江阳西路学校初三年级诊断性考试数学试题（三）

江阳西路学校初三年级诊断性考试数学试题（三） A 卷 第Ⅰ卷 选择题(共 39 分) 一、选择题(共 39 分，每小题 3 分) 以下每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请选出正确答案 1、9 的平方根是（ ）． A. 3 B. －3 C. ±3 D. 81 2、北京 2008 年第 29 届奥运会火炬接力活动历时 130 天，传递总里程约 13.7 万千米．传递总 里程用科学记数法表示为（ ） A、1.37 10 千米 B、 51.37 10 千米 C、 41.37 10 千米 D、 413.7 10 千米 3、函数 2 xy x  中自变量 x 的取值范围是（ ） A.x＜2 且 x ≠0 B. x ≤ 2 且 x ≠0 C.x ≥2 D.x ＞2 4、下列二次根式中与 2 是同类二次根式的是（ ）． A． 12 B． 2 3 C． 3 2 D． 18 5、下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC 经过旋转或平移得到的是 （ ） 6、一次数学测试后，随机抽取九年级三班 6 名学生的成绩如下：80，85，86，88，88，95．关 于这组数据的错误说法是（ ） A、极差是 15 B、众数是 88 C、中位数是 86 D、平均数是 87 7、下列说法正确的是（ ） A．为了了解我市今年夏季冷饮市场冰淇淋的质量可采用普查的调查方式进行. B．为了了解一本 300 页的书稿的错别字的个数，应采用普查的调查方式进行. C．销售某种品牌的鞋，销售商最感兴趣的是所销售的鞋的尺码的平均数. D．为了了解我市九年级学生中考数学成绩，从所有考生的试卷中抽取 1000 份试卷进行统计 密 封 线 内 不 要 答 题 姓 名 班 级 考 号 学 校 A B O 图甲 A B O 图乙 分析，在这个问题中，样本是被抽取的 1000 名学生． 8、以如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为 1，如果以 MN 所 在的直线为 Y 轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标 系，使 A 点与 B 点关于原点对称，则这时 C 点的坐标可能是（ ） A、（1，3） B、（2，-1） C、2，1） D、（3，1） 9、不等式组      753 42 x x 的解集在数轴上可以表示为（ ） 10、若四边形的两条对角线互相垂直,则顺次连结该四边形各边中点所得的四边形是( ) A、梯形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 11、正比例函数 kxy 2 与反比例函数 x ky 1 在同一坐标系中的图象不可能．．．是（ ） A B C D 12、已知关于 x 的一元二次方程 2 2x m x  有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ）． A． m＞－1 B． m＜－1 C．m ≥0 D．m＜0 13、如图(甲)，水平地面上有一面积为 30 cm2 的灰色扇形 OAB，其中 OA 的长度为 6cm，且与地面垂直.若在没有 滑动的情况下，将图(甲)的扇形向右滚动至 OB 垂直地面 为止，如图(乙)所示，则 O 点移动的距离为（ ） A. 20cm B. 24cm C. 10 cm D.30 cm A 卷 第Ⅱ卷 (非选择题，共 61 分) 二、(本大题 3 个小题,共 14 分，第(1)小题 7 分，第(2)、(3)小题 6 分) 14、(1)计算： 12 －４sin60°＋( 2 －1)0+│－2│ （2）解方程: 11 1  xx . xO y xO y xO y xO y （3） 在如图 16 的方格纸中，每个小方格都是边长 为 1 个单位的正方形，△ABC 的三个顶点 都在格点 上（每个小方格的顶点叫格点）. （1）画出△ABC 向平移 4 个单位后的△A1B1C1； （2）画出△ABC 绕点 O 顺时针旋转 90°后的△A2B2C2， 并求点 A 旋转到 A2 所经过的路线长. 三、(本大题 2 个小题，共 16 分，每小题 8 分) 15、化简求值： aa aa aa a    2 2 12 1 2 2 2 ，其中 12 a ； 16、如图 1,四边形 ABCD 是矩形,O 是它的中心, E、F 是对角线 AC 上的点. (1)如果 , 则ΔDEC≌ΔBFA (请你在横线上填上能使结论成立的一个条件); (2) 证明你的结论. 四、(本大题 2 个小题，共 16 分，每小题 8 分) 17、某中学团委会为研究该校学生的课余活动情况，采取抽样的方法，从阅读、运动、娱乐、其 它等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制了如下的两幅不完整的统计图 （如图 1，图 2），请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？ （2）“其它”在扇形图中所占的圆心角是多少度？ （3）补全频数分布折线图． 18、某市推出电脑上网包月制，每月收取费用 y（元）与上网时间 x（小时）的函数关系如右下 图所示，其中 BA 是线段，且 BA∥x 轴，AC 是射线。 （1）当 x  30，求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若小李 4 月份上网 20 小时，他应付多少元的上网费用？ （3）若小李 5 月份上网费用为 75 元，则他在该月份的上网时间是多少？ 阅读 运动 娱乐 其它 项目 10 20 30 40 50 人数 O 其它娱乐 40% 运动 20% 阅读 图 1 图 2 A C B 60 90 30 40 X 小时 Y（元） 五、(本题 10 分) 19、某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过 60 km/h（即 50 3 m/s）．交通管理 部门在离该公路 100 m 处设置了一速度监测点 A，在如图 11 所示的坐标系中，点 A 位于 y 轴上， 测速路段 BC 在 x 轴上，点 B 在点 A 的北偏西 60°方向上，点 C 在点 A 的北偏东 45°方向上． （1）请在图 11 中画出表示北偏东 45°方向的射线 AC，并标出点 C 的位置； （2）点 B 坐标为 ，点 C 坐标为 ； （3）一辆汽车从点 B 行驶到点 C 所用的时间为 15 s，请通过计算，判断该汽车在限速公路上是 否超速行驶？（本小问中 3 取1.7 ） 江阳西路学校初三年级诊断性考试数学试题 B 卷（共 50 分） 一、填空题(共 20 分，每小题 4 分) 把答案直接写在题中的横线上。 1、已知 x m y n    满足方程组 2 5 2 7 x y x y      , 则 m － n = . 2、关于 x 的方程 x 2 + m x + n = 0 的两根分别是 6 和－4, 则将多项式 x 2 － m x + n 分解因式 的结果为 。 3、瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据:…… 9 16 25 49 81 100, , , ______, , ,5 12 21 45 77 96 ……中得到巴尔 末公式,从而打开光谱奥妙的大门,请你按这种规律在横线上填上适当的数. 4、一个大长方体是由四个完全一样的小长方体拼成的，如果每个小长方体的长、宽、高分别是 3、1、1，那么这个大长方体的表面积有 4 种不同的值，其中最小值为 . 图 11 y/m x/m A（0, -100） B O 60° 东 北 密 封 线 内 不 要 答 题 姓 名 班 级 考 号 学 校 5、如图正方形 ABCD 和正方形 MNPQ 的边长分别为 1cm、2cm;AB 与 MN 在直线上,开始时点 B 与点 M 重合, 让正方形 ABCD 向右平移,直到点 A 与 点 N 重合为止,设正方形 ABCD 与正方形 MNPQ 的重合部分(图中阴影部分) 的面积为 y cm2, MB 的长度为 x cm, 则 y 与 x 之间的函数图象大致是 (只填番号). 二、(本题 2 个小题，共 12 分，每小题 6 分) 6、桌面上放有 4 张卡片,正面分别标有 1、2、3、4, 这些卡片除数字外完全相同,把这些卡片反 面朝上洗匀后放在桌上,甲从中任意抽出一张,记下卡片上的数字后仍反面朝上放回洗匀,乙从中任 意抽出一张, 记下卡片上的数字,然后将这些数相加. (1)请用列表法或画树状图的方法求出两数之和为 5 的概率; (2)若甲与乙按上述方式做游戏,当两数之和为 5 时,甲胜,反之则乙胜.如果甲胜一次得 12 分,那么乙 胜一次得多少分,这个游戏才公平? 7、某中学准备改造面积为 21080m 的旧操场，现有甲、乙两个工程队都想承建这项工程．经协商 后得知，甲工程队单独改造这操场比乙工程队多用 9 天；乙工程队每天比甲工程队多改造 210m ； 甲工程队每天所需费用 160 元，乙工程队每天所需费用 200 元． （1）求甲乙两个工程队每天各改造操场多少平方米？ （2）在改造操场的过程中，学校要委派一名管理人员进行质量监督，并由学校负担他每天 25 元 的生活补助费，现有以下三种方案供选择． 第一种方案：由甲单独改造； 第二种方案：由乙单独改造； 第三种方案：由甲、乙一起同时进行改造； 你认为哪一种方案既省时又省钱？试比较说明． 三、(本题 8 分) 8、如图，过⊙O 上一点 A 的切线 AC 与⊙O 直径 BD 的延长线交于点 C， 过 A 作 AE⊥BC 于点 E． （1）求证：∠CAE=2∠B； （2）已知：AC=8，且 CD=4，求⊙O 的半径及线段 AE 的长． 四、(本题 10 分) 以下两组题选择一组题加以解答 9、（A 组）如图，已知抛物线 y = ax2 + bx－3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，经过 A、 B、C 三点的圆的圆心 M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M 的半径为 5 ．设⊙M 与 y 轴交于 D，抛物线的顶点为 E． （1）求 m 的值及抛物线的解析式； （2）求证：△BOD∽△BCE （3）探究坐标轴上是否存在点 P，使得以 P、A、C 为顶点 的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点 P 的位置，并 直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （B 组）如图，已知与 x 轴交于点 (1 0)A ， 和 (5 0)B ， 的抛物线 1l 的顶点为 (3 4)C ， ，抛物线 2l 与 1l 关 于 x 轴对称，顶点为C ． （1）求抛物线 2l 的函数关系式； （2）已知原点O ，定点 (0 4)D ， ， 2l 上的点 P 与 1l 上的点 P始终关于 x 轴对称，则当点 P 运动到何处时，以点 D O P P， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？ （3）在 2l 上是否存在点 M ，使 ABM△ 是以 AB 为斜边 的直角三角形？若存，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由． 解：我选择 组题。 已知抛物线 C1：y＝－x2+2mx+n（m，n 为常数，且 m≠0，n＞0）的顶点为 A，与 y 轴交于点 C， 抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 y 轴对称，其顶点为 B，连结 AC、BC、AB. （1）写出抛物线 C2 的解析式； （2）当 m＝1 时，判定△ABC 的形状，并说明理由； （3）抛物线 C1 是否存在点 P，使得四边形 ABCP 为菱形？如果存在，请求出 m 的值；如果不存 在，请说明理由. （1）y＝－x2－2mx+n.（2）当 m＝1 时，△ABC 为等腰直角三角形.理由如下：因为点 A 与点 B 关于 y 轴对称，点 C 又在 y 轴上， AC＝BC，过点 A 作抛物线 C 的对称轴交 x 轴于 D.过点 C 作 CE⊥AD 于 E.当 m＝1 时，顶点 A 的坐标为 A（1，1+n），CE＝1，又点 C 的坐标为（0，n），AE ＝1+n－n＝1，所以 AE＝CE，∠ECA＝45°，∠ACy＝45°，由对称性知∠BCy＝45°，∠ACB＝90°， 所以△ABC 为等腰直角三角形. （3）假设抛物线 C，上存在点 P，使得四边形 ABCP 为菱形，则 PC＝AB＝BC，由（2）知，AC ＝BC，AB＝BC＝AC，从而△ABC 为等边三角形，所以∠ACy＝∠BCy＝30°.又四边形 ABCP 为 菱形，且点 P 在 C1 上，点 P 与点 C 关于 AD 对称，PC 与 AD 的交点也为 E，∠ACE＝90°－30° ＝60°，点 A、C 的坐标分别为 A（m，m2+n），C（0，n），AE2＝m2+n－n＝m2，CE＝│m│，在 Rt△ACE 中，tan60°＝ 2 | | AE m CE m  ＝ 3 ，│m│＝ 3 .所以 m＝± 3 ．故抛物线 C 上存在点 P， 使得四边形 ABCP 为菱形.此时 m＝± 3 . 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 54321 A E B C 1 O 2l 1l x y 1、如图，AB 为⊙O 的直径，D 是 BC的中点，DE⊥AC 交 AC 的延长线于 E，⊙O 的切线 BF 交 AD 的延长线于 F. (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若 DE=3,⊙O 的半径为 5.求 BF. 2、已知某山区的平均气温与该山的海拔高度的关系见下表： 海拔高度（单位＂米＂） 0 100 200 300 400 ．．． 平均气温（单位＂℃） 22 21.5 21 20.5 20 ．．． （１）若海拔高度用 x（米）表示，平均气温用 y （℃）表示，试写出 y 与 x 之间的函数关系式； （２）若某种植物适宜生长在 18℃～20℃(包含 18℃,也包含 20℃)山区,请问该植物适宜种植在海 拔为多少米的山区? C E D F O BA 已知关 x 的方程 x2－3x＋m＝0 的一个根是另一个根的 2 倍，则 m 的值为____ 振华中学初三（1）班的学生在学完“统计初步”后，对本校学生会倡导的“非典无情人有情” 自愿捐款活动进行抽样调查，得到了一组学生捐款情况的数据.下图是根据这组数据绘制的统计 图，图中从左到右各长方形的高度之比为 2:4:5:8:6.又知此次调查中捐款 20 元和 25 元的学生一 共 28 人. （1）他们一共调查了多少人？ （2）这组数据的众数、中位数是多少？ （3）若该校共有 2000 名学生，估计全校学生大约捐 款多少元？ 解：（1）（方法一）由题意：设抛物线的解析式为 )3)(1(  xxay ∴ axaaaxaxy 4)1(32 22  ∴点 C（0，－3a），D（1,－4a） （方法二）由题意：      039 0 cba cba ，解得      ac ab 3 2 ∴ aaxaxy 322  （下同方法一） （2）（方法一）过点 D 作 DE⊥y 轴于点 E，易证△DEC∽△COB∴ OB CE OC DE  ∴ 33 1 a a  ∴ 12 a ∵ 0a ∴ 1a ，故抛物线的解析式为： 322  xxy （方法二）过点 D 作 DE⊥y 轴于点 E，过 M 作 MG⊥y 轴于点 G，设⊙M 交 x 轴于另一点 H， 交 y 轴于另一点 F，可先证四边形 OHDE 为矩形，则 OH＝DE＝1，再证 OF＝CE＝－a， 由 OH·OB＝OF·OC 得： 31)3)((  aa ， ∴ 12 a （下同法一） （3）符合条件的点 P 存在，共 3 个 5 10 15 20 25 捐款数（元） 人数 ①若∠BPD＝90°，P 点与 C 点重合，则 P1（0，3）（P1 表示第一个 P 点，下同） ②若∠DBP＝90°，过点 P2 作 P2R⊥x 轴于点 R，设点 P2 )32,( 2  ppp 由△BP2R∽△DBH 得， BH RP DH BR 2 ，即 2 32 4 3 2  ppp ， 解得 2 3p 或 3p （舍去）故 )4 9,2 3(2 P ③若∠BDP＝90°，设 DP3 的延长线交 y 轴于点 N，可证△EDN ∽△HDB， 求得 EN＝ 2 1 ，∴N（0， 2 7 ）求得 DN 的解析式为 2 7 2 1  xy 求抛物线与直线 DN 的交点得 P3（ 4 15,2 1 ） 综上所述：符合条件的点 P 为（0，3）、 )4 9,2 3(  、（ 4 15,2 1 ） 解：（1）如图 1 所示，射线为 AC，点 C 为所求位置． （2）（ 3100 ，0）； （100 ，0）； （3） 100 3 100BC BO OC    =270（m）． 270÷15=18（m/s）．∵18＞ 50 3 ， ∴这辆车在限速公路上超速行驶了． 解：（1）S△PCQ＝ 1 2 PC·CQ＝ 1 (3 ) 22 t t  ＝ (3 )t t ＝2，解得 1t ＝1， 2t ＝2 ∴当时间t 为 1 秒或 2 秒时，S△PCQ＝2 厘米 2； （2）①当 0＜t ≤2 时，S＝ 2 3t t  ＝ 23 9 2 4t      ； ②当 2＜t ≤3 时， S＝ 24 18 65 5t t  ＝ 24 9 39 5 4 20t     ； ③当 3＜t ≤4.5 时，S＝ 23 27 42 5 5 5t t   ＝ 23 9 15 5 2 4t      ； （3）有； ①在 0＜t ≤2 时，当t ＝ 3 2 ，S 有最大值，S1＝ 9 4 ； ②在 2＜t ≤3 时，当t ＝3，S 有最大值，S2＝12 5 ； C y/m A（0，-100） B O 60° 图 1 x/m 45° ③在 3＜t ≤4.5 时，当t ＝ 9 2 ，S 有最大值，S3＝15 4 ； ∵S1＜S2＜S3 ∴t ＝ 9 2 时，S 有最大值，S 最大值＝15 4 ． 解：（1）在 Rt△A BC 中，∠BAC＝90°，∠C＝30° ∵tanC＝ AB AC ∴AB＝AC·tanC＝9× 3 3 ≈5.2（米） （2）以点 A 为圆心，以 AB 为半径作圆弧，当太阳光线与 圆弧相切时树影最长，点 D 为切点，DE⊥AD 交 AC 于 E 点， （如图） 在 Rt△ADE 中，∠ADE＝90°，∠E＝30°， ∴AE＝2AD＝2×5.2＝10.4（米） 答：树高 AB 约为 5.2 米，树影有最长值，最长值约为 10.4 米． 解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为 1，且过点 (2 3)， 和 ( 3 12) ， ， 由 12 4 2 3 9 3 2 12. b a a b c a b             ， ， 解得 1 2 3. a b c       ， ， 此二次函数的表达式为 2 2 3y x x    ． （2）假设存在直线 : ( 0)l y kx k  与线段 BC 交于点 D （不与点 B C， 重合），使得以 B O D， ， 为顶点的三角形与 BAC△ 相似． 在 2 2 3y x x    中，令 0y  ，则由 2 2 3 0x x    ，解得 1 21 3x x  ， ( 1 0) (3 0)A B  ，， ， ．令 0x  ，得 3y  ． (0 3)C ， ． 设过点O 的直线l 交 BC 于点 D ，过点 D 作 DE x⊥ 轴于点 E ． 点 B 的坐标为 (3 0)， ，点C 的坐标为 (0 3)， ，点 A 的坐标为 ( 1 0) ， ． 4 3 45 .AB OB OC OBC      ， ， 2 23 3 3 2BC    ． 要使 BOD BAC△ ∽△ 或 BDO BAC△ ∽△ ， 已有 B B   ，则只需 BD BO BC BA  ， ① 或 .BO BD BC BA  ② 成立． 若是①，则有 3 3 2 9 2 4 4 BO BCBD BA    ．而 45OBC BE DE   ， ． 在 Rt BDE△ 中，由勾股定理，得 2 2 2 2 2 9 22 4BE DE BE BD          ． 解得 9 4BE DE  （负值舍去）． 9 33 4 4OE OB BE      ． 点 D 的坐标为 3 9 4 4      ， ．将点 D 的坐标代入 ( 0)y kx k  中，求得 3k  ． 满足条件的直线l 的函数表达式为 3y x ． ［或求出直线 AC 的函数表达式为 3 3y x  ，则与直线 AC 平行的直线 l 的函数表达式为 3y x ．此时易知 BOD BAC△ ∽△ ，再求出直线 BC 的函数表达式为 3y x   ．联立 3 3y x y x   ， 求得点 D 的坐标为 3 9 4 4      ， ．］ 若是②，则有 3 4 2 2 3 2 BO BABD BC    ．而 45OBC BE DE   ， ． 在 Rt BDE△ 中，由勾股定理，得 2 2 2 2 22 (2 2)BE DE BE BD    ． 解得 2BE DE  （负值舍去）． 3 2 1OE OB BE      ．点 D 的坐标为 (1 2)， ． y x BEA O C D 1x  l 将点 D 的坐标代入 ( 0)y kx k  中，求得 2k  ．∴满足条件的直线l 的函数表达式为 2y x ． 存在直线 : 3l y x 或 2y x 与线段 BC 交于点 D（不与点 B C， 重合），使得以 B O D， ， 为 顶点的三角形与 BAC△ 相似，且点 D 的坐标分别为 3 9 4 4      ， 或 (1 2)， ． （3）设过点 (0 3) (1 0)C E，， ， 的直线 3( 0)y kx k   与该二次函数的图象交于点 P ． 将点 (1 0)E ， 的坐标代入 3y kx  中，求得 3k   ．此直线的函数表达式为 3 3y x   ． 设点 P 的坐标为 ( 3 3)x x ， ，并代入 2 2 3y x x    ，得 2 5 0x x  ． 解得 1 25 0x x ， （不合题意，舍去）． 5 12x y   ， ． 点 P 的坐标为 (5 12)， ．此时，锐角 PCO ACO   ． 又二次函数的对称轴为 1x  ， 点C 关于对称轴对称的点C 的坐标为 (2 3)， ． 当 5px  时，锐角 PCO ACO   ；当 5px  时，锐角 PCO ACO   ； 当 2 5px  时，锐角 PCO ACO   ． x BEA O C 1x  P C·