2015年无锡市中考数学试题解析

无锡市 2015年中考数学试题 一、选择题 1．－3的倒数是 （ ） A．3 B．±3 C．1 3 D．－ 1 3 考点：倒数． . 分析：根据倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数． 解答：解：﹣3的倒数是 ， 故选 D 点评：本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数． 2．函数 y＝ x－4中自变量 x的取值范围是 （ ） A．x＞4 B．x≥4 C．x≤4 D．x≠4 考点：函数自变量的取值范围． . 分析：因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以 x﹣4≥0，可求 x的范围． 解答： 解：x﹣4≥0解得 x≥4， 故选：B． 点评：此题主要考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是当函数表达式是二次根式时，被开 方数为非负数． 3．今年江苏省参加高考的人数约为 393 000人，这个数据用科学记数法可表示为 （ ） A．393×103 B．3.93×103 C．3.93×105 D．3.93×106 考点：科学记数法—表示较大的数．. 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数．确定 n的值时，要看把原 数变成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于 10时， n是正数；当原数的绝对值小于 1时，n是负数． 解答：解：393000=3.93×105， 故选 C． 点评：把一个数M记成 a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规 律： （1）当|a|≥1时，n的值为 a的整数位数减 1； （2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是 0的数字前 0的个数，包括整数位上的 0． 4．方程 2x－1＝3x＋2的解为 （ ） A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3 考点：解一元一次方程．. 分析：方程移项合并，把 x系数化为 1，即可求出解． 解答：解：方程 2x﹣1=3x+2， 移项得：2x﹣3x=2+1， 合并得：﹣x=3． 解得：x=﹣3， 故选 D． 点评：此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为 1， 求出解． 5．若点 A(3，－4)、B(－2，m)在同一个反比例函数的图像上，则 m的值为 （ ） A．6 B．－6 C．12 D．－12 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． . 分析：反比例函数的解析式为 y= ，把 A（3，﹣4）代入求出 k=﹣12，得出解析式，把 B的坐标代 入解析式即可． 解答：解：设反比例函数的解析式为 y= ， 把 A（3，﹣4）代入得：k=﹣12， 即 y=﹣ ， 把 B（﹣2，m）代入得：m=﹣ =6， 故选 A． 点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征的应用，解此题的关键是求出反比例函数的解析 式，难度适中． 6．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 （ ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．圆 考点：中心对称图形；轴对称图形． . 分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念以及等边三角形、平行四边形、矩形、圆的性质解答． 解答：解：A、只是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； B、只是中心对称图形，不合题意； C、D既是轴对称图形又是中心对称图形，不合题意． 故选 A． 点评：掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念： 轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后重合． 7．tan45º的值为 （ ） A．1 2 B．1 C． 2 2 D． 2 考点：特殊角的三角函数值．. 分析：根据 45°角这个特殊角的三角函数值，可得 tan45°=1，据此解答即可． 解答：解：tan45°=1， 即 tan45°的值为 1． 故选：B． 点评：此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是牢记 30°、45°、 60°角的各种三角函数值． 8．八边形的内角和为 （ ） A．180º B．360º C．1080º D．1440º 考点：多边形内角与外角． . 分析：根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解． 解答：解：（8﹣2）•180°=6×180°=1080°． 故选：C． 点评：本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键． 9．如图的正方体盒子的外表面上画有 3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上）， 展开图可能是 （ ） 考点：几何体的展开图．. 分析：根据正方体的表面展开图进行分析解答即可． 解答：解：根据正方体的表面展开图，两条黑线在一列，故 A错误，且两条相邻成直角，故 B错误， 中间相隔一个正方形，故 C错误，只有 D选项符合条件， 故选 D 点评：本题主要考查了几何体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝3，BC＝4，将边 AC沿 CE翻折， 使点 A落在 AB上的点 D处；再将边 BC沿 CF翻折，使点 B落在 CD的延 长线上的点 B′处，两条折痕与斜边 AB分别交于点 E、F，则线段 B′F的长 为 （ ▲ ） A．3 5 B．4 5 C．2 3 D． 3 2 考点：翻折变换（折叠问题）．. 分析：首先根据折叠可得 CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然 后求得△ECF 是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF= ，ED=AE ，从而求得 B′D=1， DF= ，在 Rt△B′DF中，由勾股定理即可求得 B′F的长． 解答：解：根据折叠的性质可知 CD=AC=3，B′C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB， ∴B′D=4﹣3=1，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECF=45°， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴EF=CE，∠EFC=45°， ∴∠BFC=∠B′FC=135°， ∴∠B′FD=90°， ∵S△ABC= AC•BC= AB•CE， ∴AC•BC=AB•CE， ∵根据勾股定理求得 AB=5， ∴CE= ， ∴EF= ，ED=AE= = ， ∴DF=EF﹣ED= ， ∴B′F= = ． 故选 B．点评： 此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相 （第 9题） A． B． C． D． E F B′ B （第 10题） C A D 等的相等相等的角是本题的关键． 二、填空题 11．分解因式：8－2x2＝ ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． . 分析：先提取公因式，再根据平方差公式进行分解即可． 解答：解：原式=2（4﹣x2）=2（2+x） （2﹣x）． 故答案为：2（2+x） （2﹣x）． 点评： 本题考查的是提取公因式法与公式法的综合运用，熟记平方差公式是解答此题的关键． 12．化简 2x＋6 x2－9 得 ． 考点：约分． . 分析：首先分别把分式的分母、分子因式分解，然后约去分式的分子与分母的公因式即可． 解答：解： = = 故答案为： ． 点评：此题主要考查了约分问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①分式约分的结果可能 是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约 分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． 13．一次函数 y＝2x－6的图像与 x轴的交点坐标为 ． 考点：一次函数图象上点的坐标特征．. 分析：一次函数 y=2x﹣6的图象与 x轴的交点的纵坐标等于零，所以把 y=0代入已知函数解析式即 可求得相应的 x的值． 解答：解：令 y=0得：2x﹣6=0，解得：x=3． 则函数与 x轴的交点坐标是（3，0）． 故答案是：（3，0）． 点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上． 14．如图，已知矩形 ABCD的对角线长为 8cm，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点， 则四边形 EFGH的周长等于 cm． 考点：中点四边形．. 分析：连接 AC、BD，根据三角形的中位线求出 HG、GF、EF、EH的长，再求出四边 形 EFGH的周长即可． 解答：解：如图，连接 C、BD， A B C D E F G H （第 14题） ∵四边形 ABCD是矩形， ∴AC=BD=8cm， ∵E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点， ∴HG=EF= AC=4cm，EH=FG= BD=4cm， ∴四边形 EFGH的周长等于 4cm+4cm+4cm+4cm=16cm， 故答案为：16． 点评：本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解此题的关 键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 15．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题．．．是 命题．（填“真”或“假”） 考点：命题与定理．. 分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，如果能就是真命题． 解答：解：“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，根据全等三角形 的定义，不符合要求，因此是假命题． 点评： 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个 命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题 的逆命题． 16．某种蔬菜按品质分成三个等级销售，销售情况如下表： 则售出蔬菜的平均单价为 元/千克． 考点：加权平均数．. 分析：利用售出蔬菜的总价÷售出蔬菜的总数量=售出蔬菜的平均单价，列式解答即可． 解答：解：（5×20+4.5×40+4×40）÷（20+40+40） =（100+180+160）÷100 =440÷100 =4.4（元/千克） 答：售出蔬菜的平均单价为 4.4元/千克． 故答案为：4.4． 点评：此题考查加权平均数的求法，利用总数÷总份数=平均数列式解决问题． 17．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则 AC的长等 于 ． 等级 单价（元/千克） 销售量（千克） 一等 5.0 20 二等 4.5 40 三等 4.0 40 B A CD E （第 17题） 考点：三角形中位线定理；勾股定理．. 专题：计算题． 分析：延长 AD至 F，使 DF=AD，过点 F作平行 BE与 AC延长线交于点 G，过点 C作 CH∥BE， 交 AF于点 H，连接 BF，如图所示，在直角三角形 AGF中，利用勾股定理求出 AG的长，利用 SAS 证得△BDF≌△CDA，利用全等三角形对应角相等得到∠ACD=∠BFD，证得 AG∥BF，从而证得四 边形 EBFG是平行四边形，得到 FG=BE=6，利用 AAS得到三角形 BOD与三角形 CHD全等，利用 全等三角形对应边相等得到 OD=DH=3，得出 AH=9，然后根据△AHC∽△AFG，对应边成比例即可 求得 AC． 解答： 解：延长 AD至 F，使 DF=AD，过点 F作 FG∥BE与 AC延长线交于点 G，过点 C作 CH∥BE，交 AF于点 H，连接 BF，如图所示， 在 Rt△AFG中，AF=2AD=12，FG=BE=6， 根据勾股定理得：AG= =6 ， 在△BDF和△CDA中， ∴△BDF≌△CDA（SAS）， ∴∠ACD=∠BFD， ∴AG∥BF， ∴四边形 EBFG 是平行四边形， ∴FG=BE=6， 在△BOD和△CHD中， ， ∴△BOD≌△CHD（AAS）， ∴OD=DH=3， ∵CH∥FG， ∴△AHC∽△AFG， ∴ = ，即 = ， 解得：AC= ， 故答案为： 点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质 以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形和平行四边形是解题的关键． 18．某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠 方法：①如果不超过 500元，则不予优惠；②如果超过 500元，但不超过 800元，则按购物总 额给予 8 折优惠；③如果超过 800 元，则其中 800 元给予 8折优惠，超过 800元的部分给予 6 折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款 480元 和 520元；若合并付款，则她们总共只需付款 元． 考点：分段函数． . 分析：根据题意知付款 480元时，其实际标价为为 480或 600元，付款 520元，实际标价为 650元， 求出一次购买标价 1130元或 1250元的商品应付款即可． 解答：解：由题意知付款 480元，实际标价为 480或 480× =600元， 付款 520元，实际标价为 520× =650元， 如果一次购买标价 480+650=1130元的商品应付款 800×0.8+（1130﹣800）×0.6=838元． 如果一次购买标价 600+650=1250元的商品应付款 800×0.8+（1250﹣800）×0.6=910元． 故答案为：838或 910． 点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，考查函数的思想．属于基础题． 三、解答题 19．（本题满分 8分）计算： （1）(－5)0－( 3)2＋|－3|； （2）(x＋1)2－2(x－2)． 考点：整式的混合运算；实数的运算；零指数幂． . 分析：（1）先算 0指数幂、平方和绝对值，再算加减； （2）利用完全平方公式计算，再合并得出答案即可． 解答：解：（1）原式=1﹣3+3 =1． （2）原式=x2+2x+1﹣2x+4 =x2+5． 点评：此题考查整式的混合运算，掌握运算的顺序与计算的方法是解决问题的关键． 20．（本题满分 8分） （1）解不等式：2(x－3)－2≤0； （2）解方程组： 2x－y＝5，………① x－1＝1 2 (2y－1).…② 考点：解一元一次不等式；解二元一次方程组．. 分析：（1）先去括号，再移项、合并同类项，不等式两边同乘以 ，即可得出不等式的解集； （2）先把②整理，再由减法消去 x求出 y，然后代入①求出 x即可， 解答：解：（1）去括号，得：2x﹣6﹣2≤0， 移项，得：2x≤6+2， 合并同类项，得：2x≤8， 两边同乘以 ，得：x≤4； ∴原不等式的解集为：x≤4． （2）由②得：2x﹣2y=1③， ①﹣②得：y=4， 把 y=4代入①得：x= ， ∴原方程组的解为： 点评：本题考查了不等式的解法、二元一次方程组的解法；熟练掌握不等式的解法和用加减法解方 程组是解决问题的关键， 21．（本题满分 8分）已知：如图，AB∥CD，E是 AB的中点，CE＝DE． 求证：（1）∠AEC＝∠BED；（2）AC＝BD． 考点：全等三角形的判定与性质．. 专题：证明题． 分析：（1）根据 CE=DE得出∠ECD=∠EDC，再利用平行线的性质进行证明即可； （2）根据 SAS 证明△AEC与△BED 全等，再利用全等三角形的性质证明即可． 解答： 证明：（1）∵AB∥CD， ∴∠AEC=∠ECD，∠BED=∠EDC， ∵CE=DE， ∴∠ECD=∠EDC， ∴∠AEC=∠BED； （2）∵E是 AB的中点， ∴AE=BE， 在△AEC和△BED 中， ， ∴△AEC≌△BED（SAS）， ∴AC=BD． 点评：本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质，关键是根据 SAS 证明全等． C A D E B 22．（本题满分 8分）已知：如图，AB为⊙O的直径，点 C、D在⊙O上，且 BC＝6cm， AC＝8cm，∠ABD＝45º．（1）求 BD的长；（2）求图中阴影部分的面积． 考点：圆周角定理；勾股定理；扇形面积的计算． . 分析：（1）由 AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得 AB，OB=5cm．连 OD，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论； （2）根据 S 阴影=S 扇形﹣S△OBD即可得到结论． 解答：解：（1）∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵BC=6cm，AC=8cm， ∴AB=10cm． ∴OB=5cm． 连 OD， ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠ABD=45°． ∴∠BOD=90°． ∴BD= =5 cm． （2）S 阴影=S 扇形﹣S△OBD= π•52﹣ ×5×5= cm2． 点评：本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积， 连接 OD构造直角三角形是解题的关键． 23．（本题满分 6分）某区教研部门对本区初二年级的学生进行了一次随机抽样问卷调查，其中有这 样一个问题： 老师在课堂上放手让学生提问和表达 （ ） A．从不 B．很少 C．有时 D．常常 E．总是 答题的学生在这五个选项中只能选择一项．下面是根据学生对该问题的答卷情况绘制的两幅不 完整的统计图． A B C D O 各选项选择人数的条形统计图 各选项选择人数分布的扇形统计图 96 320 736 1344 0 300 600 900 1200 1500 从不 很少 有时 常常 总是 从不 3% 很少 有时 常常 总是 人数 选项 根据以上信息，解答下列问题： （1）该区共有 ▲ 名初二年级的学生参加了本次问卷调查； （2）请把这幅条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，“总是”所占的百分比为 ▲ ． 考点：条形统计图；扇形统计图．. 分析：（1）结合两个统计图中的“从不”的人数与所占百分比即可求出初二年级的学生参加数量； （2）用总人数分别减去“从不”、“很少”、“常常”、“总是”的人数，计算出“有时”的人数即可将条形统 计图补充完整； （3）利用公式“总是”所占的百分比= %计算即可． 解答：解：（1）96÷3%=3200， 故答案为：3200； （2）“有时”的人数=3200﹣96﹣320﹣736﹣1344=704； 如图所示： （3）“总是”所占的百分比= %= 100%=42%， 故答案为：42%． 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必 要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部 分占总体的百分比大小． 24．（本题满分 8分） （1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第 二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．求第二次传球后球回到 甲手里的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程） （2）如果甲跟另外 n（n≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第三次传球后球回到甲手里 的概率是 ▲ （请直接写出结果）． 考点：列表法与树状图法． . 分析：（1）根据画树状图，可得总结果与传到甲手里的情况，根据传到甲手里的情况比上总结过， 可得答案； （2）根据第一步传的结果是 n，第二步传的结果是 n2，第三步传的结果是总结过是 n3，传给甲的结 果是 n（n﹣1），根据概率的意义，可得答案． 解答：解：（1）画树状图： 共有 9种等可能的结果，其中符合要求的结果有 3种， ∴P（第 2次传球后球回到甲手里）= = ． （2）第三步传的结果是总结过是 n3，传给甲的结果是 n（n﹣1）， 第三次传球后球回到甲手里的概率是 = ， 故答案为： ． 点评：本题考查了树状图法计算概率，计算概率的方法有树状图法与列表法，画树状图是解题关键． 25．（本题满分 8 分）某工厂以 80 元/箱的价格购进 60 箱原材料，准备由甲、乙两车间全部用于生 产 A产品．甲车间用每箱原材料可生产出 A产品 12千克，需耗水 4吨；乙车间通过节能改造， 用每箱原材料可生产出的 A产品比甲车间少 2千克，但耗水量是甲车间的一半．已知 A产品售 价为 30元/千克，水价为 5元/吨．如果要求这两车间生产这批产品的总耗水量不得超过 200吨， 那么该厂如何分配两车间的生产任务，才能使这次生产所能获取的利润 w最大？最大利润是多 少？（注：利润＝产品总售价－购买原材料成本－水费） 考点：一次函数的应用；一元一次不等式的应用． . 分析：设甲车间用 x箱原材料生产 A产品，则乙车间用（60﹣x）箱原材料生产 A产品，根据题意 列出不等式，确定 x的取值范围，列出 w=30[12x+10（60﹣x）]﹣80×60﹣5[4x+2（60﹣x）]=50x+12 600，利用一次函数的性质，即可解答． 解答： 解：设甲车间用 x箱原材料生产 A产品，则乙车间用（60﹣x）箱原材料生产 A产品． 由题意得 4x+2（60﹣x）≤200，解得 x≤40． w=30[12x+10（60﹣x）]﹣80×60﹣5[4x+2（60﹣x）]=50x+12 600， ∵50＞0， ∴w随 x的增大而增大． ∴当 x=40时，w取得最大值，为 14 600元． 答：甲车间用 40箱原材料生产 A产品，乙车间用 20箱原材料生产 A产品，可使工厂所获利润最大， 最大利润为 14 600元． 点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意列出关系式，利用一次函数的性质 解决问题． 26．（本题满分 10分）已知：平面直角坐标系中，四边形 OABC的顶点分别为 O(0，0)、A（5，0）、 B(m，2)、C(m－5，2)． （1）问：是否存在这样的 m，使得在边 BC上总存在点 P，使∠OPA＝90º？若存在，求出 m的 取值范围；若不存在，请说明理由． （2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点 Q在边 BC上时，求 m的值． 考点：圆的综合题．. 专题：综合题． 分析：（1）由四边形四个点的坐标易得 OA=BC=5，BC∥OA，以 OA为直径作⊙D，与直线 BC 分 别交于点 E、F，根据圆周角定理得∠OEA=∠OFA=90°，如图 1，作 DG⊥EF 于 G，连 DE，则 DE=OD=2.5，DG=2，根据垂径定理得 EG=GF，接着利用勾股定理可计算出 EG=1.5，于是得到 E（1， 2），F（4，2），即点 P在 E点和 F点时，满足条件，此时 ，即 1≤m≤9时，边 BC上总存 在这样的点 P，使∠OPA=90°； （2）如图 2，先判断四边形 OABC 是平行四边形，再利用平行线的性质和角平分线定义可得到 ∠AQO=90°，以 OA为直径作⊙D，与直线 BC分别交于点 E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，于是得到 点 Q只能是点 E或点 F，当 Q在 F点时，证明 F是 BC的中点．而 F点为 （4，2），得到 m的值为 6.5；当 Q在 E点时，同理可求得 m的值为 3.5． 解答：解：（1）存在． ∵O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m﹣5，2）． ∴OA=BC=5，BC∥OA， 以 OA为直径作⊙D，与直线 BC分别交于点 E、F，则∠OEA=∠OFA=90°，如图 1， 作 DG⊥EF于 G，连 DE，则 DE=OD=2.5，DG=2，EG=GF， ∴EG= =1.5， ∴E（1，2），F（4，2）， ∴当 ，即 1≤m≤9时，边 BC上总存在这样的点 P，使∠OPA=90°； （2）如图 2， ∵BC=OA=5，BC∥OA， ∴四边形 OABC是平行四边形， ∴OC∥AB， ∴∠AOC+∠OAB=180°， ∵OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB， ∴∠AOQ= ∠AOC，∠OAQ= ∠OAB， ∴∠AOQ+∠OAQ=90°， ∴∠AQO=90°， 以 OA为直径作⊙D，与直线 BC分别交于点 E、F，则∠OEA=∠OFA=90°， ∴点 Q只能是点 E或点 F， 当 Q在 F点时，∵OF、AF分别是∠AOC与∠OAB的平分线，BC∥OA， ∴∠CFO=∠FOA=∠FOC，∠BFA=∠FAO=∠FAB， ∴CF=OC，BF=AB， 而 OC=AB， ∴CF=BF，即 F是 BC的中点． 而 F点为 （4，2）， ∴此时 m的值为 6.5， 当 Q在 E点时，同理可求得此时 m的值为 3.5， 综上所述，m的值为 3.5或 6.5． 点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和平行四边形的判定与性质；理解 坐标与图形性质；会利用勾股定理计算线段的长． 27．（本题满分 10分）一次函数 y＝3 4 x的图像如图所示，它与二次函数 y＝ax2－4ax＋c的图像交于 A、B两点（其中点 A在点 B的左侧），与这个二次函数图像的对称轴交于点 C． （1）求点C的坐标； （2）设二次函数图像的顶点为 D． ①若点 D与点 C关于 x轴对称，且△ACD的面积等于 3，求此二 次函数的关系式； ②若 CD＝AC，且△ACD的面积等于 10，求此二次函数的关系式． 考点：二次函数综合题．. 分析：（1）先求出对称轴为 x=2，然后求出与一次函数 y= x 的交点，即 点 C的坐标； （2）①先求出点 D的坐标，设 A坐标为（m， m），然后根据面积为 3，求出 m的值，得出点 A 的坐标，最后根据待定系数法求出 a、c的值，即可求出解析式； ②过点 A作 AE⊥CD于 E，设 A坐标为（m， m），由 S△ACD=10，求出 m的值，然后求出点 A坐 标以及 CD的长度，然后分两种情况：当 a＞0，当 a＜0 时，分别求出点 D的坐标，代入求出二次 函数的解析式． 解答：解：（1）∵y=ax2﹣4ax+c=a（x﹣2）2﹣4a+c， ∴二次函数图象的对称轴为直线 x=2， 当 x=2时，y= x= ， 故点 C（2， ）； O x y y＝3 4 x （2）①∵点 D与点 C关于 x轴对称， ∴D（2，﹣ ，）， ∴CD=3， 设 A（m， m）（m＜2）， 由 S△ACD=3得： ×3×（2﹣m）=3， 解得 m=0， ∴A（0，0）． 由 A（0，0）、D（2，﹣ ）得： ， 解得：a= ，c=0． ∴y= x2﹣ x； ②设 A（m， m）（m＜2）， 过点 A作 AE⊥CD于 E，则 AE=2﹣m，CE= ﹣ m， AC= = = （2﹣m）， ∵CD=AC， ∴CD= （2﹣m）， 由 S△ACD=10得 × （2﹣m）2=10， 解得：m=﹣2或 m=6（舍去）， ∴m=﹣2， ∴A（﹣2，﹣ ），CD=5， 当 a＞0时，则点 D在点 C下方， ∴D（2，﹣ ）， 由 A（﹣2，﹣ ）、D（2，﹣ ）得： ， 解得： ， ∴y= x2﹣ x﹣3； 当 a＜0时，则点 D在点 C上方， ∴D（2， ）， 由 A（﹣2，﹣ ）、D（2， ）得： ， 解得 ， ∴y=﹣ x2+2x+ ． 点评：本题考查了二次根式的综合题，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，三角形的面积公式， 以及待定系数法求函数解析式等知识点，综合性较强，难度较大． 28．（本题满分 10分）如图，C为∠AOB的边 OA上一点，OC＝6，N为边 OB上异于点 O的一动 点，P是线段 CN上一点，过点 P分别作 PQ∥OA交 OB于点 Q，PM∥OB交 OA于点 M． （1）若∠AOB＝60º，OM＝4，OQ＝1，求证：CN⊥OB． （2）当点 N在边 OB上运动时，四边形 OMPQ始终保持为菱形． ①问： 1 OM － 1 ON 的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由． ②设菱形 OMPQ的面积为 S1，△NOC的面积为 S2，求 S1 S2 的取值范围． 考点：相似形综合题． . 专题：综合题． 分析：（1）过 P作 PE⊥OA于 E，利用两组对边平行的四边形为平行四边形得到 OMPQ为平行四边 形，利用平行四边形的对边相等，对角相等得到 PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，进而求出 PE与 ME的长，得到 CE的长，求出 tan∠PCE的值，利用特殊角的三角函数值求出∠PCE的度数，得到 PM于 NC垂直，而 PM与 ON平行，即可得到 CN与 OB垂直； （2） ﹣ 的值不发生变化，理由如下：设 OM=x，ON=y，根据 OMPQ为菱形，得到 PM=PQ=OQ=x， QN=y﹣x，根据平行得到三角形 NQP与三角形 NOC相似，由相似得比例即可确定出所求式子的值； AC B N PQ MO ②过 P作 PE⊥OA于 E，过 N作 NF⊥OA于 F，表示出菱形 OMPQ的面积为 S1，△NOC的面积为 S2，得到 ，由 PM与 OB平行，得到三角形 CPM与三角形 CNO相似，由相似得比例求出所求式 子 的范围即可． 解答：解：（1）过 P作 PE⊥OA于 E， ∵PQ∥OA，PM∥OB， ∴四边形 OMPQ为平行四边形， ∴PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°， ∴PE=PM•sin60°= ，ME= ， ∴CE=OC﹣OM﹣ME= ， ∴tan∠PCE= = ， ∴∠PCE=30°， ∴∠CPM=90°， 又∵PM∥OB， ∴∠CNO=∠CPM=90°， 则 CN⊥OB； （2）① ﹣ 的值不发生变化，理由如下： 设 OM=x，ON=y， ∵四边形 OMPQ为菱形， ∴OQ=QP=OM=x，NQ=y﹣x， ∵PQ∥OA， ∴∠NQP=∠O， 又∵∠QNP=∠ONC， ∴△NQP∽△NOC， ∴ = ，即 = ， ∴6y﹣6x=xy．两边都除以 6xy，得 ﹣ = ，即 ﹣ = ． ②过 P作 PE⊥OA于 E，过 N作 NF⊥OA于 F， 则 S1=OM•PE，S2= OC•NF， ∴ = ． ∵PM∥OB， ∴∠MCP=∠O， 又∵∠PCM=∠NCO， ∴△CPM∽△CNO， ∴ = = ， ∴ = =﹣ （x﹣3）2+ ， ∵0＜x＜6， 则根据二次函数的图象可知，0＜ ≤ ． 点评：此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，平行 四边形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．