南津中学 2014 级九年级上期末数学摸拟试题
(时间 120 分钟 满分 120 分)
姓名 得分
A 卷 (满分 80 分）
一．选择题（共 12 小题，满分 36 分）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． 3 2 2 3 C． 3312 D． 428
2．下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）w W w .
A． B． C． D．
3．在函数 中自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≤2 且 x≠0 C．x＜2 且 x≠0 D．x≥2
4．用配方法解方程 x2+4x+1=0，配方后的方程是（ ）
A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=5
5．已知 x=0 是二次方程（m +1）x2+ mx + 4m2- 4 = 0 的一个解，那么 m 的值是（ ）
A．0 B．1 C．- 1 D． 1
6．如图，点 D 在△ABC 的边 AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC
C． D．
7．（2011•丹东）某一时刻，身髙 1.6m 的小明在阳光下的影
长是 0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是 5m，则该旗杆的高度是（ ）
A．1.25m B．8m C．10m D．20m
8．（3 分）（2012•济南）如图，在 8×4 的矩形网格中，每格小正方形的边长都是 1，若△ABC 的三
个顶点在图中相应的格点上，则 tan∠ACB 的值为（ ）
A． B．
C． D．3
9．河堤横断面如图所示，堤高 BC=5 米，迎水坡 AB 的坡比是 1： （坡比是坡面的铅直高度 BC
与水平宽度 AC 之比），则 AC 的长是（ ）
A．5 米 B．10 米 C．15 米 D．10 米
10．为验证“掷一个质地均匀的骰子，向上的点数为偶数的概率是 0.5”，下列模拟实验中，不科学
的是（ ）
A．袋中装有 1 个红球一个绿球，它们除颜色外都相同，计算随机摸出红球的概率
B．用计算器随机地取不大于 10 的正整数，计算取得奇数的概率
C．随机掷一枚质地均匀的硬币，计算正面朝上的概率
D．如图，将一个可以自由旋转的转盘分成甲、乙、丙 3 个相同的扇形，转动转盘任其自由停止，
计算指针指向甲的概率
第 10 题 第 11 题 第 12 题
11．如图，△ABC 中，A、B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是（﹣1，0）．以点 C 为位似中心，
在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C，并把△ABC 的边长放大到原来的 2 倍．设点 B 的对应
点 B′的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，四边形 ABCD 中，AC=a，BD=b，且 AC 丄 BD，顺次连接四边形 ABCD 各边中点，得到四边
形 A1B1C1D1，再顺次连接四边形 A1B1C1D1 各边中点，得到四边形 A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四
边形 AnBnCnDn．下列结论正确的有（ ）
①四边形 A2B2C2D2 是矩形； ②四边形 A4B4C4D4 是菱形；③四边形 A5B5C5D5 的周长是
④四边形 AnBnCnDn 的面积是 ．
A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④
二．填空题（共 4 小题，满分 12 分）
13．若 +（y+3）2=0，则 x﹣y 的值为 ．
14．七张同样的卡片上分别写着数字 3,2,2,1,3
1,0,1 ，将它们背面朝上，
洗匀后任取一张卡片，所抽到卡片上的数字为无理数的概率是 ．
15．如图，梯形 ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线
相交于梯形中位线 EF 上一点 P，若 EF=3，则梯形 ABCD 的周长为 ．
16. 已知整数 a1，a2，a3，a4，…满足下列条件 01 a ， 2a 2
1 1a ，
3a 2
2 2a ， 4a 2
3 3a ，…，，依此类推，则 2012a 的值为
三．解答题（共 5 小题，满分 32 分）
17．（6 分）计算
1
00
2
130cos260tan1223
18．（6 分）如图，AE 是位于公路边的电线杆，为了使拉线 CDE 不影响汽车的正常行驶，电力部
门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆 BD，用于撑起拉线．已知公路的宽 AB 为 8 米，电线杆 AE
的高为 12 米，水泥撑杆 BD 高为 6 米，拉线 CD 与水平线 AC 的夹角为 67.4°．求拉线 CDE 的总长
L（A、B、C 三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．
（参考数据：sin67.4°≈ ，cos67.4°≈ ，tan67.4°≈ ）
19．（6 分）有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字 1、2、﹣1、﹣2，把它们背面朝上洗匀后，
甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母 b、c
分别表示甲、乙两同学抽出的数字．
（1）用列表法求关于 x 的方程 x2+bx+c=0 有实数解的概率；
（2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率．
20．（6 分）动脑想一想：
某旅行社为吸引市民组团去重庆黑山谷风景区旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工去重庆黑山谷风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用 27000 元，请问该单位这次共
有多少员工去重庆黑山谷风景区旅游？
21．（8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段
DE 上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若 AB=4，AD=3 ，AE=3，求 AF 的长．
B 卷（满分 40 分）
一、填空题（共 4 小题，满分 12 分）
1．设 m 是方程 x2-2012x +1 =0 的一个实数根，则
1
20122011 2
2
mmm 的值为 ．
2. 如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 的中点， ,52,2
1tan, ABBADACDA ，则
BC 的长度为 ．
3. 已知 a、b 为有理数，m、n 分别表示 的整数部分和小数部
分，且 amn+bn2=10，则
ba ．
4. 如图，在△ABC 中，D、E 两点分别在边 BC、AC 上，
,2:1:: BDCDECAE AD 与 BE 相交于点 F，
若△ABC 的面积为 21，则△ABF 的面积为 ．
三．解答题（共 3 小题，满分 28 分）
5．（8 分）阅读理解
如图，在 ABC 中，AD 平分 BAC ，求证：
CD
AC
BD
AB .
小明在证明此题时，想通过证明三角形相似来解决，但发现图中无相似三角形，于是过点 B 作
BE//AC 交 AD 的延长线于点 E，构造 ACD ∽ EBD ，则
CD
AC
BD
AB .
于是小明得出结论：在 ABC 中，AD 平分 BAC ，则
CD
AC
BD
AB .
（1）请完成小明的证明过程。
应用结论
（2）如图，在 ABCRt 中， ,900B AD 平分 ,BAC .12,5
5sin, ABaaBAD
线段 BD 的长度为：
求线段 CD 的长度和 a2sin 的值
6．（8 分）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据统计，某小
区 2009 年底拥有家庭电动自行车 125 辆，2011 年底家庭电动自行车的拥有量达到 180 辆．
（1）若该小区 2009 年底到 2012 年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到 2012
年底电动自行车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资 3 万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室
内车位 1000 元/个，露天车位 200 元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的
2 倍，但不超过室内车位的 2.5 倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．
7．（12 分）如图，已知△ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 B、A 两点出发，
分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达
点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s），解答下列问题：
（1）图（1），当 t 为何值时，AP=2AQ；
（2）图（2），当 t 为何值时，△APQ 为直角三角形；
（3）图（3），作 QD∥AB 交 BC 于点 D，连接 PD，当 t 为何值时，△BDP 与△PDQ 相似？
图（1） 图（2） 图（3）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题，满分 36 分）
1．（3 分）下列计算正确的是（ ）
A． B． 3 2 2 3 C． 3312 D． 428
考点： 二次根式的乘除法；二次根式的加减法． 1848119 w W w .
分析： 根据二次根式的运算法则计算即可．
解答： 解： ,3 2 2 3 ，不能合并，故选 C．
点评： 此题主要考查二次根式的运算，注意正确计算．
2．（3 分）下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 同类二次根式．1848119
分析： 根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．
解答： 解：A、 =2 与 被开方数不同，故不是同类二次根式；
B、 = 与 被开方数不同，故不是同类二次根式；
C、 = 与 被开方数不同，故不是同类二次根式；
D、 =3 与 被开方数相同，故是同类二次根式．故选 D．
点评：此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二
次根式叫做同类二次根式．
3．（3 分）函数 中自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x≤2 B．x≤2 且 x≠0 C．x＜2 且 x≠0 D．x≥2
考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件． 1848119
分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列不等式组求解．
解答：解：根据题意得： ，解得 x≤2 且 x≠0．故选 B．
点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0，二次根式有意义，被开方数是非负数．
4．（3 分）（2012•河北）用配方法解方程 x2+4x+1=0，配方后的方程是（ ）
A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x﹣2）2=5 D．（x+2）2=5
考点：解一元二次方程-配方法． 1848119
分析：在本题中，把常数项 1 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数 4 的一半的平方．
解答：解：把方程 x2+4x+1=0 的常数项移到等号的右边，得到 x2+4x=﹣1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 x2+4x+4=﹣1+4，配方得（x+2）2=3．故选 A．
点评：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为 1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数．
5．（3 分）已知 x=0 是二次方程（m + 1）x2+ mx + 4m2- 4 = 0 的一个解，那么 m 的值是（ ）
A．0 B．1 C．- 1 D． 1
考点：一元二次方程的解． 1848119
分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即
用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
解答：解：把 x=0 代入方程（m +1）x2+ mx + 4m2- 4 =0 可得 4m2- 4 = 0，解得 m= 1 ，又 m≠ 1
故本题选 B．
点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
6．（3 分）如图，点 D 在△ABC 的边 AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正
确的是（ ）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．
考点： 相似三角形的判定．1848119
分析： 由∠A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得 A 与 B 正确；又由两
组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得 D 正确，继而求得答案，注意排除法
在解选择题中的应用．
解答：解：∵∠A 是公共角，
∴当∠ABD=∠C 或∠ADB=∠ABC 时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；
故 A 与 B 正确；
当 时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；
故 D 正确；
当 时，∠A 不是夹角，故不能判定△ADB 与△ABC 相似，故 C 错误．故选 C．
点评：此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两
组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
7．（3 分）某一时刻，身髙 1.6m 的小明在阳光下的影长是 0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的
影长是 5m，则该旗杆的高度是（ ）
A．1.25m B．10m C．20m D．8m
考点： 相似三角形的应用．1848119
专题： 计算题．
分析：设该旗杆的高度为 xm，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长
的比相等，即有 1.6：0.4=x：5，然后解方程即可．
解答：解：设该旗杆的高度为 xm，根据题意得，1.6：0.4=x ：5，解得 x=20（m）．
即该旗杆的高度是 20m．故选 C．
点评：本题考查了三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等．
8．（3 分）如图，在 8×4 的矩形网格中，每格小正方形的边长都是 1，若△ABC 的三个顶点在图中
相应的格点上，则 tan∠ACB 的值为（ ）
A． B． C． D．3
考点：锐角三角函数的定义．1848119
专题：网格型．
分析：结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
解答：解：由图形知：tan∠ACB= = ，故选 A．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．
9．（3 分）（2011•东营）河堤横断面如图所示，堤高 BC=5 米，迎水坡 AB 的坡比是 1： （坡比
是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比），则 AC 的长是（ ）
A．5 米 B．10 米C．15 米 D． 10 米
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．1848119
分析： Rt△ABC 中，已知了坡面 AB 的坡比以及铅直高度 BC 的值，通过解直角三角形即
可求出水平宽度 AC 的长．
解答：解：Rt△ABC 中，BC=5 米，tanA=1： ；∴AC=BC÷tanA=5 米；故选 A．
点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
10．（3 分）为验证“掷一个质地均匀的骰子，向上的点数为偶数的概率是 0.5”，下列模拟实验中，
不科学的是（ ）
A． 袋中装有 1 个红球一个绿球，它们除颜色外都相同，计算随机摸出红球的概率
B． 用计算器随机地取不大于 10 的正整数，计算取得奇数的概率
C． 随机掷一枚质地均匀的硬币，计算正面朝上的概率
D． 如图，将一个可以自由旋转的转盘分成甲、乙、丙 3 个相同的扇形，转动转盘任其自由停
止，计算指针指向甲的概率
考点：模拟实验． 1848119
分析：分析每个试验的概率后，与原来掷一个质地均匀的骰子的概率比较即可．
解答：解：A、袋中装有 1 个红球一个绿球，它们出颜色外都相同，随机摸出红球
的概率是 ，故本选项正确；
B、用计算器随机地取不大于 10 的正整数，取得奇数的概率是 ，故本选项正确；
C、随机掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是 ，故本选项正确；
D、将一个可以自由旋转的转盘分成甲、乙、丙 3 个相同的扇形，转动转盘任其自由停止，指针指
向甲的概率是 ，故本选项错误；故选 D．
点评：此题考查了模拟实验，选择和掷一个质地均匀的骰子类似的条件
的试验验证掷一个质地均匀的骰子的概率，是一种常用的模拟试验的方
法．
11．（3 分）如图，△ABC 中，A、B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的
坐标是（﹣1，0）．以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作△ABC 的位似
图形△A′B′C，并把△ABC 的边长放大到原来的 2 倍．设点 B 的对应点
B′的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
考点：位似变换． 1848119
分析：根据位似变换的性质得出△ABC 的边长放大到原来的 2 倍，FO=a，CF=a+1，CE= （a+1），
进而得出点 B 的横坐标．
解答：解：∵点 C 的坐标是（﹣1，0）．以点 C 为位似中心，在 x 轴
的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C，并把△ABC 的边长放大到原来
的 2 倍．
点 B 的对应点 B′的横坐标是 a，∴FO=a，CF=a+1，∴CE= （a+1），
∴点 B 的横坐标是：﹣ （a+1）﹣1=﹣ （a+3）．故选 D．
点评：主要考查了位似变换的性质，根据已知得出 FO=a，CF=a+1，CE= （a+1），是解决问题的
关键．
12．（3 分）如图，四边形 ABCD 中，AC=a，BD=b，且 AC 丄 BD，顺次连接四边形 ABCD 各边
中点，得到四边形 A1B1C1D1，再顺次连接四边形 A1B1C1D1 各边中点，得到四边形 A2B2C2D2…，
如此进行下去，得到四边形 AnBnCnDn．下列结论正确的有（ ）
①四边形 A2B2C2D2 是矩形；
②四边形 A4B4C4D4 是菱形；
③四边形 A5B5C5D5 的周长是
④四边形 AnBnCnDn 的面积是 ．
A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④
考点： 三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．1848119
专题： 规律型．
分析： 首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形 ABCD 中各边长的长度关系规
律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形 A5B5C5D5 的周长；
④根据四边形 AnBnCnDn 的面积与四边形 ABCD 的面积间的数量关系来求其面积．
解答：解：①连接 A1C1，B1D1．
∵在四边形 ABCD 中，顺次连接四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 A1B1C1D1，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；
∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，
∴四边形 A1B1C1D1 是平行四边形；
∵AC 丄 BD，∴四边形 A1B1C1D1 是矩形，
∴B1D1=A1C1（矩形的两条对角线相等）；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位线定理），
∴四边形 A2B2C2D2 是菱形； 故本选项错误；
②由①知，四边形 A2B2C2D2 是菱形； ∴根据中位线定理知，四边形 A4B4C4D4 是菱形；
故本选项正确；
③根据中位线的性质易知，A5B5= A3B3= × A1B1= × × AC，
B5C5= B3C3= × B1C1= × × BD，
∴四边形 A5B5C5D5 的周长是 2× （a+b）= ；故本选项正确；
④∵四边形 ABCD 中，AC=a，BD=b，且 AC 丄 BD，∴S 四边形 ABCD=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形 AnBnCnDn 的面积是 ；故本选项正确；综上所述，②③④正确．故选 C．
点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中
位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．
二．填空题（共 4 小题，满分 12 分）
13．若 +（y+3）2=0，则 x﹣y 的值为 7 ．
考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方． 1848119
专题： 常规题型．
分析： 根据非负数的性质列式求出 x、y 的值，然后代入代数式进行计算即可求解．
解答：解：根据题意得，x+y﹣1=0，y+3=0，解得 x=4，y=﹣3，
∴x﹣y=4﹣（﹣3）=4+3=7．故答案为：7．
点评：本题考查了平方数非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于 0，则每一
个算式都等于 0 列式是解题的关键．
14．七张同样的卡片上分别写着数字 3,2,2,1,3
1,0,1 ，将它们背面朝上，洗匀
后任取一张卡片，所抽到卡片上的数字为无理数的概率是 ．
考点：概率公式；无理数． 1848119
分析：根据题意可得：14．（5 分）七张同样的卡片上分别写着数字
3,2,2,1,3
1,0,1 ，将它们背面朝上，洗匀后任取一张卡片，所抽到卡片上
的数字为无理数的概率是 ．
解答：解：P（无理数）=
7
3 ．
点评：本题考查的是概率的求法．如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事
件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）=
n
m
15．如图，梯形 ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线 EF 上一点 P，若 EF=3，
则梯形 ABCD 的周长为 12 ．
考点：梯形中位线定理．1848119
分析：利用角平分线的性质和梯形中位线性质，可求出 BE=EP，而 AE=BE，所以 AB=2EP，同理
CD=2DF，所以可求出 AB+CD 的长，再利用梯形中位线定理可求出上下底之和，那么梯形周长可
求．
解答：解：∵EF 是梯形中位线，∴EF∥BC，AD+BC=2EF=6，∴∠EPB=∠PBC，
又∵BP 是∠ABC 的角平分线，∴∠EBP=∠PBC，∴∠EBP=∠EPB，∴BE=EP，
又∵E 似 AB 中点，∴AE=BE，∴AB=2EP，同理 CD=2FP，∴AB+CD=2（EP+FP）=2EF=6，
∴梯形周长=AD+BC+AB+CD=6+6=12．
点评：本题利用了角平分线性质，梯形中位线定理、以及梯形周长公式．
16. 已知整数 a1，a2，a3，a4，…满足下列条件 01 a ， 2a 2
1 1a ， 3a 2
2 2a ，
4a 2
3 3a ，…，，依此类推，则 2012a 的值为 ﹣1006
考点：规律型：数字的变化类． 1848119
专题：规律型．
分析：根据条件求出前几个数的值，再分 n 是奇数时，结果等于﹣ ，n 是偶数时，结果等于﹣
，然后把 n 的值代入进行计算即可得解．
解答：解：a1=0，
a2=﹣|a1+1|=﹣|0+1|=﹣1，
a3=﹣|a2+2|=﹣|﹣1+2|=﹣1，
a4=﹣|a3+3|=﹣|﹣1+3|=﹣2，
a5=﹣|a4+4|=﹣|﹣2+4|=﹣2，
…，
所以，n 是奇数时，an=﹣ ，n 是偶数时，an=﹣ ，a2012=﹣ =﹣1006．
点评：本题是对数字变化规律的考查，根据所求出的数，观察出 n 为奇数与偶数时的结果的变化规
律是解题的关键．
三．解答题（共 5 小题，满分 32 分）
17．（6 分）计算
1
00
2
130cos260tan1223
考点： 特殊角的三角函数值；实数的运算；零指数幂．
专题： 计算题．
分析： （1）先根据数的开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）分别根据 0 指数幂及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算
即可．
解答： 解：（1）原式= 22363222
3233232
点评：本题考查的是特殊角的三角函数值及实数的运算法则，熟练掌握数的开方法则、0 指数幂及
特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
18．（6 分）（2011•益阳）如图，AE 是位于公路边的电线杆，为了使拉线 CDE
不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆 BD，
用于撑起拉线．已知公路的宽 AB 为 8 米，电线杆 AE 的高为 12 米，水泥撑杆
BD 高为 6 米，拉线 CD 与水平线 AC 的夹角为 67.4°．求拉线 CDE 的总长 L（A、
B、C 三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．
（参考数据：sin67.4°≈ ，cos67.4°≈ ，tan67.4°≈ ）
考点： 解直角三角形的应用． 1848119
分析：根据 sin∠DCB= ，得出 CD 的长，再根据矩形的性质得出 DF=AB=8，
AF=BD=6，进而得出拉线 CDE 的总长 L．
解答：解：在 Rt△DBC 中，sin∠DCB= ，∴CD= =6.5（m）．
作 DF⊥AE 于 F，则四边形 ABDF 为矩形，∴DF=AB=8，AF=BD=6，∴EF=AE﹣AF=6，
在 Rt△EFD 中，ED= =10（m）．∴L=10+6.5=16.5（m）
点评：此题主要考查了解直角三角形以及矩形的性质，得出 CD 的长度以及 EF 的长是解决问题的
关键．
19．（6 分）有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字 1、2、﹣1、﹣2，把它们背面朝上洗匀后，
甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母 b、c
分别表示甲、乙两同学抽出的数字．
（1）用列表法求关于 x 的方程 x2+bx+c=0 有实数解的概率；
（2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率．
考点：列表法与树状图法；根的判别式． 1848119
分析：（1）根据题意列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与关于 x 的方程 x2+bx+c=0 有实数
解的情况数，根据即可概率公式求解；
（2）首先求得（1）中方程有两个相等实数解的情况，然后即可根据概率公式求解．
解答： 解：（1）列表得：
（1，﹣2） （2，﹣2） （﹣1，﹣2） （﹣2，﹣2）
（1，﹣1） （2，﹣1） （﹣1，﹣1） （﹣2，﹣1）
（1，2） （2，2） （﹣1，2） （﹣2，2）
（1，1） （2，1） （﹣1，1） （﹣2，1）
∴一共有 16 种等可能的结果，
∵关于 x 的方程 x2+bx+c=0 有实数解，即 b2﹣4c≥0，
∴关于 x 的方程 x2+bx+c=0 有实数解的有（1，﹣1），（1，﹣2），（2，1），（2，﹣1），（2，﹣2），
（﹣1，﹣1），（﹣1，﹣2），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（﹣2，﹣2）共 10 种情况，
∴关于 x 的方程 x2+bx+c=0 有实数解的概率为： = ；
（2）（1）中方程有两个相等实数解的有（﹣2，1），（2，1），
∴（1）中方程有两个相等实数解的概率为： = ．
点评：此题考查了列表法求概率与一元二次方程根的情况的判定．注意△＞0，有两个不相等的实
数根，△=0，有两个相等的实数根，△＜0，没有实数根．
20．（6 分）动脑想一想：
我市凤凰旅行社为支援灾区建设，准备吸引我市市民组团去四川省都江堰风景区旅游，推出了如下
收费标准：
某单位组织员工去四川省都江堰风景区旅游，共支付给凤凰旅行社旅游费用 27000 元，请问该单位
这次共有多少员工去四川省都江堰风景区旅游？
考点： 一元二次方程的应用． 1848119
专题： 应用题．
分析： 首先根据共支付给凤凰旅行社旅游费用 27 000 元，确定旅游的人数的范围，然后根
据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有 x 名员工去都江堰风景区旅游．即可由对话框，
超过 25 人的人数为（x﹣25）人，每人降低 20 元，共降低了 20（x﹣25）元．实际每人收了[1000
﹣20（x﹣25）
]
元，列出方程求解．
解答：解：设该单位去风景区旅游人数为 x 人，则人均费用为 1000﹣20（x﹣25）元
由题意得 x[1000﹣20（x﹣25）
]
=27000 整理得 x2﹣75x+1350=0，解得 x1=45，x2=30．
当 x=45 时，人均旅游费用为 1000﹣20（x﹣25）=600＜700，不符合题意，应舍去．
当 x=30 时，人均旅游费用为 1000﹣20（x﹣25）=900＞700，符合题意．
答：该单位去风景区旅游人数为 30 人．
点评：考查了一元二次方程的应用．此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际
问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方
程，再求解．
21．（8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段
DE 上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：∠DAF=∠CDE；
（2）若 AB=4，AD=3 ，AE=3，求 AF 的长．
考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．1848119
专题：探究型．
分析：（1）先根据四边形 ABCD 是平行四边形，得出 AD∥BC，∠B=∠ADC，再由∠AFE=∠B 可
得出∠AFE=∠ADC，通过等量代换可得出∠DAF=∠CDE；
（2）先由四边形 ABCD 是平行四边形，可得出 AD∥BC，CD=AB=4，再由 AE⊥BC，得出
AE⊥AD，由勾股定理求出 DE 的长，由△ADF∽△DEC 可得出两三角形的边对应成比例，进而可
得出 AF 的长．
解答：证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∠B=∠ADC，
∴∠ADE=∠DEC，∵∠AFE=∠B，∴∠AFE=∠ADC，
∵∠AFD=180°﹣∠AFE，∠C=180°﹣∠ADC，∴∠AFD=∠C，∴∠DAF=∠CDE；
（2）解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC CD=AB=4，
又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，
在 Rt△ADE 中，DE= = =6
∵△ADF∽△DEC，∴ = ，∴ = ，∴AF=2 ．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，勾股定理及平行四边形的性质，此题有一定的综合
性，难度适中．
加试卷（40 分）
一、填空题（每题 3 分，共 12 分）
1．设 m 是方程 x2-2012x +1 =0 的一个实数根，则
1
20122011 2
2
mmm 的值为 ．
考点： 一元二次方程的解．1848119
专题： 计算题．
分析： 先根据一元二次方程的解的定义得到 m2-2012m+1=0，变形有 m2=2012m-1，则
m2+1=2012m， 20121
mm ，再利用整体思想进行计算．
解答：解：∵m 是方程 x2-2012x+1=0 的根，∴m2-2012m+1=0，∴m2=2012m-1，故答案为 2011．
点评：本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程的解及整体代入法．
2.如图，在△ABC 中，点 D 是 BC 的中点，
52,2
1tan, ABBADACDA , 则 BC 的长度为 ．
3.已知 a、b 为有理数，m、n 分别表示 的整数部分和
小数部分，且 amn+bn2=10，则 ba ．
考点：估算无理数的大小． 1848119
分析：只需首先对 5﹣ 估算出大小，从而求出其整数部分 a，其小数部分用 5﹣ ﹣a 表示．再
分别代入 amn+bn2=1 进行计算．
解答：解：因为 2＜ ＜3，所以 2＜5﹣ ＜3，故 m=2，n=5﹣ ﹣2=3﹣ ．
把 m=2，n=3﹣ 代入 amn+bn2=1 得，2（3﹣ ）a+（3﹣ ）2b=10
化简得（6a+16b）﹣ （2a+6b）=10，等式两边相对照，因为结果不含 ，
所以 6a+16b=10 且 2a+6b=0，解得 a=15，b=﹣5．所以 ba 15﹣（-5）=20．故答案为：20
点评：本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无
理数的大小是解决此类问题的关键．
4.如图，在△ABC 中，D、E 两点分别在边 BC、AC 上，
,2:1:: BDCDECAE AD 与 BE 相交于点 F，若△ABC 的
面积为 21，则线段△ABF 的面积为 6 ．
二、解答题（本大题 3 小题，共 28 分）
5．（8 分）如图，在 ABC 中，AD 平分 BAC ，求证：
CD
AC
BD
AB .
小明在证明此题时，想通过证明三角形相似来解决，但发现图中无相似三角形，于是过点 B 作
BE//AC 交 AD 的延长线于点 E，构造 ACD ∽ EBD ，则
CD
AC
BD
AB .
于是小明得出结论：在 ABC 中，AD 平分 BAC ，则
CD
AC
BD
AB .
（1）请完成小明的证明过程。
考点： 相似三角形的判定与性质． 1848119
专题： 证明题．
分析： 先过点 B 作 BE∥AC 交 AD 延长线于点 E，由于 BE∥AC，利用平行线分线段成比
例定理的推论、平行线的性质，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质
可有 ，而利用 AD 时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是 BE=AB，等量代换即可证．
解答：解：过点 B 作 BE∥AC 交 AD 延长线于点 E，∵BE∥AC，∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，
∴△BDE∽△CDA，∴ ，又∵AD 是角平分线，∴∠E=∠DAC=∠BAD，∴BE=AB，
∴ ．
点评：本题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论．关
键是作平行线．
6．（8 分）（2012•河池）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据
统计，某小区 2009 年底拥有家庭电动自行车 125 辆，2011 年底家庭电动自行车的拥有量达到 180
辆．
（1）若该小区 2009 年底到 2012 年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到 2012
年底电动自行车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资 3 万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室
内车位 1000 元/个，露天车位 200 元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的
2 倍，但不超过室内车位的 2.5 倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．
考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用．1848119
分析：（1）设年平均增长率是 x，根据某小区 2009 年底拥有家庭电动自行车 125 辆，2011 年底家
庭电动自行车的拥有量达到 180 辆，可求出增长率，进而可求出到 2012 年底家庭电动车将达到多
少辆．
（2）设建 x 个室内车位，根据投资钱数可表示出露天车位，根据计划露天车位的数量不少于
室内车位的 2 倍，但不超过室内车位的 2.5 倍，可列出不等式组求解，进而可求出方案情况．
解答：解：（1）设家庭电动自行车拥有量的年平均增长率为 x，
则 125（1+x）2=180，解得 x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）∴180（1+20%）=216（辆），
答：该小区到 2012 年底家庭电动自行车将达到 216 辆；
（2）设该小区可建室内车位 a 个，露天车位 b 个，则 ，
由①得 b=150﹣5a，代入②得 20≤a≤ ，∵a 是正整数，∴a=20 或 21，
当 a=20 时 b=50，当 a=21 时 b=45．
∴方案一：建室内车位 20 个，露天车位 50 个；方案二：室内车位 21 个，露天车位 45 个．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，关键是先求出增长率，再求出 2012 年的家庭电动自行车
量，然后根据室内车位和露天车位的数量关系列出不等式组求解．
7．（12 分）如图，已知△ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，
分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q 到达
点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（s），解答下列问题：
（1）图（1），当 t 为何值时，AP=2AQ；
（2）图（2），当 t 为何值时，△APQ 为直角三角形；
（3）图（3），作 QD∥AB 交 BC 于点 D，连接 PD，当 t 为何值时，△BDP 与△PDQ 相似？
考点：相似三角形的性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质；解直角三角形．1848119
专题：动点型．
分析：（1）当 t 时，可分别计算出 AP、AQ 的长，再对△BPQ 的形状进行判断；
（2）由题目线段的长度可证得△CDQ 为等边三角形，进而得出四边形 EPDQ 是矩形，由
△APD∽△PDQ，可得出∠QPD=60°，利用 60°的特殊角列出一方程即可求得 t 的值．
解答：解：（1）t=
（2）t=3 或
（3）t=2 或
（4）
点评：此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的判定及性质、三角形相似、移动的特
征、解直角三角形、函数等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
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