2015年岳阳市中考数学试卷及答案解析

2015 岳阳中考数学解析 1.A【解析】本题 i 考查绝对值.负数的绝对值是它的相反数，∴-2015 的绝对值是-（-2015） =2015. 2.D【解析】本题考查常见几何体的三视图.主视图即从一个几何体的正面，从前向后看所得 到的视图.竖直放置的圆柱的主视图是矩形. 3.【解析】本题考查正式运算. 选项 逐项分析 正误 A 2 2 2 1a aa     × B a 与 2a 不是同类项，不能合并 × C 2 与 3 不是同类二次根式，不能合并 × D 2 3 2 3 6( )a a a  √ 4.C【解析】本题考查根据数轴表示的解集确定不等式组的解集.根据图示可知，x≥-1 且 x ＜1，∴不等式组的解集为-2≤x＜1. 5.B【解析】本题考查方差的意义.方差是一组数据的离散程度，方差越小，数据的稳定性越 好.∵ 2 2s s甲 乙 ，∴数据乙的稳定性比甲好. 6.C【解析】本题考查命题真假的判断。 选项 逐项分析 正误 A 只有一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形； 一组对边平行，另一组对边相等，这样的图形可能是 等腰梯形 × B 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形 × C 四条边都相等的四边形是菱形 √ D 正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 × 7.B【解析】由每个笔记本的价格是 x 元，而每个笔袋比每个笔记本价格多 3 元，所以每个 笔袋的价格为(x+3)元，则用 200 元购买的笔记本数量为 200 x ；用 350 元购买的笔袋个数为 350 3x  ，由两者相等，列方程得 200 350 3x x   . 8.D【解析】本题考查圆的基本性质. 序号 逐项分析 正误 ① ∵AB 是圆 O 的直径，∴∠ADB=90°，∵在△ABC 中，AB=BC，∴AD=CD √ ② ∵CF∥AB，∴∠DCE=∠BAC，∵AB=BC，DC=DE， ∴∠ACB=∠BAC, ∠DEC=∠DCE，∴∠ACB=∠ DEC，∴△CAB∽△CDE √ ③ 连接 OD，当且仅当∠BOD=90°时点 D 是弧 AB 的 中点，∴  BD AD 不一定正确 × ④ 在△ACE 中，∵AD=CD，DE=CD，∴△ACE 是直 角三角形，且∠AEC=90°，∵AB∥CE，∴AB⊥AE， ∴AE 是圆O 的切线 √ 9.5【解析】本题考查单项式的次数.单项式的次数是单项式中所有字母的指数的和，∴单项 式 2 31 2 x y 的次数是 2+3=5. 10. ( 3)( 3)x x  【解析】本题考查因式分解. 2 2 29 3 ( 3)( 3)x x x x      . 11. 44.9 10 【解析】本题考查科学记数法.一个大于 10 的数用科学记数法表示，其形式为 10na ，其中 1≤a＜10，n 为原数整数位数减 1.∴49000= 44.9 10 . 12. 9 4 【解析】本题考查一元二次方程根的判别式.∵方程 2 3 0x x m   有两个相等的实 根，∴ 2 24 ( 3) 4 0b ac m     ，解得 9 4m  . 【一题多解】设方程 2 3 0x x m   的两个相等的根为 a，则根据题意有 2 3a  ，解得 3 2a  ，∴ 2 9 4m a  . 13.9.20【解析】本题考查众数.一组数据的众数即这组数据中出现次数最多的数.在 9.20,9.25,9.10,9.20，9.15,9.20,9.15 中出现次数最多的数是 9.20，∴众数是 9.20 14.12【解析】本题考查多边形的内角和.根据多边形内角和公式得180 ( 2) 1800n   ，解 得 n=12. 15.20°【解析】本题考查平行线性质，三角形内角与外角关系.∵a∥b，∴∠1=∠4，又∠= ∠2+∠3，∴∠3=∠4-∠2=∠1-∠2=50°-30°=20°. 16.③④【解析】本题考查抛物线性质、平移. 序号 逐项分析 正误 ① 由图知，抛物线开口向上，∴a＞0，又对称轴在 y 轴 的右侧，∴ 02 bx a    ，∴b＜0 × ② 由图象知，当 x=-1 时，抛物线在 x 轴上方，∴ 0y a b c    × ③ 如图，阴影部分面积与平行四边形 CEDB 的面积相 同，∵平移的单位是 2，点 C 的纵坐标是-2，∴S=2 √ ×2=4 ④ 由抛物线顶点坐标公式得 24 24C ac by a    ，∵ c=-1，∴ 24 24 a b a   ，解得 2 4b a √ 17.【思路分析】先分 别计算 4 0( 1) 1,tan 60 3,( 3 2) 1, 12 2 3       ，再代入 运算即可. 解：原式=1 2 3 1 2 3   =2. 18.【思路分析】先计算括号里面的分式减法，再将除式的分子、分母分解因式，然后分子、 分母颠倒位置，除号变乘号，再约分化简.最后将 x 的值代入化简后的式子进行计算. 解：原式= 2 2 1 ( 1) 2 ( 2) x x x x x     = 21 ( 2) 2 ( 1) x x x x x    ， = 2x x  。 将 2x  代入得 2 2 2 1 2 2 x x     . 19.【思路分析】（1）将点 A（2,3）代入反比例函数 my x  可得 m，再将 A 代入直线 y x b  可得 b 的值，从而可得直线和双曲线的解析式；（2）令直线 y x b  的 y=0，求得点 B 的 坐标，结合三角形面积公式即可得解. 解：（1）∵点 A（2,3）在直线 y x b  上， ∴2+b=3,解得 b=1， ∴直线的解析式为 1y x  ， 将点 A（2,3）代入双曲线 my x  得 3 2 m ，解得 m=6， ∴双曲线的解析式为 6y x  。 （2）对于直线 1y x  ，令 y=0，得 x=-1， ∴点 B 的坐标为（-1,0）， ∴ 1 1 31 32 2 2ABO AS BO y       . 20.【思路分析】分别在 Rt△ABE 和 Rt△ACD 中，表示出 AE 和 AC，结合 BC=CD 建立关 于 AC 的方程，即可求解. 解：∵AC⊥BE，AC⊥CD， ∴BE∥CD， ∵AC∥DE， ∴四边形 BCDE 是矩形， ∴BC=DE，BE=CD，∠ACD=∠ABE=90°. 在 Rt△ABE 中，∠AEB=53°， ∴ 35 4tan tan53 3 AB AC BC ACBE AEB      ， 在 Rt△ACD 中，∠ADC=64°， ∴ tan tan 64 2 AC AC ACCD ADC     , ∴ 3 105 2 4 AC AC  , 解得 AC=105cm。 答：椅背 AC 高约 105cm。 21.【思路分析】（1）由篮球的频数及频率计算调查的样本容量，再用样本容量乘以羽毛球 的频率可得 m，用乒乓球的频数除以样本容量可得 n。（2）用乒乓球的频率×360°即可； （3）从 30 名学生中随机选取 3 个，每位同学被选中的可能性相同，则 n=30，而某为同学 被选中的情况有 3 种 解：（1）24 0.30 【解法提示】∵30÷0.25=120， ∴m=120×0.20=24； n=36÷120=0.30.[来源:学。科。网 Z。X。X。K] （2）108° 【解法提示】360°×0.30=108°。 （3）P（某位同学被选中）= 3 30 = 1 10 . 22.【 思路分析】（1）由题意知∠B=∠AFE=90°，从而只需得∠AMB=∠EAF 即可；（2） 由（1）得到对应边成比例，从而得到 AE 的长，再由 AE=AD+DE 得解. （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠DAB=∠B=90°， ∴∠BAM+∠AMB=90°，∠BAM+∠DAM=90°， ∴∠AMB=∠DAM， ∵EF⊥AM， ∴∠AFE=90°=∠B， ∴△ABM∽△EFA。 （2）在 Rt△ABM 中，AB=12，BM=5，∠B=90°， ∴ 由勾股定理得 AM= 2 2 2 212 5 13AB BM    ， ∵F 是 AM 的中点， ∴AF= 1 13 2 2AM  , 由（1）得△ABM∽△EFA， ∴ AE AF AM BM  ，即 13 12 2 13 5 DE  , 解得 DE= 49 10 . 【一题多解】如图，连接 EM，过点 E 作 BC 的垂线，交 BC 延长线于 G， 在△AME 中，F 是 AM 的中点， ∴AF=FM，∵EF⊥AM， ∴△AME 是等腰三角形， 且 AE=EM， ∵BC=12，BM=5，∴MC=7， 设 DE=x,在 Rt△EMG 中， 根据勾股定理有 2 2 2( 12) 12 ( 7)x x    ， 解得 x= 49 10 . [来源:学,科,网] 23.【思路分析】（1）判定△ABD 是直角三角形，即可由直角三角形斜边上的中线等于斜 边一半得到 PA=PB。(2)只需证明点 P 在线段 AB 的垂直平分线上即可；（3）由△ABP 是 直角三角形，要证 AP BP kAB  ，只需证明点 P 到 AB 的距离等于 k，从而只需证明 AP 平分∠EAB，BP 平分∠FBA 即可，通过取 AB 的中点 H，连接 PH 即可得证. 解：（1）PA=PB。 【解法提示】∵m∥n，l⊥m， ∴l⊥n， ∵P 是 AD 的中点， ∴PB=PA=PD. （2）如图，过 C 作 CE⊥n 于 E，过 P 作 PF⊥CE 于 F， ∴PF∥n， ∵点 P 是 CD 的中点， ∴点 F 是 CE 的中点， ∴PF 垂直且平分 CE， ∵m∥n，AB⊥m， ∴AB=CE，且 AB∥CE， ∴PF 垂直且平分 AB， ∴PA=PB. 【一题多解】如图，过 P 作 EF∥AB，交 m 于 E，交 n 于 F， ∵AB⊥m，AB⊥n， ∴EF⊥m,EF⊥n， ∴四边形 EFBA 是矩形， ∴AE=BF。 ∵P 是 CD 的中点， ∴PC=PD， ∵,m∥n， ∴∠PCE=∠PDF， 又∠EPC=∠FPD， ∴△PCE≌△PDF， ∴PE=PF， ∴Rt△PEA≌Rt△PFB， ∴PA=PB。 （3）如图，过 P 作 EF⊥m，交 m 于 E，交 n 于 F，作 PG⊥AB 于 G，取 AB 的中点为 H， 连接 PH，由（2）知 EF=2k，PE=PF=k， ∵点 P 是 CD 的中点，点 H 是 AB 的中点，m∥n， ∴ AH CP BH DP  ， ∴由平行线等分线段的成比例性质可知 PH∥m∥n。 ∴∠HPB=∠FBP， ∵△ABP 是直角三角形， ∴PH=BH， ∴∠HPB=∠HBP, ∴∠HBP=∠FBP， ∵PG⊥BA，PF⊥BD， ∴PG=PF=k， ∵ 1 1 2 2ABPS PA PB AB PG     ， ∴ PA PB kAB  . 【难点分析】本题的难点在于证明点 P 到 AB 的距离等于平行线间距离的一半，通过作 AB 的中点，证明 PH∥n，得到 BP 是∠ABD 的平分线是解决问题的关键. 24.【思路分析】（1）由 A（1,0），B（4,0）在抛物线上，故设抛物线的交点式，然后将点 C 代入即可确定抛物线解析式；（2）先确定抛物线的对称轴，设点 P 的坐标，由于 OC 和 OA 恒定，所以要四边形周长最小，即 PA+PC 最小，从而连接 BC 与对称轴的交点即为点 P 解：（1）∵点 A（1，0），B（4,0）在抛物线上， ∴设抛物线解析式为 ( 1)( 4)y a x x   ， 将点 C（0,3）代入得 (0 1)(0 4) 3a    ， 解得 3 4a  ， ∴抛物线解析式为 3 ( 1)( 4)4y x x   ， 即 23 15 34 4y x x   . （2）连接 BC 交对称轴于点 P， ∵点 A 与点 B 关于对称轴 x= 5 2 对称， ∴BC≤PB+PC=PA+PC， 即当点 P 在直线 BC 上时，四边形 OAPC 的周长最小， 在 Rt△BOC 中，OB=4，OC=3，∠BOC=90°， ∴BC= 2 2 5OB OC  ， ∴四边形 PAOC 的周长的最小值即 OA+OC+BC=1+3+5=9. （3）设直线 BC 的解析式为 y kx t  ，将点 B(4,0)，点 C（0,3）代入得 4 0 3 k t t     ，解得 3 4 3 k t      ， ∴直线 BC 的解析式为 3 34y x   要使△CQM 是等腰三角形，且△BQM 是直角三角形， 则只有以下两种情况， (i)MQ⊥OB，CM=MQ，如图所示， ∵点 M 在 BC 上，设点 M 的坐标为（ 3, 34m m  ）， 则 CM=MQ= 3 34 m  , MB=BC-CM= 3 35 ( 3) 24 4m m     ， 由 3sin 5 OC MQCBO BC BM     ， 即 3 3 34 3 52 4 m m     ，解得 3 2m  , 则点 M 的坐标为（ 3 15,2 8 ）； (ii)CM=MQ,MQ⊥BC，如图②， 过 M 作 MN⊥OB 于 N， 则 ON=m,MN= 3 34 m  , 在 Rt△BMN 中，易得 5 3 5( 3) 5sin 3 4 4 MNBM m mMBN        ， ∴CM=BC-BM= 5 4 m ， 在 Rt△BMQ 中， 3 5tan ( 5)4 4QM BM MBQ m     ， 由 CM=MQ 得 3 5 5( 5)4 4 4m m   ， 解得 12 7m  ，此时点 M 的坐标为（12 12,7 7 ）. 【难点分析】在第（3）问中，要保证△CMQ 是等腰三角形，同时△BMQ 是直角三角形， 两种情况综合考虑是解决本题的难点.可先通过△BMQ 是直角三角形， MBQ ＜90°，从 而分类讨论 MQB =90°或 QMB =90°，然后判断△CMQ 是等腰三角形的情形，得出 CM-MQ 列方程得解.