九年级数学上期末试卷及答案解析

2013-2014 学年九年级[上 ] 数学期末测试卷 一．选择题（共 10 小题） 1．（2013•烟台）已知实数 a，b 分别满足 a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且 a≠b，则 的值是（ ） A．7 B．﹣7 C．11 D．﹣11 2．（2013•咸宁）关于 x 的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0 有实数根，则整数 a 的最大值是（ ） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 3．（2013•鄂州）已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+a=0 的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则 a 的值 为（ ） A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10 4．（2013•盐城）如图①是 3×3 正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定 绕正方形 ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的 不同图案共有（ ） A．4 种 B．5 种 C．6 种 D．7 种 5．（2013•天津）如图，在△ABC 中，AC=BC，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，将△ADE 绕点 E 旋转 180°得 △CFE，则四边形 ADCF 一定是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 6．（2013•资阳）在一个不透明的盒子里，装有 4 个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后 从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球 40 次，其中 10 次摸到黑球，则估计盒子中 大约有白球（ ） A．12 个 B．16 个 C．20 个 D．30 个 7．（2013•苏州）已知二次函数 y=x2﹣3x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0），则关于 x 的一元二 次方程 x2﹣3x+m=0 的两实数根是（ ） A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3 8．（2013•济南）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与 x 轴交点的横坐标分别为 x1，x2，且﹣1 ＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论正确的是（ ） A．a＜0 B．a﹣b+c＜0 C．﹣ D．4ac﹣b2＜﹣8a 9．（2013•自贡）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交 BC 于 E，交 DC 的延长线于 F，BG⊥AE 于 G，BG= ，则△EFC 的周长为（ ） A．11 B．10 C．9 D．8 10．（2013•日照）如图，在△ABC 中，以 BC 为直径的圆分别交边 AC、AB 于 D、E 两点，连接 BD、DE．若 BD 平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（ ） A．BD⊥AC B．AC2=2AB•AE C．△ADE 是等腰三角形 D．BC=2AD 二．填空题（共 8 小题） 11．如果（2x+2y+1）（2x+2y﹣1）=63，那么 x+y 的值是 _________ ． 12．（2013•兰州）若 ，且一元二次方程 kx2+ax+b=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是 _________ ． 13．（2013•威海）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，C 的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动 玩具从坐标原点 0 出发，第一次跳跃到点 P1．使得点 P1 与点 O 关于点 A 成中心对称；第二次跳跃到点 P2，使得点 P2 与点 P1 关于点 B 成中心对称；第三次跳跃到点 P3，使得点 P3 与点 P2 关于点 C 成中心对称；第四次跳跃到点 P4， 使得点 P4 与点 P3 关于点 A 成中心对称；第五次跳跃到点 P5，使得点 P5 与点 P4 关于点 B 成中心对称；…照此规律 重复下去，则点 P2013 的坐标为 _________ ． 14．（2013•永州）一副扑克牌 52 张（不含鬼牌），分为黑桃、红心、方块、及梅花 4 种花色，每种花色各有 13 张， 分别标有字母 A、K、Q、J 和数字 10、9、8、7、6、5、4、3、2．从这副牌中任意抽取一张，则这张牌是标有字母 的概率是 _________ ． 15．（2013•营口）二次函数 y=﹣x2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=bx+c 的图象不经过第 _________ 象限． 16．（2013•兰州）如图，以扇形 OAB 的顶点 O 为原点，半径 OB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，点 B 的坐标为（2，0），若抛物线 y= x2+k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，则实数 k 的取值范围是 _________ ． 17．（2011•湖州）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点（0，﹣3），请你确定一个 b 的值，使该抛物线与 x 轴的一 个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的 b 的值是 _________ ． 18．（2013•宜宾）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 G，点 F 是 CD 上一点，且满足 = ，连接 AF 并延 长交⊙O 于点 E，连接 AD、DE，若 CF=2，AF=3．给出下列结论： ①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E= ；④S△DEF=4 ． 其中正确的是 _________ （写出所有正确结论的序号）． 三．解答题（共 10 小题） 19．（2013•重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车 站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多 5 个月，并且两队 单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的 6 倍． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ （2）若甲队每月的施工费为 100 万元，乙队每月的施工费比甲队多 50 万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短 工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的 2 倍，那么， 甲队最多施工几个月才能使工程款不超过 1500 万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数） 20．（2013•潍坊）如图 1 所示，将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2、宽为 1 的长方形 CEFD 拼在一起， 构成一个大的长方形 ABEF．现将小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE′F′D′，旋转角为 a． （1）当点 D′恰好落在 EF 边上时，求旋转角 a 的值； （2）如图 2，G 为 BC 中点，且 0°＜a＜90°，求证：GD′=E′D； （3）小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角 a 的值； 若不能说明理由． 21．（2013•铁岭）如图，△ABC 内接与⊙O，AB 是直径，⊙O 的切线 PC 交 BA 的延长线于点 P，OF∥BC 交 AC 于 AC 点 E，交 PC 于点 F，连接 AF． （1）判断 AF 与⊙O 的位置关系并说明理由； （2）若⊙O 的半径为 4，AF=3，求 AC 的长． 22．（2013•南京）如图，AD 是⊙O 的切线，切点为 A，AB 是⊙O 的弦．过点 B 作 BC∥AD，交⊙O 于点 C，连接 AC，过点 C 作 CD∥AB，交 AD 于点 D．连接 AO 并延长交 BC 于点 M，交过点 C 的直线于点 P，且∠BCP=∠ACD． （1）判断直线 PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AB=9，BC=6．求 PC 的长． 23．（2013•重庆）如图，对称轴为直线 x=﹣1 的抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴相交于 A、B 两点，其中点 A 的 坐标为（﹣3，0）． （1）求点 B 的坐标； （2）已知 a=1，C 为抛物线与 y 轴的交点． ①若点 P 在抛物线上，且 S△POC=4S△BOC．求点 P 的坐标； ②设点 Q 是线段 AC 上的动点，作 QD⊥x 轴交抛物线于点 D，求线段 QD 长度的最大值． 24．（2013•义乌市）为迎接中国森博会，某商家计划从厂家采购 A，B 两种产品共 20 件，产品的采购单价（元/件） 是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据． 采购数量（件） 1 2 … A 产品单价（元/件） 1480 1460 … B 产品单价（元/件） 1290 1280 … （1）设 A 产品的采购数量为 x（件），采购单价为 y1（元/件），求 y1 与 x 的关系式； （2）经商家与厂家协商，采购 A 产品的数量不少于 B 产品数量的 ，且 A 产品采购单价不低于 1200 元，求该商 家共有几种进货方案； （3）该商家分别以 1760 元/件和 1700 元/件的销售单价售出 A，B 两种产品，且全部售完，在（2）的条件下，求 采购 A 种产品多少件时总利润最大，并求最大利润． 25．（2013•盐城）如图①，若二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（﹣2，0），B（3，0）两点，点 A 关于 正比例函数 y= x 的图象的对称点为 C． （1）求 b、c 的值； （2）证明：点 C 在所求的二次函数的图象上；w W w . （3）如图②，过点 B 作 DB⊥x 轴交正比例函数 y= x 的图象于点 D，连结 AC，交正比例函数 y= x 的图象于 点 E，连结 AD、CD．如果动点 P 从点 A 沿线段 AD 方向以每秒 2 个单位的速度向点 D 运动，同时动点 Q 从点 D 沿线段 DC 方向以每秒 1 个单位的速度向点 C 运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结 PQ、 QE、PE．设运动时间为 t 秒，是否存在某一时刻，使 PE 平分∠APQ，同时 QE 平分∠PQC？若存在，求出 t 的值； 若不存在，请说明理由． 26．（2013•绍兴）在△ABC 中，∠CAB=90°，AD⊥BC 于点 D，点 E 为 AB 的中点，EC 与 AD 交于点 G，点 F 在 BC 上． （1）如图 1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD． （2）如图 2，AC：AB=1： ，EF⊥CE，求 EF：EG 的值． 27．（2013•珠海）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上，且 长分别为 m、4m（m＞0），D 为边 AB 的中点，一抛物线 l 经过点 A、D 及点 M（﹣1，﹣1﹣m）． （1）求抛物线 l 的解析式（用含 m 的式子表示）； （2）把△OAD 沿直线 OD 折叠后点 A 落在点 A′处，连接 OA′并延长与线段 BC 的延长线交于点 E，若抛物线 l 与 线段 CE 相交，求实数 m 的取值范围； （3）在满足（2）的条件下，求出抛物线 l 顶点 P 到达最高位置时的坐标． 28．（2013•无锡）如图，直线 x=﹣4 与 x 轴交于点 E，一开口向上的抛物线过原点交线段 OE 于点 A，交直线 x=﹣ 4 于点 B，过 B 且平行于 x 轴的直线与抛物线交于点 C，直线 OC 交直线 AB 于 D，且 AD：BD=1：3． （1）求点 A 的坐标； （2）若△OBC 是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式． 2013-2014 学年九年级[上 ] 数学期末测试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．（2013•烟台）已知实数 a，b 分别满足 a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且 a≠b，则 的值是（ ） A．7 B．﹣7 C．11 D．﹣11 考点： 根与系数的关系． 4387773 专题： 计算题． 分析： 根据已知两等式得到 a 与 b 为方程 x2﹣6x+4=0 的两根，利用根与系数的关系求出 a+b 与 ab 的值，所求式 子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将 a+b 与 ab 的值代入计算即可求出 值． 解答： 解：根据题意得：a 与 b 为方程 x2﹣6x+4=0 的两根， ∴a+b=6，ab=4， 则原式= = =7． 故选 A 点评： 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 2．（2013•咸宁）关于 x 的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0 有实数根，则整数 a 的最大值是（ ） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 考点： 根的判别式． 4387773 分析： 根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于 0，且二次项系数不为 0，即可求出整数 a 的最大值． 解答： 解：根据题意得：△=4﹣12（a﹣1）≥0，且 a﹣1≠0， 解得：a≤ ，a≠1， 则整数 a 的最大值为 0． 故选 C． 点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键． 3．（2013•鄂州）已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+a=0 的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则 a 的值 为（ ） A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10 考点： 根与系数的关系． 4387773 专题： 计算题． 分析： 利用根与系数的关系表示出 m+n 与 mn，已知等式左边利用多项式乘多项式法则变形，将 m+n 与 mn 的值 代入即可求出 a 的值． 解答： 解：根据题意得：m+n=3，mn=a， ∵（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=﹣6， ∴a﹣3+1=﹣6， 解得：a=﹣4． 故选 C 点评： 此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 4．（2013•盐城）如图①是 3×3 正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定 绕正方形 ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的 不同图案共有（ ） A．4 种 B．5 种 C．6 种 D．7 种 考点： 利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．4387773 专题： 压轴题． 分析： 根据轴对称的定义，及题意要求画出所有图案后即可得出答案． 解答： 解：得到的不同图案有： ， 共 6 种． 故选 C． 点评： 本题考查了学生实际操作能力，用到了图形的旋转及轴对称的知识，需要灵活掌握． 5．（2013•天津）如图，在△ABC 中，AC=BC，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，将△ADE 绕点 E 旋转 180°得 △CFE，则四边形 ADCF 一定是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 考点： 旋转的性质；矩形的判定． 4387773 分析： 根据旋转的性质可得 AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形 ADCF 是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边 形是矩形解答． 解答： 解：∵△ADE 绕点 E 旋转 180°得△CFE， ∴AE=CE，DE=EF， ∴四边形 ADCF 是平行四边形， ∵AC=BC，点 D 是边 AB 的中点， ∴∠ADC=90°， ∴四边形 ADCF 矩形． 故选 A． 点评： 本题考查了旋转的性质，矩形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直 角是平行四边形是矩形的判定方法，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题 的关键． 6．（2013•资阳）在一个不透明的盒子里，装有 4 个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后 从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球 40 次，其中 10 次摸到黑球，则估计盒子中 大约有白球（ ） A．12 个 B．16 个 C．20 个 D．30 个 考点： 模拟实验．4387773 分析： 根据共摸球 40 次，其中 10 次摸到黑球，则摸到黑球与摸到白球的次数之比为 1：3，由此可估计口袋中黑 球和白球个数之比为 1：3；即可计算出白球数． 解答： 解：∵共摸了 40 次，其中 10 次摸到黑球， ∴有 30 次摸到白球， ∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为 1：3， ∴口袋中黑球和白球个数之比为 1：3， 4÷ =12（个）． 故选：A． 点评： 本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可． 7．（2013•苏州）已知二次函数 y=x2﹣3x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0），则关于 x 的一元二 次方程 x2﹣3x+m=0 的两实数根是（ ） A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3 考点： 抛物线与 x 轴的交点． 4387773 分析： 关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+m=0 的两实数根就是二次函数 y=x2﹣3x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的两 个交点的横坐标． 解答： 解：∵二次函数的解析式是 y=x2﹣3x+m（m 为常数）， ∴该抛物线的对称轴是：x= ． 又∵二次函数 y=x2﹣3x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0）， ∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（2，0）， ∴关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+m=0 的两实数根分别是：x1=1，x2=2． 故选 B． 点评： 本题考查了抛物线与 x 轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得 m 的值，然后来求关于 x 的一元二 次方程 x2﹣3x+m=0 的两实数根． 8．（2013•济南）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与 x 轴交点的横坐标分别为 x1，x2，且﹣1 ＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论正确的是（ ） A．a＜0 B．a﹣b+c＜0 C．﹣ D．4ac﹣b2＜﹣8a 考点： 二次函数图象与系数的关系；抛物线与 x 轴的交点．4387773 分析： 由开口方向，可确定 a＞0；由当 x=﹣1 时，y=a﹣b+c＞0，可确定 B 错误；由对称轴在 y 轴右侧且在直线 x=1 左侧，可确定 x=﹣ ＜1；由二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），对称轴在 y 轴右侧，a＞0， 可得最小值： ＜﹣2，即可确定 D 正确． 解答： 解：A、∵开口向上，∴a＞0，故本选项错误； B、∵当 x=﹣1 时，y=a﹣b+c＞0，故本选项错误； C、∵对称轴在 y 轴右侧且在直线 x=1 左侧，∴x=﹣ ＜1，故本选项错误； D、∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），对称轴在 y 轴右侧，a＞0， ∴最小值： ＜﹣2， ∴4ac﹣b2＜﹣8a． 故本选项正确． 故选 D． 点评： 此题考查了图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 9．（2013•自贡）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交 BC 于 E，交 DC 的延长线于 F，BG⊥AE 于 G，BG= ，则△EFC 的周长为（ ） A．11 B．10 C．9 D．8 考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质． 分析： 判断出△ADF 是等腰三角形，△ABE 是等腰三角形，DF 的长度，继而得到 EC 的长度，在 Rt△BGE 中求 出 GE，继而得到 AE，求出△ABE 的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC 的周长． 解答： 解：∵在▱ ABCD 中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E， ∴∠BAF=∠DAF， ∵AB∥DF，AD∥BC， ∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=6，AD=DF=9， ∴△ADF 是等腰三角形，△ABE 是等腰三角形， ∵AD∥BC， ∴△EFC 是等腰三角形，且 FC=CE， ∴EC=FC=9﹣6=3， 在△ABG 中，BG⊥AE，AB=6，BG=4 ， ∴AG= =2， ∴AE=2AG=4， ∴△ABE 的周长等于 16， 又∵△CEF∽△BEA，相似比为 1：2， ∴△CEF 的周长为 8． 故选 D． 点评： 本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比， 此题难度较大． 10．（2013•日照）如图，在△ABC 中，以 BC 为直径的圆分别交边 AC、AB 于 D、E 两点，连接 BD、DE．若 BD 平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（ ） A．BD⊥AC B．AC2=2AB•AE C．△ADE 是等腰三角形 D．BC=2AD 考点： 圆周角定理；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．4387773 分析： 利用圆周角定理可得 A 正确；证明△ADE∽△ABC，可得出 B 正确；由 B 选项的证明，即可得出 C 正确； 利用排除法可得 D 不一定正确． 解答： 解：∵BC 是直径， ∴∠BDC=90°， ∴BD⊥AC，故 A 正确； ∵BD 平分∠ABC，BD⊥AC， ∴△ABC 是等腰三角形，AD=CD， ∵∠AED=∠ACB， ∴△ADE∽△ABC， ∴△ADE 是等腰三角形， ∴AD=DE=CD， ∴ = = = ， ∴AC2=2AB•AE，故 B 正确； 由 B 的证明过程，可得 C 选项正确． 故选 D． 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理及圆内接四边形的性质，综合考察的知识点较多，解答 本题的关键在于判断△ABC 和△ADE 是等腰三角形． 二．填空题（共 8 小题） 11．如果（2x+2y+1）（2x+2y﹣1）=63，那么 x+y 的值是 4 或﹣4 ． 考点： 换元法解一元二次方程．4387773 分析： 设 2x+2y=t，以 t 代替已知方程中的（2x+2y），列出关于 t 的新方程，通过解新方程即可求得 t 的值． 解答： 解：设 2x+2y=t，则由原方程，得 （t+1）（t﹣1）=63，即 t2=64， 直接开平方，得 t=8 或 t=﹣8． ①当 t=8 时，2x+2y=8，则 x+y=4． ②当 t=﹣8 时，2x+2y=﹣8，则 x+y=﹣4． 综上所述，x+y 的值是 4 或﹣4． 故答案是：4 或﹣4． 点评： 本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解 题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样 做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观． 12．（2013•兰州）若 ，且一元二次方程 kx2+ax+b=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是 k≤4 且 k≠0 ． 考点： 根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根． 4387773 专题： 计算题． 分析： 首先根据非负数的性质求得 a、b 的值，再由二次函数的根的判别式来求 k 的取值范围． 解答： 解：∵ ， ∴b﹣1=0， =0， 解得，b=1，a=4； 又∵一元二次方程 kx2+ax+b=0 有两个实数根， ∴△=a2﹣4kb≥0 且 k≠0， 即 16﹣4k≥0，且 k≠0， 解得，k≤4 且 k≠0； 故答案为：k≤4 且 k≠0． 点评： 本题主要考查了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于 x 的一元二次方程的二次项系数不 为零． 13．（2013•威海）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，C 的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动 玩具从坐标原点 0 出发，第一次跳跃到点 P1．使得点 P1 与点 O 关于点 A 成中心对称；第二次跳跃到点 P2，使得点 P2 与点 P1 关于点 B 成中心对称；第三次跳跃到点 P3，使得点 P3 与点 P2 关于点 C 成中心对称；第四次跳跃到点 P4， 使得点 P4 与点 P3 关于点 A 成中心对称；第五次跳跃到点 P5，使得点 P5 与点 P4 关于点 B 成中心对称；…照此规律 重复下去，则点 P2013 的坐标为 （0，﹣2） ． 考点： 中心对称；规律型：点的坐标． 4387773 专题： 压轴题；规律型． 分析： 计算出前几次跳跃后，点 P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7 的坐标，可得出规律，继而可求出点 P2013 的坐标． 解答： 解：点 P1（2，0），P2（﹣2，2），P3（0，﹣2），P4（2，2），P5（﹣2，0），P6（0，0），P7（2，0）， 从而可得出 6 次一个循环， ∵ =335…3， ∴点 P2013 的坐标为（0，﹣2）． 故答案为：（0，﹣2）． 点评： 本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般 规律． 14．（2013•永州）一副扑克牌 52 张（不含鬼牌），分为黑桃、红心、方块、及梅花 4 种花色，每种花色各有 13 张， 分别标有字母 A、K、Q、J 和数字 10、9、8、7、6、5、4、3、2．从这副牌中任意抽取一张，则这张牌是标有字母 的概率是 ． 考点： 概率公式．4387773 分析： 根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 解答： 解：∵一副扑克牌 52 张（不含鬼牌），分为黑桃、红心、方块、及梅花 4 种花色，每种花色各有 13 张，分 别标有字母 A、K、Q、J 和数字 10、9、8、7、6、5、4、3、2， ∴其中带有字母的有 16 张， ∴从这副牌中任意抽取一张，则这张牌是标有字母的概率是 = ． 故答案为： ． 点评： 此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ． 15．（2013•营口）二次函数 y=﹣x2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=bx+c 的图象不经过第 四 象限． 考点： 二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系． 4387773 专题： 计算题． 分析： 由抛物线的对称轴在 y 轴右侧，得到 a 与 b 异号，根据抛物线开口向下得到 a 小于 0，故 b 大于 0，再利用 抛物线与 y 轴交点在 y 轴正半轴，得到 c 大于 0，利用一次函数的性质即可判断出一次函数 y=bx+c 不经过 的象限． 解答： 解：根据图象得：a＜0，b＞0，c＞0， 故一次函数 y=bx+c 的图象不经过第四象限． 故答案为：四． 点评： 此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次、二次函数的图 象与性质是解本题的关键． 16．（2013•兰州）如图，以扇形 OAB 的顶点 O 为原点，半径 OB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，点 B 的坐标为（2，0），若抛物线 y= x2+k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，则实数 k 的取值范围是 ﹣2＜k＜ ． 考点： 二次函数的性质． 4387773 专题： 压轴题． 分析： 根据∠AOB=45°求出直线 OA 的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的 k 值，即为一个 交点时的最大值，再求出抛物线经过点 B 时的 k 的值，即为一个交点时的最小值，然后写出 k 的取值范围 即可． 解答： 解：由图可知，∠AOB=45°， ∴直线 OA 的解析式为 y=x， 联立 消掉 y 得， x2﹣2x+2k=0， △=（﹣2）2﹣4×1×2k=0， 即 k= 时，抛物线与 OA 有一个交点， 此交点的横坐标为 1， ∵点 B 的坐标为（2，0）， ∴OA=2， ∴点 A 的坐标为（ ， ）， ∴交点在线段 AO 上； 当抛物线经过点 B（2，0）时， ×4+k=0， 解得 k=﹣2， ∴要使抛物线 y= x2+k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，实数 k 的取值范围是﹣2＜k＜ ． 故答案为：﹣2＜k＜ ． 点评： 本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交 点时的最大值与最小值是解题的关键． 17．（2011•湖州）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 经过点（0，﹣3），请你确定一个 b 的值，使该抛物线与 x 轴的一 个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的 b 的值是 在﹣2＜b＜2 范围内的任何一个数 ． 考点： 抛物线与 x 轴的交点． 4387773 专题： 计算题；压轴题． 分析： 把（0，﹣3）代入抛物线的解析式求出 c 的值，在（1，0）和（3，0）之间取一个点，分别把 x=1 和 x=3 它的坐标代入解析式即可得出不等式组，求出答案即可． 解答： 解：把（0，﹣3）代入抛物线的解析式得：c=﹣3， ∴y=x2+bx﹣3， ∵使该抛物线与 x 轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间， ∴把 x=1 代入 y=x2+bx﹣3 得：y=1+b﹣3＜0 把 x=3 代入 y=x2+bx﹣3 得：y=9+3b﹣3＞0， ∴﹣2＜b＜2， 即在﹣2＜b＜2 范围内的任何一个数都符合， 故答案为：在﹣2＜b＜2 范围内的任何一个数． 点评： 本题主要考查对抛物线与 x 轴的交点的理解和掌握，能理解抛物线与 x 轴的交点的坐标特点是解此题的关 键． 18．（2013•宜宾）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 G，点 F 是 CD 上一点，且满足 = ，连接 AF 并延 长交⊙O 于点 E，连接 AD、DE，若 CF=2，AF=3．给出下列结论： ①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E= ；④S△DEF=4 ． 其中正确的是 ①②④ （写出所有正确结论的序号）． 考点： 相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．4387773 专题： 压轴题． 分析： ①由 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，根据垂径定理可得： = ，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED； ②由 = ，CF=2，可求得 DF 的长，继而求得 CG=DG=4，则可求得 FG=2； ③由勾股定理可求得 AG 的长，即可求得 tan∠ADF 的值，继而求得 tan∠E= ； ④首先求得△ADF 的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE 的面积，继而求得 S△DEF=4 ． 解答： 解：①∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB， ∴ = ，DG=CG， ∴∠ADF=∠AED， ∵∠FAD=∠DAE（公共角）， ∴△ADF∽△AED； 故①正确； ②∵ = ，CF=2， ∴FD=6， ∴CD=DF+CF=8， ∴CG=DG=4， ∴FG=CG﹣CF=2； 故②正确； ③∵AF=3，FG=2， ∴AG= = ， ∴在 Rt△AGD 中，tan∠ADG= = ， ∴tan∠E= ； 故③错误； ④∵DF=DG+FG=6，AD= = ， ∴S△ADF= DF•AG= ×6× =3 ， ∵△ADF∽△AED， ∴ =（ ）2， ∴ = ， ∴S△AED=7 ， ∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4 ； 故④正确． 故答案为：①②④． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合 性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 三．解答题（共 10 小题） 19．（2013•重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车 站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多 5 个月，并且两队 单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的 6 倍． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？ （2）若甲队每月的施工费为 100 万元，乙队每月的施工费比甲队多 50 万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短 工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的 2 倍，那么， 甲队最多施工几个月才能使工程款不超过 1500 万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数） 考点： 一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．4387773 专题： 压轴题． 分析： （1）设甲队单独完成需要 x 个月，则乙队单独完成需要 x﹣5 个月，根据题意列出关系式，求出 x 的值即 可； （2）设甲队施工 x 个月，则乙队施工 x 个月，根据工程款不超过 1500 万元，列出一元一次不等式，解不 等式求最大值即可． 解答： 解：（1）设甲队单独完成需要 x 个月，则乙队单独完成需要（x﹣5）个月， 由题意得，x（x﹣5）=6（x+x﹣5）， 解得 x1=15，x2=2（不合题意，舍去）， 则 x﹣5=10． 答：甲队单独完成这项工程需要 15 个月，则乙队单独完成这项工程需要 10 个月； （2）设甲队施工 y 个月，则乙队施工 y 个月， 由题意得，100y+（100+50） ≤1500， 解不等式得，y≤8.57， ∵施工时间按月取整数， ∴y≤8， 答：完成这项工程，甲队最多施工 8 个月才能使工程款不超过 1500 万元． 点评： 本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意设出未知 数列出方程及不等式求解． 20．（2013•潍坊）如图 1 所示，将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2、宽为 1 的长方形 CEFD 拼在一起， 构成一个大的长方形 ABEF．现将小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE′F′D′，旋转角为 a． （1）当点 D′恰好落在 EF 边上时，求旋转角 a 的值； （2）如图 2，G 为 BC 中点，且 0°＜a＜90°，求证：GD′=E′D； （3）小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角 a 的值； 若不能说明理由． 考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质．4387773 专题： 计算题． 分析： （1）根据旋转的性质得 CD′=CD=2，在 Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，则∠CD′E=30°，然后根据平行线的 性质即可得到∠α=30°； （2）由 G 为 BC 中点可得 CG=CE，根据旋转的性质得∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′CE，则 ∠GCD′=∠DCE′=90°+α，然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△DCE′， 则 GD′=E′D； （3）根据正方形的性质得 CB=CD，而 CD=CD′，则△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角 相等时它们全等，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，可计算出α=135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角 形时，可计算得到α=315°． 解答： （1）解：∵长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE′F′D′， ∴CD′=CD=2， 在 Rt△CED′中，CD′=2，CE=1， ∴∠CD′E=30°， ∵CD∥EF， ∴∠α=30°； （2）证明：∵G 为 BC 中点， ∴CG=1， ∴CG=CE， ∵长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE′F′D′， ∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG， ∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α， 在△GCD′和△DCE′中 ， ∴△GCD′≌△E′CD（SAS）， ∴GD′=E′D； （3）解：能．理由如下： ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴CB=CD， ∵CD=CD′， ∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形， 当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′， 当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，α= =135°， 当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，α=360°﹣ =315°， 即旋转角 a 的值为 135°或 315°时，△BCD′与△DCD′全等． 点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线 段的夹角等于旋转角．也考查了正方形、矩形的性质以及三角形全等的判定与性质． 21．（2013•铁岭）如图，△ABC 内接与⊙O，AB 是直径，⊙O 的切线 PC 交 BA 的延长线于点 P，OF∥BC 交 AC 于 AC 点 E，交 PC 于点 F，连接 AF． （1）判断 AF 与⊙O 的位置关系并说明理由； （2）若⊙O 的半径为 4，AF=3，求 AC 的长． 考点： 切线的判定与性质．4387773 专题： 压轴题． 分析： （1）AF 为为圆 O 的切线，理由为：练级 OC，由 PC 为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 CP 垂直于 OC， 由 OF 与 BC 平行，利用两直线平行内错角相等，同位角相等，分别得到两对角相等，根据 OB=OC，利用 等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对角相等，再由 OC=OA，OF 为公共边，利用 SAS 得出三角 形 AOF 与三角形 COF 全等，由全等三角形的对应角相等及垂直定义得到 AF 垂直于 OA，即可得证； （2）由 AF 垂直于 OA，在直角三角形 AOF 中，由 OA 与 AF 的长，利用勾股定理求出 OF 的长，而 OA=OC， OF 为角平分线，利用三线合一得到 E 为 AC 中点，OE 垂直于 AC，利用面积法求出 AE 的长，即可确定出 AC 的长． 解答： 解：（1）AF 为圆 O 的切线，理由为： 连接 OC， ∵PC 为圆 O 切线， ∴CP⊥OC， ∴∠OCP=90°， ∵OF∥BC， ∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB， ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠B， ∴∠AOF=∠COF， ∵在△AOF 和△COF 中， ， ∴△AOF≌△COF（SAS）， ∴∠OAF=∠OCF=90°， 则 AF 为圆 O 的切线； （2）∵△AOF≌△COF， ∴∠AOF=∠COF， ∵OA=OC， ∴E 为 AC 中点，即 AE=CE= AC，OE⊥AC， ∵OA⊥AF， ∴在 Rt△AOF 中，OA=4，AF=3， 根据勾股定理得：OF=5， ∵S△AOF= •OA•AF= •OF•AE， ∴AE= ， 则 AC=2AE= ．w W w . 点评： 此题考查了切线的判定与性质，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的 性质，三角形的面积求法，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 22．（2013•南京）如图，AD 是⊙O 的切线，切点为 A，AB 是⊙O 的弦．过点 B 作 BC∥AD，交⊙O 于点 C，连接 AC，过点 C 作 CD∥AB，交 AD 于点 D．连接 AO 并延长交 BC 于点 M，交过点 C 的直线于点 P，且∠BCP=∠ACD． （1）判断直线 PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AB=9，BC=6．求 PC 的长． 考点： 切线的判定与性质．4387773 分析： （1）过 C 点作直径 CE，连接 EB，由 CE 为直径得∠E+∠BCE=90°，由 AB∥DC 得∠ACD=∠BAC，而 ∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，于是∠BCP+∠BCE=90°，然后根据切线的判断得到结论； （2）根据切线的性质得到 OA⊥AD，而 BC∥AD，则 AM⊥BC，根据垂径定理有 BM=CM= BC=3，根据 等腰三角形性质有 AC=AB=9，在 Rt△AMC 中根据勾股定理计算出 AM=6 ； 设⊙O 的半径为 r，则 OC=r，OM=AM﹣r=6 ﹣r，在 Rt△OCM 中，根据勾股定理计算出 r= ，则 CE=2r= ，OM=6 ﹣ = ，利用中位线性质得 BE=2OM= ，然后判断 Rt△PCM∽Rt△CEB，根据相似比可计算出 PC． 解答： 解：（1）PC 与圆 O 相切，理由为： 过 C 点作直径 CE，连接 EB，如图， ∵CE 为直径， ∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°， ∵AB∥DC， ∴∠ACD=∠BAC， ∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD． ∴∠E=∠BCP， ∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°， ∴CE⊥PC， ∴PC 与圆 O 相切； （2）∵AD 是⊙O 的切线，切点为 A， ∴OA⊥AD， ∵BC∥AD， ∴AM⊥BC， ∴BM=CM= BC=3， ∴AC=AB=9， 在 Rt△AMC 中，AM= =6 ， 设⊙O 的半径为 r，则 OC=r，OM=AM﹣r=6 ﹣r， 在 Rt△OCM 中，OM2+CM2=OC2，即 32+（6 ﹣r）2=r2，解得 r= ， ∴CE=2r= ，OM=6 ﹣ = ， ∴BE=2OM= ， ∵∠E=∠MCP， ∴Rt△PCM∽Rt△CEB， ∴ = ， 即 = ， ∴PC= ． 点评： 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的 半径．也考查了勾股定理、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质． 23．（2013•重庆）如图，对称轴为直线 x=﹣1 的抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴相交于 A、B 两点，其中点 A 的 坐标为（﹣3，0）． （1）求点 B 的坐标； （2）已知 a=1，C 为抛物线与 y 轴的交点． ①若点 P 在抛物线上，且 S△POC=4S△BOC．求点 P 的坐标； ②设点 Q 是线段 AC 上的动点，作 QD⊥x 轴交抛物线于点 D，求线段 QD 长度的最大值． 考点： 二次函数综合题． 4387773 专题： 压轴题． 分析： （1）由抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=﹣1，交 x 轴于 A、B 两点，其中 A 点的坐标为（﹣3，0）， 根据二次函数的对称性，即可求得 B 点的坐标； （2）①a=1 时，先由对称轴为直线 x=﹣1，求出 b 的值，再将 B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为 y=x2+2x﹣3，得到 C 点坐标，然后设 P 点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据 S△POC=4S△BOC 列出关于 x 的方程， 解方程求出 x 的值，进而得到点 P 的坐标； ②先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式为 y=﹣x﹣3，再设 Q 点坐标为（x，﹣x﹣3），则 D 点坐标为 （x，x2+2x﹣3），然后用含 x 的代数式表示 QD，根据二次函数的性质即可求出线段 QD 长度的最大值． 解答： 解：（1）∵对称轴为直线 x=﹣1 的抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴相交于 A、B 两点， ∴A、B 两点关于直线 x=﹣1 对称， ∵点 A 的坐标为（﹣3，0）， ∴点 B 的坐标为（1，0）； （2）①a=1 时，∵抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为直线 x=﹣1， ∴ =﹣1，解得 b=2． 将 B（1，0）代入 y=x2+2x+c， 得 1+2+c=0，解得 c=﹣3． 则二次函数的解析式为 y=x2+2x﹣3， ∴抛物线与 y 轴的交点 C 的坐标为（0，﹣3），OC=3． 设 P 点坐标为（x，x2+2x﹣3）， ∵S△POC=4S△BOC， ∴ ×3×|x|=4× ×3×1， ∴|x|=4，x=±4． 当 x=4 时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21； 当 x=﹣4 时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5． 所以点 P 的坐标为（4，21）或（﹣4，5）； ②设直线 AC 的解析式为 y=kx+t，将 A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入， 得 ，解得 ， 即直线 AC 的解析式为 y=﹣x﹣3． 设 Q 点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则 D 点坐标为（x，x2+2x﹣3）， QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+ ）2+ ， ∴当 x=﹣ 时，QD 有最大值 ． 点评： 此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此 题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想． 24．（2013•义乌市）为迎接中国森博会，某商家计划从厂家采购 A，B 两种产品共 20 件，产品的采购单价（元/件） 是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据． 采购数量（件） 1 2 … A 产品单价（元/件） 1480 1460 … B 产品单价（元/件） 1290 1280 … （1）设 A 产品的采购数量为 x（件），采购单价为 y1（元/件），求 y1 与 x 的关系式； （2）经商家与厂家协商，采购 A 产品的数量不少于 B 产品数量的 ，且 A 产品采购单价不低于 1200 元，求该商 家共有几种进货方案； （3）该商家分别以 1760 元/件和 1700 元/件的销售单价售出 A，B 两种产品，且全部售完，在（2）的条件下，求 采购 A 种产品多少件时总利润最大，并求最大利润． 考点： 二次函数的应用． 4387773 分析： （1）设 y1 与 x 的关系式 y1=kx+b，由表列出 k 和 b 的二元一次方程，求出 k 和 b 的值，函数关系式即可求 出； （2）首先根据题意求出 x 的取值范围，结合 x 为整数，即可判断出商家的几种进货方案； （3）令总利润为 W，根据利润=售价﹣成本列出 W 与 x 的函数关系式 W=30x2﹣540x+12000，把一般式写 成顶点坐标式，求出二次函数的最值即可． 解答： 解：（1）设 y1 与 x 的关系式 y1=kx+b， 由表知 ， 解得 k=﹣20，b=1500， 即 y1=﹣20x+1500（0＜x≤20，x 为整数）， （2）根据题意可得 ， 解得 11≤x≤15， ∵x 为整数， ∴x 可取的值为：11，12，13，14，15， ∴该商家共有 5 种进货方案； （3）解法一：令总利润为 W， 则 W=30x2﹣540x+12000， =30（x﹣9）2+9570， ∵a=30＞0， ∴当 x≥9 时，W 随 x 的增大而增大， ∵11≤x≤15， ∴当 x=15 时，W 最大=10650； 解法二：根据题意可得 B 产品的采购单价可表示为： y2=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100， 则 A、B 两种产品的每件利润可分别表示为： 1760﹣y1=20x+260， 1700﹣y2=﹣10x+600， 则当 20x+260＞﹣10x+600 时，A 产品的利润高于 B 产品的利润， 即 x＞ =11 时，A 产品越多，总利润越高， ∵11≤x≤15， ∴当 x=15 时，总利润最高， 此时的总利润为（20×15+260）×15+（﹣10×15+600）×5=10650． 点评： 本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式， 会表达单件的利润及总利润，此题难度一般． 25．（2013•盐城）如图①，若二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（﹣2，0），B（3，0）两点，点 A 关于 正比例函数 y= x 的图象的对称点为 C． （1）求 b、c 的值； （2）证明：点 C 在所求的二次函数的图象上； （3）如图②，过点 B 作 DB⊥x 轴交正比例函数 y= x 的图象于点 D，连结 AC，交正比例函数 y= x 的图象于 点 E，连结 AD、CD．如果动点 P 从点 A 沿线段 AD 方向以每秒 2 个单位的速度向点 D 运动，同时动点 Q 从点 D 沿线段 DC 方向以每秒 1 个单位的速度向点 C 运动．当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结 PQ、 QE、PE．设运动时间为 t 秒，是否存在某一时刻，使 PE 平分∠APQ，同时 QE 平分∠PQC？若存在，求出 t 的值； 若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题． 4387773 专题： 压轴题． 分析： （1）利用待定系数法求出 b，c 的值； （2）如答图 1 所示，关键是求出点 C 的坐标．首先求出直线 y= x 与 x 轴所夹锐角为 60°，则可推出在 Rt△CEK 中，∠COK=60°，解此直角三角形即可求出点 C 的坐标； （3）如答图 2 所示，关键是证明△APE∽△CEQ．根据∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE，证明△APE∽△CEQ， 根据相似线段比例关系列出方程，解方程求出时间 t 的值． 解答： 解：（1）∵点 A（﹣2，0），B（3，0）在抛物线 y= x2+bx+c 上， ∴ ， 解得：b=﹣ ，c=﹣ ． （2）设点 F 在直线 y= x 上，且 F（2， ）． 如答图 1 所示，过点 F 作 FH⊥x 轴于点 H，则 FH= ，OH=2， ∴tan∠FOB= = ，∴∠FOB=60°． ∴∠AOE=∠FOB=60°． 连接 OC，过点 C 作 CK⊥x 轴于点 K． ∵点 A、C 关于 y= x 对称，∴OC=OA=2，∠COE=∠AOE=60°． ∴∠COK=180°﹣∠AOE﹣∠COE=60°． 在 Rt△COK 中，CK=OC•sin60°=2× = ，OK=OC•cos60°=2× =1． ∴C（1，﹣ ）． 抛物线的解析式为：y= x2﹣ x﹣ ，当 x=1 时，y=﹣ ， ∴点 C 在所求二次函数的图象上． （3）假设存在． 如答图 1 所示，在 Rt△ACK 中，由勾股定理得：AC= = = ． 如答图 2 所示，∵OB=3，∴BD=3 ，AB=OA+OB=5． 在 Rt△ABD 中，由勾股定理得：AD= = =2 ． ∵点 A、C 关于 y= x 对称， ∴CD=AD=2 ，∠DAC=∠DCA，AE=CE= AC= ． 连接 PQ、PE，QE，则∠APE=∠QPE，∠PQE=∠CQE． 在四边形 APQC 中，∠DAC+∠APQ+∠PQC+∠DCA=360°，（四边形内角和等于 360°） 即 2∠DAC+2∠APE+2∠CQE=360°， ∴∠DAC+∠APE+∠CQE=180°． 又∵∠DAC+∠APE+∠AEP=180°，（三角形内角和定理） ∴∠AEP=∠CQE． 在△APE 与△CEQ 中，∵∠DAC=∠DCA，∠AEP=∠CQE， ∴△APE∽△CEQ， ∴ ，即： ， 整理得：2t2﹣ t+3=0， 解得：t= 或 t= （t＜ ，故舍去） ∴存在某一时刻，使 PE 平分∠APQ，同时 QE 平分∠PQC，此时 t= ． 点评： 本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、正比例函数的图象与性质、待定系数法、对称、 解直角三角形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点．试题的难点在于第（3）问，图形中 线段较多关系复杂，难以从中发现有效的等量关系，证明△APE∽△CEQ 是解题关键． 26．（2013•绍兴）在△ABC 中，∠CAB=90°，AD⊥BC 于点 D，点 E 为 AB 的中点，EC 与 AD 交于点 G，点 F 在 BC 上． （1）如图 1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD． （2）如图 2，AC：AB=1： ，EF⊥CE，求 EF：EG 的值． 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 4387773 专题： 压轴题． 分析： （1）根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根据 AC：AB=1：2 及点 E 为 AB 的中点，得出 AC=BE，再 利用 AAS 证明△ACD≌△BEF，即可得出 EF=CD； （2）作 EH⊥AD 于 H，EQ⊥BC 于 Q，先证明四边形 EQDH 是矩形，得出∠QEH=90°，则∠FEQ=∠GEH， 再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH，得出 EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ 中，根据 正弦函数的定义得出 EQ= BE，在△AEH 中，根据余弦函数的定义得出 EH= AE，又 BE=AE，进而求出 EF：EG 的值． 解答： （1）证明：如图 1， 在△ABC 中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC 于点 D， ∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB． ∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC， ∵点 E 为 AB 的中点，∴AB=2BE， ∴AC=BE． 在△ACD 与△BEF 中， ， ∴△ACD≌△BEF， ∴CD=EF，即 EF=CD； （2）解：如图 2，作 EH⊥AD 于 H，EQ⊥BC 于 Q， ∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC， ∴四边形 EQDH 是矩形， ∴∠QEH=90°， ∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG， 又∵∠EQF=∠EHG=90°， ∴△EFQ∽△EGH， ∴EF：EG=EQ：EH． ∵AC：AB=1： ，∠CAB=90°， ∴∠B=30°． 在△BEQ 中，∵∠BQE=90°， ∴sin∠B= = ， ∴EQ= BE． 在△AEH 中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°， ∴cos∠AEH= = ， ∴EH= AE． ∵点 E 为 AB 的中点，∴BE=AE， ∴EF：EG=EQ：EH= BE： AE=1： ． 点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综 合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形 EQDH 是矩形． 27．（2013•珠海）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上，且 长分别为 m、4m（m＞0），D 为边 AB 的中点，一抛物线 l 经过点 A、D 及点 M（﹣1，﹣1﹣m）． （1）求抛物线 l 的解析式（用含 m 的式子表示）； （2）把△OAD 沿直线 OD 折叠后点 A 落在点 A′处，连接 OA′并延长与线段 BC 的延长线交于点 E，若抛物线 l 与 线段 CE 相交，求实数 m 的取值范围； （3）在满足（2）的条件下，求出抛物线 l 顶点 P 到达最高位置时的坐标． 考点： 二次函数综合题． 4387773 专题： 压轴题． 分析： （1）设抛物线 l 的解析式为 y=ax2+bx+c，将 A、D、M 三点的坐标代入，运用待定系数法即可求解； （2）设 AD 与 x 轴交于点 M，过点 A′作 A′N⊥x 轴于点 N．根据轴对称及平行线的性质得出 DM=OM=x， 则 A′M=2m﹣x，OA′=m，在 Rt△OA′M 中运用勾股定理求出 x，得出 A′点坐标，运用待定系数法得到直线 OA′的解析式，确定 E 点坐标（4m，﹣3m），根据抛物线 l 与线段 CE 相交，列出关于 m 的不等式组，求出 解集即可； （3）根据二次函数的性质，结合（2）中求出的实数 m 的取值范围，即可求解． 解答： 解：（1）设抛物线 l 的解析式为 y=ax2+bx+c， 将 A（0，m），D（2m，m），M（﹣1，﹣1﹣m）三点的坐标代入， 得 ，解得 ， 所以抛物线 l 的解析式为 y=﹣x2+2mx+m； （2）设 AD 与 x 轴交于点 M，过点 A′作 A′N⊥x 轴于点 N． ∵把△OAD 沿直线 OD 折叠后点 A 落在点 A′处， ∴△OAD≌△OA′D，OA=OA′=m，AD=A′D=2m，∠OAD=∠OA′D=90°，∠ADO=∠A′DO， ∵矩形 OABC 中，AD∥OC， ∴∠ADO=∠DOM， ∴∠A′DO=∠DOM， ∴DM=OM． 设 DM=OM=x，则 A′M=2m﹣x， 在 Rt△OA′M 中，∵OA′2+A′M2=OM2， ∴m2+（2m﹣x）2=x2， 解得 x= m． ∵S△OA′M= OM•A′N= OA′•A′M， ∴A′N= = m， ∴ON= = m， ∴A′点坐标为（ m，﹣ m）， 易求直线 OA′的解析式为 y=﹣ x， 当 x=4m 时，y=﹣ ×4m=﹣3m， ∴E 点坐标为（4m，﹣3m）． 当 x=4m 时，﹣x2+2mx+m=﹣（4m）2+2m•4m+m=﹣8m2+m， 即抛物线 l 与直线 CE 的交点为（4m，﹣8m2+m）， ∵抛物线 l 与线段 CE 相交， ∴﹣3m≤﹣8m2+m≤0， ∵m＞0， ∴﹣3≤﹣8m+1≤0， 解得 ≤m≤ ； （3）∵y=﹣x2+2mx+m=﹣（x﹣m）2+m2+m， ≤m≤ ， ∴当 x=m 时，y 有最大值 m2+m， 又∵m2+m=（m+ ）2﹣ ， ∴当 ≤m≤ 时，m2+m 随 m 的增大而增大， ∴当 m= 时，顶点 P 到达最高位置，m2+m=（ ）2+ = ， 故此时抛物线 l 顶点 P 到达最高位置时的坐标为（ ， ）．w W w . 点评： 本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质， 勾股定理，两个函数交点坐标的求法，二次函数、矩形的性质，解不等式组等知识，综合性较强，有一定 难度．（2）中求出 A′点的坐标是解题的关键． 28．（2013•无锡）如图，直线 x=﹣4 与 x 轴交于点 E，一开口向上的抛物线过原点交线段 OE 于点 A，交直线 x=﹣ 4 于点 B，过 B 且平行于 x 轴的直线与抛物线交于点 C，直线 OC 交直线 AB 于 D，且 AD：BD=1：3． （1）求点 A 的坐标； （2）若△OBC 是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式． 考点： 二次函数综合题． 4387773 分析： （1）过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F，由抛物线的对称性可知 OF=AF，则 2AF+AE=4①，由 DF∥BE，得到 △ADF∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出 = = ，即 AE=2AF②，①与②联立组成二元一 次方程组，解出 AE=2，AF=1，进而得到点 A 的坐标； （2）先由抛物线过原点（0，0），设此抛物线的解析式为 y=ax2+bx，再根据抛物线过原点（0，0）和 A 点 （﹣2，0），求出对称轴为直线 x=﹣1，则由 B 点横坐标为﹣4 得出 C 点横坐标为 2，BC=6．再由 OB＞OC， 可知当△OBC 是等腰三角形时，可分两种情况讨论：①当 OB=BC 时，设 B（﹣4，y1），列出方程，解方 程求出 y1 的值，将 A，B 两点坐标代入 y=ax2+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式；②当 OC=BC 时，设 C（2，y2），列出方程，解方程求出 y2 的值，将 A，C 两点坐标代入 y=ax2+bx，运用待定系数法求 出此抛物线的解析式． 解答： 解：（1）如图，过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F． 由题意，可知 OF=AF，则 2AF+AE=4①． ∵DF∥BE， ∴△ADF∽△ABE， ∴ = = ，即 AE=2AF②， ①与②联立，解得 AE=2，AF=1， ∴点 A 的坐标为（﹣2，0）； （2）∵抛物线过原点（0，0）， ∴可设此抛物线的解析式为 y=ax2+bx． ∵抛物线过原点（0，0）和 A 点（﹣2，0）， ∴对称轴为直线 x= =﹣1， ∵B、C 两点关于直线 x=﹣1 对称，B 点横坐标为﹣4， ∴C 点横坐标为 2， ∴BC=2﹣（﹣4）=6． ∵抛物线开口向上， ∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC， ∴当△OBC 是等腰三角形时，分两种情况讨论： ①当 OB=BC 时，设 B（﹣4，y1）， 则 16+ =36，解得 y1=±2 （负值舍去）． 将 A（﹣2，0），B（﹣4，2 ）代入 y=ax2+bx， 得 ，解得 ． ∴此抛物线的解析式为 y= x2+ x； ②当 OC=BC 时，设 C（2，y2）， 则 4+ =36，解得 y2=±4 （负值舍去）． 将 A（﹣2，0），C（2，4 ）代入 y=ax2+bx， 得 ，解得 ． ∴此抛物线的解析式为 y= x2+ x． 综上可知，若△OBC 是等腰三角形，此抛物线的函数关系式为 y= x2+ x 或 y= x2+ x． 点评： 本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数的对称性，相似三角形的判定与性质，运用待定系 数法求抛物线的解析式，等腰三角形的性质，两点间的距离公式等知识，综合性较强，难度适中．运用数 形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．