k ≠ 1
4 D．k＜1
4
且 k ≠ 0
2．如图，一张半径为 1 的圆形纸片在边长为 ( 3)a a 的正方形内任意移动，
则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是( ▲ )
A． 2a B． 4 C． D． 2(4 )a
3．圆锥的底面圆的周长是 4πcm，母线长是 6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是
( ▲ )
A．40° B．80° C．120° D．150°
4．若二次函数 y＝（x-3）2＋k 的图象过 A(－1，y1)、B(2，y2)、C(3＋ 2，y3)三点，则 y1、
y2、y3 的大小关系正确的是( ▲ )
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
5.如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上两点，∠CDB＝20°，过点 C 作⊙O 的切线交
AB 的延长线于点 E，则∠E 等于( ▲ )
A．40° B．50° C．60° D．70°
6.下列命题中，正确的是( ▲ )
A.平面上三个点确定一个圆 B.等弧所对的圆周角相等
C.三角形的外心在三角形的外面 D.与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线
7．若二次函数 2( ) 1y x m ．当 x ≤l 时， y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是
（ ▲ ） A． m =l B． m >l C． m ≥l D． m ≤l
8、二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数 y= 与 y=bx+c 在同一直角坐标系
内的大致图象是（ ▲ ）
A． B． C． D．
二.填空题（请将正确答案填写在横线上，本大题共 10 小题，每小题 3 分，计 30 分）
9．一组数据 3、4、5、5、6、7 的方差是 .
10．方程 x2－x＝0 的解为 ______
11．将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为
___________________
12．某商品原价是400元，连续两次降价后的价格为289元，则平均每次降价的百分率
为
13、已知点 P 到⊙O 的最远距离为 10cm，最近距离为 4cm，则该圆半径为 cm．
14、选择一组你喜欢的a,b,c的值，使二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像同时 满 足下列条
件：①开口向下；②当x﹤2时，y随x的增大而增大；③当x﹥2时，y随x的增大而减小。这样
的二次函数可以是_________。
15、如图, AB 是⊙O 的直径,弦 DC⊥AB,垂足为 E,如果 AB=20cm, CD=16cm, 那么线段
AE 的长为 cm．
16、如图，PA、PB 是⊙O 的切线，切点分别为 A、B 两点，点 C 在⊙O 上运动（与 A、B
两点不重合），如果∠P＝46°，那么∠ACB 的度数是
17．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3cm，BC＝4cm．将矩形ABCD绕着点D在桌面上顺时
针旋转至A1B1C1D，使其停靠在矩形EFGH的点E处，若∠EDF＝30°，则点B的运动路径长为
cm．（结果保留π）
第 16 题 第 17 题
18、射线 QN 与等边△ABC 的两边 AB，BC 分别交于点 M，N，且 AC∥QN，AM=MB=2cm，
QM=4cm．动点 P 从点 Q 出发，沿射线 QN 以每秒 1cm 的速度向右移动，经过 t 秒，以点 P
为圆心， 3 cm 为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上），请写出 t 可取的一切值
_________。（单位：秒）
三、解答题：(本大题共 10 小题，共 96 分.解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤).
19、解方程：（每小题 4 分，共 8 分）
（1） 0142 2 xx （配方法） （2）(x+1)2=6x+6
20．（本题满分 6 分）先化简，再求值： )2
422(
4
2
2
2
a
aa
a
aa ，其中 22 a
（第 15 题）
第 18
21．（本题满分 10 分）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食
品厂为了解 市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用
A、B、C、D 表示）这四 种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了
抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有 人。（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有 8000 人，请估计爱吃 D 粽的人数是 ；
（4）若有外型完全相同的 A、B、C、D 粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树
状图的方法，求他第二个吃到的恰好是 C 粽的概率．
22、(本题 8 分) 某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽 AB=4 米，顶
部 C 离地面高度为 4.4 米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面 3 米，装
货宽度为 2.4 米．请按照如图建立的坐标系，通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
23、（8 分）如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长
线于点 D，已知∠D＝30°.
⑴求∠A 的度数；
⑵若弦 CF⊥AB，垂足为 E，且 CF＝ 34 ，求图中阴影部分的面积.
24．（本题满分 10 分）已知二次函数 2 2 3y x x ．
（1）用配方法求抛物线的对称轴和顶点 M 的坐标；
（2）设抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，求 A，B，C 的坐标
（点 A 在点 B 的左侧），并画出函数的图象；
（3）根据图象，求不等式 2 2 3 0x x 的解集
25．（本题 10 分） 已知关于 x 的方程 014)3(2 22 kkxkx ．
（1）若这个方程有实数根，求 k 的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为 1，求 k 的值；
（3）若以方程 014)3(2 22 kkxkx 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例
函数
x
my 的图象上，求满足条件的 m 的最小值．
26. (10 分) ( 如图)：已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是 AB 延长线上的
一点，AE⊥CD 交 DC 的延长线于 E，CF⊥AB 于 F，且 CE=CF．
（1）判断 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 AB=6，BD=3，求 BC和 AE 的长．
27．（本题 12 分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件．试营销阶段发现：
当销售单价是 25 元时，每天的销售量为 250 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减
少 10 件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函
数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了 A、B 两种营销方案：
方案 A：该文具的销售单价高于进价且不超过 30 元；
方案 B：每天销售量不少于 10 件，且每件文具的利润至少为 25 元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
28．（本小题满分 14 分）如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（﹣2，0），点 B 的坐标为
（1，﹣ ），已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过三点 A、B、O（O 为原点）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点 C，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的
坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如果点 P 是该抛物线上 x 轴上方的一个动点，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求
出此时 P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保
留根号）
九年级数学参考答案
(2)如图 2；________________ (5 分)
(3)8000×40%=3200(人)．
答：该居民区有 8000 人，估计爱吃 D 粽的人有 3200 人．____________ ( 6 分)
(4)如图 3；
(列表方法略，参照给分)． 8 分
P(C 粽)＝ 3
12 ＝ 1
4 ．
答：他第二个吃到的恰好是 C 粽的概率是 1
4 ．…10 分
开始
A B C D
B C D A C D A B D A B C图 3
类型A DCB
人数
A
D
C
B
0
60
120
180
240
300
40%
10%
图 2
20%
30%
22（8 分）解：(如图)以 AB 所在直线为 x 轴，过点 C 垂直于 x 轴的直线为 y 轴建立平面直
角坐标系。_______ (2 分)
设大门抛物线为：y = a x ^2 + b.
则：当 x = 0 时，y = 4.4 = a ( 0 )^2 + b , 得 b = 4.4;
当 x = 2 时，y = 0 = a (2 )^2 + 4.4. 故得：a = - 1.1.
将 b = 4.4; a = -1.1 代入方程得：
大门抛物线方程为：y = - 1.1 x ^2 + 4.4 __________ (5 分)
当 x = 1.2 时（车宽的一半），
y = -1.1(1.2 )^2 +4.4 = 1.1*1.44 + 4.4 = 2.816 (m) ﹤3 m ————
(7 分)
答：当 x = 1.2 m 时，y = 2.816 m ﹤ 3m（车高），故该汽车不能通过该
大门。__________（8 分）
23.（8 分）解：（如图）（1）连接 OC，∵CD 是圆 O 的切线，∴OC⊥CD
∵∠D=30°，∴∠COD=60° ∴∠A=∠COD/2=30°————— （3 分）
（2）∵AB 是圆 O 的直径，CF⊥AB
∴AB 是 CF 的中垂线，∴CE=CF 的一半
∵∠A=30°，CF=4√3
∴CE=2√3，OE=2，OC=4，∴三角形 OCE 的面积=2√3
∵∠COB=60°，OC=4，∴扇形 OCB 的面积=8π/3
∴阴影部分的面积=8π/3-2√3 ——————（8 分）
24. （ 10 分 ） 解： （ 1） y=-（ x2-2x+1-1） +3
=-（ x-1） 2+4， __________（ 2 分 ）
所 以 抛物 线 的 对 称 轴为 直 线 x=1， 顶 点坐 标 为 （ 1， 4） ；_______ （ 3 分 ）
（ 2） A 点 坐 标为 （ -1， 0） ，B 点 坐 标为 （ 3， 0） ， C 点 坐 标为 （ 0， 3） (图 略)；
________（ 8 分 ） ）
（ 3） x﹤ -1 或 x﹥3_________（10 分 ） ，
25.(10 分) 解：（1）Δ=4(k-3)²-4(k²-4k-1)=40-8k≥0 所以 k≤5——————（3 分）
（ 2） 331 k ， 332 k _____（6 分）
（3由根与系数的关系得m=k²-4k-1=(k-2)²-5 因为k≤5 所以m的最小值是-5____（10
分）
26.（10 分）
解：如图（1）DE 与⊙O 的位置关系式相切．理由是：连接 OC，∵AE⊥CD，CF⊥AB，CE=CF，
∴∠EAC=∠CAF，∵OA=OC，∴∠CAF=∠OCA，∴∠OCA=∠EAC，∴OC∥AE，∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE，∵OC 为⊙O 半径，∴DE 是⊙O 的切线，
即 DE 与⊙O 的位置关系式相切． ————————(4 分)
（2）∵AB=6，∴OB=OC=BD=
2
1 AB=3,
在 Rt△OCD 中，BC=OB=BD=3=OC=3, ∴∠COD=60°∴∠D=30°．在 Rt△ADE 中，
AD=AB+BD=9，∴AE=
2
1
AD= 2
9
________(8 分)
在△OBC 中，∵∠COD=60°，OB=OC，∴BC=OB=3．——————（10 分）
27．（本题 12 分）
解：（1）w＝（x－20）（250－10x＋250）＝－10x2＋700x－10000
…………(3 分)
（2）w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250
所以，当 x＝35 时，w 有最大值 2250，
即销售单价为 35 元时，该文具每天的销售利润最大
…………(6 分)
（3）方案 A：由题可得 20＜x≤30，
因为 a＝－10＜0，对称轴为 x＝35，
抛物线开口向下，在对称轴左侧，w 随 x 的增大而增大，
所以，当 x＝30 时，w 取最大值为 2000 元，………(8 分)
方案 B：由题意得
45
250 10( 25) 10
x
x
，解得： 45 49x ，
在对称轴右侧，w 随 x 的增大而减小，
所以，当 x＝45 时，w 取最大值为 1250 元，…………(11 分)
因为 2000 元＞1250 元，
所以选择方案 A。………………………(12 分)
28（14 分）解：（1）将 A（﹣2，0），B（1，﹣ ），O（0，0）三点的坐标代入 y=ax2+bx+c
（a≠0），
可得： ，
解得： ，
故所求抛物线解析式为 y=﹣ x2﹣ x； …………………(3 分)
（2）存在．理由如下：
如答图①所示，
∵y=﹣ x2﹣ x=﹣ （x+1）2+ ，
∴抛物线的对称轴为 x=﹣1．
∵点 C 在对称轴 x=﹣1 上，△BOC 的周长=OB+BC+CO；
∵OB=2，要使△BOC 的周长最小，必须 BC+CO 最小，
∵点 O 与点 A 关于直线 x=﹣1 对称，有 CO=CA，
△BOC 的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA，
∴当 A、C、B 三点共线，即点 C 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时，BC+CA 最小，此
时△BOC 的周长最小． …………………(6 分)
设直线 AB 的解析式为 y=kx+t，则有：
，解得： ，
∴直线 AB 的解析式为 y=﹣ x﹣ ，
当 x=﹣1 时，y=﹣ ，
∴所求点 C 的坐标为（﹣1，﹣ ）； …………………(8 分)
（3）设 P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＜0），
则 y=﹣ x2﹣ x ①
如答图②所示，过点 P 作 PQ⊥y 轴于点 Q，PG⊥x 轴于点 G，过点 A 作 AF⊥PQ 轴于点 F，
过点 B 作 BE⊥PQ 轴于点 E，则 PQ=﹣x，PG=﹣y，
由题意可得：S△PAB=S 梯形 AFEB﹣S△AFP﹣S△BEP
= （AF+BE）•FE﹣ AF•FP﹣ PE•BE
= （y+ +y）（1+2）﹣ y•（2+x）﹣ （1﹣x）（ +y）
= y+ x+ ② …………………(11 分)
将①代入②得：S△PAB= （﹣ x2﹣ x）+ x+
=﹣ x2﹣ x+
=﹣ （x+ ）2+
∴当 x=﹣ 时，△PAB 的面积最大，最大值为 ， …………………(13 分)
此时 y=﹣ × + × = ，∴点 P 的坐标为（﹣ ， ）． ……………(14 分
微信/支付宝扫码支付