2015年岳阳市中考数学试题解析

湖南省岳阳市 2015 年中考数学试卷 一、选择题（本大题 8 道小题，每小题 3 分，满分 24 分。在每道小题给出的四个选项中， 选出符合要求的一项） 1．实数﹣2015 的绝对值是（ ） A．2015 B．﹣2015 C．±2015 D． 考点：绝对值． . 分析：计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对 值定义去掉这个绝对值的符号． 解答：解：|﹣2015|=2015， 故选：A． 点评：本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记一个正数的绝对值是它本身；一个负数的 绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0． 2．（3 分）（2015•岳阳）有一种圆柱体茶叶筒如图所示，则它的主视图是（ ） A ． B． C． D． 考点：简单组合体的三视图． . 分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 解答：解：主视图是从正面看，茶叶盒可以看作是一个圆柱体，圆柱从正面看是长方形． 故选：D． 点评：此题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3．（3 分）（2015•岳阳）下列运算正确的是（ ） A．a﹣2=﹣a2 B．a+a2=a3 C． + = D．（a2）3=a6 考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；负整数指数幂；二次根式的加减法． . 专题：计算题． 分析：原式各项计算得到结果，即可做出判断． 解答：解：A、原式= ，错误； B、原式不能合并，错误； C、原式不能合并，错误； D、原式=a6，正确， 故选 D 点评：此题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，负整数指数幂，以及二次根式的加减 法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（3 分）（2015•岳阳）一个关于 x 的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不 等式组的解集是（ ） A．﹣2＜x＜1 B．﹣2＜x≤1 C．﹣2≤x＜1 D．﹣2≤x≤1 考点：在数轴上表示不等式的解集．. 分析：根据不等式解集的表示方法即可判断． 解答：解：该不等式组的解集是：﹣2≤x＜1． 故选 C． 点评：本题考查了不等式组的解集的表示，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空 心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆 点向左画折线． 5．（3 分）（2015•岳阳）现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高为 170cm，方程分别是 S 甲 2、 S 乙 2，且 S 甲 2＞S 乙 2，则两个队的队员的身高较整齐的是（ ） A．甲队 B．乙队 C．两队一样整齐 D．不能确定 考点：方差．. 分析：根据方差的意义，方差越小数据越稳定，故比较方差后可以作出判断． 解答：解：根据方差的意义，方差越小数据越稳定； 因为 S 甲 2＞S 乙 2，故有甲的方差大于乙的方差，故乙队队员的身高较为整齐． 故选 B． 点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组 数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据 分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 6．（3 分）（2015•岳阳）下列命题是真命题的是（ ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．四条边相等的四边形是菱形 D．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形 考点：命题与定理． . 分析：根据平行四边形的判定方法对 A 进行判断；根据矩形的判定方法对 B 进行判断；根 据菱形的判定方法对 C 进行判断；根据轴对称和中心对称的定义对 D 进行判断． 解答：解：A、一组对边平行，且相等的四边形是平行四边形，所以 A 选项错误； B、对角线互相垂直，且相等的平行四边形是矩形，所以 B 选项错误； C、四条边相等的四边形是菱形，所以 C 选项正确； D、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，所以 D 选项错误． 故选 C． 点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命 题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 7．（3 分）（2015•岳阳）岳阳市某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为 奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多 3 元，且用 200 元购买笔记本的数量与用 350 元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格为 x 元，则下列所列方程正确的是（ ） A． = B． = C． = D． = 考点：由实际问题抽象出分式方程．. 分析：设每个笔记本的价格为 x 元，根据“用 200 元购买笔记本的数量与用 350 元购买笔袋 的数量相同”这一等量关系列出方程即可． 解答：解：设每个笔记本的价格为 x 元，则每个笔袋的价格为（x+3）元， 根据题意得： = ， 故选 B． 点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程的知识，解题的关键是能够找到概括题目全部 含义的等量关系，难度不大． 8．（3 分）（2015•岳阳）如图，在△ABC 中，AB=CB，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D．过 点 C 作 CF∥AB，在 CF 上取一点 E，使 DE=CD，连接 AE．对于下列结论：①AD=DC； ②△CBA∽△CDE；③ = ；④AE 为⊙O 的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项 是（ ） A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④ 考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质． . 分析：根据圆周角定理得∠ADB=90°，则 BD⊥AC，于是根据等腰三角形的性质可判断 AD=DC，则可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明 ∠1=∠2=∠3=∠4，则根据相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE，于是可对② 进行判断；由于不能确定∠1 等于 45°，则不能确定 与 相等，则可对③进行判断； 利用 DA=DC=DE 可判断∠AEC=90°，即 CE⊥AE，根据平行线的性质得到 AB⊥AE， 然后根据切线的判定定理得 AE 为⊙O 的切线，于是可对④进行判断． 解答：解：∵AB 为直径， ∴∠ADB=90°， ∴BD⊥AC， 而 AB=CB， ∴AD=DC，所以①正确； ∵AB=CB， ∴∠1=∠2， 而 CD=ED， ∴∠3=∠4， ∵CF∥AB， ∴∠1=∠3， ∴∠1=∠2=∠3=∠4， ∴△CBA∽△CDE，所以②正确； ∵△ABC 不能确定为直角三角形， ∴∠1 不能确定等于 45°， ∴ 与 不能确定相等，所以③错误； ∵DA=DC=DE， ∴点 E 在以 AC 为直径的圆上， ∴∠AEC=90°， ∴CE⊥AE， 而 CF∥AB， ∴AB⊥AE， ∴AE 为⊙O 的切线，所以④正确． 故选 D． 点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考 查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定． 二、填空题（本大题 8 道小题，每小题 4 分，满分 32 分。） 9．（4 分）（2015•岳阳）单项式﹣ x2y3 的次数是 5 ． 考点：单项式． . 分析：根据单项式的次数的定义：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数解答． 解答：解：单项式﹣ x2y3 的次数是 2+3=5． 故答案为：5． 点评：本题考查了单项式，需注意：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单项 式的和叫做多项式，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 10．（4 分）（2015•岳阳）分解因式：x2﹣9= （x+3）（x﹣3） ． 考点：因式分解-运用公式法． . 分析：本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式． 解答：解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）． 故答案为：（x+3）（x﹣3）． 点评：主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两 项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法． 11．（4 分）（2015•岳阳）据统计，2015 年岳阳市参加中考的学生约为 49000 人，用科学记 数法可将 49000 表示为 4.9×104 ． 考点： [来源:学#科#网 Z#X#X#K] 科学记数法—表示较大的数．. 分析：科 学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：用科学记数法可将 49000 表示为 4.9×104， 故答案为：4.9×104． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 12．（4 分）（2015•岳阳）若关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+m=0 有两个相等的实数根，则 m= ． 考点：根的判别式． . 分析：根据题意可得△=0，据此求解即可． 解答：解：∵方程 x2﹣3x+m=0 有两个相等的实数根， ∴△=9﹣4m=0， 解得：m= ． 故答案为： ． 点评：本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当△=0 时，方程有两个相等的两个 实数根． 13．（4 分）（2015•岳阳）在一次文艺演出中，各评委对某节目给出的分数是：9.20，9.25， 9.10，9.20，9.15，9.20，9.15，这组数据的众数是 9.20 ． 考点：众数．. 分析：众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求出． 解答：解：因为 9.20 出现的次数最多，所以众数是 9.20． 故答案为：9.20． 点评：主要考查了众数的概念．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一 组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的． 14．（4 分）（2015•岳阳）一个 n 边形的内角和是 180°，则 n= 3 ． 考点：多边形内角与外角．. 分析：根据多边形内角和定理即可列方程求解． 解答：解：根据题意得 180（n﹣2）=180， 解得：n=3． 故答案是：3． 点评：本题考查了多边形的内角和定理，题目较简单，只要结合多边形的内角关系来寻求等 量关系，构建方程即可求解． 15．（4 分）（2015•岳阳）如图，直线 a∥b，∠1=50°，∠2=30°，则∠3= 20° ． 考点：平行线的性质；三角形的外角性质． . 分析：首先由平行线的性质可求得∠4 的度数，然后再根据三角形的外角的性质即可求得 ∠3 的度数． 解答：解：如图： ∵a∥b， ∴∠4=∠1=50°． 由三角形的外角的性质可知：∠4=∠2+∠3， ∴∠3=∠4﹣∠2=50°﹣30°=20°． 故答案为：20°． 点评：本题主要考查的是三角形的外角的性质和平行线的性质，熟练掌握三角形的外角的性 质和平行线的性质是解题的关键． 16．（4 分）（2015•岳阳）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，顶点 C 的 纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移 2 个单位，得到抛物线 y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确 的是 ③④ ．（写出所有正确结论的序号） ①b＞0 ②a﹣b+c＜0 ③阴影部分的面积为 4 ④若 c=﹣1，则 b2=4a． 考点：二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系．. 分析：①首先根据抛物线开口向上，可得 a＞0；然后根据对称轴为 x=﹣ ＞0，可得 b＜0， 据此判断即可． ②根据抛物线 y=ax2+bx+c 的图象，可得 x=﹣1 时，y＞0 ，即 a﹣b+c＞0，据此判断 即可． ③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出 阴影部分的面积是多少即可． ④根据函数的最小值是 ，判断出 c=﹣1 时，a、b 的关系即可． 解答：解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， 又∵对称轴为 x=﹣ ＞0， ∴b＜0， ∴结论①不正确； ∵x=﹣1 时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， ∴结论②不正确； ∵抛物线向右平移了 2 个单位， ∴平行四边形的底是 2， ∵函数 y=ax2+bx+c 的最小值是 y=﹣2， ∴平行四边形的高是 2， ∴阴影部分的面积是：2×2=4， ∴结论③正确； ∵ ，c=﹣1， ∴b2=4a， ∴结论④正确． 综上，结论正确的是：③④． 故答案为：③④． 点评：（1）此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关 键是要明确：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析 式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数 法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． （2）此题还考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是 要明确：①二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a＞0 时，抛物线向上开 口；当 a＜0 时，抛物线向下开口；②一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴 的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab＜ 0），对称轴在 y 轴右．（简称：左同右异）③常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点． 抛物 线与 y 轴交于（0，c）． 三、解答题（本大题 8 道小题，满分 64 分。） 17．（6 分）（2015•岳阳）计算：（﹣1）4﹣2tan60°+ + ． 考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．. 分析：根据有理数的乘方，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质分别求出每一 部分的值，再求出即可． 解答：解：原式=1﹣2 =2． 点评：本题考查了有理数的乘方，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质的应用， 解此题的关键是能求出每一部分的值，难度适中． 18．（6 分）（2015•岳阳）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中 x= ． 考点：分式的化简求值． . 分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入原式进行计算即可． 解答： 解：（1﹣ ）÷ = = = ， 当 x= 时，原式= =1+ ． 点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 19．（8 分）（2015•岳阳）如图，直线 y=x+b 与双曲线 y= 都经过点 A（2，3），直线 y=x+b 与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点． （1）求直线和双曲线的函数关系式； （2）求△AOB 的面积． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． . 分析：（1）将点 A 的坐标分别代入直线 y=x+b 与双曲线 y= 的解析式求出 b 和 m 的值即可； （2）当 y=0 时，求出 x 的值，求出 B 的坐标，就可以求出 OB 的值，作 AE⊥x 轴于 点 E，由 A 的坐标就可以求出 AE 的值，由三角形的面积公式就可以求出结论． 解答：解：（1）∵线 y=x+b 与双曲线 y= 都经过点 A（2，3）， ∴3=2+b，3= ， ∴b=1，m=6， ∴y=x+1，y= ， ∴直线的解析式为 y=x+1，双曲线的函数关系式为 y= ； （2）当 y=0 时， 0=x+1， x=﹣1， ∴B（﹣1，0）， ∴OB=1． 作 AE⊥x 轴于点 E， ∵A（2，3）， ∴AE=3． ∴S△AOB= = ． 答：△AOB 的面积为 ． 点评：本题考查了运用待定系数法求一次函数，反比例函数的解析式的运用，三角形的面积 公式的运用，解答时求出的解析式是关键． 20．（8 分）（2015•岳阳）如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为 AC，椅面 宽为 BE，椅脚高为 ED，且 AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点 A 测得点 D、E 的俯角分 别为 64°和 53°．已知 ED=35cm，求椅子高 AC 约为多少？ （参考数据：tan53°≈ ，sin53°≈ ，tan64°≈2，sin64°≈ ） 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． . 分析：根据正切函数的定义，可得方程①②，根据代入消元法，可得答案． 解答：解：在 Rt△ABD 中，tan∠ADC=tan64°= =2， CD= ①． 在 Rt△ABE 中 tan∠ABE=tan53°= = ， BE= AB ②． BE=CD，得 = = = AB， 解得 AB=70cm， AC=AB+BC=AB+DE=70+35=105cm． 点评：本题考查了解直角三角形的应用，利用正切函数得出方程①②是解题关键． 21．（8 分）（2015•岳阳）某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对全校学生进行随机抽样调查， 调查的运动项目有：篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其它项目（每位同学仅选一项）．根据 调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图： 运动项目 频数（人数） 频率 篮球 30 0.25 羽毛球 m 0.20 乒乓球 36 n 跳绳 18 0.15 其它 12 0.10 请根据以上图表信息解答下列问题： （1）频数分布表中的 m= 24 ，n= 0.3 ； （2）在扇形统计图中，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为 108° ； （3）从选择“篮球”选项的 30 名学生中，随机抽取 3 名学生作为代表进行投篮测试，则其中 某位学生被选中的概率是 ． 考点：频数（率）分布表；扇形统计图；概率公式． . 分析：（1）根据篮球的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数乘以羽毛球所占的百 分比，求出 m 的值；再用乒乓球的人数除以总人数，求出 n 的值； （2）由于已知喜欢乒乓球的百分比，故可用 360°×n 的值，即可求出对应的扇形圆心 角的度数； 用总人数乘以最喜爱篮球的学生人数所占的百分比即可得出答案； （3）用随机抽取学生人数除以选择“篮球”选项的学生人数，列式计算即可得出答案． 解答：解：（1）30÷0.25=120（人） 120×0.2=24（人） 36÷120=0.3 故频数分布表中的 m=24，n=0.3； （2）360°×0.3=108°． 故在扇形统计图中，“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为 108°； （3）3÷30= ． 故其中某位学生被选中的概率是 ． 故答案为：24，0.3；108°； ． 点评：此题考查了频率分布直方图，用到的知识点是频率=频数÷总数，概率公式，读懂统计 表，运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题 是本题的关键． 22．（8 分）（2015•岳阳）如图，正方形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，F 是 AM 的中点，EF⊥AM， 垂足为 F，交 AD 的延长线于点 E，交 DC 于点 N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若 AB=12，BM=5，求 DE 的长． 考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．. 分析：（1）由正方形的性质得出 AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再 由∠B=∠AFE，即可得出结论； （2）由勾股定理求出 AM，得出 AF，由△ABM∽△EFA 得出比例式，求出 AE，即 可得出 DE 的长． 解答：（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC， ∴∠AMB=∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE=90°， ∴∠B=∠AFE， ∴△ABM∽△EFA； （2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5， ∴AM= =13，AD=12， ∵F 是 AM 的中点， ∴AF= AM=6.5， ∵△ABM∽△EFA， ∴ ， 即 ， ∴AE=16.9， ∴DE=AE﹣AD=4.9． 点评：本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的 性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 23．（10 分）（2015•岳阳）已知直线 m∥n，点 C 是直线 m 上一点，点 D 是直线 n 上一点， CD 与直线 m、n 不垂直，点 P 为线段 CD 的中点． （1）操作发现：直线 l⊥m，l⊥n，垂足分别为 A、B，当点 A 与点 C 重合时（如图①所示）， 连接 PB，请直接写出线段 PA 与 PB 的数量关系： PA=PB ． （2）猜想证明：在图①的情况下，把直线 l 向上平移到如图②的位置，试问（1）中的 PA 与 PB 的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）延伸探究：在图②的情况下，把直线 l 绕点 A 旋转，使得∠APB=90°（如图③所示）， 若两平行线 m、n 之间的距离为 2k．求证：PA•PB=k•AB． 考点：几何变换综合题． . 分析：（1）根据三角形 CBD 是直角三角形，而且点 P 为线段 CD 的中点，应用直角三角形 的性质，可得 PA=PB，据此解答即可． （2）首先过 C 作 CE⊥n 于点 E，连接 PE，然后分别判断出 PC=PE、∠PCA=∠PEB、 AC=BE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△PAC∽△PBE，即可判断出 PA=PB 仍然成立． （3）首先延长 AP 交直线 n 于点 F，作 AE⊥BD 于点 E，然后根据相似三角形判定的 方法，判断出△AEF∽△BPF，即可判断出 AF•BP=AE•BF，再个 AF=2PA，AE=2k， BF=AB，可得 2PA•PB=2k．AB，所以 PA•PB=k•AB，据此解答即可． 解答：解：（1）∵l⊥n， ∴BC⊥BD， ∴三角形 CBD 是直角三角形， 又∵点 P 为线段 CD 的中点， ∴PA=PB． （2）把直线 l 向上平移到如图②的位置，PA=PB 仍然成立，理由如下： 如图②，过 C 作 CE⊥n 于点 E，连接 PE， ， ∵三角形 CED 是直角三角形，点 P 为线段 CD 的中点， ∴PD=PE， 又∵点 P 为线段 CD 的中点， ∴PC=PD， ∴PC=PE； ∵PD=PE， ∴∠CDE=∠PEB， ∵直线 m∥n， ∴∠CDE=∠PCA， ∴∠PCA=∠PEB， 又∵直线 l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n， ∴l∥CE， ∴AC=BE， 在△PAC 和△PBE 中， ∴△PAC∽△PBE， ∴PA=PB． （3）如图③，延长 AP 交直线 n 于点 F，作 AE⊥BD 于点 E， ， ∵直线 m∥n， ∴ ， ∴AP=PF， ∵∠APB=90°， ∴BP⊥AF， 又∵AP=PF， ∴BF=AB； 在△AEF 和△BPF 中， ∴△AEF∽△BPF， ∴ ， ∴AF•BP=AE•BF， ∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB， ∴2PA•PB=2k．AB， ∴PA•PB=k•AB． 故答案为：PA=PB． 点评：（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想 的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从图象中获取信息，并能利用获取的信 息解答相应的问题的能力． （2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握． （3）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质 的应用，要熟练掌握． 24．（10 分）（2015•岳阳）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（1，0）、B（4，0）、C（0，3） 三点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得四边形 PAOC 的周长最小？若存在， 求出四边形 PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由． （3）如图②，点 Q 是线段 OB 上一动点，连接 BC，在线段 BC 上是否存在这样的点 M， 使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请 说明理由． 考点：二次函数综合题． . 分析：（1）把点 A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定 系数法求解； （2）A、B 关于对称轴对称，连接 BC，则 BC 与对称轴的交点即为所求的点 P，此 时 PA+PC=BC，四边形 PAOC 的周长最小值为：OC+OA+BC；根据勾股定理求得 BC， 即可求得； （3）分两种情况分别讨论，即可求得． 解答： 解：（1）由已知得 解得 ． 所以，抛物线的解析式为 y= x2﹣ x+3． （2）∵A、B 关于对称轴对称，如图 1，连接 BC， ∴BC 与对称轴的交点即为所求的点 P，此时 PA+PC=BC， ∴四边形 PAOC 的周长最小值为：OC+OA+BC， ∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）， ∴OA=1，OC=3，BC= =5， ∴OC+OA+BC=1+3+5=9； ∴在抛物线的对称轴上存在点 P，使得四边形 PAOC 的周长最小，四边形 PAOC 周长 的最小值为 9． （3）∵B（4，0）、C（0，3）， ∴直线 BC 的解析式为 y=﹣ x+3， ①当∠BQM=90°时，如图 2，设 M（a，b）， ∵∠CMQ＞90°， ∴只能 CM=MQ=b， ∵MQ∥y 轴， ∴△MQB∽△COB， ∴ = ，即 = ，解得 b= ，代入 y=﹣ x+3 得， =﹣ a+3 ，解得 a= ， ∴M（ ， ）； ②当∠QMB=90°时，如图 3， ∵∠CMQ=90°， ∴只能 CM=MQ， 设 CM=MQ=m， ∴BM=5﹣m， ∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC， ∴△BMQ∽△BOC， ∴ = ，解得 m= ， 作 MN∥OB， ∴ = = ，即 = = ， ∴MN= ，CN= ， ∴ON=OC﹣CN=3﹣ = ， ∴M（ ， ）， 综上，在线段 BC 上存在这样的点 M，使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角 形，点 M 的坐标为（ ， ）或（ ， ）． 点评：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称﹣最短路 线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．