2015年常州市中考数学试题解析

常州市 2015 年中考数学试题 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1．－3 的绝对值是 A．3 B．－3 C． 3 1 D．－ 3 1 2．要使分式 2 3 x 有意义，则 x 的取值范围是 A．x＞2 B．x＜2 C．x≠－2 D．x≠2 3．下 列“慢行 通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影 图片）中为轴对称图形的是 A． B． C． D． 4．如图，BC⊥AE 于点 C，CD∥AB，∠B＝40°，则∠ECD 的度数是 A．70° B．60° C．50° D．40° 5．如图，□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，则下列说法一定正确的是 A．AO＝OD B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB 6．已知 a＝ 2 2 ，b＝ 3 3 ，c＝ 5 5 ，则下列大小关系正确的是 A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 7．已知二次函数 y＝ 2x ＋（m－1）x＋1，当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，而 m 的取值范围是 A．m＝－1 B．m＝3 C．m≤－1 D．m≥－1 8．将一张宽为 4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个 三角形面积的最小值是 A． 33 8 cm2 B．8cm2 C． 33 16 cm2 D．16cm2 二、填空题（每小题 2 分，共 20 分） 9．计算 10 2)1(  ＝_________． 10．太阳的半径约为 696000km，把 696000 这个数用科学记数法表示为_______________________． 11．分解因式： 22 22 yx  ＝____________________________． 12．已知扇形的圆心角为 120°，弧长为 6π，则扇形的面积是________． 13．如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，DE＝2，则 BC 的长是______． 14．已知 x＝2 是关于 x 的方程 axa 2 1)1(  ＋x 的解，则 a 的值是_____________ _． 15．二次函数 y＝－ 2x ＋2x－3 图像的顶点坐标是____________． 16．如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点 O，古塔位 于点 A（400，300），从古塔出发沿射线 OA 方向前行 300m 是盆景园 B，从盆景园 B 向左转 90°后直 行 400m 到达梅花阁 C，则点 C 的坐标是_______________． 17．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想． 4＝2＋2； 12＝5＋7； 6＝3＋3； 14＝3＋11＝7＋7； 8＝3＋5； 16＝3＋13＝5＋11； 10＝3＋7＝5＋5 18＝5＋13＝7＋11； … 通过这组等式，你发现的规律是_______________________________________（请用文字语言表达）． 18．如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点 C 为弧 BD 的中点，则 AC 的长是_______________． 三、解答题（共 10 小题，共 84 分） 19．（6 分）先化简，再求值： )2()1( 2 xxx  ，其中 x＝2． 20．（8 分）解方程和不等式组： ⑴ xx x 31 1213  ； ⑵      .521 ,042 x x 21．（8 分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行 了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图： ⑴该调查小组抽取的样本容量是多少？ ⑵求样本学生中阳光体育运动时间为 1.5 小时的人数，并补全占频数分布直方图； ⑶请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间． 22．（8 分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽 签来决定比赛的出场顺序． ⑴求甲第一个出场的概率； ⑵求甲比乙先出场的概率． 23．（8 分）如 图，在□ABCD 中，∠BCD＝120°，分别延长 DC、BC 到点 E，F，使得△BCE 和△CDF 都是正三角形． ⑴求证：AE＝AF； ⑵求∠EAF 的度数． 24．（8 分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小 张星期天上午带了 75 元现金先从光明 中学乘出租车去了市图书馆，付费 9 元；中午再从市图书馆 乘出租车去了光明电影院，付费 12.6 元．若该市出租车的收 费标准是：不超过 3 公里计费为 m 元， 3 公里后按 n 元/公里计费． ⑴求 m，n 的值，并直接写出车费 y（元）与路程 x（公里）（x＞3）之间的函数关系式； ⑵如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费 15 元，在光明电影院看电影花费 25 元．问小张 剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？ 25．（8 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC ＝105°． ⑴若 AD＝2，求 AB； ⑵若 AB＋CD＝2 3 ＋2，求 AB． 26．（10 分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个 正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”． ⑴阅读填空 如图①，已知矩形 ABCD，延长 AD 到 E，使 DE＝DC，以 AE 为直径作半圆．延长 CD 交半圆于点 H，以 DH 为边作正方形 DFGH，则正方形 DFGH 与矩形 ABCD 等积． 理由：连接 AH，EH． ∵ AE 为直径 ∴ ∠AHE＝90° ∴ ∠HAE＋∠HEA＝90°． ∵ DH⊥AE ∴ ∠ADH＝∠EDH＝90° ∴ ∠HAD＋∠AHD＝90° ∴ ∠AHD＝∠HED ∴ △ADH∽_____________． ∴ DE DH DH AD  ，即 2DH ＝AD×DE． 又∵ DE＝DC ∴ 2DH ＝____________，即正方形 DFGH 与矩形 ABCD 等积．x§k§b 1 ⑵操作实践 平行四边形 的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形． 如图②，请用尺规作图作出与□ABCD 等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）． ⑶解决问题 三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的_________________（填写图形名称），再转化 为等积的正方形． 如图③，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC 等积的正方形的一条边（不要求写具 体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC 面积作图）． ⑷拓展探究 n 边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把 n 边形转化为等积的 n－1 边形，…，直至转化为等积的 三角形，从而可以化方． 如图④，四边形 ABCD 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形 ABCD 等积的三角形（不要求 写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形 ABCD 面积作图）． ＝90°，记△OAP 外接圆和△OAM 外接圆的面积分别是 1S 、 2S ，求 21 11 SS  的值． 28．（10 分）如图，反比例函数 y＝ x k 的图像与一次函数 y＝ 4 1 x 的图像交于点 A、B，点 B 的横坐标 是 4．点 P 是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线 AB 的上方． ⑴若点 P 的坐标是（1，4），直接写出 k 的值和△PAB 的面积； ⑵设直线 PA、PB 与 x 轴分别交于点 M、N，求证：△PMN 是等腰三角形； ⑶设点 Q 是反比例函数图像上位于 P、B 之间的动点（与点 P、 B 不重合），连接 AQ、BQ，比较∠PAQ 与∠PBQ 的大小，并说明 理由．