26.1 反比例函数/人教版 数学 九年级 下册
26.1 反比例函数/
当杂技演员表演滚钉板的节目时，观众们看到密密麻麻
的钉子，都为他们捏一把汗，但有人却说钉子越多，演员越
安全，钉子越少反而越危险，你认同吗？为什么？
导入新知
26.1 反比例函数/
1. 理解并掌握反比例函数的概念.
2. 能判断一个给定的函数是否为反比例函数，
并会用待定系数法求函数解析式.
素养目标
3. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数
的解析式，体会函数的模型思想.
26.1 反比例函数/
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它
们的解析式.
(1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v (单
位：km/h) 随此次列车的全程运行时间t (单位：h) 的变化而
变化； 1463.v t
探究新知
知识点 1
26.1 反比例函数/
(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，
草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的变化而变化；
(3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2 ，人均占有面
积 S (单位：km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的变化
而变化. 41.68 10 .S n
1000.y x
探究新知
26.1 反比例函数/
【观察】这三个函数解析式有什么共同点？
xy 1000
nS
41068.1
tv 1463
一般地,形如 (k是常数，k≠0)的函数称为
反比例函数，其中x是自变量，y是函数．
都是 的形式，其中k是非零常数。ky = x
传授新知
ky x
探究新知
26.1 反比例函数/
反比例函数：形如 （k为常数，且k≠0）x
ky
【思考】1.自变量x的取值范围是什么？
探究新知
因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x
的取值范围是所有非零实数.
2.在实际问题中自变量x的取值范围是什么？
要根据具体情况来确定.
例如，在前面得到的第二个解析式 ，x的
取值范围是 x＞0，且当 x 取每一个确定的值时，y 都
有唯一确定的值与其对应.
xy 1000
26.1 反比例函数/
反比例函数的三种表达方式：(注意 k ≠ 0)
ky x
， 1y kx ， .xy k
探究新知
)0(1 kkxy3.形如 的式子是反比例函数吗？
)0( kkxy式子 呢？
26.1 反比例函数/巩固练习
1.下列函数中哪些是反比例函数,并指出相应k的值？
① y =3x-1 ② y =2x2 ③ ④
xy 1
3
2xy
⑤ y =3x-1 ⑥ ⑦
3
1xy 3
2y x
不是 是，k = 1 不是
不是
是，k = 3
是， 1
3k 是， 3
2k
26.1 反比例函数/巩固练习
2.在下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（ ）
A. B.
C. xy =5 D.
5
8
xy xy 2
3
2
2
xy
C
26.1 反比例函数/
例1 已知函数 是反比例
函数，求 m 的值.
22 2 3 32 1 m my m m x
所以 2m2 + 3m－3=－1
2m2 + m－1≠0
解得 m =－2.
解：因为 是反比例函数， 22 2 3 32 1 m my m m x
探究新知
素养考点 1 利用反比例函数的定义求字母的值
归纳总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义
列出方程(组)求解即可，如本题中 x 的次数为－1，且系数不等于0.
26.1 反比例函数/
3. (1)当m =_____时，函数 是反比例函数. 22
4
mxy
(2)已知函数 是反比例函数,则 m =_______. 73 mxy
巩固练习
1.5
6
(3)若函数 是反比例函数,则m的
值为______.
2 5( 2) my m x
2
26.1 反比例函数/
例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
分析：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 .把 x=2 和 y=6
代入上式，就可求出常数 k 的值.
ky x
解：(1)设 . 因为当 x=2时，y=6，所以有 ky x
6 .2
k
解得 k =12. 因此 12.y x
探究新知
素养考点 2 利用待定系数法求反比例函数的解析式
(2) 当 x=4 时，求 y 的值.
12 3.4y (2)把 x=4 代入 ，得12y x
26.1 反比例函数/探究新知
用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是：
（1）设，即设所求的反比例函数解析式为 （k≠0）．
（2）代，即将已知条件中对应的 x、y 值代入 中得到关
于k的方程．
（3）解，即解方程，求出 k 的值．
（4）定，即将 k 值代入 中，确定函数解析式．
x
ky
x
ky
x
ky
归纳总结
26.1 反比例函数/
4.已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 x = 7 时，求 y 的值．
解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y =4 ， 1
ky x
所以有 ，解得 k =16，因此 . 4 3 1
k
16
1y x
(2) 当 x = 7 时， 16 2.7 1y
巩固练习
26.1 反比例函数/
人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察
前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50km/h 时，视野
为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的
函数解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数.
当 v=100 时，f =40.
所以当车速为100km/h 时视野为40度.
解：设 . 由题意知，当 v =50时，f =80，kf v
80 .50
k 解得 k =4000. 因此 4000.f v
所以
知识点 2 建立反比例函数的模型解答问题
探究新知
26.1 反比例函数/
5. 如图，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它的两条对角线
AC，BD的长分别为x，y. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并
指出它是什么函数. A
B
C
D
解:因为菱形的面积等于两条对角线长
乘积的一半，所以 1 180.2ABCDS xy 菱形
所以变量 y与 x 之间的关系式为 ，
它是反比例函数.
360y x
巩固练习
26.1 反比例函数/
（2018•柳州）已知反比例函数的解析式为 ，则a的
取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a≠﹣2 C．a≠±2 D．a=±2
巩固练习
连 接 中 考
C
x
ay 2
26.1 反比例函数/
1. 下列函数：（1） ，（2） ，
（3）xy=9，（4） ，（5） ，
（6） y=2x－1，（7） ，
其中是反比例函数的是_____________． （2）
4
xy 3y x
5
1y x
2
3y x
23
5y x
课堂检测
基 础 巩 固 题
（3）（5）
26.1 反比例函数/
3．矩形的面积为4，一条边的长为x，另一条边的长为y，则y
与x的函数解析式为 ．
2．苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y与x之间
的函数解析式为_________．
10y x
4y x
课堂检测
基 础 巩 固 题
26.1 反比例函数/
4．若函数 是反比例函数，则m的取值
是 ． 3
5．已知y与x成反比例，且当x=－2时，y=3，则 y与x之间的函数
解析式是 ，当x=－3时，y= ． 2
28)3( mxmy
6y x
课堂检测
基 础 巩 固 题
26.1 反比例函数/
小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有时
步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速度为 v
( m/min )，所用的时间为 t ( min )．
(1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式；
解： (t>0)．
1 0 0 0v t
课堂检测
能 力 提 升 题
26.1 反比例函数/
(2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行车上
学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均速度比星期二快
多少？
125－40 = 85 ( m/min )．
答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min.
解：当 t = 25 时， ；1000 4025v
当 t = 8 时， ；1000 1258v
课堂检测
能 力 提 升 题
26.1 反比例函数/
已知 y = y1+y2，y1与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1) 成反比例，
当 x=0 时，y =－3；当 x =1 时，y = －1，求：
(1) y 关于 x 的关系式；
解：设 y1 = k1(x－1) (k1≠0)， (k2≠0)，2
2 1
ky x
则 . 2
1 1 1
ky k x x
∵ x = 0 时，y =－3；x =1 时，y = －1，
∴k1=1，k2=－2.
－3=－k1+k2 ，
2
11 2 k ，∴ 21 .1y x x
∴
课堂检测
拓 广 探 索 题
26.1 反比例函数/
(2) 当 时，y 的值.1
2x
课堂检测
解：把 代入 (1) 中函数关系式，
得 11.2y
1
2x
拓 广 探 索 题
26.1 反比例函数/
建立反比例函数模型
用待定系数法求反比例函数解
析式
反比例函数：定义/三种表达
方式 反
比
例
函
数
课堂小结
26.1 反比例函数/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
26.1 反比例函数/
第一课时
第二课时
人教版 数学 九年级 下册
26.1 反比例函数/第一课时
返回
26.1 反比例函数/导入新知
（2）试一试，你能在坐标系中画
出这个函数的图象吗？
刘翔在2004 年雅典奥运会110 m 栏比赛中以 12.91s 的成
绩夺得金牌，被称为中国“飞人” .如果刘翔在比赛中跑完
全程所用的时间为 t s，平均速度为v m/s .
110v t
（1）你能写出用t 表示v 的函数
表达式吗?
26.1 反比例函数/
2. 结合图象分析并掌握反比例函数的性质.
1. 会用描点法画反比例函数的图象 .
素养目标
3. 体会函数的三种表示方法，领会数形结合
的思想方法.
26.1 反比例函数/
画出反比例函数 与 的图象.6y x
12y x
探究新知
知识点1
【想一想】
用“描点法”画函数图象都有哪几步？
列
表
描
点
连
线
26.1 反比例函数/
解：列表如下：
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …
… …
… …
6y x
12y x
－1 －1.2－1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1
－2 －2.4 －3 －4 －6 6 4 3 2.4 2
探究新知
－ 1212
注：x的值不能为零，但可以以零为基础，左右均
匀、对称地取值。
26.1 反比例函数/
O－2
描点：以表中各组
对应值作为点的坐
标，在直角坐标系
内描出各点．
5
6
x
y
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6－3－4 －1－5－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
6y x
连线：用光滑的曲线
顺次连接各点，即可
得 的图象．6y x
12y x
探究新知
26.1 反比例函数/
x 增大
O－2
5
6
x
y
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6－3－4 －1－5－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
6y x
12y x
观察这两个函
数图象，回答问题：
【思考】
(1) 每个函数图象分
别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内，
随着x的增大，y 如何
变化？你能由它们的
解析式说明理由吗？
y
减
小
探究新知
26.1 反比例函数/
(3) 对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题(1)(2)，
你能得出同样的结论吗？
ky x
O x
y
探究新知
26.1 反比例函数/
（1）由两条曲线组成，且分别位
于第一、三象限，它们与 x 轴、y
轴都不相交；
（2）在每个象限内，y 随 x 的增大
而减小.
反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：ky x
归纳：
探究新知
O x
y
26.1 反比例函数/
1. (1)函数 图象在第_______象限，在每个象限
内， y随x的增大而 ______.
一、三4y x
减小
巩固练习
(2)已知反比例函数 在每一个象限内，y随x
的增大而减小，则m的取值范围是_____.
x
my 2
m＞2
26.1 反比例函数/
A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定 C 例1 反比例函数 的图象上有两点 A(x1，y1)， B(x2， y2)，且点A，B 均在该函数图象的第一象限部分， 若 x1＞ x2，则 y1与y2的大小关系为 （ ） 8y x 解析：因为8＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一 象限部分，根据 x1＞x2，可知y1，y2的大小关系. 探究新知 素养考点 1 利用反比例函数的性质比较大小 26.1 反比例函数/ 观 察 与 思 考 当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？ ky x y xO 2y x y xO 4y x y xO 6y x 探究新知 26.1 反比例函数/ 回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比 例函数 (k＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法 研究反比例函数 (k＜0)的图象和性质吗？ ky x ky x y xO 2y x y xO 4y x y xO 6y x 探究新知 26.1 反比例函数/ 反比例函数 (k＜0) 的图象和性质：ky x （1）由两条曲线组成，且分别位于 第二、四象限，它们与x轴、y轴都 不相交； （2）在每个象限内，y随x的增大而 增大. 归纳： 探究新知 y xO 26.1 反比例函数/ 反比例函数的图象和性质 形状 位置 增减性 图象的发展趋势 对称性 由两支曲线组成的.因此称它的图象为双曲线; 当k>0时,两支双曲线分别位于第一、三象限内;
当k0时,在每一象限内, y随x的增大而减小;
当k、=或
巩固练习
2y x
（2）已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数
（k≠0) 的图象上,则下列结论中正确的是( )
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y1>y2 D.y2>y3>y1
x
ky
2
B
26.1 反比例函数/
例2 已知反比例函数 ，在每一象
限内，y 随 x 的增大而增大，求a的值.
2 71 a ay a x
解：由题意得a2+a－7=－1，且a－10，一、
三象限
双曲线
k﹤0，二、
四象限x
y
o x
y
o
当k>0时,在每一象限
内, y随x的增大而减小
当k﹤0时,在每一象限
内, y随x的增大而增大
增减性
双曲线的两支无限靠近坐标轴，但无交点
对称性
既是轴对称图形也是中心对称图形
与 的图象关于x轴对称,也关于y轴对称
课堂小结
或 或
26.1 反比例函数/第二课时
返回
26.1 反比例函数/
二、四
象限
一、三
象限
函数 正比例函数 反比例函数
解析式
图象形
状
K>0
Ka′，那 么b和b′有怎样的大小关系？
（２）∵m－５＞０，在这个函数图象的任一支上，y随x的增大
而减小，∴当a＞a′时，b＜b′．
26.1 反比例函数/
【思考】根据反比例函数的部分图象，如何确定
其完整图象的位置以及比例系数的取值范围?
注：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，
因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强
调“在每一象限内”，否则，笼统说k＜0时，y随x
的增大而增大，从而出现错误.
探究新知
26.1 反比例函数/
2. 如图，是反比例函数 的图象的一个分支，对于
给出的下列说法：
①常数k的取值范围是 ；
②另一个分支在第三象限；
③在函数图象上取点 和 ，
当 时， ；
④在函数图象的某一个分支上取点 和 ，
当 时， ．
其中正确的是____________（在横线上填出正确的序号）．
2k
1 1,A a b 2 2,B a b
1 2a a 1 2b b
1 1,A a b
1 2a a 1 2b b
①
巩固练习
2 2,B a b
x
ky 2
② ④
O x
y
26.1 反比例函数/
在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向
x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写
下页表格：
4y x
知识点 3 反比例函数中k的几何意义
探究新知
26.1 反比例函数/
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
P (2，2)
Q (4，1)
S1的值
S2的值
S1与S2
的关系
猜想 S1，
S2 与 k
的关系
4y x
4
4
S1=S2
S1=S2=k
－5－4－3－2 1 432
－3
－2
－4
－5
－1
Q
探究新知
26.1 反比例函数/
S1的值 S2的值 S1与S2
的关系 猜想与k 的关系
P (－1，4)
Q (－2，2)
若在反比例函数 中也用
同样的方法分别取 P，Q 两点，填
写表格：
4y x
4y x
4 4 S1=S2 S1=S2=－k
y
xO
P
Q
探究新知
26.1 反比例函数/
由前面的探究过程，可以猜想：
若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂
直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形AOBP 的面积
与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.
x
ky
探究新知
26.1 反比例函数/
y
xO
P
S
我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b) A B ∵点 P (a，b) 在函数 的图 象上， ky x ∴ ，即 ab=k.kb a ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k； 若点 P 在第二象限，则 a0，
若点 P 在第四象限，则 a>0，b0）的图象上，横坐
标是1，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、C，
则矩形OABC的面积为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
B
巩固练习
xy 2
26.1 反比例函数/
例1 如图，点A在反比例函数 的图象上，AC垂直
x 轴于点C，且 △AOC 的面积为2，求该反比例函数的
表达式．
x
ky
解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，
∵点A在反比例函数
的图象上，∴ xA·yA＝k，
∴反比例函数的表达式为
ky x
4.y x
探究新知
素养考点 1 通过图形面积确定k的值
1 22AOCS k ∴ ，∴ k＝4，
26.1 反比例函数/巩固练习
4.如图所示，过反比例函数 （x>0）的图象上一
点A，作AB⊥x轴于点B，连接AO.若S△AOB=3,则k的值
为（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
C
x
ky
26.1 反比例函数/
例2 如图，P，C是函数 (x>0)图象上的任意两点，
PA，CD 垂直于x 轴. 设△POA 的面积为S1，则 S1 = ；
梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1
与 S2 的大小关系是 S1 S2；
△POE 的面积 S3 和 S2 的大小
关系是S2 S3.
4y x
2
S1
S2
＞
＝
S3
探究新知
素养考点 2 利用k的性质判断图形面积的关系
26.1 反比例函数/
A. SA >SB>SC B. SA0
b0
①
x
y
O x
y
O
②
探究新知
知识点 4 一次函数与反比例函数的组合图形
26.1 反比例函数/
k2 0）
26.2 实际问题与反比例函数/
1. 灵活运用反比例函数的意义和性质解决实际问题.
2. 能从实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学
模型，解决实际问题.
素养目标
3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围.
26.2 实际问题与反比例函数/
例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储
存室.
(1) 储存室的底面积 S （单位：m2 ）与其深度 d （单位：m ）
有怎样的函数关系?
解：根据圆柱体的体积公式，得
Sd =104，
∴ S 关于d 的函数解析式为
410 .S d
探究新知
知识点 1
素养考点 1
26.2 实际问题与反比例函数/
(2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队
施工时应该向地下掘进多深?
解得 d = 20 （m） .
如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时应向地下掘
进 20 m 深.
解：把 S = 500 代入 ，得
410S d
410500 d
，
探究新知
26.2 实际问题与反比例函数/
(3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公
司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存
室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)?
解得 S≈666.67(m²).
当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m².
解：根据题意，把 d =15 代入 ，得
410S d
410
15S ，
探究新知
26.2 实际问题与反比例函数/
第（1）问的解题思路是什么？第（2）问和第（3）
问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？
方法点拨：第（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，
然后根据圆柱的体积公式：圆柱的体积＝底面积×高，由
题意知S是函数，d是自变量，改写后所得的函数关系式是
反比例函数的形式.第（2）问实际上是已知函数S的值，
求自变量d的取值，第（3）问则是与第（2）问相反．
探究新知
【思考】
26.2 实际问题与反比例函数/
1.我们学习过反比例函数，例如，当矩形面积一定时，长a是宽b
的反比例函数，其函数关系式可以写为 （s为常数，s≠0）．
请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反
比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．
实例： ；
函数关系式： ．
b
sa
解：本题通过范例，再联系日常生活、生产或学习可以举出许
许多多与反比例函数有关的例子来，例如：实例，三角形的面
积S一定时，三角形底边长y是高x的反比例函数，其函数关系
式可以写为 （s为常数，s≠0）． x
sy 2
巩固练习
26.2 实际问题与反比例函数/
2.如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1L
(1L＝1dm3)的圆锥形漏斗．
（1）漏斗口的面积 S (单位：dm2)与漏斗的深 d
(单位：dm) 有怎样的函数关系? d解： 3 .S d
（2）如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口的面积为
多少 dm2？
解：10cm=1dm，把 d =1 代入解析式，得 S =3.
所以漏斗口的面积为 3 dm2.
巩固练习
26.2 实际问题与反比例函数/
(3) 如果漏斗口的面积为60 cm2，则漏斗的深为多少?
解：60 cm2 = 0.6 dm2，
把 S =0.6 代入解析式，得 d =5.
所以漏斗的深为 5 dm.
巩固练习
26.2 实际问题与反比例函数/
例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了
8天时间.
(1) 轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v (单位：吨/天)与
卸货天数 t 之间有怎样的函数关系?
解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得k =30×8=240，
所以 v 关于 t 的函数解析式为 240.v t
探究新知
素养考点 2 利用反比例函数解答运输问题
分析：根据“平均装货速度×装货天数=货物的总量”，可以求出轮船装载货
物的总量；再根据“平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数”，得到v 关于t
的函数解析式.
26.2 实际问题与反比例函数/
(2) 由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载
完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨?
从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载完，则平
均每天卸载 48 吨.而观察求得的反比例函数的解析式可知，t 越
小，v 越大.这样若货物不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要
卸载 48 吨.
解：把 t =5 代入 ，得240v t
探究新知
240 485v （吨／天）
26.2 实际问题与反比例函数/
【讨论】题目中蕴含的等量关系是什么？我们知道“至少”对
应于不等号“≥”，那么需要用不等式来解决第（2）问吗？
方法点拨：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作
总量＝工作速度×工作时间，题目中货物总量是不变的，两个
变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系．第（2）问涉
及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v
取最小值．
探究新知
26.2 实际问题与反比例函数/
3. 学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤，现
在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）
刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天.
（1）则y与x之间有怎样的函数关系？
（2）画出函数图象；
（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？
巩固练习
26.2 实际问题与反比例函数/
解：（1）煤的总量为：0.6×150=90（吨），
∵x•y=90，∴ ．
（2）函数的图象为：
（3）∵每天节约0.1吨煤，
∴每天的用煤量为0.6-0.1=0.5（吨），
∴ （天），
∴这批煤能维持180天．
巩固练习
90y x
90 90 1800.5y x
26.2 实际问题与反比例函数/
例3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时的平均速
度用 6 小时到达乙地.
（1） 甲、乙两地相距多少千米？
解：80×6=480 （千米）
答：甲、乙两地相距 480 千米.
（2）当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的
函数关系？
解：由题意得 vt =480，
整理得 （t ＞0）.480v t
探究新知
素养考点 3 利用反比例函数解答行程问题
26.2 实际问题与反比例函数/
4. A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城.
（1） 火车的速度 v （千米/时） 和行驶的时间 t （时）
之间的函数关系是 ．
（2） 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求 在 3 小
时内回到 A 城，则返回的速度不能低于 ．240千米/时
720v t
巩固练习
26.2 实际问题与反比例函数/
（2018•杭州）已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的
地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完
这批货物所需的时间为t（单位：小时）．
（1）求 v 关于 t 的函数表达式．
（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小
时至少要卸货多少吨？
巩固练习
连 接 中 考
26.2 实际问题与反比例函数/
连 接 中 考
巩固练习
解：（1）由题意可得：100=vt，
则 ；
（2）∵不超过5小时卸完船上的这批货物，
∴t≤5，
则 ，
答：平均每小时至少要卸货20吨．
100v t
100 205v
26.2 实际问题与反比例函数/
1．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速
度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的
速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（ ）
A． B．v+t=480
C． D．
A
课堂检测
基 础 巩 固 题
tv 480
tv 80 6tv t
26.2 实际问题与反比例函数/
2. 体积为 20 cm3 的圆柱体，圆柱体的高为 y (单位：cm）
与圆柱的底面积 S (单位：cm2） 的函数关系 ，
若圆柱的底面面积为 10 mm2，则圆柱的高是 cm.
20y SS
＞0
200
课堂检测
基 础 巩 固 题
26.2 实际问题与反比例函数/课堂检测
基 础 巩 固 题
3. 有x个小朋友平均分20个苹果，每人分得的苹果y（个/人）
与x（个）之间的函数是________函数，其函数关系式是
_______________ ．当人数增多时，每人分得的苹果就会减
少，这正符合函数 （k＞0），当x＞0时，y随x的增大
而_______的性质.
反比例
20( 0, )y x xx 且 为正整数
x
ky
减少
26.2 实际问题与反比例函数/
刘东家离工作单位的距离为7200 米，他每天骑自行车上班时
的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟．
(1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？
(2) 若刘东到单位用 30 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
能 力 提 升 题
课堂检测
解： 7200v t
解：把 t =30代入函数的解析式，得：
答：他骑车的平均速度是 240 米/分.
7200 24030v
26.2 实际问题与反比例函数/
(3) 如果刘东骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少 需要
几分钟到达单位?
解：把 v =300 代入函数解析式得：
解得：t =24．
答：他至少需要 24 分钟到达单位．
7200 300t
，
能 力 提 升 题
课堂检测
26.2 实际问题与反比例函数/
在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水
渠的工程，所需天数 y（天）与每天完成的工程量 x（ m/天）
的函数关系图象如图所示.
（1）请根据题意，求 y 与 x 之间的函数
表达式；
50
24 x(m/天)
y(天)
O解： 1200.y x
课堂检测
拓 广 探 索 题
26.2 实际问题与反比例函数/
(2) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开
挖水渠 15 m，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？
解：由图象可知共需开挖水渠 24×50=1200 (m)，
2 台挖掘机需要 1200÷(2×15)=40 (天).
课堂检测
拓 广 探 索 题
26.2 实际问题与反比例函数/
(3) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内
(按 30 天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少 m？
解：1200÷30=40 (m)，
故每天至少要完成40 m．
课堂检测
拓 广 探 索 题
26.2 实际问题与反比例函数/
实
际
问
题
中
的
反
比
例
函
数
过程：
分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
注意：
实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；
作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的
单位长度不一定相同.
课堂小结
26.2实际问题与反比例函数/第二课时
返回
U
R
~
26.2实际问题与反比例函数/
给我一个支点，我可以撬动地球！──阿基米德
1．你认为可能吗？
2．大家都知道开啤酒的开瓶器，它蕴含什么科学道理？
3．同样的一块大石头，力量不同的人都可以撬起来，
是真的吗？
导入新知
26.2实际问题与反比例函数/
2. 掌握反比例函数在其他学科中的运用，体
验学科的整合思想.
1. 体验现实生活与反比例函数的关系，通过
“杠杆定律”解决实际问题，探究实际问题
与反比例函数的关系.
素养目标
26.2实际问题与反比例函数/
阻
力
动
力
阻力臂 动力臂
公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现了著名
的“杠杆定律”:若杠杆上的两物体与支点的距离与
其重量成反比,则杠杆平衡.通俗一点可以描述为:
阻力×阻力臂 = 动力×动力臂
探究新知
支点
26.2实际问题与反比例函数/
小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N
和0.5m.
（1） 动力 F 与动力臂l 有怎样的函数关系? 当动力臂为1.5m时，
撬动石头至少需要多大的力?
解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5，
∴ F 关于l 的函数解析式为 600.F l
对于函数 ，当 l =1.5 m时，F =400 N，此时杠杆平衡.
因此撬动石头至少需要400N的力.
6 0 0F l
探究新知
知识点 1
当 l=1.5m 时， 600 400.1.5F (N)
26.2实际问题与反比例函数/
（2） 若想使动力 F 不超过题 （1） 中所用力的一半，则动力臂l
至少要加长多少?
分析：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求
出 F =200 N 时对应的l 的值，就能 确定动力臂 l 至少应加长的量.
6 0 0F l
600 3200l ，
300－1.5 =1.5 （m）.
对于函数 ，当 l ＞0 时，l 越大，F 越小. 因此，若想用力
不超过 400 N 的一半，则动力臂至少要加长 1.5 m.
600F l
探究新知
解：当 时，由 ，得2002
1400 F
l
600200
26.2实际问题与反比例函数/
【讨论】1.什么是“杠杆定律”？已知阻力与阻力臂不变，
设动力为F，动力臂为L，当F变大时，L怎么变？当F变小时，
L又怎么变？
2.在第（2）问中，根据第（1）问的答案，可得F≤200，
要求出动力臂至少要加长多少，就是要求L的什么值？由此
判断我们在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？
探究新知
26.2实际问题与反比例函数/
1.小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，
分别为100牛和0.2米，那么动力F和动力臂L之间的函数关系
式是________．
2. 小强欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，
分别为1000牛顿和0.5米，则当动力臂为1米时，撬动石头至
少需要的力为________牛顿． 500
巩固练习
20F L
26.2实际问题与反比例函数/
某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片
烂泥湿地. 当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S
(m2)的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa)也随之变化. 如果人
和木板对湿地地面的压力合计为 600 N，那么
(1) 用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗？为什么？
解：由 得Fp S
600.p S
p 是 S 的反比例函数，因为给定一个 S 的值，对应的就有唯一的一
个 p 值和它对应，根据函数定义，则 p 是 S 的反比例函数．
探究新知
26.2实际问题与反比例函数/
(2) 当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？
解：当S ＝0.2 m2 时，
故当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa．
600 3000.0.2p
探究新知
26.2实际问题与反比例函数/
(3) 如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要多大？
解：当 p=6000 时，由 得6 0 06 0 0 0 S
6 0 0 0 .1 .6 0 0 0S
对于函数 ，当 S ＞0 时，S越大，p越小. 因此，
若要求压强不超过 6000 Pa，则木板面积至少要 0.1 m2.
600p S
探究新知
26.2实际问题与反比例函数/
(4) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
2000
0.1 0.5O 0.60.30.2 0.4
1000
3000
4000
5000
6000
S/m2
p/Pa
解：如图所示.
探究新知
26.2实际问题与反比例函数/
3.在对物体做功一定的情况下，力F（单位：N）与此物体在
力的方向上移动的距离s（单位：m）成反比例关系，其图象
如图所示，点P（5，1）在图象上，则当力F达到10 N时，物
体在力的方向上移动的距离是________m.
巩固练习
0.5
26.2实际问题与反比例函数/
一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω.
已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示.
(1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系?
解：根据电学知识，
当 U = 220 时，得
2220 .p R
探究新知
知识点 2
U~
R
26.2实际问题与反比例函数/
(2) 这个用电器功率的范围是多少?
解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.
把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式，
得到功率的最大值
把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式，
得到功率的最小值
2220 440110p ；
2220 220.220p
因此用电器功率的范围为220~440 W.
探究新知
26.2实际问题与反比例函数/
【讨论】根据物理知识可以判断：当用电器两端的电压
一定时，用电器的输出功率与它的电阻之间呈什么关系？
这一特征说明用电器的输出功率与它的电阻之间满足什
么函数关系？
探究新知
26.2实际问题与反比例函数/
解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关
系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根
据题意求解答案．其中往往要用到电学中的公式PR＝U2，
P指用电器的输出功率（瓦），U指用电器两端的电压
（伏），R指用电器的电阻（欧姆）．
探究新知
方法点拨
26.2实际问题与反比例函数/
4. 在公式 中，当电压U一定时，电流I与电
阻R之间的函数关系可用图象大致表示为（ ）D
R
UI
巩固练习
A B C D
26.2实际问题与反比例函数/
5. 在某一电路中，保持电压不变，电流 I (安培) 和电阻 R (欧姆) 成
反比例，当电阻 R＝5 欧姆时，电流 I＝2安培．
(1) 求 I 与 R 之间的函数关系式；
(2) 当电流 I＝0.5 时，求电阻 R 的值．
解：(1) 设
∵ 当电阻 R = 5 欧姆时，电流 I = 2 安培，
∴ U =10．
∴ I 与 R 之间的函数关系式为
UI R
，
10.I R
100.5 R
(2) 当I = 0.5 安培时， ，解得 R = 20 (欧姆)．
巩固练习
26.2实际问题与反比例函数/
1.（2018•聊城）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项
工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程
中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室
内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的
函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图
所示．下面四个选项中错误的是（ ）
巩固练习
连 接 中 考
C
A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到
10mg/m3
B．室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min
C．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分
钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效
D．当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，
所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后，
学生才能进入室内
26.2实际问题与反比例函数/
1. 如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，则它的
面积为定值S时， y与 x 的函数关系为（ ）
A. B.
C. D.
C
课堂检测
基 础 巩 固 题
x
Sy x
Sy 2
x
Sy 2
S
xy 2
26.2实际问题与反比例函数/
2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体
的气压 p (kPa) 是气体体积 V (m3)的反比例函数，其图象如图
所示，当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全
起见，气球的体积应 ( )
A. 不大于 B. 小于
C. 不小于 D. 大于
C
O
60
V/m3
p/kPa
1.6
34
5 m 34
5 m
34
5 m 34
5 m
课堂检测
基 础 巩 固 题
26.2实际问题与反比例函数/
2A .
3B .
6C .
6D .
I R
I R
I R
I R
C
课堂检测
3.某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R
（Ω）成反比例. 下图表示的是该电路中电流I与电阻R之间
的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
基 础 巩 固 题
26.2实际问题与反比例函数/
4. 受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，小刚选择了动力臂
为1.2米的撬棍，用了500牛顿的力刚好撬动；小明身体瘦小，
只有 300 牛顿的力量，他该选择动力臂为 的撬棍才能撬
动这块大石头呢.
2 米
课堂检测
基 础 巩 固 题
26.2实际问题与反比例函数/
如图所示，重为8牛顿的物体G挂在杠杆的B端，O点为支点，
且OB=20cm．
（1）根据“杠杆定律”写出F与h之间的函数解析式；
（2）当h=80cm时，要使杠杆保持平衡，在A端需要施加多少
牛顿的力？
能 力 提 升 题
课堂检测
26.2实际问题与反比例函数/
解：（1）F•h=8×20=160
所以
（2）当h=80cm时，
所以在A端需要施加2牛顿的力.
课堂检测
能 力 提 升 题
160F h
160 280F （牛顿）
26.2实际问题与反比例函数/
蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流 I (A) 是
电阻R (Ω) 的反比例函数，其图象如图所示．
(1) 求这个反比例函数的表达式；
解： 设 ，把 M (4，9) 代入得
k =4×9=36.
∴ 这个反比例函数的表达式为 .
kI R
36I R
O
9
I(A)
4 R(Ω)
M (4，9)
课堂检测
拓 广 探 索 题
26.2实际问题与反比例函数/
(2) 当 R =10Ω 时，电流能是 4 A 吗？为什么？
解：当 R=10Ω 时，I = 3.6 ≠ 4，
∴电流不可能是4A．
课堂检测
拓 广 探 索 题
26.2实际问题与反比例函数/
物
理
学
科
中
的
反
比
例
函
数
知识小结
与其他知识的综合
思想方法小结
建模—反比例函数的数学思想方法
“杠杆原理”：
动力×动力臂=阻力×阻力臂
与力学的
综合
与电学的
综合
Fp S
2Up R
UI R
课堂小结
26.2实际问题与反比例函数/课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
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