2015年常德市中考数学试题及答案

2015 年常德市初中毕业学业考试 试题解答与分析 一、选择题（本大题 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1、－2 的倒数等于 A、2 B、－2 C、 1 2 D、－ 1 2 【解答与分析】由倒数的意义可得：答案为 D 2、下列等式恒成立的是： A、 2 2 2( )a b a b   B、 2 2 2( )ab a b C、 4 2 6a a a  D、 2 2 4a a a  【解答与分析】这是整式的运算，乘法，积的乘方，同类项的合并：答案为 B 3、不等式组 1 0 1 1 x x     ≤ 的解集是： A、 2x≤ B、 1x   C、 1 x  ≤2 D、无解 【解答与分析】这是一元一次不等式组的解法：答案为 C 4、某村引进甲乙两种水稻良种，各选 6 块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果 甲、乙两种水稻的平均产量均为 550kg/亩，方差分别为 2 141.7S甲 ＝ ， 2 433.3S乙 ＝ ，则产量 稳定，适合推广的品种为： A、甲、乙均可 B、甲 C、乙 D、无法确定 【解答与分析】这是数据统计与分析中的方差意义的理解，平均数相同时，方差越小越稳 定： 答案为 B 5、一次函数 1 12y x   的图像不经过的象限是： A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【解答与分析】这是一次函数的 k 与 b 决定函数的图像，可以利用快速草图作法： 答案为 C 6、如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD＝100°， 则∠BCD 的度数为： A、50° B、80° C、100° D、130° 【解答与分析】圆周角与圆心角的关系，及圆内接四边形的对角互补 ：答案为 D 7、分式方程 2 3 12 2 x x x    的解为： A、1 B、2 C、 1 3 D、0 【解答与分析】这是分式方程的解法：答案为 A 8、若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似。如图，如果扇形 AOB 与扇形 1 1 10A B 是相似扇形，且半径 1 1:OA O A k ( k 为不等于 0 的常数)。那么下面四 个结论： ①∠AOB＝∠ 1 1 10A B ；②△AOB∽△ 1 1 10A B ；③ 1 1 AB kA B  ； ④扇形 AOB 与扇形 1 1 10A B 的面积之比为 2k 。成立的个数为： A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 【解答与分析】这是一个阅读，扇形相似的意义理解，由弧长公式＝ 2360 n r 可以得到： ①②③正确，由扇形面积公式 2 360 n r 可得到④正确 二、填空题（本大题 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分） 9、分解因式： 2 2ax ay ＝ 【解答与分析】这是因式分解的考题，对提公因式、平方差公式，及彻底分解的步骤要掌 握 答案为： ( )( )a x y x y  10、若分式 2 1 1 x x   的值为 0，则 x ＝ 【解答与分析】这其实就分式方程的解法： 2 1 1 x x   ＝0，解之得 答案为： x ＝1 11、计算： (2 5 ) (3 2 )b a b a a b   ＝ 【解答与分析】这是一个整式的运算题，乘法运算与加法运算： 答案为： 2 25 3b a 12、埃是表示极小长度的单位名称，是为纪念瑞典物理学家埃基特朗而定的。1 埃等于一亿 分之一厘米，请用科学计数法表示 1 埃等于 厘米 【解答与分析】此题考的是科学记数法： 1 埃＝ 8 1 8 8 1 (10 ) 1010    厘米 13、一个圆锥的底面半径为 1 厘米，母线长为 2 厘米，则该圆锥的侧面积是 2厘米 （结果保留π）。 【解答与分析】此题考的是圆锥侧面积的求法公式： 1 1 2 (2 1) 22 2lr       14、已知 A 点的坐标为（－1,3），将 A 点绕坐标原点顺时针 90°， 则点 A 的对应点的坐标为 【解答与分析】此题考点为坐标点的变换规律，作出草图如右 可知△BCO≌△EDO，故可知 BC＝OE，OC＝DE 答案为：（3,1） 15、如图，在△ABC 中，∠B＝40°，三角形的 外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点 E，则∠AEC＝ 度。 【解答与分析】本题考点为：三角形的内角和，外角与相邻内角的关系等： 答案为：70° 16、取一个自然数，若它是奇数，则乘以 3 加上 1，若它是偶数，则除以 2，按此规则经过 若干步的计算最终可得到 1。这个结论在数学上还没有得到证明。但举例验证都是正确的。 例如：取自然数 5。最少经过下面 5 步运算可得 1，即： 3 1 2 2 2 25 16 8 4 2 1          ，如果自然数 m 最少经过 7 步运算可得到 1，则所有符合条件的 m 的值为 。 【解答与分析】此题阅读量大，主要是通过逆推法，抓住重点，自然数；3 1x  中的 x 一定 是自然数 2 2 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 1 1 2 2 2 3 1 3 1 3 1 1 2 4 8 16 128 32 64 21 16 x x x x xx x x x x x x                         此处不能 此处不能 此处不能 此处不能 如果用：则非自然数 非自然数 非自然数 就已经到 了。 下一个数是偶数 下一个数是偶数 此处不能 非自然数 下一个数是奇数 下一个数是奇数 2 2 3 1 3 1 20 5 10 3x x x              下一个数是偶数 此处不能 非自然数 下一个数是奇数 故可得答案为：128,21,20,3 三、（本大题 2 小题，每小题 5 分，满分 10 分） 17、计算 0 0 2 4 31( 5sin 20 ) ( ) 2 273        【解答与分析】主要考点：零指数，负整数指数，绝对值，立方根 解：原式＝1－9＋16－3 ＝5 18、已知 A（1， 3 ）是反比例函数图象上的一点，直线 AC 经过点 A 及坐标原点且与反比 例函数图象的另一支交于点 C，求 C 的坐标及反比例函数的解析式。 【解答与分析】主要探讨正比例函数与反比例函数解析式的确定及它们交点坐标的确定 解：设反比例函数的解析式为 1ky x  ,正比例函数的解析式为 2y k x 依题意得： 13 k , 23 k 故两个函数分别为： 3y x  , 3y x 3 3 y x y x    解之得： 1 1 1 1 1 1 3 3 x x y y           　 故另一个交点坐标为（－1， 3 ） 四、（本大题 2 个小题，每小题 6 分，满分 12 分） 19、先 2 21 2[ ] [1 ]( ) ( ) b a ab b a b a b a b a b       化简，再求值，其中 2, 2a b  【解答与分析】主要考点为分式的运算： 20、商场为了促销某件商品，设置了如图的一个转盘，它被分成了 3 个相同的扇形。各扇形 分别标有数字 2,3，4，指针的位置固定，该商品的价格由顾客自由转动此转盘两次来获取， 每次转动后让其自由停止，记下指针所指的数字（指针指向两个扇形的交线时，当作右边的 扇形），先记的数字作为价格的十位数字，后记的数字作为价格的个位数字，则顾客购买商 品的价格不超过 30 元的概率是多少？ 【解答与分析】主要考点为，树状图及概率统计的计算方法 易得答案为 1 3 2 2 ( )[1 ]( ) ( ) ( ) (1 )( ) 1 b a a b a b a a b a b a b b a a b a b a b a a b b a ab              2 2, 2 2 2 2 2 2 a b 当 时 ＋（ ）　原式＝ 　　　＝　 五、（本大题共 2 个小题，每小题 7 分，满分 14 分） 21、某校组织了一批学生随机对部分市民就是否吸烟以及吸烟和非吸烟人群对他人在公共场 所吸烟的态度（分三类：A 表示主动制止；B 表示反感但不制止，C 表示无所谓）进行了问 卷调查，根据调查结果分别绘制了如下两个统计图。请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）图 1 中，“吸烟”类人数所占扇形的圆心角的度数是多少？ （2）这次被调查的市民有多少人？ （3）补全条形统计图 （4）若该市共有市民 760 万人， 求该市大约有多少人吸烟？ 【解答与分析】主要考点数据的分析 （1）360°×（1－85%）＝54° （2）（80＋60＋30）÷85%＝200 （3）200－（80＋60＋30＋8＋12）＝10 （4）760×（1－85%）＝114（万人） 22、某物流公 司承接 A、B 两种货物运输业务，已知 5 月份 A 货物运费单价为 50 元/吨，B 货物运费单价为 30 元/吨，共收取运费 9500 元；6 月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A 货物 70 元/吨，B 货物 40 元/吨；该物流公司 6 月承接的 A 种货物和 B 种数量与 5 月份相同， 6 月份共收取运费 13000 元。 （1）该物流公司月运输两种货物各多少吨？ （2）该物流公司预计 7 月份运输这两种货物 330 吨，且 A 货物的数量不大于 B 货物的 2 倍， 在运费单价与 6 月份相同的情况下，该物流公司 7 月份最多将收到多少运输费？ 【解答与分析】二次一次方程组的应用及不等式、一次函数的应用 （1）解：设 A 种货物运输了 x 吨，设 A 种货物运输了 y 吨, 依题意得： 50 30 9500 70 40 13000 x y x y      解之得： 100 150 x y    (2)设 A 种货物为 a 吨，则 B 种货物为 a（330- ）吨，设获得的利润为 W 元 依题意得： (330 ) 2a a   ① 70 40(330 ) 13320 W a a a    ＝ ＝30 ② 由①得 220a  由②可知 W 随着 a 的增大而增大 故 W 取最大值时 a =220 即 W=19800 元 六、（本大题共 2 个小题，满分 16 分） 如图 3 图 4，分别是吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘 CD 的高度为 2 米， 支架 BC 的长为 4 米，且与地面成 30°角，吊绳 AB 与支架 BC 的夹角为 80°，吊臂 AC 与地面 成 70°角，求吊车的吊臂顶端 A 点距地面的高度是多少米？（精确到 0.1 米）？ （参考数据：sin10°＝cos80°＝0.17,cos10°＝sin80°＝0.98,sin20°＝cos70°＝0.34 ,tan70°＝2.75,sin70°＝0.94） 【解答与分析】这是一个解直角三角形的题，但此题要求看出 AB=AC，然后利用解直接三角形的方法求出 AC，再在 Rt△ AEC 中 解出 AE 的长，从而求出 A 到地面的高度为 AE+2解：由题可知：如图， BH⊥HE ， AE⊥HE ， CD=2 ， BC=4 ∠BCH =30° ， ∠ABC=,80° ， ∠ACE=70° ∵∠BCH+∠ACB+∠ACE=180° ∴ ∠ACB=80° ∵∠ABC=80° ∴ ∠ABC=∠ACB ∴AC=BC=4 过点 A 作 AM ⊥BC 于 M ， ∴CM=BM=2 ∵ 在 Rt△ACM 中， CM=2 ， ∠ACB=80°∴ cosCM AC  ∠ACB= 0cos80 =0.17 ∴AC＝ 200 17 ∵ 在 Rt△ACE 中，AC＝ 200 17 ， ∠ACE=70°∴ AE sinAC  ∠ACE= 0sin70 =0.94 ∴AE＝188 17 ≈11.1 故可得点 A 到地面的距离为 13.1 米 24、已知如图，以 Rt△ ABC 的 AC 边为直径作⊙ O 交斜边 AB 于点 E ，连接 EO 并延长交 BC 的延长线于点 D ，点 F 为 BC 的中点，连接 EF （ 1 ）求证： EF 是⊙ O 的切线； （ 2 ）若⊙ O 的半径为 3 ，∠ EAC ＝ 60° ，求 AD 的长。 【解答与分析】本题考点，主要是切线的判定，中位线的性质，以及特殊直角三角形的边 角关系和勾股定理。 证明：（ 1 ）连接 FO 易证 OF∥AB ∵AC ⊙ O 的直径 ∴CE⊥AE ∵OF∥AB ∴OF⊥CE ∴OF 所在直线垂直平分 CE ∴FC ＝ FE ， OE ＝ OC ∴ ∠ FEC ＝∠ FCE ，∠ 0EC ＝∠ 0CE ∵ Rt△ ABC ∴ ∠ ACB ＝ 90° 即：∠ 0CE ＋∠ FCE ＝ 90° ∴ ∠ 0EC ＋∠ FEC ＝ 90° 即：∠ FEO ＝ 90° ∴FE 为⊙ O 的切线 （ 2 ） ∵ ⊙ O 的半径为 3 ∴AO ＝ CO ＝ EO ＝ 3 ∵ ∠ EAC ＝ 60° ， OA ＝ OE ∴ ∠ EOA ＝ 60° ∴ ∠ COD ＝∠ EOA ＝ 60° ∵ 在 Rt△ OCD 中，∠ COD ＝ 60° ， OC ＝ 3 ∴CD ＝3 3 ∵ 在 Rt△ ACD 中，∠ ACD ＝ 90° ， CD ＝3 3 ，AC＝6 ∴AD ＝3 7 七、（本大题 2 个小题每小题 10 分，满分 20 分） 25 、如图，曲线 1y 抛物线的一部分，且表达式为： 2 1 3 ( 2 3)( 3)3y x x x    曲线 2y 与 曲线 1y 关于直线 3x  对称。 （1）求 A、B、C 三点的坐标和曲线 2y 的表达式； （2）过点 D 作CD x 轴交曲线 1y 于点 D，连接 AD，在曲线 2y 上有一点 M，使得四边形 ACDM 为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝 形），请求出点 M 的横坐标。 （3）设直线 CM 与 x 轴交于点 N，试问在线段 MN 下方的曲线 2y 上是否存在一点 P，使△ PMN 的面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 【解答与分析】这是一个与二次函数有关的解答题 （1）对点 A、B、C 坐标的意义要明白，点 A 与点 B 是二次函数与横轴的交点，点 C 是也纵轴的交点 关于 3x  意义的理解，就是将 2 1 3 ( 2 3)( 3)3y x x x    进行了平移。 （2）要理解，只有当 CM 垂直平分 AD 时，才能在 2y 找到点 M 故点 M 即为直线（C 与 AD 的中点 P 连线）的交点 （3）显然 MN 的值固定，即在 2y 上的点，到 CM 的距离最大的点，即与 CM 平行的直线与 2y 只有一个交点时，即为所求 （1）解：易求 A（－1,0），B（3，0），C（0， 3 ）， 2 2 3 ( 10 21)3y x x   ( 3)x  (2)解：若 AD 垂直平分 CM，则可知 CDMA 为菱形，此时点 M（1,0） 显然不在 2y 上；故直线 CM 垂直平分 AD，取 AD 中点 P，易求其坐标为 （1， 3 2  ）,故直线 CN 的解析式为： CN 3 3y x  求其与 2y 的交点坐标： 2 3 3 3 ( 10 21)3 y x y x x       x 3x  y 1y 2y x 3x  y 1y 2y 解之得： 1 13 73 2x  ， 2 13 73 2x  （不合舍去） 故 13 73 2x  （3）因为 MN 的长度固定，故点 P 到 MN 的距离最大时，△PMN 的面积最大 故设：另一直线 3y x b  与 2y 相交于点 P，很显然它们只有一个交点时，满足条件。 即： 2 3 3 ( 10 21)3 y x b y x x       只有唯一一个解的时候，这个点就是点 P 解之得： 13 2x  将 13 2x  代入 2 2 3 ( 10 21)3y x x   7 3 12y   故点 P 的坐标为 13 7 3( , )2 4  26、如图，在菱形 ABCD 中，E 是 CD 上的一点，连接 BE 交 AC 于 O，连接 DO 并延长交 BC 于 E。 （1）求证：△FOC≌△EOC （2）将此图中的 AD、BE 分别延长交于点 N，作 EM∥BC 交 CN 于 M，再连接 FM 即得到 图 5。 求证：① CF BE CB BN  ；②FD＝FM 【解答与分析】主要考点菱形的性质 （1）可以通过多组三角形全等证得 （2）利用 EM∥BC 来转化比： BE CM BN CN  CM CE CN CD  再利用 CE＝CF，CD＝CB，即可得证 CE CF CD CB  证明 FD＝FM 即可以利用： CM CF CN CB  得到 FM∥BN，再利用 EM∥BC 得到四边形 FMEB 为平行四边形， 从而 FM＝BE＝FD （1）证明：易证△ABO≌△ADO ∴BO＝DO，∠ABO＝∠ADO 易证：∠CBO＝∠CDO 易证：△FBO≌△EDO ∴BF＝DE 易证：CF＝CE ∵在△FOC≌△EOC 中 OC＝OC ∠FCO＝∠ECO CF＝CE ∴△FOC≌△EOC ∴OF＝OE ∴BE＝DF （2）∵EM∥BC ∴ BE CM BN CN  ∵EM∥AD ∴ CM CE CN CD  ∵CE＝CF，CD＝CB ∴ CM CF CN CB  ∴ CF BE CB BN  ∵ CM CF CN CB  ∴FM∥BN ∵EM∥BC ∴四边形 FMEB 为平行四边形 ∴FM＝BE ∵BE＝DF ∴FD＝FM