八年级上华东师大版16.3 梯形的性质同步练习

16.3 梯形的性质 一、课内训练： 1．下列说法正确的是（ ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形; B．有两个角相等的梯形一定是等腰梯形; C．一组对边平行但不相等的四边形一定是梯形; D．一组对边相等，而另一组对边不相等的四边形一定是梯形 2．四边形四个内角度数之比为 2：2：1：3，则此四边形是（ ） A．任意四边形 B．任意梯形 C．等腰梯形 D．直角梯形 3．有两个角相等的梯形是（ ） A．等腰梯形 B．直角梯形 C．一般梯形 D．等腰梯形或直角梯形 4．如图，等腰梯形 ABCD 的面积为 100cm2，AB∥CD，AC⊥BD，求它的高． 5．（一题多解）已知等腰梯形的一个锐角等于 60°，它的两底分别为 20cm 和 42cm，求 它的腰长． 6．如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=45°，AE⊥BC，且 AE=AD=2cm，求这个梯形 的面积． 7．在周长为 40cm 的梯形 ABCD 中，AD∥BC，AE∥DC 交 BC 于 E，AD=5cm，△ABE 的周长为 （ ） A．40cm B．30cm C．20cm D．15cm 8．如图，等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD=BC，延长 AB 到 E，使 BE=CD，连接 CE， 求证：CE=CA． 9．如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC=BC+AD，求∠DBC 的度数． 10．（05 年陕西省中考·课改卷）如图是用 12 个全等的等腰梯形镶嵌（密铺）成的图形， 这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是________． 11．请你想一想，能否将一个梯形纸片剪接成一个三角形？平行四边形？矩形？ 二、课外演练： 1．下列说法正确的是（ ） A．平行四边形是一种特殊的梯形；B．等腰梯形两底角相等 C．等腰梯形不可能是直角梯形； D．有两邻角相等的梯形是等腰梯形 2．如图 1，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=AB= 1 2 BC．若梯形的周长是 30cm，则 AD=________cm，∠B=______． （1） （2） （3） （4） 3．等腰梯形的一个锐角等于 60°，它的上底是 3cm，腰长是 4cm，则下底是____． 4．梯形的上底长为 6cm，过上底一个顶点引一腰的平行线，交下底所得的三角形的周长 是 19cm，那么这个梯形的周长是（ ） A．31cm B．25cm C．19cm D．28cm 5．（06 年温州市中考）如图 2，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，CA 平分∠BCD，CD=5，则 AD 的长是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．如果等腰梯形两底差的一半等于它的高，则这个梯形的一个底角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 7．如图 3 所示，∠B=∠C=90°，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB 的 度数为_______． 8．（05 年佛山市中考·课改卷）如图 4，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的 图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指锐角）是______度． 9．（综合题）梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=60°，CD=3cm，AD=10cm，则 AB 的长是________cm． 10．如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC⊥BD，AD+BC=26，求梯形 ABCD 的高． 11．如图，已知 M 是梯形 ABCD 一腰 CD 的中点，MN⊥AB，垂足为 N．求证：S 梯形 ABCD=AB·MN． 答案: 一、课内训练： 1．C 点拨：A 也可能是平行四边形；B 也可能是直角梯形，由相等的两个角的位置不同 决定着；D 如图四边形 ABCD 中，AB=CD，AD≠BC，而四边形 ABCD 不是梯形． 2．D 点拨：设四个内角度数分别为 2x，2x，x，3x， 由四边形内角和知 2x+2x+x+3x=360°，解得 x=45°，此梯形有两个角是直角，故选 D． 3．D 点拨：可以是同一底边上的两个角相等，此时梯形是等腰梯形，也可以是邻角相等， 此时梯形是直角梯形． 4．解：如图，过点 C 作 CF⊥AB 于 F，作 CE∥DB 交 AB 的延长线于 E． ∵CE∥DB，AB∥CD，∴四边形 BECD 是平行四边形． ∴CE=BD，BE=CD．∴AE=AB+BE=AB+CD． ∴S△AEC= 1 2 AE·CF= 1 2 （AB+CD）·CF=S 梯形面积=100cm2， ∵AD=BC，BD=AC，∴CE=AC，∵AC⊥BD，CE∥BD， ∴AC⊥CE，∴△AEC 是等腰直角三角形．∵CF⊥AE， ∴F 是 AE 中点．CF= 1 2 AE． ∴S△AEC = 1 2 AE·CF=CF2=100cm2，∴CF=10cm． 点拨：由梯形面积公式联想到构造一个一条边等于梯形 ABCD 的上底与下底之和， 且与梯形等高的三角形，把梯形转化为三角形问题，为此过 C 为 CE∥DB 交 AB的延长线 于 E，易知四边形 BECD 为平行四边形，BE=CD，所以 AE=AB+CD，可见△AEC 与梯形 ABCD 等高，所以它们的面积相等，至此，问题变成了已知三角形面积求高． 5．如图，解法一：如图（1），过 A 作 AE∥CD 交 BC 于 E， 得等边三角形 ABE，AB=BE=BC-AD=42-20=22（cm）． 解法二：如图（2），延长 BA、CD 交于点 O， 得等腰三角形 OBC 和 OAD，AB=OB-OA=BC-AD=42-20=22（cm）． 解法三：如图（3），作 AM⊥BC，DN⊥BC，垂足为 M，N，得矩形 AMND， 在 Rt△ABM中，∠BAM=90°-60°=30°，BM= 1 2 （BC-AD）=11cm， 因此 AB=2BM=22cm． 点拨：根据已知条件及求解的问题，有三种辅助线． 6．解：∵AE⊥BC，∠B=45°， ∴BE=AE=2cm， 过 D 作 DF⊥BC 于 F． ∵四边形 ABCD 是等腰梯形， ∴∠C=45°． ∴四边形 AEFD 是矩形． ∴EF=AD=2cm，CF=DF=AE=2cm． ∴BC=BE+EF+FC=2+2+2=6． ∴S 梯形 ABCD= 1 2 （AD+BC）·AE= 1 2 ×（2+6）×2=8（cm）2． 7．B 点拨：△ABE 的周长等于梯形周长减去 10． 8．连接 BD，∵梯形 ABCD 是等腰梯形， 又∵AB∥CD，CD=BE． ∴四边形 BECD是平行四边形． ∴CE=BD． 又∵四边形 ABCD 是等腰梯形， ∴BD=AC，∴AC=CE． 9．解：过 D 作 DE∥AC 交 BC 的延长线于 E． ∵AD∥BC，∴四边形 ACED 是平行四边形． ∴DE=AC，AD=CE． 又∵四边形 ABCD 是等腰梯形． ∴AC=BD． 又∵AC=BC+AD，∴AC=BC+CE=BE． ∴BD=BE=DE． ∴△BDE 是等边三角形． ∴∠DBC=60°． 10．1：2 点拨：此等腰梯形是有一内角为 60°且两腰与上底相等的． 11．一个梯形纸片可以剪拼成一个三角形、平行四边形或矩形，剪拼方法如图所示，其中 虚线与实线的交点都为梯形腰的中点． 二、课外演练： 1．C 点拨：B 选项必须是同一底边上的两底角相等；D 选项是直角梯形． 2．6，60° 点拨：作 DF∥AB 交 BC 于 F，则 AD=BF= 1 2 BC， 所以 AD= 30 5 =6．△DCF 是等边三角形，所以∠B=∠C=60°． 3．7cm 点拨：由底角为 60°，腰长为 4，则下底的长为 2+2+3=7（cm）． 4．A 点拨：梯形的周长等于所得三角形周长加上上底的 2 倍． 5．B 点拨：∵∠DCA=∠ACB，∠ACB=∠DAC，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD=5． 6．B 点拨：过梯形上底两顶点作下底的垂线，等腰梯形被分割成了一个矩形和两个等腰 直角三角形，故底角是 45°． 7．35° 点拨：过 E 作 EF⊥AD，垂足为 F， 因为 DE 平分∠ADC，所以 FE=CE， 又因为 E 为 BC 中点，所以 FE=BE， 故 AE 平分∠BAD．所以 2（∠EAB+∠ADE）=180°， 而∠ADE=∠EDC=90°-35°=55°，故∠EAB=35°． 8．60 点拨：三个等腰梯形的钝角和为 360°． 9．13 点拨：作梯形的两条高 DE、CF，由∠A=∠B=60°，所以 AE=BF=5，故 AB=13． 10．解：过 D 作 DF∥AC 交 BC 的延长线于 F，作 DE⊥BC 于 E， 则四边形 ACFD是平行四边形，所以 AC=DF，AD=CF． 又因为四边形 ABCD 是等腰梯形，所以 AC=BD．所以 BD=DF． 因为 AC⊥BD，DF∥AC，所以 BD⊥DF．所以△BDF是等腰直角三角形， 所以∠F=∠DBF=45°． 又因为 DE⊥BC，所以 BE=EF，∠BED=90°，所以∠DBE=∠BDE=45°， 所以 DE=BE= 1 2 BF= 1 2 （BC+CF）= 1 2 （BC+CA）= 1 2 ×26=13． 点拨：当梯形的对角线相等或垂直时，常作梯形对角线的平行线，构造平行四边形， 等腰三角形或直角三角形． 14．解法一：∵M 是 CD 的中点，故连接并延长 AM 交 BC 的延长线于点 E， 易知△ADM与△ECM 关于点 M 成中心对称．∴S 梯形 ABCD=S△ABE． 连接 BM，由 BM 是△ABE 的中线， ∴S△ABE =2·S△ABM=2· 1 2 AB·MN=AB·MN． 解法二：∵M 是 CD 的中点，故过 M 作 PQ∥AB，PQ 分别与 AD 的延长线及 BC 相交于点 P、Q，得ABQP，△PDM 与△QCM 关于点 M 成中心对称． ∴S 梯形 ABCD=S ABCD =AB·MN． 点拨：利用中心对称思想方法，将原来的图形进行部分或整体的割补，把梯形问题转 化为三角形问题或平行四边形问题来解决．