丰台区初三数学期末试卷及答案

丰台区 2013~2014 学年度第一学期期末练习 初三数学 一、选择题（本题共 36 分,每小题 4 分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1. 已知 )0(43  xyyx ,则下列比例式成立的是( ) A． y x 4 3  B. 34 yx  C. 4 3 y x D. 4 3 y x  2．如图，在 ABC 中，D 、 E 分别是 AB 、 AC 边上的点，且 BCDE // ，如果 5:3: BCDE ,那么 ACAE : 的值为( ) A． 2:3 B. 3:2 C. 5:2 D. 5:3 3. 已知⊙O 的半径为 4 cm，如果圆心O 到直线 l 的距离为 3.5 cm，那么直线 l 与⊙O 的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 4. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有 1、2、3、4、5、6 六个数字，投掷这个骰子一次，则 向上一面的数字不小于 3 的概率是( ) A． 2 1 B． 3 1 C． 3 2 D. 6 1 5. 在小正方形组成的网格图中，直角三角形的位置如图所示，则 sin 的值为 （ ） 3 2 B. 2 3 C. 13 133 D. 13 132 6. 当 0x 时，函数 xy 5 的图象在( ) A．第四象限 B. 第三象限 C．第二象限 D．第一象限 7. 如图，⊙O 的半径为 5， AB 为弦， ABOC  ，垂足为 E ，如果 2CE ，那 么 AB 的长是（ ） A．4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 如图 ，在 平面直 角坐 标系 中，抛 物线 2 2 1 xy  经过 平移 得到抛 物线 xxy 22 1 2  ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是( ) A．2 B. 4 C. 8 D. 16 9. 如 图 （ 1 ）， E 为 矩 形 ABCD 边 AD 上 一 点 ， 点 P 从 点 B 沿 折 线 DCEDBE  运动到点C 时停止，点Q 从点 B 沿 BC 运动到点C 时停止，它 们运动的速度都是 scm/1 .如果点 P 、Q 同时开始运动，设运动时间为 )(st ， BPQ 的面积为 )( 2cmy ， 已知 y 与t 的函数关系的图象如图（2）所示，那么下列结论正确的是（ ） A. 8AE  B. 100  t当 时， 2 5 4 ty  C. 4sin 5EBC  D. 当 st 12 时， BPQ 是等腰三角形 二．填空题（本题共 20 分,每小题 4 分） 10. 两个相似三角形的面积比是 9:5 ，则它们的周长比是_______. 11. 在 ABCRt 中， 090C ，如果 3tan A ，那么 A _______°. 12. 如果扇形的圆心角为 120°，半径为 3cm，那么扇形的面积是__________________ 2cm . 13. 一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的.从中随机摸出一 枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是_______. 14. 如图，点 A1、A2 、A3 、…，点 B1、B2 、B3 、…，分别在射线 OM、ON 上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4 ∥…．如果 A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A 4=4OA1，…． 那么 A2B2= ， AnBn= ．（n 为正整数） 三、解答题（本题共 19 分，第 15 题 4 分，第 16 题 5 分，第 17 题 5 分，第 18 题 5 分） 15. 计算： 000 60sin245cos30tan3  . 16. 已知二次函数 2 2 1y x x   . （1）写出它的顶点坐标； （2）当 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大； （3）求出图象与 x 轴的交点坐标. 17．如图，在⊙O 中，C ﹑ D 为⊙O 上两点， AB 是⊙O 的直径，已知 0130AOC ， 2AB . 求（1）⌒AC 的长； （2） 的度数D . 18.如图，在 ABC 中， 090C ， 5 2sin A ， D 为 AC 上一点， 045BDC ， 6DC ，求 AD 的长. 四、解答题（本题共 17 分，第 19 题 5 分，第 20 题 6 分，第 21 题 6 分） 19. 如图，PA ﹑ PB 是⊙O 的切线， A ﹑ B 是切点， AC 是⊙O 的直径， 070ACB .求 P 的度数. 20. 如图，一次函数 11  xy 的图象与反比例函数 x ky 2 （ k 为常 数，且 0k ）的图象都经过点 )2,(mA . （1）求点 A 的坐标及反比例函数的解析式； （2）观察图象，当 0x 时，直接写出 1y 与 2y 的大小关系. 21. 如图， BCA 是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径 BD 交 AC 于点 E ， BDAF  与点 F ，延长 AF 交 BC 于点G . 求证： 2AB BG BC  . 五．解答题（本题共 28 分，第 22 题 6 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 22．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 060 方向，距离灯塔 100 海里的 A 处，它计划沿正北方向航行， 去往位于灯塔 P 的北偏东 045 方向上的 B 处. （参考数据： 2 1.414, 3 1.732, 6 2.449   ） （1）问 B 处距离灯塔 P 有多远？（结果精确到 0.1 海里） （2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线 PB 上，距离灯塔 190 海里的点 O 处.圆形暗礁区域的 半径为 50 海里，进入这个区域，就有触礁的危险.请判断海轮到达 B 处是否有触礁的危险，并说明理 由. 23.如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离 都是 1m，拱桥的跨度为 10m，桥洞与水面的最大距离是 5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4m 的 景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）． 求（1）抛物线的解析式； （2）两盏景观灯 1P 、 2P 之间的水平距离. 图（1） 图（2） 24. 已知直线 y=kx-3 与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 C，抛物线 23 4y x mx n    经过点 A 和点 C,动点 P 在 x 轴上以每秒 1 个长度单位的速度由抛物线与 x 轴的另一个交点 B 向点 A 运动，点 Q 由点 C 沿线段 CA 向点 A 运动且速度是点 P 运动速度的 2 倍. （1）求此抛物线的解析式和直线的解析式； （2）如果点 P 和点 Q 同时出发，运动时间为 t（秒），试问当 t 为何值时，以 A、P、Q 为顶点的三角 形与△AOC 相似； （3）在直线 CA 上方的抛物线上是否存在一点 D，使得△ACD 的面积最大.若存在，求出点 D 的坐标； 若不存在，请说明理由． 25. 已知 ABD 和 CBD 关于直线 BD 对称(点 A 的对称点是点C )，点 E 、F 分别是线段 BC 和 线段 BD 上的点，且点 F 在线段 EC 的垂直平分线上，联结 AF 、AE ，AE 交 BD 于点G ． （1）如图（1），求证： ABDEAF  ； （2）如图（2），当 ADAB  时， M 是线段 AG 上一点，联结 BM 、 ED 、 MF ， MF 的 延 长线交 ED 于点 N ， BAFMBF  2 1 ， ADAF 3 2 ，试探究线段 FM 和 FN 之 间的数量关系，并证明你的结论． 图（1） 图（2） 备用图 丰台区 2013~2014 学年度第一学期初三数学练习期末参考答案 一．选择题（本题共 36 分,每小题 4 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D A C D C C B C 二．填空题（本题共 20 分,每小题 4 分） 10. 3:5 11. 060 12. 3 13. 4 9 14. （1） 1 1A B  6 ，（2） n nA B  ( 1)n n  三．解答题（本题共 19 分，第 15 题 4 分，第 16 题 5 分，第 17 题 5 分，第 18 题 5 分） 15.解：原式 3 2 33 23 2 2      ………3 分 16.解：（1）（-1，-2） ……………………1 分 23 32    （2） x> 1 ， ……………………3 分 22 3 2   ……………4 分 （3）坐标为   1 2,0 1+ 2,0  ， …5 分 17．解（1） 130AOC   ∴⌒AC =130 180 R ………………………………1 分 130 13 180 18    (或13 18  ) ……………2 分 （2）由 130AOC   得 50BOC   …………………………………3 分 又 1 2D BOC   ……………………………4 分 1 50 252D     …………………………5 分 18. 解：在 BDC 中， 090C ， 045BDC ， 6DC ∴ tan 45 1BC DC    ∴ 6BC  …………………………………1 分 在 ABC 中， 5 2sin A ，∴ 2 5 BC AB  ，……2 分 ∴ 15AB  ……………………………………3 分 ∴ 2 215 6 3 21AC    …………………4 分 ∴ 3 21 6AD   ……………………………5 分 四、解答题（本题共 17 分，第 19 题 5 分，第 20 题 6 分，第 21 题 6 分） 19.解：∵PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 是切点， ∴PA=PB，∠PAC=900 …………………2 分 ∴∠PAB=∠PBA …………………………3 分 ∠P=1800-2∠PAB 又∵AC 是⊙O 的直径 ∴∠ABC=900 ，……………………………4 分 ∴∠BAC=900-∠ACB=200 ∠PAB=900-200=700 ∴ 180 2 70 40P       ……………5 分 20.解：(1)∵ 一次函数 1 1y x  的图象经过点 (A m ， 2) ， ∴ 2 1m  ． 解得 1m  ． ………………………………………………………1 分 ∴ 点 A 的坐标为 (1A ， 2) ．………………………………………2 分 ∵ 反比例函数 2 ky x  的图象经过点 (1A ， 2) ， ∴ 2 1 k ．解得 2k  ． …………………………………………3 分 ∴ 反比例函数的表达式为 2 2y x  ．………………………………4 分 (2)观察图象，得 ①当 0 1x  时， 1 2y y ； ………………………5 分 ②当 1x  时， 1 2y y ；………………………………6 分 ③当 1x  时， 1 2y y ． 注：若①+③或②+③，只给 1 分。 21.证明：延长 AF 交圆于 H…………………………1 分 ∵BD 直径， AF BD 于点 F ∴⌒AB =⌒BH ……………………………2 分 ∴∠1=∠C ………………………………3 分 又∠ABG=∠ABC ， ∴△ABG∽△CBA ………………………4 分 ∴ AB BG CB BA  ………………………………5 分 ∴ 2AB =BG·BC …………………………6 分 五．解答题（本题共 28 分，第 22 题 6 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 22.解：(1)如图，作 PC AB 于点 C…………………1 分 w W w . 在 Rt PAC 中， 90PCA   ， 90 60 30CPA      ∴PC=PA·cos30= 3100 50 32   …………………2 分 在 Rt PCB 中， 90PCB   ， 90 45 45PBC      2 50 6PB PC   ≈122.5………………………3 分 ∴B 处距离 P 有 122.5 海里. （2）没有危险. …………………………………………………4 分 理由如下： OB=OP-PB=190 50 6 ……………………………………5 分  190 50 6 50  =140 50 6 0 ，…………………6 分 即 50OB  ，∴无危险 23． 解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与 y 轴交点坐标是（0，1）………1 分 设抛物线的解析式是 y=a(x－5)2＋5 ………………………………2 分 把（0，1）代入 y=a(x－5)2＋5 得 a=－ 4 25 ………………………3 分 ∴y=－ 4 25 (x－5)2＋5（0≤x≤10）= 24 8 125 5x x   ………………4 分 （2）由已知得两景观灯的纵坐标都是 4 ∴4=－ 4 25 (x－5)2＋5 ……………………………………………………5 分 ∴ 4 25 (x－5)2=1 ，解得 x1=15 2 ，x2= 5 2 ………………………………6 分 ∴ 两景观灯间的距离为 5 米． ……………………………………………7 分 24．解：（1）∵ 直线 y=kx-3 过点 A（4，0），∴ 0 = 4k -3，解得 k= 3 4 ． ∴ 直线的解析式为 y= 3 4 x-3．……………………………………1 分 由直线 y= 3 4 x-3 与 y 轴交于点 C，可知 C(0，-3) ． ∴ 23 4 4 3 04 m     ，解得 m=15 4 ． ∴ 抛物线解析式为 23 15 3.4 4y x x    ………………………2 分 （2）对于抛物线 3x4 15x4 3y 2  ， 令 y=0，则 03x4 15x4 3 2  ，解得 x1=1，x2=4． ∴ B(1，0). ………………………………………………3 分 ∴ AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t. 1 若∠Q1P1A=90°,则 P1Q1∥OC（如图 1）， ∴ △AP1Q1∽△AOC. ∴ 1 1AP AQ AO AC  , ∴ 3 t 5 2t 4 5   ．解得 t= 5 3 ； ………4 分 ② 若∠P2Q2A=90°, ∵∠P2AQ2 =∠OAC，∴ △AP2Q2∽△AOC. ∴ 2 2AP AQ AC AO  , ∴ 3 t 5 2t 5 4   ．解得 t= 13 6 ； ………………5 分 综上所述，当 t 的值为 5 3 或 13 6 时，以 P、Q、A 为顶点的三角形与△AOC 相似． （3）答：存在． 过点 D 作 DF⊥x 轴，垂足为 E，交 AC 于点 F（如图 2）. ∴ S△ADF= 1 2 DF·AE，S△CDF= 1 2 DF·OE． ∴ S△ACD= S△ADF + S△CDF= 1 2 DF×(AE+OE) = 1 2 ×4 (DE+EF) =2×( 23 15 3x x 3 x 34 4 4      )= 23 x 6x2   ．…………6 分 ∴ S△ACD= 23 (x 2) 62    （0