2015年潍坊市中考数学试题解析

2015 年山东省潍坊市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把 正确的选项选出来，每小题选对的 3 分，选错、不选或选出的答案超出一个均记 0 分．） 1．（3 分）（2015•潍坊）在|﹣2|，20，2﹣1， 这四个数中，最大的数是（ ） A．|﹣2| B．20 C．2﹣1 D． 考点：实数大小比较；零指数幂；负整数指数幂．. 分析：正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的 反而小，首先求出|﹣2|，20，2﹣1 的值是多少，然后根据实数比较大小的方法判断即 可． 解答：解：|﹣2|=2，20=1，2﹣1=0.5， ∵ ， ∴ ， ∴在|﹣2|，20，2﹣1， 这四个数中，最大的数是|﹣2|． 故选：A． 点评：（1）此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． （2）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： ①a﹣p= （a≠0，p 为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂 的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． （3）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1 （a≠0）；②00≠1． 2．（3 分）（2015•潍坊）如图所示几何体的左视图是（ ） A． B． C． D． 考点：简单组合体的三视图． . 分析：找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 解答：解：从左面看可得矩形中间有一条横着的虚线． 故选 C． 点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 3．（3 分）（2015•潍坊）2015 年 5 月 17 日是第 25 个全国助残日，今年全国助残日的主题是 “关注孤独症儿童，走向美好未来”．第二次全国残疾人抽样调查结果显示，我国 0～6 岁精 神残疾儿童约为 11.1 万人．11.1 万用科学记数法表示为（ ） A．1.11×104 B．11.1×104 C．1.11×105 D．1.11×106 考点：科学记数法—表示较大的数． . 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：将 11.1 万用科学记数法表示为 1.11×105． 故选 C． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4．（3 分）（2015•潍坊）如图汽车标志中不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 考点：中心对称图形．. 分析：根据中心对称图形的概念求解． 解答：解：A、是中心对称图形．故错误； B、不是中心对称图形．故正确； C、是中心对称图形．故错误； D、是中心对称图形．故错误． 故选 B． 点评：本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与 原图重合． 5．（3 分）（2015•潍坊）下列运算正确的是（ ） A． + = B．3x2y﹣x2y=3 C． =a+b D． （a2b）3=a6b3 考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；约分；二次根式的加减法． . 分析：A：根据二次根式的加减法的运算方法判断即可． B：根据合并同类项的方法判断即可． C：根据约分的方法判断即可． D：根据积的乘方的运算方法判断即可． 解答：解：∵ ， ∴选项 A 不正确； ∵3x2y﹣x2y=2x2y， ∴选项 B 不正确； ∵ ， ∴选项 C 不正确； ∵（a2b）3=a6b3， ∴选项 D 正确． 故选：D． 点评：（1）此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： ①（am）n =amn（m，n 是正整数）；②（ab）n=anbn（n 是正整数）． （2）此题还考查了二次根式的加减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确二次 根式的加减法的步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二 次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式． （3）此题还考查了合并同类项，以及约分的方法的应用，要熟练掌握． [来源:学,科,网] 6．（3 分）（2015•潍坊）不等式组 的所有整数解的和是（ ） A．2 B．3 C．5 D．6 考点：一元一次不等式组的整数解．. 分析：先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，最后求出答案即可． 解答： 解： ∵解不等式①得；x＞﹣ ， 解不等式②得；x≤3， ∴不等式组的解集为﹣ ＜x≤3， ∴不等式组的整数解为 0，1，2，3， 0+1+2+3=6， 故选 D． 点评：本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出 不等式组的解集，难度适中． 7．（3 分）（2015•潍坊）如图，AB 是⊙O 的弦，AO 的延长线交过点 B 的⊙O 的切线于点 C， 如果∠ABO=20°，则∠C 的度数是（ ） A．70° B．50° C．45° D．20° 考点：切线的性质． . 分析：由 BC 是⊙O 的切线，OB 是⊙O 的半径，得到∠OBC=90°，根据等腰三角形的性质 得到∠A=∠ABO=20°，由外角的性质得到∠BOC=40°，即可求得∠C=50°． 解答：解：∵BC 是⊙O 的切线，OB 是⊙O 的半径， ∴∠OBC=90°， ∵OA=OB， ∴∠A=∠ABO=20°， ∴∠BOC=40°， ∴∠C=50°． 故选 B． 点评：本题考查了本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，掌握定理是解题的关键． 8．（3 分）（2015•潍坊）若式子 +（k﹣1）0 有意义，则一次函数 y=（k﹣1）x+1﹣k 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 考点：一次函数图象与系数的关系；零指数幂；二次根式有意义的条件．. 分析：首先根据二次根式中的被开方数是非负数，以及 a 0=1（a≠0），判断出 k 的取值范围， 然后判断出 k﹣1、1﹣k 的正负，再根据一次函数的图象与系数的关系，判断出一次 函数 y=（k﹣1）x+1﹣k 的图象可能是哪个即可． 解答：解：∵式子 +（k﹣1）0 有意义， ∴ 解得 k＞1， ∴k﹣1＞0，1﹣k＜0， ∴一次函数 y=（k﹣1）x+1﹣k 的图象可能是： ． 故选：A． 点评：（1）此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键 是要明确：当 b＞0 时，（0，b）在 y 轴的正半轴上，直线与 y 轴交于正半轴；当 b＜0 时，（0，b）在 y 轴的负半轴，直线与 y 轴交于负半轴． （2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1 （a≠0）；②00≠1． （3）此题还考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 二次根式中的被开方数是非负数． 9．（3 分）（2015•潍坊）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，按如下步骤作图： 第一步，分别以点 A、D 为圆心，以大于 AD 的长为半径在 AD 两侧作弧，交于两点 M、 N； 第二步，连接 MN 分别交 AB、AC 于点 E、F； 第三步，连接 DE、DF． 若 BD=6，AF=4，CD=3，则 BE 的长是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 考点：平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图． . 分析：根据已知得出 MN 是线段 AD 的垂直平分线，推出 AE=DE，AF=DF，求出 DE∥AC， DF∥AE，得出四边形 AEDF 是菱形，根据菱形的性质得出 AE=DE=DF=AF，根据平 行线分线段成比例定理得出 = ，代入求出即可． 解答：解：∵根据作法可知：MN 是线段 AD 的垂直平分线， ∴AE=DE，AF=DF， ∴∠EAD=∠EDA， ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∴∠EDA=∠CAD， ∴DE∥AC， 同理 DF∥AE， ∴四边形 AEDF 是菱形， ∴AE=DE=DF=AF， ∵AF=4， ∴AE=DE=DF=AF=4， ∵DE∥AC， ∴ = ， ∵BD=6，AE=4，CD=3， ∴ = ， ∴BE=8， 故选 D． 点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等 腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形 AEDF 是菱形是解此题的关键，注意：一 组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例． 10．（3 分）（2015•潍坊）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放 置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是 8cm，水的最大深 度是 2cm，则杯底有水部分的面积是（ ） A．（ π﹣4 ）cm2B．（ π﹣8 ）cm2C．（ π﹣4 ）cm2 D．（ π﹣2 ）cm2 考点：垂径定理的应用；扇形面积的计算． . 分析：作 OD⊥AB 于 C，交小⊙O 于 D，则 CD=2，由垂径定理可知 AC=CB，利用正弦函 数求得∠OAC=30°，进而求得∠AOC=120°，利用勾股定理即可求出 AB 的值，从而 利用 S 扇形﹣S△AOB 求得杯底有水部分的面积． 解答：解：作 OD⊥AB 于 C，交小⊙O 于 D，则 CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， 在 RT△AOC 中，sin∠OAC= = ， ∴∠OAC=30°， ∴∠AOC=120°， AC= =2 ， ∴AB=4 ， ∴杯底有水部分的面积=S 扇形﹣S△AOB= ﹣ × ×2=（ π﹣4 ）cm2 故选 A． 点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形 是解答此题的关键． 11．（3 分）（2015•潍坊）如图，有一块边长为 6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别 截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒 侧面积的最大值是（ ） A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2 考点：二次函数的应用；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质．. 分析：如图，由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三个筝形全等就可以得出 AD=BE=BF=CG=CH=AK，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出 DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形 ODEP、四边形 PFGQ、四边形 QHKO 为矩形，且 全等．连结 AO 证明△AOD≌△AOK 就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，设 OD=x，则 AO=2x，由勾股定理就可以求出 AD= x，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面 积，由二次函数的性质就可以求出结论． 解答：解：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC． ∵筝形 ADOK≌筝形 BEPF≌筝形 AGQH， ∴AD=BE=BF=CG=CH=AK． ∵折叠后是一个三棱柱， ∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形 ODEP、四边形 PFGQ、四边形 QHKO 都为矩形． ∴∠ADO=∠AKO=90°． 连结 AO， 在 Rt△AOD 和 Rt△AOK 中， ， ∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）． ∴∠OAD=∠OAK=30°． 设 OD=x，则 AO=2x，由勾股定理就可以求出 AD= x， ∴DE=6﹣2 x， ∴纸盒侧面积=3x（6﹣2 x）=﹣6 x2+18x， =﹣6 （x﹣ ）2+ ， ∴当 x= 时，纸盒侧面积最大为 ． 故选 C． 点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的 运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的性质的运用，解答时表示出纸盒的侧面积 是关键． 12．（3 分）（2015•潍坊）已知二次函数 y=ax2+bx+c+2 的图象如图所示，顶点为（﹣1，0）， 下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点：二次函数图象与系数的关系．. 分析：①首先根据抛物线开口向上，可得 a＞0；然后根据对称轴在 y 轴左边，可得 b＞0； 最后根据抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方，可得 c＞0，据此判断出 abc＞0 即可． ②根据二次函数 y=ax2+bx+c+2 的图象与 x 轴只有一个交点，可得△=0，即 b2﹣4ac=0． ③首先根据对称轴 x=﹣ =﹣1，可得 b=2a，然后根据 b2﹣4ac=0，确定出 a 的取值 范围即可． ④根据对称轴是 x=﹣1，而且 x=0 时，y＞2，可得 x=﹣2 时，y＞2，据此判断即可． 解答：解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在 y 轴左边， ∴b＞0， ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方， ∴c+2＞2， ∴c＞0， ∴abc＞0， ∴结论①不正确； ∵二次函数 y=ax2+bx+c+2 的图象与 x 轴只有一个交点， ∴△=0， 即 b2﹣4ac=0， ∴结论②正确； ∵对称轴 x=﹣ =﹣1， ∴b=2a， ∵b2﹣4ac=0， ∴4a2﹣4ac=0， ∴a=c， ∵c＞0， ∴a＞0， ∴结论③不正确； ∵对称轴是 x=﹣1，而且 x=0 时，y＞2， ∴x=﹣2 时，y＞2， ∴4a﹣2b+c+2＞2， ∴4a﹣2b+c＞0． ∴结论④正确． 综上，可得 正确结论的个数是 2 个：②④． 故选：B． 点评：此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明 确：①二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a＞0 时，抛物线向上开口； 当 a＜0 时，抛物线向下开口；②一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位 置：当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab＜0）， 对称轴在 y 轴右．（简称：左同右异）③常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点． 抛物线与 y 轴交于（0，c）． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，只要求填写最后结果．） 13．（3 分）（2015•潍坊）“植树节”时，九年级一班 6 个小组的植树棵数分别是：5，7，3，x， 6，4．已知这组数据的众数是 5，则该组数据的平均数是 5 ． 考点：算术平均数；众数．. 分析：首先根据众数为 5 得出 x=5，然后根据平均数的概念求解． 解答：解：∵这组数据的众数是 5， ∴x=5， 则平均数为： =5． 故答案为：5． 点评：本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数 是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 14．（3 分）（2015•潍坊）如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC=50，AB=20，∠B=60°， 则 AD= 30 ． 考点：等腰梯形的性质． . 分析：首先作辅助线：过点 A 作 AE∥CD 交 BC 于点 E，根据等腰梯形的性质，易得四边形 AECD 是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可得 AE=CD=AB=20，AD=EC， 易得△ABE 是等边三角形，即可求得 AD 的长． 解答：解：过点 A 作 AE∥CD 交 BC 于点 E， ∵AD∥BC， ∴四边形 AECD 是平行四边形， ∴AE=CD=AB=20，AD=EC， ∵∠B=60°， ∴BE=AB=AE=20， ∴AD=BC﹣CE=50﹣20=30． 故答案为：30 点评：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的性质．解题 的关键是注意平移梯形的一腰是梯形题目中常见的辅助线． 15．（3 分）（2015•潍坊）因式分解：ax2﹣7ax+6a= a（x﹣1）（x﹣6） ． 考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法． . 专题：计算题． 分析：原式提取 a，再利用十字相乘法分解即可． 解答：解：原式=a（x2﹣7x+6）=a（x﹣1）（x﹣6）， 故答案为：a（x﹣1）（x﹣6） 点评：此题考查了因式分解﹣十字相乘法，以及提取公因式法，熟练掌握因式分解的方法是 解本题的关键． 16．（3 分）（2015•潍坊）观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先 在附近一楼房的底端 A 点处观测观光塔顶端 C 处的仰角是 60°，然后爬到该楼房顶端 B 点 处观测观光塔底部 D 处的俯角是 30°．已知楼房高 AB 约是 45m，根据以上观测数据可求观 光塔的高 CD 是 135 m． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．. 分析：根据“爬到该楼房顶端 B 点处观测观光塔底部 D 处的俯角是 30°”可以求出 AD 的长， 然后根据“在一楼房的底端 A 点处观测观光塔顶端 C 处的仰角是 60°”可以求出 CD 的 长． 解答：解：∵爬到该楼房顶端 B 点处观测观光塔底部 D 处的俯角是 30°， ∴∠ADB=30°， 在 Rt△ABD 中， tan30°= ， 解得， = ， ∴AD=45 ， ∵在一楼房的底端 A 点处观测观光塔顶端 C 处的仰角是 60°， ∴在 Rt△ACD 中， CD=AD•tan60°=45 × =135 米． 故答案为 135 米． 点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角、俯角构 造直角三角形并解直角三角形． 17．（3 分）（2015•潍坊）如图，正△ABC 的边长为 2，以 BC 边上的高 AB1 为边作正△AB1C1， △ABC 与△AB1C1 公共部分的面积记为 S1；再以正△AB1C1 边 B1C1 上的高 AB2 为边作正 △AB2C2，△AB1C1 与△AB2C2公共部分的面积记为 S2；…，以此类推，则 Sn= （ ）n ．（用 含 n 的式子表示） 考点：等边三角形的性质．. 专题：规律型． 分析：由 AB1 为边长为 2 的等边三角形 ABC 的高，利用三线合一得到 B1 为 BC 的中点，求 出 BB1 的长，利用勾股定理求出 AB1 的长，进而求出 S1，同理求出 S2，依此类推， 得到 Sn． 解答：解：∵等边三角形 ABC 的边长为 2，AB1⊥BC， ∴BB1=1，AB=2， 根据勾股定理得：AB1= ， ∴S1= × ×（ ）2= （ ）1； ∵等边三角形 AB1C1 的边长为 ，AB2⊥B1C1， ∴B1B2= ，AB1= ， 根据勾股定理得：AB2= ， ∴S2= × ×（ ）2= （ ）2； 依此类推，Sn= （ ）n． 故答案为： （ ）n． 点评：此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本 题的关键． 18．（3 分）（2015•潍坊）正比例函数 y1=mx（m＞0）的图象与反比例函数 y2= （k≠0）的 图象交于点 A（n，4）和点 B，AM⊥y 轴，垂足为 M．若△AMB 的面积为 8，则满足 y1 ＞y2 的实数 x 的取值范围是 ﹣2＜x＜0 或 x＞2 ． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． . 分析：由反比例函数图象的对称性可得：点 A 和点 B 关于原点对称，再根据△AMB 的面积 为 8 列出方程 ×4n×2=8，解方程求出 n 的值，然后利用图象可知满足 y1＞y2 的实数 x 的取值范围． 解答：解：∵正比例函数 y1=mx（m＞0）的图象与反比例函数 y2= （k≠0）的图象交于点 A （n，4）和点 B， ∴B（﹣n，﹣4）． ∵△AMB 的面积为 8， ∴ ×4n×2=8， 解得 n=2， ∴A（2，4），B（﹣2，﹣4）． 由图形可知，当﹣2＜x＜0 或 x＞2 时，正比例函数 y1=mx（m＞0）的图象在反比例 函数 y2= （k≠0）图象的上方，即 y1＞y2． 故答案为﹣2＜x＜0 或 x＞2． 点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，三角形的面积，反比例函数的对称性， 体现了数形结合的思想． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤．） 19．（9 分）（2015•潍坊）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住 商机，从厂家购进了 A、B 两种型号家用净水器共 160 台，A 型号家用净水器进价是 150 元 /台，B 型号家用净水器进价是 350 元/台，购进两种型号的家用净水器共用去 36000 元． （1）求 A、B 两种型号家用净水器各购进了多少台； （2）为使每台 B 型号家用净水器的毛利润是 A 型号的 2 倍，且保证售完这 160 台家用净水 器的毛利润不低于 11000 元，求每台 A 型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润 =售价﹣进价） 考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用． . 分析：（1）设 A 种型号家用净水器购进了 x 台，B 种型号家用净水器购进了 y 台，根据“购 进了 A、B 两种型号家用净水器共 160 台，购进两种型号的家用净水器共用去 36000 元．”列出方程组解答即可； （2）设每台 A 型号家用净水器的毛利润是 a 元，则每台 B 型号家用净水器的毛利润 是 2a 元，根据保证售完这 160 台家用净水器的毛利润不低于 11000 元，列出不等式 解答即可． 解答：解：（1）设 A 种型号家用净水器购进了 x 台，B 种型号家用净水器购进了 y 台， 由题意得 ， 解得 ． 答：A 种型号家用净水器购进了 100 台，B 种型号家用净水器购进了 60 台． （2）设每台 A 型号家用净水器的毛利润是 a 元，则每台 B 型号家用净水器的毛利润 是 2a 元， 由题意得 100a+60×2a≥11000， 解得 a≥50， 150+50=200（元）． 答：每台 A 型号家用净水器的售价至少是 200 元． 点评：此题考查一元一次不等式组的实际运用，二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含 的数量关系与不等关系是解决问题的关键． 20．（10 分）（2015•潍坊）某校了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取 了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为 n， 并按以下规定分为四档：当 n＜3 时，为“偏少”；当 3≤n＜5 时，为“一般”；当 5≤n＜8 时， 为“良好”；当 n≥8 时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成不完整的统计图表： 阅读本数 n（本） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数（名） 1 2 6 7 12 x 7 y 1 请根据以上信息回答下列问题： （1）分别求出统计表中的 x、y 的值； （2）估计该校九年级 400 名学生中为“优秀”档次的人数； （3）从被调查的“优秀”档次的学生中随机抽取 2 名学生介绍读书体会，请用列表或画树状 图的方法求抽取的 2 名学生中有 1 名阅读本数为 9 的概率． 考点：列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图．. 分析：（1）首先求得总分数，然后即可求得 x 和 y 的值； （2）首先求得样本中的优秀率，然后用样本估计总体即可； （3）列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可． 解答：解：（1）由表可知被调查学生中“一般”档次的有 13 人，所占比例是 26%，所以共调 查的学生数是 13÷26%=50， 则调查学生中“良好”档次的人数为 50×60%=30， ∴x=30﹣（12+7）=11， y=50﹣（1+2+6+7+12+11+7+1）=3． （2）由样本数据可知“优秀”档次所占的百分比为 =8%， ∴，估计九年级 400 名学生中为优秀档次的人数为 400×8%=32； （3）用 A、B、C 表示阅读本数是 8 的学生，用 D 表示阅读 9 本的学生，列表得到： A B C D A A B A C A D BBA BCBD CCACB CD DD A D B D C 由列表可知，共 12 种等可能的结果，其中所抽取的 2 名学生中有 1 名阅读本数为 9 的有 6 种， 所以抽取的 2 名学生中有 1 名阅读本数为 9 的概率为 = ； 点评：考查了列表与树状图法求概率、用样本估计总体及扇形统计图的知识，解题的关键是 能够通过列表将所有等可能的结果列举出来，难度不大． 21．（10 分）（2015•潍坊）如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径的⊙O 交 BC 于点 D， 交 AB 于点 E，过点 D 作 DF⊥AB，垂足为 F，连接 DE． （1）求证：直线 DF 与⊙O 相切； （2）若 AE=7，BC=6，求 AC 的长． 考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质． . 分析：（1）连接 OD，利用 AB=AC，OD=OC，证得 OD∥AD，易证 DF⊥OD，故 DF 为 ⊙O 的切线； （2）证得△BED∽△BCA，求得 BE，利用 AC=AB=AE+BE 求得答案即可． 解答：（1）证明：如图， 连接 OD． ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠C， ∴∠ODC=∠B， ∴OD∥AB， ∵DF⊥AB， ∴OD⊥DF， ∵点 D 在⊙O 上， ∴直线 DF 与⊙O 相切； （2）解：∵四边形 ACDE 是⊙O 的内接四边形， ∴∠AED+∠ACD=180°， ∵∠AED+∠BED=180°， ∴∠BED=∠ACD， ∵∠B=∠B， ∴△BED∽△BCA， ∴ = ， ∵OD∥AB，AO=CO， ∴BD=CD= BC=3， 又∵AE=7， ∴ = ， ∴BE=2， ∴AC=AB=AE+BE=7+2=9． 点评：此题考查切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过 圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可． 22．（11 分）（2015•潍坊）“低碳生活，绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受，越来越多的 人选择骑自行车上下班．王叔叔某天骑自行车上班从家出发到单位过程中行进速度 v（米/ 分钟）随时间 t（分钟）变化的函数图象大致如图所示，图象由三条线段 OA、AB 和 BC 组 成．设线段 OC 上有一动点 T（t，0），直线 l 左侧部分的面积即为 t 分钟内王叔叔行进的路 程 s（米）． （1）①当 t=2 分钟时，速度 v= 200 米/分钟，路程 s= 200 米； ②当 t=15 分钟时，速度 v= 300 米/分钟，路程 s= 4050 米． （2）当 0≤t≤3 和 3＜t≤15 时，分别求出路程 s（米）关于时间 t（分钟）的函数解析式； （3）求王叔叔该天上班从家出发行进了 750 米时所用的时间 t． 考点：一次函数的应用． . 分析：（1）①根据图象得出直线 OA 的解析式，代入 t=2 解答即可； ②根据图象得出 t=15 时的速度，并计算其路程即可； （2）利用待定系数法得出 0≤t≤3 和 3＜t≤15 时的解析式即可； （3）根据当 3＜t≤15 时的解析式，将 y=750 代入解答即可． 解答：解：（1）①直线 OA 的解析式为：y= t=100t， 把 t=2 代入可得：y=200； 路程 S= =200， 故答案为：200；200； ②当 t=15 时，速度为定值=300，路程= ， 故答案为：300；4050； （2）①当 0≤t≤3，设直线 OA 的解析式为：y=kt，由图象可知点 A（3，300）， ∴300=3k， 解得：k=100， 则解析式为：y=100t； 设 l 与 OA 的交点为 P，则 P（t，100t）， ∴s= ， ②当 3＜t≤15 时，设 l 与 AB 的交点为 Q，则 Q（t，300）， ∴S= ， （3）∵当 0≤t≤3，S 最大=50×9=450， ∵750＞50， ∴当 3＜t≤15 时，450＜S≤4050， 则令 750=300t﹣450， 解得：t=4． 故王叔叔该天上班从家出发行进了 750 米时所用的时间 4 分钟． 点评：此题考查一次函数的应用，关键是根据图象进行分析，同时利用待定系数法得出解析 式． 23．（12 分）（2015•潍坊）如图 1，点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点，分别延长 OD 到 点 G，OC 到点 E，使 OG=2OD，OE=2OC，然后以 OG、OE 为邻边作正方形 OEFG，连接 AG，DE． （1）求证：DE⊥AG； （2）正方形 ABCD 固定，将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方 形 OE′F′G′，如图 2． ①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数； ②若正方形 ABCD 的边长为 1，在旋转过程中，求 AF′长的最大值和此时α的度数，直接写 出结果不必说明理由． 考点：几何变换综合题． . 分析：（1）延长 ED 交交 AG 于点 H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运 用等量代换证明∠AHE=90°即可； （2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由 0°增大到 90°过程中，当 ∠OAG′=90°时，α=30°，α由 90°增大到 180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°； ②当旋转到 A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，AF′=AO+OF′= +2，此时α=315°． 解答：解：（1）如图 1，延长 ED 交 AG 于点 H， ∵点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点， ∴OA=OD，OA⊥OD， ∵OG=OE， 在△AOG 和△DOE 中， ， ∴△AOG≌△DOE， ∴∠AGO=∠DEO， ∵∠AGO+∠GAO=90°， ∴∠AGO+∠DEO =90°， ∴∠AHE=90°， 即 DE⊥AG； （2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况： （Ⅰ）α由 0°增大到 90°过程中，当∠OAG′=90°时， ∵OA=OD= OG= OG′， ∴在 Rt△OAG′中，sin∠AG′O= = ， ∴∠AG′O=30°， ∵OA⊥OD，OA⊥AG′， ∴OD∥AG′， ∴∠DOG′=∠AG′O=30°， 即α=30°； （Ⅱ）α由 90°增大到 180°过程中，当∠OAG′=90°时， 同理可求∠BOG′=30°， ∴α=180°﹣30°=150°． 综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或 150°． ②如图 3，当旋转到 A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大， ∵正方形 ABCD 的边长为 1， ∴OA=OD=OC=OB= ， ∵OG=2OD， ∴OG′=OG= ， ∴OF′=2， ∴AF′=AO+OF′= +2， ∵∠COE′=45°， ∴此时α=315°． 点评：本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换 的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当∠OAG′是直角时，求α的度数是本 题的难点． 24．（14 分）（2015•潍坊）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2） 与 y 轴的交点为 A，与 x 轴的交点分别为 B（x1，0），C（x2，0），且 x2﹣x1=4，直线 AD∥x 轴，在 x 轴上有一动点 E（t，0）过点 E 作平行于 y 轴的直线 l 与抛物线、直线 AD 的交点 分别为 P、Q． （1）求抛物线的解析式； （2）当 0＜t≤8 时，求△APC 面积的最大值； （3）当 t＞2 时，是否存在点 P，使以 A、P、Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在， 求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题． . 分析：（1）认真审题，直接根据题意列出方程组，求出 B，C 两点的坐标，进而可求出抛 物线的解析式； （2）分 0＜t＜6 时和 6≤t≤8 时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值； （3）分 2＜t≤6 时和 t＞6 时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解． 解答：解：（1）由题意知 x1、x2 是方程 mx2﹣8mx+4m+2=0 的两根， ∴x1+x2=8， 由 解得： ∴B（2，0）、C（6，0） 则 4m﹣16m+4m+2=0， 解得：m= ， ∴该抛物线解析式为：y= ； （2）可求得 A（0，3） 设直线 AC 的解析式为：y=kx+b， ∵ ∴ ∴直线 AC 的解析式为：y=﹣ x+3， 要构成△APC，显然 t≠6，分两种情况讨论： ①当 0＜t＜6 时，设直线 l 与 AC 交点为 F，则：F（t，﹣ ）， ∵P（t， ），∴PF= ， ∴S△APC=S△APF+S△CPF = = = ， 此时最大值为： ， ②当 6≤t≤8 时，设直线 l 与 AC 交点为 M，则：M（t，﹣ ）， ∵P（t， ），∴PM= ， ∴S△APC=S△APF﹣S△CPF= = = ， 当 t=8 时，取最大值，最大值为：12， 综上可知，当 0＜t≤8 时，△APC 面积的最大值为 12； （3）如图，连接 AB，则△AOB 中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2， Q（t，3），P（t， ）， ①当 2＜t≤6 时，AQ=t，PQ= ， 若：△AOB∽△AQP，则： ， 即： ， ∴t=0（舍），或 t= ， 若△AOB∽△PQA，则： ， 即： ， ∴t=0（舍）或 t=2（舍）， ②当 t＞6 时，AQ′=t，PQ′= ， 若：△AOB∽△AQP，则： ， 即： ， ∴t=0（舍），或 t= ， 若△AOB∽△PQA，则： ， 即： ， ∴t=0（舍）或 t=14， ∴t= 或 t= 或 t=14． 点评：本题主要考查了抛物线解析式的求法，以及利用配方法等知识点求最值的问题，还考 查了三角形相似的问题，是一道二次函数与几何问题结合紧密的题目，要注意认真总 结．