2015年南京市中考数学试题解析

2015 年江苏省南京市中考数学试卷 （满分 1２0 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，满分 12 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．） 1.（2015 江苏省南京市，1，2 分）计算 5 3  的结果是 A．－2 B．2 C．－8 D．8 【答案】B 【解析】 5 3 2 2     2. （2015 江苏省南京市，2，2 分）计算 3 2( )xy 的结果是 A． 2 6x y B． 2 6x y C． 2 9x y D． 2 9x y 【答案】A 【解析】由积的乘方公式可得 3. （2015 江苏省南京市，3，2 分）如图，在△ABC 中，DE∥BC， 1 2 AD DB  ，则下列结论 中正确的是 A． 1 2 AE AC  B． 1 2 DE BC  C． 1 3 ADE =ABC   的周长 的周长 D． 1 3 ADE =ABC   的面积 的面积 【答案】C 【解析】由周长比等于相似比 4. （2015 江苏省南京市，4，2 分）某市 2013 年底机动车的数量是 62 10 辆，2014 年新增 53 10 辆，用科学记数法表示该市 2014 年底机动车的数量是 A． 52 3 10.  B． 53.2 10 C． 62 3 10.  D． 63.2 10 【答案】C 【解析】 6 5 62 10 3 10 2.3 10     5. （2015 江苏省南京市，5，2 分）估计 5 1 2  介于 A．0.4 与 0.5 之间 B．0.5 与 0.6 之间 C．0.6 与 0.7 之间 D．0.7 与 0.8 之间 【答案】C 【解析】 5 2.236 ，则 5 1 0.6182   6. （2015 江苏省南京市，6，2 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC 分别与⊙O 相切于 E、F、G 三点，过点 D 作⊙O 的切线交 BC 于点 M，则 DM 的长为 A．13 3 B． 9 2 C． 4 133 D． 2 5 【答案】A 【解析】由勾股定理得：设 GM=x， 2 2 2(3 ) 4 (3 )x x    解得， 4 3x  ，所以 DM=13 3 ． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请把答案直接 填在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7. （2015 江苏省南京市，7，2 分）4 的平方根是 ▲ ；4 的算术平方根是 ▲ ． 【答案】 2 ；2 【解析】 4 2   ， 4 2 8. jscm（2015 江苏省南京市，8，2 分）若式子 1x  在实数范围内有意义，则 x 的取值范围 是 ▲ ． 【答案】 1x   【解析】 1 0, 1x x   9. jscm（2015 江苏省南京市，9，2 分）计算 5 15 3  的结果是 ▲ ． 【答案】5 【解析】 5 15 5 5 5 3     10. jscm（2015 江苏省南京市，10，2 分）分解因式 ( )( 4 )a b a b ab   的结果是 ▲ ． 【答案】 2( 2 )a b 【解析】 2 2 2 2 2( )( 4 ) 4 4 4 4 ( 2 )a b a b ab a ab ab b ab a ab b a b             11.（2015 江苏省市，11，2 分）不等式 2 1 1 2 1 3 x x       的解集是 ▲ ． 【答案】 1 1x   【解析】 2 1 1,2 2, 1x x x       2 1 3,2 2, 1x x x    1 1x   12. （2015 省市，12，分）已知方程 2 3 0x mx   的一个根是 1，则它的另一个根是 ▲ ，m 的值是 ▲ ． 【答案】3；-4 【解析】1 3 0, 4m m     2 4 3 0 ( 1)( 3) 0 1, 3 x x x x x x         13. （2015 江苏省南京市，13，2 分）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（2，-3），作 点 A 关于 x 轴的对称点得到点 A’，再作点 A’关于 y 轴的对称点，得到点 A’’，则点 A’’ 的坐标是（ ▲ ， ▲ ）． 【答案】-2；3 【解析】（2，-3）关于 x 轴对称（2，3），关于 y 轴对称（-2，3） 14. （2015 江苏省南京市，14，2 分）某工程队有 14 名员工，他们的工种及相应每人每月 工资如下表所示． 工种 人数 每人每月工资/元 电工 5 7000 木工 4 6000 瓦工 5 6000 现该工程队进行了人员调整：减少木工 2 名，增加电工，瓦工各 1 名．与调整前相比，该工 程队员工月工资的方差 ▲ （填“变小”，“不变”或“变大”）． 【答案】变大 【解析】电工的工资高于瓦工工资。 15. （2015 江苏省南京市，15，2 分）如图，在⊙O 的内接五边形 ABCDE 中，∠CAD=35°， 则∠B+∠E= ▲ ． 【答案】215° 【解析】∠1+∠2=180°，∠3=∠4=35°，所以∠CBA+∠DEA=215° 16. （2015 江苏省南京市，16，2 分）如图，过原点 O 的直线与反比例函数 y1，y2 的图象在 第一象限内分别交于点 A、B，且 A 为 OB 的中点，若函数 1 1y x  ，则 y2 与 x 的函数表 达式是 ▲ ． 【答案】 2 4y x  【解析】由 1 1 1 2 4 4 2ACO BOD kS S     ，得 k=4 三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤） 17. jscm（2015 江苏省南京市，17，6 分）解不等式 2( 1) 1 3 2x x    ，并把它的解集在数 轴上表示出来． 【答案】 【解析】解：去括号，得 2 2 1 3 2x x    移项，得 2 3 2 2 1x x    合并同类项，得 1x  系数化为 1，得 1x   这个不等式的解集在数轴上表示如下图所示． 18.jscm（2015 江苏省南京市，18，7 分）解方程 2 3 3x x  ． 【答案】 【解析】解：方程两边乘 ( 3)x x  ，得 2 3( 3)x x  ． 解得 9x  ． 检验：当 9x  时， ( 3) 0x x   ．所以，原方程的解为 9x  ． 19. （2015 江苏省南京市，19，7 分）计算 2 2 2 2 1( ) a a b a ab a b     【答案】 【解析】解： 2 2 2 2 1( ) a a b a ab a b     ＝ 2 1[ ]( )( ) ( ) a b a b a b a a b a     ＝ 2[ ]( )( ) ( )( ) a a b a b a a b a b a a b a b a       ＝ 2 ( ) ( )( ) a a b a b a a b a b a     ＝ ( )( ) a b a b a a b a b a    ＝ 2 1 a ． 20. （2015 江苏省南京市，20，8 分）如图，△ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 AD CD CD BD  ． （1）求证△ACD∽△CBD； （2）求∠ACB 的大小． 【答案】 【解析】 （1）证明：∵CD 是边 AB 上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°. 又 AD CD CD BD  ∴ △ ACD∽△CBD （2）∵ △ ACD∽△CBD ∴∠A=∠BCD 在 △ ACD 中，∠ADC=90°, ∴∠A+∠ACD=90°. ∴∠BCD+∠ACD=90° 即 ∠ACB=90° 21.（2015 江苏省南京市，21，8 分）为了了解 2014 年某地区 10 万名大、中、小学生 50 米 跑成绩情况，教育部门从这三类学生群体中各抽取了 10%的学生进行检测，整理样本 数据，并结合 2010 年抽样结果，得到下列统计图． （1）本次检测抽取了大、中、小学生共 ▲ 名，其中小学省 ▲ 名； （2）根据抽样的结果，估计 2014 年该地区 10 万名大、中、小学生中，50 米跑成绩合格的 中学生人数为 ▲ 名． （3）比较 2010 年与 2014 年抽样学生 50 米跑成绩合格率情况，写出一条正确的结论． 【答案】 【解析】解：（1）10000；4500 （2）36000 （3）本题答案不唯一，下列解法供参考。例如，与 2010 年相比，2014 年该市大学生 50 米 跑成绩合格率下降了 5%。 22.（2015 江苏省南京市，22，8 分）某人的钱包内有 10 元钱、20 元钱和 50 元钱的纸币各 1 张，从中随机取出 2 张纸币． （1）求取出纸币的总额是 30 元的概率； （2）求取出纸币的总额可购买一件 51 元的商品的概率． 【答案】 【解析】解：某人从钱包内随机取出 2 张纸币，可能出现的结果有 3 种，即（10，20）、（10、 50）、（20，50），并且它们出现的可能性相等。 （1）取出纸币的总数是 30 元（记为事件 A）的结果有 1 种，即（10，20），所以 1( ) 3P A  . （2）取出纸币的总额可购买一件 51 元的商品（记为事件 B）的结果有 2 种，即（10，50）、 （20，50）。所以 2( ) 3P B  . 23. （2015 江苏省南京市，23，8 分）如图，轮船甲位于码头 O 的正西方向 A 处，轮船乙 位于码头 O 的正北方向 C 处，测得∠CAO=45°．轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船 乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为 45km/h 和 36km/h．经过 0.1h，轮船甲行驶 至 B 处，轮船乙行驶至 D 处，测得∠DBO=58°，此时 B 处距离码头 O 有多远？ （参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 【答案】 【解析】解：设 B 处距离码头 Oxkm。 在 Rt △ CAO 中，∠CAO=45°， ∵ tan COCAO AO   ， ∴ tan (45 0.1 ) tan 45 4.5CO AO CAO x x          在 Rt △ DBO 中，∠DBO=58°， ∵ tan DODBO BO   ， ∴ tan tan58DO BO DBO x     ， ∵DC=DO-CO， ∴36 0.1 tan58 (4.5 )x x     ∴ 36 0.1 4.5 3.6 0.1 4.5 13.5tan58 1 1.60 1x        因此，B 处距离码头 O 大约 13.5km。 24. （2015 江苏省南京市，24，8 分）如图，点 E、F 分别在 AB、CD 上，连接 EF，∠AFE、 ∠CFE 的平分线交于点 G，∠BEF、∠DFE 的平分线交于点 H． （1）求证：四边形 EGFH 是矩形． （2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过 G 作 MN∥EF，分别交 AB、CD 于点 M、N，过 H 作 PQ∥EF，分别交 AB、CD 交于点 P、Q，得到四边形 MNQP．此时， 他猜想四边形 MNQP 是菱形，请在下列图中补全他的证明思路． 小明的证明思路 由 AB∥CD，MN∥EF，易证四边形 MNQP 是平 行 四 边 形 ， 要 证 □MNQP 是 菱 形 ， 只 要 证 MN=NQ。由已知条件 ▲ ，MN∥EF，可证 NG=NF，故只要证 GM=FQ，即证△MEG≌ △QFH.易证 ▲ ， ▲ 。故只要证∠MGE= ∠ QFH 。 易 证 ∠ MGE= ∠ GEF ， ∠ QFH= ∠ EFH， .即可得证。 【答案】 【解析】解： （1）证明：∵EH 平分∠BEF。 ∴ 1 2FEH BEF   ， ∵FH 平分∠DFE， ∴ 1 2EFH DFE   ∵AB∥CD ∴ 180BEF DFE     ∴ 1 1( ) 180 902 2FEH EFH BEF DFE            又 180FEH EFH EHF       ∴ 180 ( ) 180 90 90EHF FEH EFH           同理可证， 90EGF   ∵EG 平分∠AEF， ∴ 1 2FEG AEF   ∵EH 平分∠BEF， ∴ 1 2FEH BEF   ∵点 A、E、B 在同一条直线上。 ∴∠AEB=180°. 即∠AEF+∠BEF=180°。 ∴ 1 1( ) 180 902 2FEG FEH AEF BEF            即 ∠GEH=90°。 ∴四边形 EGFH 是矩形。 （2）本题答案不唯一，下列解法供参考，例如，FG 平分∠CFE；GE=FH；∠GME=∠HQH； ∠GEF=∠EFH 25. （2015 江苏省南京市，25，10 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，请画出以 A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形 ABCD 的边上，且含边长为 3 的所有大小不同的 等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为 3 的边上标注数字 3） 【答案】 【解析】解：满足条件的所有等腰三角形如下图所示。 26. （2015 江苏省南京市，26，8 分）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，BC 的延 长线与 AD 的延长线交于点 E，且 DC=DE． （1）求证：∠A=∠AEB． （2）连接 OE，交 CD 于点 F，OE⊥CD．求证： △ ABE 是等边三角形． 【答案】 【解析】解： （1）∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形 ∴∠A+∠BCD=180° ∵∠DCE+∠BCD=180°, ∴∠A=∠DCE ∵DC=DE ∴∠DCE=∠AEB ∴∠A=∠AEB （2）∵∠A=∠AEB ∴△ABE 是等腰三角形。 ∵OE⊥CD ∴CF=DF ∴OE 是 CD 的垂直平分线 ∴ED=EC 又 DC=DE ∴DC=DE=EC ∴△DCE 是等边三角形 ∴∠AEB=60° ∴△AEB 是等边三角形 27. （2015 江苏省南京市，27，10 分）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相 等．下图中的折线 ABD、线段 CD 分别表示该产品每千克生产成本 y1（单元：元）、销 售价 y2（单位：元）与产量 x（单位：kg）之间的函数关系． （1）请解释图中点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义． （2）求线段 AB 所表示的 y1 与 x 之间的函数表达式． （3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】 【解析】解： （1）点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为为 130kg 时，该产品每千克生产成本与 销售价相等，都为 42 元。 （2）设线段 AB 所表示的 y1 与 x 之间的函数关系式为 1 1 1y k x b  因为 1 1 1y k x b  的图像过（0，60）与（90，42）， 所以 1 1 1 60 90 42 b k b     解方程组得 1 1 0.2 60 k b     这个一次函数的表达式为 1 0.2 60(0 90)y x x     （3）设 y2 与 x 之间的函数表达式为 2 2 2y k x b  因为 2 2 2y k x b  的图像过（0，120）与（130，42）， 所以 2 2 2 120 130 42 b k b     解方程组得 2 2 0.6 120 k b     这个一次函数的表达式为 2 0.6 120(0 130)y x x     设产量为 xkg 时，获得的利润为 W 元。 当 0 90x  时， 2[( 0.6 120) ( 0.2 60)] 0.4( 75) 2250W x x x x          。所以当 x=75 时，W 的值最大，最大值为 2250. 当 90 130x  时 ， 2[( 0.6 120) 42] 0.6( 65) 2535W x x x        ， 当 x=90 时 ， 20.6(90 65) 2535 2160W      ，由-0.665 时，W 随 x 的增大而减小，所 以90 130x  时， 2160W  . 因此，当该产品产量为 75kg 时获得的利润最大，最大利润是 2250 元。