2015年徐州市中考数学试卷及答案

2015 徐州市中考数学试题及参考答案 一． 选择题(本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分) 1．－2 的倒数是( ) A.2 B.－2 C. 1 2 D. －1 2 2．下列四个几何体中，主视图为圆的是( ) A. B. C. D. 3．下列运算正确的是( ) A. 3a²－2a²=1 B. (a²)³=a5 C. a² · a4=a6 D. (3a)²=6a² 4．使 x － 1 有意义的 x 的取值范围是( ) A. x ≠ 1 B. x ≥ 1 C. x ＞ 1 D. x ≥ 0 5．一只不透明的袋子中装有 4 个黑球、2 个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出 3 个球，下列事件为必然事件的是( ) A. 至少有 1 个球是黑球 B.至少有 1 个球是白球 C. 至少有 2 个球是黑球 D.至少有 2 个球是白球 6．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ) A.直角三角形 B.正三角形 C.平行四边形 D.正六边形 7．如图，菱形中，对角线 AC、BD 交于点 O，E 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为 28， 则 OE 的长等于( ) A. 3.5 B.4 C.7 D.14 8．若函数 y=kx－b 的图像如图所示，则关于 x 的不等式 k(x－3)－b＞0 的解集为( ) A. x ＜ 2 B. x ＞ 2 C. x ＜ 5 D. x ＞ 5 二． 填空题(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分) 9．4 的算术平方根 10．杨絮纤维的直径约为 0．000 010 5m，该直径用科学记数法表示为 11．小丽近 6 个月的手机话费（单位：元）分别为：18，24，37，28，24，26，这组数据的 中位数是 元。 12．若正多边形的一个内角等于 140°，则该正多边形的边数是 13．已知关于 x 的方程 x²－2 3x－k=0 有两个相等的实数根，则 k 的值为 ． 14．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点 D，若∠C=20°， 则∠CDA= °． 15．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥ AB，垂足为 E，连接 AC，若∠CAB=22．5°，CD=8cm， 则⊙O 的半径为 cm． 16．如图，在△ABC 中，∠C=31°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，如果 DE 垂直平分 BC，那么∠A= °． 17．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，以对角线 AC 为边作第二个正方形，再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH，如此下去，第 n 个正方形的边长为 ． 18．用一个圆心角为 90°，半径为 4 的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径 . 三． 解答题(本大题共 10 小题，共 86 分) 19．(本题 10 分)计算： (1)︱－4︱－20150＋ 1 2 -1－ ( 3)2；(2) (1+1 a) ÷a²—1 a 20．(本题 10 分) (1)解方程：x² － 2x － 3=0；(2)解不等式组： x － 1 ＞2 x+2 ＜ 4x － 1 21．（本题 7 分）小明参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，4 张牌分别对应价值 5,10,15,20 （单位：元）的 4 件奖品。 （1） 如果随机翻 1 张牌，那么抽中 20 元奖品的概率为 （2） 如果随机翻 2 张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，则所获奖品总值不低于．．．30 元的概率为多少？ 22．（本题 7 分）某校分别于 2012 年、2014 年随机调查相同数量的学生，对数学课开展小组 合作学习的情况进行调查(开展情况分为较少、有时、常常、总是四种)，绘制成部分统计图 如下，请根据图中信息，解答下列问题： (1)a= %，b= %，“总是”对应阴影的圆心角为 °； (2)请你补全条形统计图； (3)若该校 2014 年共有 1200 名学生，请你统计其中认为数学课“总是”开展小组合作学习的 学生有多少名？ (4)相比 2012 年，2014 年数学课开展小组合作学习的情况有何变化？ 23．（本题 8 分）如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E，F 分别在直线 AD 的两侧， 且 AE=DF，∠A=∠D，AB=DC． (1) 求证：四边形 DFCE 是平行四边形； (2) 若 AD=10，DC=3，∠ABD=60°，则 AB= 时，四边形 BFCE 是菱形． 24．（本题 8 分）某超市为促销，决定对 A，B 两种商品进行打折出售．打折前，买 6 件 A 商 品和 3 件 B 商品需要 54 元，买 3 件 A 商品和 4 件 B 商品需要 32 元；打折后，买 50 件 A 商 品和 40 件 B 商品仅需 364 元，打折前需要多少钱？ 25．（本题 8 分）如图，平面直角坐标系中，将含 30°的三角尺的直角顶点 C 落在第二象限。 其斜边两端点 A、B 分别落在 x 轴、y 轴上，且 AB=12cm （1） 若 OB=6cm． 1 求点 C 的坐标； 2 若点 A 向右滑动的距离与点 B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离； （2） 点 C 与点 O 的距离的最大值= cm. 26．（本题 8 分）如图，在矩形 OABC 中，OA=3，OC=5,分别以 OA、OC 所在直线为 x 轴、 y 轴，建立平面直角坐标系，D 是边 CB 上的一个动点（不与 C、B 重合），反比例函数 y=k x (k ＞ 0)的图像经过点 D 且与边 BA 交于点 E，连接 DE. （1） 连接 OE，若△EOA 的面积为 2，则 k= ； （2） 连接 CA、DE 与 CA 是否平行？请说明理由； （3） 是否存在点 D，使得点 B 关于 DE 的对称点在 OC 上？若存在，求出点 D 的坐标；若 不存在，请说明理由。 27．（本题 8 分）为加强公民的节水意识，合理利用水资源。某市对居民用水实行阶梯水价， 居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于 1︰1.5︰2。下图折线表示实行阶梯水价后每月水费 y（元）与用水量 xm³之间的函数关系。其 中线段 AB 表示第二级阶梯时 y 与 x 之间的函数关系 （1） 写出点 B 的实际意义; （2） 求线段 AB 所在直线的表达式。 （3） 某户 5 月份按照阶梯水价应缴水费 102 元，其相应用水量为多少立方米？ A B 28．（本题 12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（10，0），以 OA 为直径在第一象限内 作半圆，B 为半圆上一点，连接 AB 并延长至 C，使 BC=AB，过 C 作 CD ⊥ x 轴于点 D,交 线段 OB 于点 E，已知 CD=8,抛物线经过 O、E、A 三点。 （1） ∠OBA= °． （2） 求抛物线的函数表达式。 （3） 若 P 为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以 P、O、A、E 为顶点的四边形面积记 作 S，则 S 取何值时，相应的点 P 有且只有．．．．3 个？ 2015 年徐州市中考数学试题参考答案 一． 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C B A B A C 二． 填空题 9．2 10．1.05×10-5 11．25 12．9 13．－3 14．125° 15．4 2 16．87 17．( 2)n－1 18．1 三．解答题 19．(1)︱－4︱－20150＋ 1 2 -1－ ( 3)2；(2) (1+1 a) ÷a²—1 a 解：（1） （2） 原式=4－1+2－3 原式= (1+1 a) ÷a²—1 a =3+2－3 =a+1 a · a (a+1)(a－1) =5－3 = 1 a－1 =2 20. (1)解方程：x² － 2x － 3=0；(2)解不等式组： x － 1 ＞2 ① x+2＜ 4x － 1② 解：(1)(x+1)(x-3)=0 (2)由①得 x＞ 3 x+1=0 或 x-3=0 由②得 x＞ 1 x1=－1 ,x2=3 ∴不等式组的解集为 x＞ 3． 21．(1)25% (2) ∴总值不低于 30 元的概率= 4 12 =1 3 22．23．24．因数据不清楚，固不提供答案． 25．解：(1)① 过点 C 作 y 轴的垂线，垂足为 D， 在 Rt△AOB 中，AB=12， OB=6，则 BC=6， ∴∠BAO=30°，∠ABO=60°， 又∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°， ∴BD=3，CD=3 3 ． ② 设点 A 向右滑动的距离为 x，根据题意得点 B 向动的距离也为 x, AO=12×cos∠BAO=12×cos30°=6 3 ． ∴A'O=6 3－x，B'O=6＋x ，A'B'=AB=12 在△A'O B'中，由勾股定理得， (6 3－x)²＋(6＋x)²=12² 解得，x=6( 3－1) ∴滑动的距离为 6( 3－1)． (2)设点 C 的坐标为(x,y)，过 C 作 CE ⊥ x 轴，CD ⊥ y 轴， 垂足分别为 E，D 则 OE=－x，OD=y， ∵∠ACE＋∠BCE=90°，∠DCB＋∠BCE=90° ∴∠ACE=∠DCB， 又∵∠AEC=∠BDC=90°， ∴△ACE ∽ △BCD ∴CE CD = AC BC ，即CE CD = 6 3 6 = 3， ∴y=－ 3x， OC²=x²＋y²= x²＋(－ 3x)²=4x², ∴当︱x︱取最大值时即 C 到 y 轴距离最大时 OC²有最 大值，即 OC 取最大值，如图，即当 C'B'转到与 y 轴垂时 ．此时 OC=12． 26． (1)k=4 (2)连接 AC，如右图，设 D(x,5),E(3,5 3x),则 BD=3－x，BE=5－5 3x， BD BE = 3－x 5－5 3x =3 5 ，BC AB = 3 5 ∴BD BE = BC AB ∴DE ∥ AC． (3)假设存在点 D 满足条件．设 D(x,5)，E(3,5 3x),则 CD=x， BD=3－x，BE=5－5 3x，AE=5 3x． 作 EF ⊥ OC，垂足为 F，如下图 易证△B'CD ∽ △EFB'， ∴ B'E B'D = B'F CD ，即 5－5 3x 3－x = B'F x ， ∴B'F=5 3x， ∴OB'= B'F＋OF= B'F＋AE=5 3x＋5 3x= 10 3 x ∴CB'=OC－OB'=5－10 3 x 在 Rt△B'CD 中，CB'=5－10 3 x，CD=x，B'D= BD=3－x 由勾股定理得，CB'²＋CD²= B'D² (5－10 3 x)²＋x²=(3－x)² 解这个方程得，x1=1.5(舍去)，x2=0.96 ∴满足条件的点 D 存在，D 的坐标为 D(0.96，5)． 27．解： (1)图中 B 点的实际意义表示当用水 25m³时，所交水费为 90 元． (2)设第一阶梯用水的单价为 x 元/m³，则第二阶梯用水单价为 1．5 x 元/m³, 设 A(a,45)，则 ax=45 ax＋1.5x(25－a)=90 解得， a=15 x=3 ∴A(15，45)，B(25，90) 设线段 AB 所在直线的表达式为 y=kx＋b 则 45=15k+b 90=25k+b，解得 k = 9 2 b =－ 45 2 ∴线段 AB 所在直线的表达式为 y=9 2x－45 2 ． (3) 设该户 5 月份用水量为 xm³（x ＞ 90），由第(2)知第二阶梯水的单价为 4．5 元/m³，第三 阶梯水的单价为 6 元/m³ 则根据题意得 90＋6(x－25)=102 解得，x=27 答：该用户 5 月份用水量为 27m³． 28． (1)∠OBA=90° (2)连接 OC，如图所示， ∵由(1)知 OB ⊥ AC，又 AB=BC， ∴OB 是的垂直平分线， ∴OC=OA=10， 在 Rt△OCD 中，OC=10，CD=8，∴OD=6， ∴C(6，8)，B(8，4) ∴OB 所在直线的函数关系为 y=1 2x， 又 E 点的横坐标为 6，∴E 点纵坐标为 3 即 E(6,3)． 抛物线过 O(0，0)，E(6,3) ，A(10，0) ∴设此抛物线的函数关系式为 y=ax(x－10)，把 E 点坐标代入得 3=6a(6－10)，解得 a=－1 8 ∴此抛物线的函数关系式为 y=－1 8x(x－10)，即 y=－1 8x²＋5 4x． (4) 设点 P(p，－1 8p²＋5 4p) 1 若点 P 在 CD 的左侧，延长 OP 交 CD 于 Q，如右图， OP 所在直线函数关系式为：y=(－1 8p＋5 4)x ∴当 x=6 时，y=－ 3 4p + 15 2 ，即 Q 点纵坐标为－ 3 4p + 15 2 ， ∴QE=－ 3 4p + 15 2 －3=－ 3 4p + 9 2 ， S 四边形 POAE = S△OAE ＋S△OPE = S△OAE ＋S△OQE－S△PQE = 1 2 · OA ·DE ＋1 2 · QE · Px =1 2×10×3＋1 2 ·(－ 3 4p + 9 2 )· p =－3 8p²+9 4p+15 ② 若点 P 在 CD 的右侧，延长 AP 交 CD 于 Q，如右图， P(p，－1 8p²＋5 4p)，A(10,0) ∴设 AP 所在直线方程为：y=kx＋b，把 P 和 A 坐标代入得， 10k+b=0 pk+b=－1 8p²+5 4p ，解得 k= －1 8 p b= 5 4 p ， ∴AP 所在直线方程为：y=－1 8p x＋5 4 p ， ∴当 x=6 时，y=－1 8p · 6＋5 4 p =1 2P，即 Q 点纵坐标为 1 2P， ∴QE=1 2 P－3， ∴S 四边形 POAE = S△OAE ＋S△APE = S△OAE ＋S△AQE －S△PQE =1 2 ·OA ·DE ＋1 2 · QE·DA－1 2 · QE·(Px －6) =1 2×10×3＋1 2 · QE ·(DA－Px ＋6) =15＋1 2 ·(1 2 p－3)·(10－p) =－ 1 4p²+4p =－ 1 4 (p－8)²+16 ∴当 P 在 CD 右侧时，四边形 POAE 的面积最大值为 16，此时点 P 的位置就一个， 令－3 8p²+9 4p+15=16，解得，p=3 ± 57 3 ， ∴当 P 在 CD 左侧时，四边形 POAE 的面积等于 16 的对应 P 的位置有两个， 综上知，以 P、O、A、E 为顶点的四边形面积 S 等于 16 时，相应的点 P 有且只有 3 个．