数学北师大版八上第2章 实数练习题及答案解析

第二章 实数 2.1 认识无理数 专题 无理数近似值的确定 1. 设面积为 3 的正方形的边长为 x，那么关于 x 的说法正确的是（ ） A．x 是有理数 B．x 取 0 和 1 之间的实数 C．x 不存在 D．x 取 1 和 2 之间的实数 2．（1）如图 1，小明想剪一块面积为 25cm2 的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边 长吗？ （2）若小明想将两块边长都为 3cm 的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图 2 所示的一个大 正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请 你估计这个边长的值在哪两个整数之间． 3. 你能估测一下我们教室的长、宽、高各是多少米吗？你能估测或实际测量一下数学课本 的长、宽和厚度吗？请你再估算一下我们的教室能放下多少本数学书？这些数学书可供多少 所像我们这样的学校的初一年级学生使用呢？请你对每一个问题给出估测的数据，再把估算 的过程结果一一写出来． 答案： 1．D 【解析】 ∵面积为 3 的正方形的边长为 x，∴x2=3，而 12=1，22=4，∴1＜x2＜4， ∴1＜x＜2，故选 D. 2．解：（1）边长为 5cm. w ww. （2）设大正方形的边长为 x，∵大正方形的面积=32+32=18，而 42=16，52=25， ∴16＜x2＜25，∴4＜x＜5,故正方形的边长不是整数,它的值在 4 和 5 之间. 3．解：估算的过程：教室的长、宽、高可以用我们的身高估计出来；数学课本的长、宽和 厚度可以用我们的手指估计出来，也可以用直尺测量出来；我们用长宽高相乘估计出教 室的容积与课本的体积相除算出能放下多少本数学书，就是能供多少名学生使用，再用 本班人数乘一年级班数估计本校一年级人数，然后相处就可以估计出这些数学书可供多 少所像我们这样的学校的初一年级学生使用了．估测的数据、估算的结果略. 2.2 平方根 专题一 非负数问题 1. 若 与 1b 互为相反数，则 的值为（ ） A． B． C． D． 2． 设 a，b，c 都是实数，且满足（2-a）2+ +|c+8|=0，ax2+bx+c=0，求式子 x2+2x 的算术平方根． 3. 若实数 x，y，z 满足条件 + + = (x+y+z+9)，求 xyz 的值． 专题二 探究题 4. 研究下列算式，你会发现有什么规律？ = =2； = =3； 3 5 1  = 16 =4； 4 6 1  = 25 =5；… 请你找出规律，并用公式表示出来． 5.先观察下列等式，再回答下列问题： ① 2 2 1 11 1 2   =1+ 1 1 1 1 1   - = 112 ； ② 2 2 1 11 2 3   =1+ 1 1 2 2 1   = 116 ； ③ 2 2 1 11 3 4   =1+ 1 1 3 3 1   = 1112 ． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 2 2 1 11 4 5   的结果，并验证； （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含 n 的式子表示的等式（n 为正整数）． 答案： 1．D 【解析】 ∵ 与|b+1|互为相反数， ∴ +|b+1|=0， ∴ =0 且 b+1=0， ∴a= ，b=﹣1， = ，故选 D. 2．解：由题意，得 2-a=0，a2+b+c=0，c+8=0． ∴a=2，c=-8，b=4． ∴2x2+4x-8=0． ∴x2+2x=4．w ww. ∴式子 x2+2x 的算术平方根为 2． 3．解：将题中等式移项并将等号两边同乘以 4 得 x-4 +y-4 +z-4 +9=0， ∴(x-4 +4)+(y-1-4 +4)+(z-2-4 +4)=0, ∴( -2)2+( -2)2+( -2)2=0, ∴ -2=0 且 -2=0 且 -2=0, ∴ =2 =2 =2, ∴x=4,y-1=4 ,z-2=4,∴x=4,y=5,z=6. ∴xyz=120． 4.解：第 n 项 an= ( 2) 1n n   = 2( 1)n  =n+1，即 an=n+1． 5.解：（1） 2 2 1 11 4 5   =1+ 1 1 4 4 1   = 1120 ． 验证： 2 2 1 11 4 5   = 1 11 16 25   = 25 161 400 400   = 441 400 = 1120 ． （2） 2 2 1 11 ( 1)n n    =1+ 1 1 1n n   =1+ 1 ( 1)n n  （n 为正整数）． 2.3 立方根 专题 立方根探究性问题 1. （1）填表： a 0.000001 0.001 1 1000 1000000 3 a （2）由上表你发现了什么规律（请你用语言叙述出来）； （3）根据发现的规律填空： ①已知 3 3 =1.442，则 3 3000 =_____________； ②已知 3 0.000456 =0.07696，则 3 456 =_____________． 2． 观察下列各式： （1） 22 3 =2 2 3 ；（2） 338 =3 3 8 ；（3） 4415 =4 4 15 ． 探究 1：判断上面各式是否成立．（1）________；（2）________；（3）________ . 探究 2：猜想 55 24 = ________ ． 探究 3：用含有 n 的式子将规律表示出来，说明 n 的取值范围，并用数学知识说明你所写 式子的正确性． 拓展: 3 22 7 =2 3 2 7 ， 3 33 26 =3 3 3 26 ， 3 44 63 =4 3 4 63 ,… 根据观察上面各式的结构特点，归纳一个猜想，并验证你的猜想． 答案： 1.解：（1）直接开立方依次填入：0.01；0.1；1；10；100． （2）从表中发现被开方数小数点向右移动三位，立方根向右移动一位． （3）①14.42 ②7.696 2.解：探究 1：（1）成立 （2）成立 （3）成立 探究 2： 55 24 探究 3： 2 1 nn n  = 2 1 nn n  （n≥2,且 n 为整数）．理由如下： 2 1 nn n  = 3 2 1 n n n n    = 2 2 1 nn n   = 2 1 nn n  . 拓展： 3 3 1 nn n  = 3 3 1 nn n  ．理由如下： 3 3 1 nn n  = 4 3 3 1 n n n n    = 33 3 1 nn n   = 3 3 1 nn n  . 2.4 估算 专题 比较无理数大小 1. 设 a= 1003 + 997 ，b= 1001 + 999 ，c=2 1001 ，则 a，b，c 之间的大小关系是 （ ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a 2. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ( 2 +1)( 2 -1)=1，( 3 + 2 )( 3 - 2 )=1，( 4 + 3 )( 4 - 3 )=1， ( 5 + 4 )( 5 - 4 )=1… （1）观察上面的规律，计算下列式子的值． ( 1 2 1 + 1 3 2 + 1 4 3 +…+ 1 2013 2012 )•( 2013 +1). （2）利用上面的规律，试比较 12 11 与 13 12 的大小． 3. 先填写下表，通过观察后再回答问题． 问： （1）被开方数 a 的小数点位置移动和它的算术平方根 a 的小数点位置移动有无规律？ 若有规律，请写出它的移动规律； （2）已知： a =1800，- 3.24 =-1.8，你能求出 a 的值吗？ （3）试比较 a 与 a 的大小． 答案： 1．D 【解析】 ∵a2=2000+2 1003 997 ，b2=2000+2 1001 999 ，c2=4004=2000+2×1002， 1003×997=1 000 000-9=999 991，1001×999=1 000 000-1=999 999，10022=1 004 004． ∴c＞b＞a．故选 D． 2．解：（1）由上面的解题规律可直接写出 1 1 1 n n n n      ， 则( 1 2 1 + 1 3 2 + 1 4 3 +…+ 1 2013 2012 )•( 2013 +1) =[( 2 -1)+ ( 3 - 2 )+( 4 - 3 )+…+( 2013 - 2012 )]( 2013 +1) =( 2013 -1) ( 2013 +1) =2012. （2）∵ 1 12 11 = 12 11 ， 1 13 12 = 13 12 , 又 12 11 ＜ 13 12 ， ∴ 1 12 11 ＜ 1 13 12 ， ∴ 12 11 ＞ 13 12 . 3．解：依次填:0.001，0.01，0.1，1，10，100，1000．w ww. （1）有规律，当被开方数的小数点每向左（或向右）移动 2 位，算术平方根的小数点向 左（或向右）移动 1 位. （2）观察 1.8 和 1800，小数点向右移动了 3 位，则 a 的值为 3.24 的小数点向右移动 6 位, 即 a=3240000； （3）当 0＜a＜1 时， a ＞a；当 a=1 或 0 时， a =a；当 a＞1 时， a ＜a． 2.6 实数 专题 实数与数轴 1.如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数 2 的点为圆心，正方形对角线 长为半径画弧，交数轴于点 A，则点 A 表示的数是（ ） A． 2- B． 2 2- C．1 2- D．1 2+ 2.如图所示，直线 L 表示地图上的一条直线型公路，其中 A、B 两点分别表示公路上第 140 公里处及第 157 公里处．若将直尺放在此地图上，使得刻度 15，18 的位置分别对准 A，B 两点，则此时刻度 0 的位置对准地图上公路的第（ ）公里处 A．17 B．55 C．72 D．85 3. 一个等腰直角三角形三角板沿着数轴正方向向前滚动，起始位置如图，顶点 C 和 A 在数 轴上的位置表示的实数为-1 和 1．那么当顶点 C 下一次落在数轴上时，所在的位置表示 的实数是___________． 4. 如图，已知 A、B、C 三点分别对应数轴上的数 a、b、c． （1）化简：|a-b|+|c-b|+|c-a|； （2）若 a= 4 x y ，b=-z2，c=-4mn．且满足 x 与 y 互为相反数，z 是绝对值最小的负整数， m、n 互为倒数，试求 98a+99b+100c 的值； （3）在（2）的条件下，在数轴上找一点 D，满足 D 点表示的整数 d 到点 A，C 的距离之和 为 10，并求出所有这些整数的和． 答案： 1．B 【解析】 由勾股定理得：正方形的对角线为 2 ，设点 A 表示的数为 x，则 2-x= 2 ， 解得 x=2- 2 ．故选 B． 2．B 【解析】 根据题意，数轴上刻度 15，18 的位置分别对准 A，B 两点，而 AB 两点间距 离 157-140=17（公里），即数轴上的 3 个刻度对应实际 17 公里的距离.又有数轴上刻度 0 与 15 之间有 15 个刻度，故刻度 0 的位置对准地图上公路的位置距 A 点有 15×17 3 =85(公 里), 140-85=55,故刻度 0 的位置对准地图上公路的 55 公里处.故选 B． 3．3+2 2 【解析】 在直角△ABC 中，AC=CB=2， 根据勾股定理可以得到 AB=2 2 ，w ww. 则当顶点 C 下一次落在数轴上时， 所在的位置表示的实数是 4+2 2 -1=3+2 2 ． 故答案为：3+2 2 ． 4．解：（1）由数轴可知：a-b＞0，c-b＜0，c-a＜0， 所以原式=（a-b）-（c-b）-（c-a） =a-b-c+b-c+a=2a-2c. （2）由题意可知：x+y=0，z=-1，mn=1， 所以 a=0，b=-（-1）2=-1，c=-4， ∴98a+99b+100c=-99-400=-499. （3）满足条件的 D 点表示的整数为-7、3，它们的和为-4． 2.7 二次根式 专题一 与二次根式有关的规律探究题 1.将 1、 2 、 3 、 6 按如图所示的方式排列. 若规定（m，n）表示第 m 排从左到右第 n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数之积是 （ ） A.1 B.2 C. 2 3 D.6 2. 观察下列各式及其验证过程： 3 223 22  ，验证： 22 8 2 2 22 23 3 3 3     ． 3 33 38 8   ，验证： 23 27 3 3 33 38 8 8 8     ． （1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想 15 44  的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用 a （ a 为任意自然数，且 2a≥ ）表示的等式， 并给出验证； （3）针对三次根式及 n 次根式（ n 为任意自然数，且 2n≥ ）,有无上述类似的变形，如 果有，写出用 a （ a 为任意自然数，且 2a≥ ）表示的等式，并给出验证． 3. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+2 2 = 221 ）（  ，善于思考的小明进行了以下探索： 设 a+b 2 = 22）（ nm  （其中 a、b、m、n 均为正整数）,则有 a+b 2 =m2+2n2+2mn 2 , ∴a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分 a+b 2 的式子化为平方式的方法. 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若 a+b 3 = 2)3( nm  ,用含 m、n 的式子分别表示 a、 b，得：a= ，b= ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m、n 填空： + 3 =（ ＋ 3 ） 2 ； （3）若 a+4 3 = 2)3( nm  ，且 a、m、n 均为正整数，求 a 的值. 专题二 利用二次根式的性质将代数式化简 4. 化简二次根式 2 2aa a +- 的结果是（ ） A. 2a- - B. 2a- - - C. 2a - D. 2a- - 5.如图，实数 a．b 在数轴上的位置， 化简： 222 )( baba  ． 答案： 1.D 【解析】 从图示中知道，（4，2）所表示的数是 6 .∵前 20 排共有 1+2+3+4+…+20=210 个数，∴（21，2）表示的是第 210+2=212 个数.∵这些数字按照 1、 2 、 3 、 6 的 顺序循环出现，212÷4=53，∴（21，2）表示的数是 6 .∴（4，2）与（21，2）表示的 两数之积是 6 6 6  . 2.解：（1） 4 44 415 15   ．验证： 24 64 4 4 44 415 15 15 15     ． （2） 2 21 1 a aa aa a    （ a 为任意自然数，且 2a≥ ）． 验证： 3 3 2 2 2 21 1 1 1 a a a a a aa aa a a a         ．w ww. （3） 3 3 3 3 11     a aa a aa （ a 为任意自然数，且 2a≥ ）． 验证： 33 33 4 4 3 3 3 31 1 1 1 a a a a a aa aa a a a         ． 1 1 n n n n a aa aa a    （ a 为任意自然数，且 2a≥ ）． 验证： n n n n n n n n n n a aa a a a aaa a aa 1111 11          . 3. 解：(1) 22 3nm  2mn (2)21 12 3 2 (3) ∵ 22 3nma  ,4=2mn, ∴mn=2. ∵ m,n 为正整数，∴m=1,n=2 或 m=2,n=1, ∴a=13 或 a=7. 4.B 【 解 析 】 若 二 次 根 式 有 意 义 ， 则 2 2a a  ≥0 ， -a-2≥0 ， 解 得 a≤-2 ， ∴ 原 式 = 2a aa - -- = 2a- - - ．故选 B． 5.解：由图知，a＜0，b＞0，∴a﹣b＜0， ∴ 222 )( baba  =|a|﹣|b|+|a﹣b|=（﹣a）﹣b+（b﹣a）=﹣2a．