2015年泉州市中考数学试题解析

2015 年福建省泉州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 7小题，每小题 3 分，满分 21 分） 1．（3 分）（2015•泉州）﹣7 的倒数是（ ） A． 7 B． ﹣7 C． D． ﹣ 解：﹣7 的倒数是﹣ ，故选：D． 点评： 本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键． 2．（3 分）（2015•泉州）计算：（ab2）3=（ ）[来源:Z*xx*k.Com] A． 3ab2 B． ab6 C． a3b6 D． a3b2 解：（ab2）3=a3（b2）3=a3b6 故选 C 3．（3 分）（2015•泉州）把不等式 x+2≤0 的解集在数轴上表示出来，则正确的是（ ） A． B． C． D． 解：解不等式 x+2≤0，得 x≤﹣2． 表示在数轴上为： ． 故选：D． 4．（3 分）（2015•泉州）甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的 10 次百米测试平均成绩都 是 13.2 秒，方差如表 选手 甲 乙 丙 丁 方差（秒 2） 0.020 0.019 0.021 0.022 则这四人中发挥最稳定的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解：∵0.019＜0.020＜0.021＜0.022，∴乙的方差最小， ∴这四人中乙发挥最稳定，故选：B． 5．（3 分）（2015•泉州）如图，△ABC 沿着由点 B 到点 E 的方向，平移到△DEF，已知 BC=5．EC=3，那么平移的距离为（ ） A．2 B．3 C．5 D．7 解：根据平移的性质， 易得平移的距离=BE=5﹣3=2， 故选 A． 6．（3 分）（2015•泉州）已知△ABC 中，AB=6，BC=4，那么边 AC 的长可能是下列哪个值 （ ） A．11 B．5 C．2 D．1 解：根据三角形的三边关系， 6﹣4＜AC＜6+4， 即 2＜AC＜10， 符合条件的只有 5， 故选：B． 7．（3 分）（2015•泉州）在同一平面直角坐标系中，函数 y=ax2+bx 与 y=bx+a 的图象可能是 （ ） A． B． C． D． 解：A、对于直线 y=bx+a 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2+bx 来 说，对称轴 x=﹣ ＜0，应在 y 轴的左侧，故不合题意，图形错误． B、对于直线 y=bx+a 来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线 y=ax2+bx 来说， 图象应开口向下，故不合题意，图形错误． C、对于直线 y=bx+a 来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2+bx 来说， 图象开口向下，对称轴 y=﹣ 位于 y 轴的右侧，故符合题意， D、对于直线 y=bx+a 来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线 y=ax2+bx 来说， 图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误． 故选：C． 二、填空题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 8．（4 分）（2015•泉州）比较大小：4 ＞ （填“＞”或“＜”） 解：4= ， ＞ ， ∴4＞ ， 故答案为：＞． 9．（4 分）（2015•泉州）因式分解：x2﹣49= （x+7）（x﹣7） ． 解：x2﹣49=（x﹣7）（x+7）， 10．（4 分）（2015•泉州）声音在空气中每小时约传播 1200 千米，将 1200 用科学记数法表 示为 1.2×103 ． 解：1200=1.2×103， 11．（4 分）（2015•泉州）如图，在正三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，则∠BAD= 30° °． 解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD= ∠BAC=30°， 故答案为：30°． 12．（4 分）（2015•泉州）方程 x2=2 的解是 ± ． 解：x2=2， x=± ． 故答案为± ． 13．（4 分）（2015•泉州）计算： + = 2 ． 解：原式= = =2， 故答案为：2 14．（4 分）（2015•泉州）如图，AB 和⊙O 切于点 B，AB=5，OB=3，则 tanA= ． 解：∵直线 AB 与⊙O 相切于点 B， 则∠OBA=90°． ∵AB=5，OB=3， ∴tanA= = ． 故答案为： 15．（4 分）（2015•泉州）方程组 的解是 ． 解： ， ①+②得：3x=3，即 x=1， 把 x=1 代入①得：y=﹣3， 则方程组的解为 ， 故答案为： 16．（4 分）（2015•泉州）如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，点 E 在 DC 的延长线上．若 ∠A=50°，则∠BCE= 50° ． 解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠BCE=∠A=50°． 故答案为 50°． 17．（4 分）（2015•泉州）在以 O 为圆心 3cm 为半径的圆周上，依次有 A、B、C 三个点， 若四边形 OABC 为菱形，则该菱形的边长等于 3 cm；弦 AC 所对的弧长等于 2π或 4π cm． 解：连接 OB 和 AC 交于点 D， ∵四边形 OABC 为菱形， ∴OA=AB=BC=OC， ∵⊙O 半径为 3cm， ∴OA=OC=3cm， ∵OA=OB， ∴△OAB 为等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴∠AOC=120°， ∴ = =2π， ∴优弧 = =4π， 故答案为 3，2π或 4π． [来源:学&科&网 Z&X&X&K] 三、解答题（共 9 小题，满分 89 分） 18．（9 分）（2015•泉州）计算：|﹣4|+（2﹣π）0﹣8×4﹣1+ ÷ ． 解：原式=4+1﹣2+3=6． 19．（9 分）（2015•泉州）先化简，再求值：（x﹣2）（x+2）+x2（x﹣1），其中 x=﹣1． 解：原式=x2﹣4+x3﹣x2=x3﹣4， 当 x=﹣1 时，原式=﹣5． 20．（9 分）（2015•泉州）如图，在矩形 ABCD 中．点 O 在边 AB 上，∠AOC=∠BOD．求 证：AO=OB． 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A=∠B=90°，AD=BC， ∵∠AOC=∠BOD， ∴∠AOC﹣∠DOC=∠BOD﹣∠DOC， ∴∠AOD=∠BOC， 在△AOD 和△BOC 中， ， ∴△AOD≌△BOC， ∴AO=OB． 21．（9 分）（2015•泉州）为弘扬“东亚文化”，某单位开展了“东亚文化之都”演讲比赛，在 安排 1 位女选手和 3 位男选手的出场顺序时，采用随机抽签方式． （1）请直接写出第一位出场是女选手的概率； （2）请你用画树状图或列表的方法表示第一、二位出场选手的所有等可能结果，并求出他 们都是男选手的概率． 解：（1）P（第一位出场是女选手）= ； （2）列表得： 女 男 男 男 女 ﹣﹣﹣ （男，女） （男，女） （男，女） 男 （女，男） ﹣﹣﹣ （男，男） （男，男） 男 （女，男） （男，男） ﹣﹣﹣ （男，男） 男 （女，男） （男，男） （男，男） ﹣﹣﹣ 所有等可能的情况有 12 种，其中第一、二位出场都是男选手的情况有 6 种， 则 P（第一、二位出场都是男选手）= = ． 22．（9 分）（2015•泉州）清明期间，某校师生组成200 个小组参加“保护环境，美化家园” 植树活动．综合实际情况，校方要求每小组植树量为 2 至 5 棵，活动结束后，校方随机抽查 了其中 50 个小组，根据他们的植树量绘制出如图所示的两幅不完整统计图．请根据图中提 供的信息，解答下面的问题： （1）请把条形统计图补充完整，并算出扇形统计图中，植树量为“5 棵树”的圆心角是 72 °． （2）请你帮学校估算此次活动共种多少棵树． 解：（1）植树量为“5 棵树”的圆心角是：360°× =72°， 故答案是：72； （2）每个小组的植树棵树： （2×8+3×15+4×17+5×10）= （棵）， 则此次活动植树的总棵树是： ×200=716（棵）． 答：此次活动约植树 716 棵． 23．（9 分）（2015•泉州）如图，在平面直角坐标系中，点 A（ ，1）、B（2，0）、O（0， 0），反比例函数 y= 图象经过点 A． （1）求 k 的值； （2）将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 60°，得到△COD，其中点 A 与点 C 对应，试判断点 D 是否在该反比例函数的图象上？ 解：（1）∵函数 y= 的图象过点 A（ ，1）， ∴k=xy= ×1= ； （2）∵B（2，0）， ∴OB=2， ∵△AOB 绕点 O 逆时针旋转 60°得到△COD， ∴OD=OB=2，∠BOD=60°， 如图，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E， DE=OE•sin60°=2× = ， OE=OD•cos60°=2× =1， ∴D（1， ）， 由（1）可知 y= ， ∴当 x=1 时，y= = ， ∴D（1， ）在反比例函数 y= 的图象上． 24．（9 分）（2015•泉州）某校在基地参加社会实践话动中，带队老师考问学生：基地计划 新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长 69 米的不锈钢栅栏围 成，与墙平行的一边留一个宽为 3 米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的而积最大？ 下面是两位学生争议的情境： 请根据上面的信息，解决问题： （1）设 AB=x 米（x＞0），试用含 x 的代数式表示 BC 的长； （2）请你判断谁的说法正确，为什么？ 解：（1）设 AB=x 米，可得 BC=69+3﹣2x=72﹣2x； （2）小英说法正确； 矩形面积 S=x（72﹣2x）=﹣2（x﹣18）2+648， ∵72﹣2x＞0， ∴x＜36， ∴0＜x＜36， ∴当 x=18 时，S 取最大值， 此时 x≠72﹣2x， ∴面积最大的表示正方形． 25．（13 分）（2015•泉州）（1）如图 1 是某个多面体的表面展开图． ①请你写出这个多面体的名称，并指出图中哪三个字母表示多面体的同一点； ②如果沿 BC、GH 将展开图剪成三块，恰好拼成一个矩形，那么△BMC 应满足什么条件？ （不必说理） （2）如果将一个三棱柱的表面展开图剪成四块，恰好拼成一个三角形，如图 2，那么该三 棱柱的侧面积与表面积的比值是多少？为什么？（注：以上剪拼中所有接缝均忽略不计） 解：（1）①根据这个多面体的表面展开图，可得 这个多面体是直三棱柱， 点 A、M、D 三个字母表示多面体的同一点． ②△BMC 应满足的条件是： a、∠BMC=90°，且 BM=DH，或 CM=DH； b、∠MBC=90°，且 BM=DH，或 BC=DH； c、∠BCM=90°，且 BC=DH，或 CM=DH； （2）如图 2，连接 AB、BC、CA， ， ∵△DEF 是由一个三棱柱表面展开图剪拼而成， ∴矩形 ACKL、BIJC、AGHB 为棱柱的三个侧面， 且四边形 DGAL、EIBH、FKCJ 须拼成与底面△ABC 全等的另一个底面的三角形， ∴AC=LK，且 AC=DL+FK， ∴ ， 同理，可得 ， ∴△ABC∽△DEF， ∴ ， 即 S△DEF=4S△ABC， ∴ ， 即该三棱柱的侧面积与表面积的比值是 ． 26．（13 分）（2015•泉州）阅读理解 抛物线 y= x2 上任意一点到点（0，1）的距离与到直线 y=﹣1 的距离相等，你可以利用这 一性质解决问题． 问题解决 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=kx+1 与 y 轴交于 C 点，与函数 y= x2 的图象交于 A， B 两点，分别过 A，B 两点作直线 y=﹣1 的垂线，交于 E，F 两点． （1）写出点 C 的坐标，并说明∠ECF=90°； （2）在△PEF 中，M 为 EF 中点，P 为动点． ①求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）； ②已知 PE=PF=3，以 EF 为一条对角线作平行四边形 CEDF，若 1＜PD＜2，试求 CP 的取 值范围． 解：（1）当 x=0 时，y=k•0+1=1， 则点 C 的坐标为（0，1）． 根据题意可得：AC=AE， ∴∠AEC=∠ACE． ∵AE⊥EF，CO⊥EF， ∴AE∥CO， ∴∠AEC=∠OCE， ∴∠ACE=∠OCE． 同理可得：∠OCF=∠BCF． ∵∠ACE+∠OCE+∠OCF+∠BCF=180°， ∴2∠OCE+2∠OCF=180°， ∴∠OCE+∠OCF=90°，即∠ECF=90°； （2）①过点 P 作 PH⊥EF 于 H， Ⅰ．若点 H 在线段 EF 上，如图 2①． ∵M 为 EF 中点， ∴EM=FM= EF． 根据勾股定理可得： PE2+PF2﹣2PM2=PH 2+EH2+PH2+HF2﹣2PM2 =2PH2+EH2+HF2﹣2（PH2+MH2） =EH2﹣MH2+HF2﹣MH2 =（EH+MH）（EH﹣MH）+（HF+MH）（HF﹣MH） =EM（EH+MH）+MF（HF﹣MH） =EM（EH+MH）+EM（HF ﹣MH） =EM（EH+MH+HF﹣MH） =EM•EF=2EM2， ∴PE2+PF2=2（PM2+EM2）； Ⅱ．若点 H 在线段 EF 的延长线（或反向延长线）上，如图 2②． 同理可得：PE2+PF2=2（PM2+EM2）． 综上所述：当点 H 在直线 EF 上时，都有 PE2+PF2=2（PM2+EM2）； ②连接 CD、PM，如图 3． ∵∠ECF=90°， ∴▱ CEDF 是矩形， ∵M 是 EF 的中点， ∴M 是 CD 的中点，且 MC=EM． 由①中的结论可得： 在△PEF 中，有 PE2+PF2=2（PM2+EM2）， 在△PCD 中，有 PC2+PD2=2（PM2+CM2）． ∵MC=EM， ∴PC2+PD2=PE2+PF2． ∵PE=PF=3， ∴PC2+PD2=18． ∵1＜PD＜2， ∴1＜PD2＜4， ∴1＜18﹣PC2＜4， ∴14＜PC2＜17． ∵PC＞0， ∴ ＜PC＜ ．