初二数学上册期末考试试卷及答案解析

2013-2014 学年八年级[上 ] 数学期末考试试卷 一．选择题（共 10 小题） 1．（2013•铁岭）如图，在△ABC 和△DEC 中，已知 AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添 加的一组条件是（ ） A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D 2．（2011•恩施州）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为 F，DE=DG，△ADG 和△AED 的面积分别 为 50 和 39，则△EDF 的面积为（ ） A．11 B．5.5 C．7 D．3.5 3．（2013•贺州）如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AC=8cm，F 是高 AD 和 BE 的交点，则 BF 的长是（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm 4．（2010•海南）如图，a、b、c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是（ ） A． B． C． D． 5．（2013•珠海）点（3，2）关于 x 轴的对称点为（ ） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3） 6．（2013•十堰）如图，将△ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合．已知 AC=5cm，△ADC 的周长为 17cm， 则 BC 的长为（ ） A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm 7．（2013•新疆）等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A．12 B．15 C．12 或 15 D．18 8．（2013•烟台）下列各运算中，正确的是（ ） A．3a+2a=5a2 B．（﹣3a3）2=9a6 C．a4÷a2=a3 D．（a+2）2=a2+4 9．（2012•西宁）下列分解因式正确的是（ ） A．3x2﹣6x=x（3x﹣6） B．﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a） C．4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y） D．4x2﹣2xy+y2=（2x﹣y）2 10．（2013•恩施州）把 x2y﹣2y2x+y3 分解因式正确的是（ ） A．y（x2﹣2xy+y2） B．x2y﹣y2（2x﹣y） C．y（x﹣y）2 D．y（x+y）2 二．填空题（共 10 小题） 11．（2013•资阳）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，点 D 是 BC 边上的点，CD=1，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是 _________ ． 12．（2013•黔西南州）如图，已知△ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 CG=CD，DF=DE，则 ∠E= _________ 度． 13．（2013•枣庄）若 ， ，则 a+b 的值为 _________ ． 14．（2013•内江）若 m2﹣n2=6，且 m﹣n=2，则 m+n= _________ ． 15．（2013•菏泽）分解因式：3a2﹣12ab+12b2= _________ ． 16．（2013•盐城）使分式 的值为零的条件是 x= _________ ． 17．（2013•南京）使式子 1+ 有意义的 x 的取值范围是 _________ ． 18．（2012•茂名）若分式 的值为 0，则 a 的值是 _________ ． 19．在下列几个均不为零的式子，x2﹣4，x2﹣2x，x2﹣4x+4，x2+2x，x2+4x+4 中任选两个都可以组成分式，请你 选择一个不是最简分式的分式进行化简： _________ ． 20．不改变分式的值，把分式 分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是 _________ ． 三．解答题（共 8 小题） 21．（2013•遵义）已知实数 a 满足 a2+2a﹣15=0，求 ﹣ ÷ 的值． 22．（2013•重庆）先化简，再求值： ÷（ ﹣a﹣2b）﹣ ，其中 a，b 满足 ． 23．（2007•资阳）设 a1=32﹣12，a2=52﹣32，…，an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n 为大于 0 的自然数）． （1）探究 an 是否为 8 的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论； （2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出 a1，a2，…，an，…这一列数中从 小到大排列的前 4 个完全平方数，并指出当 n 满足什么条件时，an 为完全平方数（不必说明理由）． 24．在△ABC 中，若 AD 是∠BAC 的角平分线，点 E 和点 F 分别在 AB 和 AC 上，且 DE⊥AB，垂足为 E，DF⊥AC， 垂足为 F（如图（1）），则可以得到以下两个结论： ①∠AED+∠AFD=180°；②DE=DF． 那么在△ABC 中，仍然有条件“AD 是∠BAC 的角平分线，点 E 和点 F，分别在 AB 和 AC 上”，请探究以下两个问 题： （1）若∠AED+∠AFD=180°（如图（2）），则 DE 与 DF 是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例． （2）若 DE=DF，则∠AED+∠AFD=180°是否成立？（只写出结论，不证明） 25．（2012•遵义）如图，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A、C 不重合）， Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（Q 不与 B 重合），过 P 作 PE⊥AB 于 E，连接 PQ 交 AB 于 D． （1）当∠BQD=30°时，求 AP 的长； （2）当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化请说明理由． 26．（2005•江西）将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形 式，使点 B、F、C、D 在同一条直线上． （1）求证：AB⊥ED； （2）若 PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明． 27．（2013•沙河口区一模）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4．点 M 在 AB 边上以 1 单位长度/秒的速度 从点 A 向点 B 运动，运动到点 B 时停止．连接 CM，将△ACM 沿着 CM 对折，点 A 的对称点为点 A′． （1）当 CM 与 AB 垂直时，求点 M 运动的时间； （2）当点 A′落在△ABC 的一边上时，求点 M 运动的时间． 28．已知点 C 为线段 AB 上一点，分别以 AC、BC 为边在线段 AB 同侧作△ACD 和△BCE，且 CA=CD，CB=CE， ∠ACD=∠BCE，直线 AE 与 BD 交于点 F， （1）如图 1，若∠ACD=60°，则∠AFB= _________ ；如图 2，若∠ACD=90°，则∠AFB= _________ ；如图 3，若∠ACD=120°，则∠AFB= _________ ； （2）如图 4，若∠ACD=α，则∠AFB= _________ （用含α的式子表示）； （3）将图 4 中的△ACD 绕点 C 顺时针旋转任意角度（交点 F 至少在 BD、AE 中的一条线段上），变成如图 5 所示 的情形，若∠ACD=α，则∠AFB 与α的有何数量关系？并给予证明． 2013-2014 学年八年级[上 ] 数学期末考试试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．（2013•铁岭）如图，在△ABC 和△DEC 中，已知 AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添 加的一组条件是（ ） A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D 考点： 全等三角形的判定．4387773 分析： 根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可． 解答： 解：A、已知 AB=DE，再加上条件 BC=EC，∠B=∠E 可利用 SAS 证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题 意； B、已知 AB=DE，再加上条件 BC=EC，AC=DC 可利用 SSS 证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意； C、已知 AB=DE，再加上条件 BC=DC，∠A=∠D 不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意； D、已知 AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D 可利用 ASA 证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意； 故选：C． 点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对 应相等时，角必须是两边的夹角． 2．（2011•恩施州）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为 F，DE=DG，△ADG 和△AED 的面积分别 为 50 和 39，则△EDF 的面积为（ ） A．11 B．5.5 C．7 D．3.5 考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质． 4387773 专题： 计算题；压轴题． 分析： 作 DM=DE 交 AC 于 M，作 DN⊥AC，利用角平分线的性质得到 DN=DF，将三角形 EDF 的面积转化为三 角形 DNM 的面积来求． 解答： 解：作 DM=DE 交 AC 于 M，作 DN⊥AC， ∵DE=DG，DM=DE， ∴DM=DG， ∵AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB， ∴DF=DN， 在 Rt△DEF 和 Rt△DMN 中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL）， ∵△ADG 和△AED 的面积分别为 50 和 39， ∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11， S△DNM=S△DEF= S△MDG= =5.5 故选 B． 点评： 本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角 形的面积转化为另外的三角形的面积来求． 3．（2013•贺州）如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AC=8cm，F 是高 AD 和 BE 的交点，则 BF 的长是（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm 考点： 全等三角形的判定与性质． 4387773 分析： 求出∠FBD=∠CAD，AD=BD，证△DBF≌△DAC，推出 BF=AC，代入求出即可． 解答： 解：∵F 是高 AD 和 BE 的交点， ∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°， ∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°， ∵∠AFE=∠BFD， ∴∠CAD=∠FBD， ∵∠ADB=90°，∠ABC=45°， ∴∠BAD=45°=∠ABD， ∴AD=BD， 在△DBF 和△DAC 中 ∴△DBF≌△DAC（ASA）， ∴BF=AC=8cm， 故选 C． 点评： 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，关键是推出 △DBF≌△DAC． 4．（2010•海南）如图，a、b、c 分别表示△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是（ ） A． B． C． D． 考点： 全等三角形的判定．4387773 分析： 根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角． 解答： 解：A、与三角形 ABC 有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等； B、选项 B 与三角形 ABC 有两边及其夹边相等，二者全等； C、与三角形 ABC 有两边相等，但角不是夹角，二者不全等； D、与三角形 ABC 有两角相等，但边不对应相等，二者不全等． 故选 B． 点评： 本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即 AAS、ASA、SAS、SSS， 直角三角形可用 HL 定理，但 AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目． 5．（2013•珠海）点（3，2）关于 x 轴的对称点为（ ） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3） 考点： 关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标．4387773 分析： 根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接写出答案． 解答： 解：点（3，2）关于 x 轴的对称点为（3，﹣2）， 故选：A． 点评： 此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 6．（2013•十堰）如图，将△ABC 沿直线 DE 折叠后，使得点 B 与点 A 重合．已知 AC=5cm，△ADC 的周长为 17cm， 则 BC 的长为（ ） A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm 考点： 翻折变换（折叠问题）． 4387773 分析： 首先根据折叠可得 AD=BD，再由△ADC 的周长为 17cm 可以得到 AD+DC 的长，利用等量代换可得 BC 的 长． 解答： 解：根据折叠可得：AD=BD， ∵△ADC 的周长为 17cm，AC=5cm， ∴AD+DC=17﹣5=12（cm）， ∵AD=BD， ∴BD+CD=12cm． 故选：C． 点评： 此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小 不变，位置变化，对应边和对应角相等． 7．（2013•新疆）等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A．12 B．15 C．12 或 15 D．18 考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系． 分析： 因为已知长度为 3 和 6 两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 解答： 解：①当 3 为底时，其它两边都为 6， 3、6、6 可以构成三角形， 周长为 15； ②当 3 为腰时， 其它两边为 3 和 6， ∵3+3=6=6， ∴不能构成三角形，故舍去， ∴答案只有 15． 故选 B． 点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况， 分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 8．（2013•烟台）下列各运算中，正确的是（ ） A．3a+2a=5a2 B．（﹣3a3）2=9a6 C．a4÷a2=a3 D．（a+2）2=a2+4 考点： 同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．4387773 分析： 根据合并同类项的法则、幂的乘方及积的乘方法则、同底数幂的除法法则，分别进行各选项的判断即可． 解答： 解：A、3a+2a=5a，原式计算错误，故本选项错误； B、（﹣3a3）2=9a6，原式计算正确，故本选项正确； C、a4÷a2=a2，原式计算错误，故本选项错误； D、（a+2）2=a2+4a+4，原式计算错误，故本选项错误； 故选 B． 点评： 本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是熟练掌握各部分的运算法则． 9．（2012•西宁）下列分解因式正确的是（ ） A．3x2﹣6x=x（3x﹣6） B．﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a） C．4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y） D．4x2﹣2xy+y2=（2x﹣y）2 考点： 因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法． 4387773 专题： 计算题． 分析： 根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用平 方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解． 解答： 解：A、3x2﹣6x=3x（x﹣2），故本选项错误； B、﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a），故本选项正确； C、4x2﹣y2=（2x+y）（2x﹣y），故本选项错误； D、4x2﹣2xy+y2 不能分解因式，故本选项错误． 故选 B． 点评： 本题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键． 10．（2013•恩施州）把 x2y﹣2y2x+y3 分解因式正确的是（ ） A．y（x2﹣2xy+y2） B．x2y﹣y2（2x﹣y） C．y（x﹣y）2 D．y（x+y）2 考点： 提公因式法与公式法的综合运用．4387773 分析： 首先提取公因式 y，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 解答： 解：x2y﹣2y2x+y3 =y（x2﹣2yx+y2） =y（x﹣y）2． 故选：C． 点评： 本题主要考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解 要彻底． 二．填空题（共 10 小题） 11．（2013•资阳）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，点 D 是 BC 边上的点，CD=1，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是 1+ ． 考点： 轴对称-最短路线问题；含 30 度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）． 4387773 专题： 压轴题． 分析： 连接 CE，交 AD 于 M，根据折叠和等腰三角形性质得出当 P 和 D 重合时，PE+BP 的值最小，即可此时△BPE 的周长最小，最小值是 BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE，先求出 BC 和 BE 长，代入求出即可． 解答： 解：连接 CE，交 AD 于 M， ∵沿 AD 折叠 C 和 E 重合， ∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD， ∴AD 垂直平分 CE，即 C 和 E 关于 AD 对称，CD=DE=1， ∴当 P和 D 重合时，PE+BP 的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是 BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE， ∵∠DEA=90°， ∴∠DEB=90°， ∵∠B=60°，DE=1， ∴BE= ，BD= ， 即 BC=1+ ， ∴△PEB 的周长的最小值是 BC+BE=1+ + =1+ ， 故答案为：1+ ． 点评： 本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质 的应用，关键是求出 P 点的位置，题目比较好，难度适中． 12．（2013•黔西南州）如图，已知△ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 CG=CD，DF=DE，则 ∠E= 15 度． 考点： 等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．4387773 专题： 压轴题． 分析： 根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E 的度数． 解答： 解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB=60°，∠ACD=120°， ∵CG=CD， ∴∠CDG=30°，∠FDE=150°， ∵DF=DE， ∴∠E=15°． 故答案为：15． 点评： 本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为 180°以及等腰三角形的性质，难度适中． 13．（2013•枣庄）若 ， ，则 a+b 的值为 ． 考点： 平方差公式． 4387773 专题： 计算题． 分析： 已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将 a﹣b 的值代入即可求出 a+b 的值． 解答： 解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）= ，a﹣b= ， ∴a+b= ． 故答案为： ． 点评： 此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 14．（2013•内江）若 m2﹣n2=6，且 m﹣n=2，则 m+n= 3 ． 考点： 因式分解-运用公式法． 4387773 分析： 将 m2﹣n2 按平方差公式展开，再将 m﹣n 的值整体代入，即可求出 m+n 的值． 解答： 解：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=（m+n）×2=6， 故 m+n=3． 故答案为：3． 点评： 本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟悉平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2． 15．（2013•菏泽）分解因式：3a2﹣12ab+12b2= 3（a﹣2b）2 ． 考点： 提公因式法与公式法的综合运用．4387773 分析： 先提取公因式 3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案． 解答： 解：3a2﹣12ab+12b2=3（a2﹣4ab+4b2）=3（a﹣2b）2． 故答案为：3（a﹣2b）2． 点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用 其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底． 16．（2013•盐城）使分式 的值为零的条件是 x= ﹣1 ． 考点： 分式的值为零的条件． 4387773 分析： 分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零． 解答： 解：由题意，得 x+1=0， 解得，x=﹣1． 经检验，x=﹣1 时， =0． 故答案是：﹣1． 点评： 本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为 0；（2）分母不为 0．这 两个条件缺一不可． 17．（2013•南京）使式子 1+ 有意义的 x 的取值范围是 x≠1 ． 考点： 分式有意义的条件．4387773 分析： 分式有意义，分母不等于零． 解答： 解：由题意知，分母 x﹣1≠0，即 x≠1 时，式子 1+ 有意义． 故填：x≠1． 点评： 本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义 ⇔ 分母为零； （2）分式有意义 ⇔ 分母不为零； （3）分式值为零 ⇔ 分子为零且分母不为零． 18．（2012•茂名）若分式 的值为 0，则 a 的值是 3 ． 考点： 分式的值为零的条件． 4387773 专题： 探究型． 分析： 根据分式的值为 0 的条件列出关于 a 的不等式组，求出 a 的值即可． 解答： 解：∵分式 的值为 0， ∴ ， 解得 a=3． 故答案为：3． 点评： 本题考查的是分式的值为 0 的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 19．在下列几个均不为零的式子，x2﹣4，x2﹣2x，x2﹣4x+4，x2+2x，x2+4x+4 中任选两个都可以组成分式，请你 选择一个不是最简分式的分式进行化简： ． 考点： 最简分式．4387773 专题： 开放型． 分析： 在这几个式子中任意选一个作分母，任意另选一个作分子，就可以组成分式．因而可以写出的分式有很多 个，把分式的分子分母分别分解因式，然后进行约分即可． 解答： 解： = = ， 故填： ． 点评： 本题主要考查分式的定义，分母中含有字母的有理式就是分式．并且考查了分式的化简，首先要把分子、 分母分解因式，然后进行约分． 20．不改变分式的值，把分式 分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是 ． 考点： 最简分式．4387773 分析： 首先将分子、分母均乘以 100，若不是最简分式，则一定要约分成最简分式．本题特别注意分子、分母的每 一项都要乘以 100．w W w . 解答： 解：分子、分母都乘以 100 得， ， 约分得， ． 点评： 解题的关键是正确运用分式的基本性质． 三．解答题（共 8 小题） 21．（2013•遵义）已知实数 a 满足 a2+2a﹣15=0，求 ﹣ ÷ 的值． 考点： 分式的化简求值． 4387773 分析： 先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式， 最后把 a2+2a﹣15=0 进行配方，得到一个 a+1 的值，再把它整体代入即可求出答案． 解答： 解： ﹣ ÷ = ﹣ • = ﹣ = ， ∵a2+2a﹣15=0， ∴（a+1）2=16， ∴原式= = ． 点评： 此题考查了分式的化简求值，关键是掌握分式化简的步骤，先进行通分，再因式分解，然后把除法转化成 乘法，最后约分；化简求值题要将原式化为最简后再代值． 22．（2013•重庆）先化简，再求值： ÷（ ﹣a﹣2b）﹣ ，其中 a，b 满足 ． 考点： 分式的化简求值；解二元一次方程组．4387773 专题： 探究型． 分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出 a、b 的值代入进行计算即可． 解答： 解：原式= ÷ ﹣ = × ﹣ = ﹣ =﹣ ， ∵ ， ∴ ， ∴原式=﹣ =﹣ ． 点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 23．（2007•资阳）设 a1=32﹣12，a2=52﹣32，…，an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n 为大于 0 的自然数）． （1）探究 an 是否为 8 的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论； （2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出 a1，a2，…，an，…这一列数中从 小到大排列的前 4 个完全平方数，并指出当 n 满足什么条件时，an 为完全平方数（不必说明理由）． 考点： 因式分解-运用公式法． 4387773 专题： 规律型． 分析： （1）利用平方差公式，将（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 化简，可得结论； （2）理解完全平方数的概念，通过计算找出规律． 解答： 解：（1）∵an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1=8n，（3 分） 又 n 为非零的自然数， ∴an 是 8 的倍数．（4 分） 这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是 8 的倍数（5 分） 说明：第一步用完全平方公式展开各（1），正确化简（1 分）． （2）这一列数中从小到大排列的前 4 个完全平方数为 16，64，144，256．（7 分） n 为一个完全平方数的 2 倍时，an 为完全平方数（8 分） 说明：找完全平方数时，错一个扣（1），错 2 个及以上扣（2 分）． 点评： 本题考查了公式法分解因式，属于结论开放性题目，通过一系列的式子，找出一般规律，考查了同学们的 探究发现的能力． 24．在△ABC 中，若 AD 是∠BAC 的角平分线，点 E 和点 F 分别在 AB 和 AC 上，且 DE⊥AB，垂足为 E，DF⊥AC， 垂足为 F（如图（1）），则可以得到以下两个结论： ①∠AED+∠AFD=180°；②DE=DF． 那么在△ABC 中，仍然有条件“AD 是∠BAC 的角平分线，点 E 和点 F，分别在 AB 和 AC 上”，请探究以下两个问 题： （1）若∠AED+∠AFD=180°（如图（2）），则 DE 与 DF 是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例． （2）若 DE=DF，则∠AED+∠AFD=180°是否成立？（只写出结论，不证明） 考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 4387773 专题： 证明题． 分析： （1）过点 D 作 DM⊥AB 于 M，DN⊥AC 于 N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 DM=DN， 再根据∠AED+∠AFD=180°，平角的定义得∠AFD+∠DFN=180°，可以推出∠DFN=∠AED，然后利用角角 边定理证明△DME 与△DNF 全等，根据全等三角形对应边相等即可证明； （2）不一定成立，若 DE、DF 在点 D 到角的两边的垂线段上或垂线段与点 A 的两侧，则成立，若是同侧 则不成立． 解答： 解：（1）DE=DF． 理由如下： 过点 D 作 DM⊥AB 于 M，DN⊥AC 于 N， ∵AD 平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC， ∴DM=DN， ∵∠AED+∠AFD=180°，∠AFD+∠DFN=180°， ∴∠DFN=∠AED， ∴△DME≌△DNF（AAS）， ∴DE=DF； （2）不一定成立． 如图，若 DE、DF 在点 D 到角的两边的垂线段与顶点 A 的同侧则一定不成立， 经过（1）的证明，若在垂线段上或两侧则成立， 所以不一定成立． 点评： 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，从题目提供信息找出求证的思路是解题的关键， 读懂题目信息比较重要． 25．（2012•遵义）如图，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A、C 不重合）， Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（Q 不与 B 重合），过 P 作 PE⊥AB 于 E，连接 PQ 交 AB 于 D． （1）当∠BQD=30°时，求 AP 的长； （2）当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化请说明理由． 考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形． 4387773 专题： 压轴题；动点型． 分析： （1））由△ABC 是边长为 6 的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设 AP=x， 则 PC=6﹣x，QB=x，在 Rt△QCP 中，∠BQD=30°，PC= QC，即 6﹣x= （6+x），求出 x 的值即可； （2）作 QF⊥AB，交直线 AB 的延长线于点 F，连接 QE，PF，由点 P、Q 做匀速运动且速度相同，可知 AP=BQ， 再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由 AE=BF，PE=QF 且 PE∥QF，可知四边形 PEQF 是平行四边形，进而可得出 EB+AE=BE+BF=AB，DE= AB，由等边△ABC 的边长为 6 可得出 DE=3，故 当点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变． 解答： 解：（1）∵△ABC 是边长为 6 的等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∵∠BQD=30°， ∴∠QPC=90°， 设 AP=x，则 PC=6﹣x，QB=x， ∴QC=QB+BC=6+x， ∵在 Rt△QCP 中，∠BQD=30°， ∴PC= QC，即 6﹣x= （6+x），解得 x=2， ∴AP=2； （2）当点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变．理由如下： 作 QF⊥AB，交直线 AB 的延长线于点 F，连接 QE，PF， 又∵PE⊥AB 于 E， ∴∠DFQ=∠AEP=90°， ∵点 P、Q 速度相同， ∴AP=BQ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°， 在△APE 和△BQF 中， ∵∠AEP=∠BFQ=90°， ∴∠APE=∠BQF， ∴在△APE 和△BQF 中， ∴△APE≌△BQF（AAS）， ∴AE=BF，PE=QF 且 PE∥QF， ∴四边形 PEQF 是平行四边形， ∴DE= EF， ∵EB+AE=BE+BF=AB， ∴DE= AB， 又∵等边△ABC 的边长为 6， ∴DE=3， ∴当点 P、Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变． 点评： 本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助 线构造出全等三角形是解答此题的关键． 26．（2005•江西）将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形 式，使点 B、F、C、D 在同一条直线上．w W w . （1）求证：AB⊥ED； （2）若 PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明． 考点： 翻折变换（折叠问题）；直角三角形全等的判定． 4387773 专题： 几何综合题；压轴题． 分析： 做此题要理解翻折变换后相等的条件，同时利用常用的全等三角形的判定方法来判定其全等． 解答： 证明：（1）由题意得，∠A+∠B=90°，∠A=∠D， ∴∠D+∠B=90°， ∴AB⊥DE．（3 分） （2）∵AB⊥DE，AC⊥BD ∴∠BPD=∠ACB=90°， ∴在△ABC 和△DBP， ， ∴△ABC≌△DBP（AAS）．（8 分） 说明：图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对： △APN≌△DCN、△DEF≌△DBP、△EPM≌△BFM． 点评： 此题考查了翻折变换及全等三角形的判定方法等知识点，常用的判定方法有 SSS、SAS、AAS、HL 等． 27．（2013•沙河口区一模）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4．点 M 在 AB 边上以 1 单位长度/秒的速度 从点 A 向点 B 运动，运动到点 B 时停止．连接 CM，将△ACM 沿着 CM 对折，点 A 的对称点为点 A′． （1）当 CM 与 AB 垂直时，求点 M 运动的时间； （2）当点 A′落在△ABC 的一边上时，求点 M 运动的时间． 考点： 翻折变换（折叠问题）． 4387773 分析： （1）由 Rt△ABC 中，∠C=90°，CM 与 AB 垂直，易证得△ACM∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成 比例，即可求得 AM 的长，即可得点 M 运动的时间； （2）分别从当点 A′落在 AB 上时与当点 A′落在 BC 上时去分析求解即可求得答案． 解答： 解：（1）∵Rt△ABC 中，∠C=90°，CM⊥AB， ∴∠A=∠A，∠AMC=∠ACB=90°， ∴△ACM∽△ABC， ∴ ， ∵AC=3，BC=4， ∴AB= =5， ∴AM= = ， ∴点 M 运动的时间为： ； （2）①如图 1，当点 A′落在 AB 上时， 此时 CM⊥AB， 则点 M 运动的时间为： ； ②如图 2，当点 A′落到 BC 上时，CM 是∠ACB 平分线， 过点 M 作 ME⊥BC 于点 E，作 MF⊥AC 于点 F， ∴ME=MF， ∵S△ABC=S△ACM+S△BCM， ∴ AC•BC= AC•MF+ BC•ME， ∴ ×3×4= ×3×MF+ ×4×MF， 解得：MF= ， ∵∠C=90°， ∴MF∥BC， ∴△AMF∽△ABC， ∴ ， 即 ， 解得：AM= ， 综上可得：当点 A′落在△ABC 的一边上时，点 M 运动的时间为： 或 ． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握数形结 合思想与分类讨论思想的应用． 28．已知点 C 为线段 AB 上一点，分别以 AC、BC 为边在线段 AB 同侧作△ACD 和△BCE，且 CA=CD，CB=CE， ∠ACD=∠BCE，直线 AE 与 BD 交于点 F， （1）如图 1，若∠ACD=60°，则∠AFB= 120° ；如图 2，若∠ACD=90°，则∠AFB= 90° ；如图 3，若∠ACD=120°， 则∠AFB= 60° ； （2）如图 4，若∠ACD=α，则∠AFB= 180°﹣α （用含α的式子表示）； （3）将图 4 中的△ACD 绕点 C 顺时针旋转任意角度（交点 F 至少在 BD、AE 中的一条线段上），变成如图 5 所示 的情形，若∠ACD=α，则∠AFB 与α的有何数量关系？并给予证明． 考点： 等边三角形的判定与性质． 4387773 专题： 证明题；探究型． 分析： （1）如图 1，首先证明△BCD≌△ECA，得出∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB 是△ADF 的外角求出其度数． 如图 2，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，进而得出∠AFB=90°． 如图 3，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC=∠BDC，又有∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB 得到 ∠FAB+∠FBA=120°，进而求出∠AFB=60°． （2）由∠ACD=∠BCE 得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出 ∠DFA=∠ACD，得到结论∠AFB=180°﹣α． （3）由∠ACD=∠BCE 得到∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB 得∠CBD=∠CEA，由三角形内角 和定理得到结论∠AFB=180°﹣α． 解答： 解：（1）如图 1，CA=CD，∠ACD=60°， 所以△ACD 是等边三角形． ∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°， 所以△ECB 是等边三角形． ∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE， 又∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACE=∠BCD． ∵AC=DC，CE=BC， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠EAC=∠BDC． ∠AFB 是△ADF 的外角． ∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°． 如图 2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠AEC=∠DBC， 又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°， ∴∠EFD=90°． ∴∠AFB=90°． 如图 3，∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE． ∴∠ACE=∠DCB． 又∵CA=CD，CE=CB， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠EAC=∠BDC． ∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°， ∴∠FAB+∠FBA=120°． ∴∠AFB=60°． 故填 120°，90°，60°． （2）∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE． ∴∠ACE=∠DCB． ∴∠CAE=∠CDB． ∴∠DFA=∠ACD． ∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α． （3）∠AFB=180°﹣α； 证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE， 即∠ACE=∠DCB． 在△ACE 和△DCB 中 ， 则△ACE≌△DCB（SAS）． 则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α． ∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α． 点评： 本题考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识．