2015年聊城市中考数学试题解析

山东省聊城市 2015 年中考数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分） 1．（3 分）（201 5•聊城）﹣ 的绝对值等于（ ） A．﹣3 B．3 C．﹣ D． 考点：绝对值． . 分析：根据当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数﹣a 可得答案． 解答：解：﹣ 的绝对值等于 ， 故选 D． 点评：本题主要考查了绝对值，关键是掌握①当 a 是正有理数时，a 的绝对值是它本身 a； ②当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数﹣a；③当 a 是零时，a 的绝对 值是零． 2．（3 分）（2015•聊城）直线 a、b、c、d 的位置如图所示，如果∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°， 那么∠4 等于（ ） A．58° B．70° C．110° D．116° 考点：平行线的判定与性质． . 分析：根据同位角相等，两直线平行这一定理可知 a∥b，再根据两直线平行，同旁内角互补 即可解答． 解答：解：∵∠1=∠2=58°， ∴a∥b， ∴∠3+∠5=180°， 即∠5=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°， ∴∠4=∠5=110°， 故选 C． 点评：本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，熟记定理是解题的关键． 3．（3 分）（2015•聊城）电视剧《铁血将军》在我市拍摄，该剧展示了抗日英雄范筑先的光 辉形象．某校为了了解学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况，从全校 2400 名学生中随机抽 取了 100 名学生进行调查．在这次调查中，样本是（ ） A．2400 名学生 B．100 名学生 C．所抽取的 100 名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况 D．每一名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况 考点：总体、个体、样本、样本容量． . 分析：首先判断出这次调查的总体是什么，然后根据样本的含义：从总体中取出的一部分个 体叫做这个总体的一个样本，可得在这次调查中，样本是所抽取的 100 名学生对“民 族英雄范筑先”的知晓情况，据此解答即可． 解答：解：根据总体、样本的含义，可得在这次调查中， 总体是：2400 名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况， 样本是：所抽取的 100 名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况． 故选：C． 点评：此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量的含义和应用，要熟练掌握，解答此题 的关键是要明确：①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；②个体：把组成 总体的每一个考察对象叫做个体；③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体 的一个样本；④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量． 4．（3 分）（2015•聊城）某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥 考点：由三视图判断几何体． . 分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 解答：解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体， 由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥． 故选：A． 点评：考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体， 俯视图为圆就是圆锥． 5．（3 分）（2015•聊城）下列运算正确的是（ ） A．a2+a3=a5 B．（﹣a3）2=a6 C．ab2•3a2b=3a2b2 D．﹣2a6÷a2=﹣2a3 考点：单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；整式的除法． . 分析：根据合并同类项法则、幂的乘方、单项式乘除法的运算方法，利用排除法求解． 解答：解：A、a2 与 a3 不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、（﹣a3）2=a6，正确； C、应为 ab2•3a2b=3a3b3，故本选项错误； D、应为﹣2a6÷a2=﹣2a4，故本选项错误． 故选：B． 点评：本题主要考查了合并同类项的法则，幂的乘方的性质，单项式的乘除法法则，熟练掌 握运算法则是解题的关键． 6．（3 分）（2015•聊城）不等式 x﹣3≤3x+1 的解集在数轴上表示如下，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式． . 分析：不等式移项，再两边同时除以 2，即可求解． 解答： 解：不等式得：x≥﹣2，其数轴上表示为： 故选 B 点评：本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符 号这一点而出错． 解不等式要依据不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 7．（3 分）（2015•聊城）下列命题中的真命题是（ ） A．两边和一角分别相等的两个三角形全等 B．相似三角形的面积比等于相似比 C．正方形不是中心对称图形 D．圆内接四边形的对角互补 考点：命题与定理． . 分析：直接根据全等三角形的判定定理、相似三角形的性质、中心对称图形的定义以及圆内 接四边形的性质对各个选项作出判断即可． 解答：解：A、两边和一角分别相等的两个三角形全等，这个角不一定是已知两边的夹角， 此选项错误；新*课*标*第*一*网 B、相似三角形的面积比等于相似比的平方，此选项错误； C、正方形是中心对称图形，此选项错误； D、圆内接四边形的对角互补，此选项正确； 故选 D． 点评：本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定、 相似三角形的性质、中心对称图形的定义以及圆内接四边形的性质，此题难度不大． 8．（3 分）（2015•聊城）为了了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午 7：： 0 至 9：00 来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速 的众数、中位数分别是（ ） A．众数是 80 千米/时，中位数是 60 千米/时 B．众数是 70 千米/时，中位数是 70 千米/时 C．众数是 60 千米/时，中位数是 60 千米/时 [来源:学. 科.网 Z.X.X.K] D．众数是 70 千米/时，中位数是 60 千米/时 考点：众数；条形统计图；中位数．. 分析：在这些车速中，70 千米/时的车辆数最多，则众数为 70 千米/时；处在正中间位置的 车速是 60 千米/时，则中位数为 60 千米/时．依此即可求解． 解答：解：70 千米/时是出现次数最多的，故众数是 70 千米/时， 这组数据从小到大的顺序排列，处于正中间位置的数是 60 千米/时，故中位数是 60 千米/时． 故选：D． 点评：本题考查了条形统计图；属于基础题，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后 再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求， 如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 9．（3 分）（2015•聊城）图（1）是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图（2）所示的 位置依次翻到第 1 格、第 2 格、第 3 格、第 4 格，这时小正方体朝上一面的字是（ ） A．梦 B．水 C．城 D．美 考点：专题：正方体相对两个面上的文字． . 分析：根据两个面相隔一个面是对面，再根据翻转的规律，可得答案． 解答：解：第一次翻转 梦在下面，第二次翻转中在下面，第三次翻转国在下面，第四次翻转 城在下面， 城与梦相对， 故选：A． 点评：本题考查了正方体相对两个面上的文字，两个面相隔一个面是对面，注意翻转的顺序 确定每次翻转时下面是解题关键． 10．（3 分）（2015•聊城）湖南路大桥于今年 5 月 1 日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽 的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔 AB 底部 50 米 的 C 处，测得桥塔顶部 A 的仰角为 41.5°（如图）．已知测量仪器 CD 的高度为 1 米，则桥 塔 AB 的高度约为（ ） A．34 米 B．38 米 C．45 米 D．50 米 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． . 分析：Rt△ADE 中利用三角函数即可求得 AE 的长，则 AB 的长度即可求解． 解答：解：过 D 作 DE⊥AB 于 E， ∴DE=BC=50 米， 在 Rt△ADE 中，AE=DE•tan41，5°≈50×0.88=44（米）， ∵CD=1 米， ∴BE=1 米， ∴AB=AE+BE=44+1=45（米）， ∴桥塔 AB 的高度为 45 米． 点评：本题考查仰角的定义，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关 键，注意数形结合思想的应用． 11．（3 分）（2015•聊城）小亮家与姥姥家相距 24km，小亮 8：00 从家出发，骑自行车去姥 姥家．妈妈 8：30 从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈 的行进路程 S（km）与北京时间 t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到小亮结论，其 中错误的是（ ） A．小亮骑自行车的平均速度是 12km/h B．妈妈比小亮提前 0.5小时到达姥姥家 C．妈妈在距家 12km 处追上小亮 D．9：30 妈妈追上小亮 考点：一次函数的应用． . 分析：根据函数图象可知根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为 10﹣8=2 小时，进而得到小 亮骑自行车的平均速度，对应函数图象，得到妈妈到姥姥家所用的时间，根据交点坐 标确定妈妈追上小亮所用时间，即可解答． 解答：解：A、根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为 10﹣8=2 小时， ∴小亮骑自行车的平均速度为：24÷2=12（km/h），故正确； B、由图象可得，妈妈到姥姥家对应的时间 t=9.5，小亮到姥姥家对应的时间 t=10，10 ﹣9.5=0.5（小时）， ∴妈妈比小亮提前 0.5 小时到达姥姥家，故正确； C、由图象可知，当 t=9 时，妈妈追上小亮，此时小亮离家的时间为 9﹣8=1 小时， ∴小亮走的路程为：1×12=12km， ∴妈妈在距家 12km 出追上小亮，故正确； D、由图象可知，当 t=9 时，妈妈追上小亮，故错误； 故选：D． 点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息． 12．（3 分）（2015•聊城）如图，点 O 是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠， 使 和 都经过圆心 O，则阴影部分的面积是⊙O 面积的（ ） A． B． C． D． 考点：翻折变换（折叠问题）；扇形面积的计算． . 分析：作 OD⊥AB 于点 D，连接 AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°， 进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=S 扇形 AOC 得出阴影部分的面积是⊙O 面积的 解答：解：作 OD⊥AB 于点 D，连接 AO，BO，CO， ∵OD= AO， ∴∠OAD=30°， ∴∠AOB=2∠AOD=120°， 同理∠BOC=120°， ∴∠AOC=120°， ∴阴影部分的面积=S 扇形 AOC= ×⊙O 面积． 故选：B． 点评：本题主要考查了折叠问题，解题的关键是确定∠AOC=120°． 二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 13．（3 分）（2015•聊城）一元二次方程 x2﹣2x=0 的解是 x1=0，x2=2 ． 考点：解一元二次方程-因式分解法． . 分析：本题应对方程左边进行变形，提取公因式 x，可 得 x（x﹣2）=0，将原式化为两式相 乘的形式，再根据“两式相乘值为 0，这两式中至少有一式值为 0．”，即可求得方程 的解． 解答：解：原方程变形为：x（x﹣2）=0， x1=0，x2=2． 故答案为：x1=0，x2=2． 点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方 法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因 式分解法． 14．（3 分）（2015•聊城）计算：（ + ）2﹣ = 5 ． 考点：二次根式的混合运算． . 分析：先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，合并同类项进行计算． 解答：解：原式=2+2 +3﹣2 =5． 故答案为：5． 点评：本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，掌握运算顺序，先运用完全 平方公式，再将二次根式化为最简二次根式的形式后再运算是解答此题的关键． 15．（3 分）（2015•聊城）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线．若 AB=6，则点 D 到 AB 的距离是 ． 考点：角平分线的性质． . 分析：求出∠ABC，求出∠DBC，根据含 30 度角的直角三角形性质求出 BC，CD，问题即 可求出． 解答：解：∵∠C=90°，∠A=30°， ∴∠ABC=180°﹣30°﹣90°=60°， ∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠DBC= ∠ABC=30°， ∴BC= AB=3， ∴CD=BC•tan30°=3× = ， ∵BD 是∠ABC 的平分线， 又∵角平线上点到角两边距离相等， ∴点 D 到 AB 的距离=CD= ， 故答案为： ． 点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键 ． 16．（3 分）（2015•聊城）二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0； ②a+c＞b；③抛物线与 x 轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是 ①④ （填写序号）． 考点：二次函数图象与系数的关系．. 专题：数形结合． 分析：根据抛物线对称轴方程对①进行判断；根据自变量为 1 时对应的函数值为负数可对② 进行判断；根据抛物线的对称性，由抛物线与 x 轴的一个交点为（﹣2，0）得到抛物 线与 x 轴的另一个交点为（4，0），则可对③进行判断；由抛物线开口方向得到 a＞0， 由对称轴位置可得 b＜0，由抛物线与 y 轴的交点位置可得 c＜0，于是可对④进行判 断． 解答：解：∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣ =1， ∴2a+b=0，所以①正确； ∵x=﹣1 时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， 即 a+c＜b，所以②错误； ∵抛物线与 x 轴的一个交点为（﹣2，0） 而抛物线的对称轴为直线 x=1， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（4，0），所以③错误； ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∴b=﹣2a＜0， ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，所以④正确． 故答案为①④． 点评：本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线 向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴右．（简称： 左同右异）；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于（0，c）；抛物线与 x 轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△=b2﹣4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△=b2﹣4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点． 17．（3 分）（2015•聊城）如图，△ABC 的三个顶点和它内部的点 P1，把△ABC 分成 3 个互 不重叠的小三角形；△ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、P2，把△ABC 分成 5 个互不重叠 的小三角形；△ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3，把△ABC 分成 7 个互不重叠的 小三角形；…△ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3、…、Pn，把△ABC 分成 3+2 （n﹣1） 个互不重叠的小三角形． 考点：规律型：图形的变化类．. 分析：利用图形得到，△ABC 的三个顶点和它内部的点 P1，把△ABC 分成互不重叠的小三 角形的个数=3+2×0；△ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、P2，把△ABC 分成互不重 叠的小三角形的个数=3+2×1；△ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3，把△ABC 分成互不重叠的小三角形的个数=3+2×2，即分成的互不重叠的小三角形的个数为 3 加上 P 点的个数与 1 的差的 2 倍，从而得到△ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、P2、 P3、…、Pn，把△ABC 分成的互不重叠的小三角形的个数． 解答：解：如图，△ABC 的三个顶点和它内部的点 P1，把△ABC 分成的互不重叠的小三角 形的个数=3+2×0， △ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、P2，把△ABC 分成的互不重叠的小三角形的个 数=3+2×1， △ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3，把△ABC 分成的互不重叠的小三角形 的个数=3+2×2， 所以△ABC 的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3、…、Pn，把△ABC 分成的互不重 叠的小三角形的个数=3+2（n﹣1）． 故答案为 3+2（n﹣1）． 点评：本题考查了规律型：图形的变化类：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变 化，是按照什么规律变化的，然后通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求 解． 三、解答题（本题共 8 个小题，共 69 分） 18．（7 分）（2015•聊城）解方程组 ． 考点：解二元一次方程组．. 专题：计算题． 分析：方程组利用加减消元法求出解即可． 解答： 解： ， ①+②得：3x=9，即 x=3， 把 x=3 代入①得：y=﹣2， 则方程组的解为 ． 点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加 减消元法． 19．（8 分）（2015•聊城）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为 1 的正方形， △ABC 的顶点均在格点上，点 A 的坐标是（﹣3，﹣1）． （1）将△ABC 沿 y 轴正方向平移 3 个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点 B1 坐 标； （2）画出△A1B1C1 关于 y 轴对称的△A2B2C2，并写出点 C2 的坐标． 考点：作图-轴对称变换；作图-平移变换．. 分析：（1）直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案； （2）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 解答：解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；点 B1 坐标为：（﹣2，﹣1）； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，点 C2 的坐标为：（1，1）． 点评：此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，根据图形的性质得出对应点位置是解题关 键． 20．（8 分）（2015•聊城）已知反比例函数 y= （m 为常数，且 m≠5）． （1）若在其图象的每个分支上，y 随 x 的增大而增大，求 m 的取值范围； （2）若其图象与一次函数 y=﹣x+1 图象的一个交点的纵坐标是 3，求 m 的值． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． . 分析：（1）由反比例函数 y= 的性质：当 k＜0 时，在其图象的每个分支上，y 随 x 的增大 而增大，进而可得：m﹣5＜0，从而求出 m 的取值范围； （2）先将交点的纵坐标 y=3 代入一次函数 y=﹣x+1 中求出交点的横坐标，然后将交 点的坐标代入反比例函数 y= 中，即可求出 m 的值． 解答：解：（1）∵在反比例函数 y= 图象的每个分支上，y 随 x 的增大而增大， ∴m﹣5＜0， 解得：m＜5； （2）将 y=3 代入 y=﹣x+1 中，得：x=﹣2， ∴反比例函数 y= 图象与一次函数 y=﹣x+1 图象的交点坐标为：（﹣2，3）． 将（﹣2，3）代入 y= 得： 3= 解得：m=﹣1． 点评：本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满 足两个函数解析式是解题的关键． 21．（8 分）（2015•聊城）如图，在△ABC 中，AB=BC，BD 平分∠ABC．四边形 ABED 是 平行四边形，DE 交 BC 于点 F，连接 CE． 求证：四边形 BECD 是矩形． 考点：矩形的判定． . 专题：证明题． 分析：根据已知条件易推知四边形 BECD 是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质 证得 BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到 ▱ BECD 是矩形． 解答：证明：∵AB=BC，BD 平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD=CD． ∵四边形 ABED 是平行四边形， ∴BE∥AD，BE=AD， ∴四边形 BECD 是平行四边形． ∵BD⊥AC， ∴∠BDC=90°， ∴▱ BECD 是矩形． 点评：本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 22．（8 分）（2015•聊城）在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室 打乒乓球，当时只有一副空球桌，他们只能选两人打第一场． （1）如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中大刚的 概率； （2）如果确定小亮做裁判，用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场．游戏规 则是：三人同时伸“手心、手背”中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这两 人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，请用画树状图的方法求小 莹和小芳打第一场的概率． 考点：列表法与树状图法；概率公式． . 专题：计算题． 分析：（1）由小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求出恰好选中大刚 的概率即可； （2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相 同的情况数，即可求出所求的概率． 解答：解：（1）∵确定小亮打第一场， ∴再从小莹，小芳和大刚中随机选取一人打第一场，恰好选中大刚的概率为 ； （2）列表如下： 所有等可能的情况有 8 种，其中小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的结果有 2 个， 则小莹与小芳打第一场的概率为 = ． 点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23．（8 分）（2015•聊城）在“母亲节”前夕，某花店用 16000 元购进第一批礼盒鲜花，上市后 很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用 7500 元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批 所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的 ，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少 10 元．问第 二批鲜花每盒的进价是多少元？ 考点：分式方程的应用． . 分析：可设第二批鲜花每盒的进价是 x 元，根据等量关系：第二批所购鲜花的盒数是第一批 所购鲜花的 ，列出方程求解即可． 解答：解：设第二批鲜花每盒的进价是 x 元，依题意有 = × ， 解得 x=150， 经检验：x=150 是原方程的解． 故第二批鲜花每盒的进价是 150 元． 点评：考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键是正确确定题目中的相等关系，根据 相等关系确定所设的未知数，列方程． [来源:学|科|网 Z|X|X|K] 24．（10 分）（2015•聊城）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 切 ⊙O 于点 D，过点 B 作 BE 垂直于 PD，交 PD 的延长线于点 C，连接 AD 并延长，交 BE 于 点 E． （1）求证：AB=BE； （2）若 PA=2，cosB= ，求⊙O 半径的长． 考点：切线的性质；解直角三角形．. 分析：（1）本题可连接OD，由PD 切⊙O 于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到 OD∥BE， 得出∠ADO=∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果； （2）由（1）知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果． 解答：（1）证明：连接 OD， ∵PD 切⊙O 于点 D， ∴OD⊥PD， ∵BE⊥PC， ∴OD∥BE， ∴ADO=∠E， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ADO， ∴∠OAD=∠E， ∴AB=BE； （2）解：有（1）知，OD∥BE， ∴∠POD=∠B， ∴cos∠POD=cosB= ， 在 Rt△POD 中，cos∠POD= = ， ∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA， ∴ ， ∴OA=3， ∴⊙O 半径=3． 点评：本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确的画 出辅助线是解题的关键． 25．（12 分）（2015•聊城）如图，在直角坐标系中，Rt△OAB 的直角顶点 A 在 x 轴上，OA=4， AB=3．动点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度，沿 AO 向终点 O 移动；同时点 N 从点 O 出发，以每秒 1.25 个单位长度的速度，沿 OB 向终点 B 移动．当两个动点运动了 x 秒（0＜x＜4）时，解答下列问题： （1）求点 N 的坐标（用含 x 的代数式表示）； （2）设△OMN 的面积是 S，求 S 与 x 之间的函数表达式；当 x 为何值时，S 有最大值？最 大值是多少 ？ （3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN 是直角三角形？若存在，求 出 x 的值；若不存在，请说明理由． 考点：相似形综合题．. 分析：（1）由勾股定理求出 OB，作 NP⊥OA 于 P，则 NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得 出比例式 ，求出 OP、PN，即可得出点 N 的坐标； （2）由三角形的面积公式得出 S 是 x 的二次函数，即可得出 S 的最大值； （3）分两种情况：①若∠OMN=90°，则 MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB， 得出比例式，即可求出 x 的值； ②若∠ONM=90°，则∠ONM=∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出 x 的值即可． 解答：解：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x， 在 Rt△OAB 中，由勾股定理得：OB= = =5， 作 NP⊥OA 于 P，如图 1 所示： 则 NP∥AB， ∴△OPN∽△OAB， ∴ ， 即 ， 解得：OP=x，PN= ， ∴点 N 的坐标是（x， ）； （2）在△OMN 中，OM=4﹣x，OM 边上的高 PN= ， ∴S= OM•PN= （4﹣x）• =﹣ x2+ x， ∴S 与 x 之间的函数表达式为 S=﹣ x2+ x（0＜x＜4）， 配方得：S=﹣ （x﹣2）2+ ， ∵﹣ ＜0， ∴S 有最大值， 当 x=2 时，S 有最大值，最大值是 ； （3）存在某一时刻，使△OMN 是直角三角形，理由如下： 分两种情况：①若∠OMN=90°，如图 2 所示： 则 MN∥AB， 此时 OM=4﹣x，ON=1.25x， ∵MN∥AB， ∴△OMN∽△OAB， ∴ ，[来源:Z*xx*k.Com] 即 ， 解得：x=2； ②若∠ONM=90°，如图 3 所示： 则∠ONM=∠OAB， 此时 OM=4﹣x，ON=1.25x， ∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA， ∴△OMN∽△OBA， ∴ ， 即 ， 解得：x= ； 综上所述：x 的值是 2 秒或 秒． 点评：本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形特 征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值等知识； 本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形相 似才能得出结果．