2015年舟山市中考数学试题解析

2015 年浙江省舟山市中考数学试卷解析 （本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟） 参考公式：抛物线  2 0y ax bx c a    的顶点坐标为 2 4,2 4 b b ac a a      . 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. （2015 年浙江舟山 3 分） 计算 2 3 的结果是【 】 A. -1 B. 2 C. 1 D. 2 【答案】A. 【考点】有理数的减法. 【分析】根据“减去一个数，等于加上这个数的相反数”的有理数的减法计算即可： 2 3 1   .故选 A. 2. （2015 年浙江舟山 3 分）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标： 其中属于中心对称图形的有【 】 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B. 【考点】中心对称图形. 【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180 度后与原图重合.因此，因为 第一、三个图形沿中心旋转 180 度后与原图重合，而第二、四个图形沿中心旋转 180 度后与原图不重合， 所以，四个图形中属于中心对称图形的有 2 个. 故选 B. 3. （2015 年浙江舟山 3 分） 截至今年 4 月 10 日，舟山全市蓄水量为 84 327 000m3，数据 84 327 000 用 科学计数法表示为【 】 A. 0.8437×108 B. 8.437×107 C. 8.437×108 D. 8437×103 【答案】B. 【考点】科学记数法. 【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关 键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 在确定 n 的值时，看该数是大于或等于 1 还是小于 1. 当该数大于或等于 1 时，n 为它的整数位数减 1；当该数小于 1 时，－n 为它第一个有效数字前 0 的个数（含小数点前的 1 个 0）. 因此， ∵84 327 000 一共 8 位，∴8.437×107. 故选 B. 4. （2015 年浙江舟山 3 分） 质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共 10 000 件产品中随机抽 取 100 件进行检测，检测出次品 5 件，由此估计这一批次产品中的次品件数是【 】 A. 5 B. 100 C. 500 D. 10 000 【答案】C. 【考点】用样本估计总体. 【分析】∵100 件样品中，检测出次品 5 件，∴次品率为 5%. ∴估计这一批次产品中的次品件数是10000 5% 500  （件）. 故选 C. 5. （2015 年浙江舟山 3 分） 如图，直线 1l ∥ 2l ∥ 3l ，直线 AC 分别交 1l ， 2l ， 3l 于点 A，B，C；直线 DF 分别交 1l ， 2l ， 3l 于点 D，E，F. AC 与 DF 相交于点 G，且 AG=2，GB=1，BC=5，则 DE EF 的值为【 】 A. 1 2 B. 2 C. 2 5 D. 3 5 【答案】D. 【考点】平行线分线段成比例的性质. 【分析】∵AG=2，GB=1，BC=5，∴ 2 1 3 5 5 AB BC   . ∵直线 1l ∥ 2l ∥ 3l ，∴ 3 5 DE AB EF BC   . 故选 D. 6. （2015 年浙江舟山 3 分） 与无理数 31 最接近的整数是【 】 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C. 【考点】估计无理数的大小；作差法的应用. 【分析】∵ 25 < 31< 36 5 < 31 < 6 ，∴ 31 在 5 6: . 又∵ 11 11 2 31 121 12431 < 02 2 2     ，∴11 < 312 . ∴ 11 < 31 < 62 ，即与无理数 31 最接近的整数是 6. 故选 C. 7. （2015 年浙江舟山 3 分） 如图，在 △ ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，以点 C 为圆心的圆与 AB 相切， 则⊙O 的半径为【 】 A. 2.3 B. 2.4 C. 2.5 D. 2.6 【答案】B. 【考点】切线的性质；勾股定理逆定理；相似三角形的判定和性质. 【分析】如答图，设⊙O 与 AB 相切于点 D，连接 CD， ∵AB=5，BC=3，AC=4，∴ 2 2 2AB BC AC  . ∴ △ ABC 是直角坐标三角形，且 090ACB  . ∵⊙O 与 AB 相切于点 D，∴ CD AB ，即 090ACD  . ∴ 易 证 ABC ACD ∽ . ∴ AC CD AB BC  . ∴ 4 2.45 3 CD CD   . ∴⊙O 的半径为 2.4. 故选 B. 8. （2015 年浙江舟山 3 分） 一元一次不等式  2 1 4x   的解在数轴上表示为【 】 A. B. C. D. 【答案】A. 【考点】解一元一次不等式；数轴上表示不等式的解集。 【分析】解出一元一次不等式，得 1x  ， 不等式的解集在数轴上表示的方法：＞，≥向右画；＜，≤向左画，在表示解集时“≥”，“≤”要用实 心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。因此不等式 1x  在数轴上表示正确的是 A. 故选 A 9. （2015 年浙江舟山 3 分） 数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线 l 和 l 外一点 P， 用直尺和圆规作直线 PQ，使 PQ⊥ l 于点 Q”. 分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是【 】 A. B. C. D. 【答案】A. 【考点】尺规作图. 【分析】根据垂线的作法，选项 A 错误. 故选 A. 10. （2015 年浙江舟山 3 分） 如图，抛物线 2 2 1y x x m     交 x 轴于点 A（ a ，0）和 B（ b ， 0）， 交 y 轴于点 C，抛物线的顶点为 D.下列四个命题：①当 > 0x 时， > 0y ；②若 1a   ，则 4b  ；③抛物 线上有两点 P（ 1x ， 1y ）和 Q（ 2x ， 2y ），若 1 2y y ；④点 C 关于抛物线 对称轴的对称点为 E，点 G，F 分别在 x 轴和 y 轴上，当 2m  时，四边形 EDFG 周长的最小值为 6 2 . 其 中真命题的序号是【 】 A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C. 【考点】真假命题的判断；二次函数的图象和性质；曲线上点的坐标与方程的关系；轴对称的应用（最短 线路问题）；勾股定理. 【分析】根据二次函数的图象和性质对各结论进行分析作出判断： ①从图象可知当 > > 0x b 时， < 0y ，故命题“当 > 0x 时， > 0y ”不是真命题； ②∵抛物线 2 2 1y x x m     的对称轴为 2 12x    ，点 A 和 B 关于轴对称，∴若 1a   ， 则 3b  ，故命题“若 1a   ，则 4b  ”不是真命题； ③∵故抛物线上两点 P（ 1x ， 1y ）和 Q（ 2x ， 2y ）有 1 21x x  ， 又∵抛物线 2 2 1y x x m     的对称轴为 1x  ，∴ 1 2>y y ，故命题“抛物线上有两点 P（ 1x ， 1y ）和 Q （ 2x ， 2y ），若 1 2y y ” 是真命题； ④如答图，作点 E 关于 x 轴的对称点 M，作点 D 关于 y 轴的对称点 N， 连接 MN，ME 和 ND 的延长线交于点 P，则 MN 与 x 轴和 y 轴的交点 G，F 即为 使四边形 EDFG 周长最小的点. ∵ 2m  ， ∴ 2 2 3y x x    的顶点 D 的坐标为（1，4），点 C 的坐标为（0，3）. ∵点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 E，∴点 E 的坐标为（2，3）. ∴点 M 的坐标为  2, 3 ，点 N 的坐标为  1, 4 ，点 P 的坐标为（2，4）. ∴ 2 2 2 21 1 2, 3 7 58DE MN      . ∴当 2m  时，四边形 EDFG 周长的最小值为 2 58DE MN   . 故命题“点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 E，点 G，F 分别在 x 轴和 y 轴上，当 2m  时，四边 形 EDFG 周长的最小值为 6 2 ” 不是真命题. 综上所述，真命题的序号是③. 故选 C. 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11. （2015 年浙江舟山 4 分）因式分解： ab a = ▲ 【答案】  1a b  . 【考点】提公因式法因式分解. 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来， 之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式. 因此，直接提取公因 式 a 即可：  1ab a a b   . 12. （2015 年浙江舟山 4 分）把二次函数 2 12y x x  化为形如  2y a x h k   的形式： ▲ 【答案】  26 36y x   . 【考点】二次函数的三种形式的互化. 【分析】∵  22 2 2 212 12 6 6 6 36y x x x x x         ， ∴把二次函数 2 12y x x  化为形如  2y a x h k   的形式为  26 36y x   . 13. （2015 年浙江舟山 4 分）把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是 ▲ 【答案】 1 4 . 【考点】概率. 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就 是其发生的概率.了因此， ∵一共有 4 次等可能结果：正正，正反，反正，反反，两次正面朝上的情况有一种， ∴两次正面朝上的概率是 1 4 . 14. （2015 年浙江舟山 4 分）一张三角形纸片 ABC，AB=AC=5. 折叠该纸片，使点 A 落在 BC 的中点上， 折痕经过 AC 上的点 E，则 AE 的长为 ▲ 【答案】2.5. 【考点】折叠问题；等腰三角形的性质；三角形中位线定理. 【分析】∵一张三角形纸片 ABC，AB=AC，折叠该纸片，使点 A 落在 BC 的中点上， ∴折痕是 △ ABC 的中位线. ∵折痕经过 AC 上的点 E，AB=AC=5， ∴AE 的长为 2.5. 15. （2015 年浙江舟山 4 分）如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样 的多边形称为格点多边形，它的面积 S 可用公式 1 12S a b   （ a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界 上的格点数）计算，这个公式称为“皮克定理”. 现有一张方格纸共有 200 个格点，画有一个格点多边形， 它的面积 S=40. （1）这个格点多边形边界上的格点数 b = ▲ （用含 a 的代数式表示）； （2）设该格点多边形外的格点数为 c ，则 c a = ▲ 【答案】（1）82 2a ；（2）118. 【考点】网格问题；数形结合思想的应用. 【分析】（1）由 1 1 402a b   得 82 2b a  . （2）∵方格纸共有 200 个格点，∴ 200a b c   . 将 82 2b a  代入，得 82 2 200 118a a c c a       . 16. （2015 年浙江舟山 4 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，1），点 P 在线段 OA 上，以 AP 为半径的⊙P 周长为 1. 点 M 从 A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线 AM 交 x 轴于点 N（ n ，0）. 设点 M 转过的路程为 m （ 0 < 0ky k xx   的图象交于点 A（1，a ）， B 是反比例函数图象上一点，直线 OB 与 x 轴的夹角为 ， 1tan 2   . （1）求 k 的值； （2）求点 B 的坐标； （3）设点 P（ m ，0），使 △ PAB 的面积为 2，求 m 的值. 【答案】解：（1）∵直线 2y x 与反比例函数  0, > 0ky k xx   的图象交于点 A（1， a ）， ∴ 2 1 a ka   ，解得 2 2 a k    . ∴ 2k  . （2）如答图 1，过点 B 作 BC⊥ x 轴于点 C， ∵点 B 在反比例函数 2y x  的图象上， ∴可设点 B 的坐标为 2,b b      ，即 2,OC b BC b   . ∵ 1tan 2   ，即 1 2 BC OC  ，∴ 2 1 2 b b  ，解得 1b   . 又∵ > 0b ，∴ 1b  . ∴点 B 的坐标为  2, 1 . （3）如答图 2，设所在直线 AB 与 x 轴交于点 D， ∵A（1，2），B  2, 1 ， ∴  3, 3, 0ABy x D   . ∵P（ m ，0）， 2PABS  ，且 PAB PAD PBDS S S    ， ∴    1 13 2 3 1 22 2m m        ， 得 7m  . 【考点】反比例函数和一次函数综合题；曲线图上点的坐标与方程的关系；锐角三角函数定义；转换思想 和方程思想的应用. 【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，由直线 2y x 与反比例函数  0, > 0ky k xx   的 图象交于点 A（1， a ）列出方程组求解即可. （2）作辅助线：过点 B 作 BC⊥ x 轴于点 C，构成直角三角形，根据锐角三角函数定义列式求解 即可. （3）设所在直线 AB 与 x 轴交于点 D，根据 PAB PAD PBDS S S    列方程求解即可. 22. （2015 年浙江舟山 10 分）小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏 OB 与底板 OA 所在的水平线 的夹角为 120°时，感觉最舒适（如图 1），侧面示意图为图 2；使用时为了散热，她在底板下垫入散热架 'ACO 后，电脑转到 ' 'AO B 位置（如图 3），侧面示意图为图 4.已知 OA=OB=24cm， ' O C OA 于点 C， ' O C =12cm. （1）求 'CAO 的度数； （2）显示屏的顶部 'B 比原来升高了多少？ （3）如图 4，垫入散热架后，要使显示屏 ' 'O B 与水平线的夹角仍保持 120°，则显示屏 ' 'O B 应绕点 'O 按 顺时针方向旋转多少度？ 【答案】解：（1）∵ ' O C OA 于点 C，OA=OB=24，O’C=12， ∴ ' 'C 12 1sin ' ' 24 2 O C OCAO O A OA      . ∴ 'CAO  30°. （2）如答图，过点 B 作 BD AO 交 AO 的延长线于点 D . ∵sin BDBOD OB   ，∴ sinBD OB BOD   . ∵ 0120AOB  ，∴ 060BOD  . ∴ 3sin 24 12 32BD OB BOD      . ∴显示屏的顶部 'B 比原来升高了  36 12 3 cm. （3）显示屏 ' 'O B 应绕点 'O 按顺时针方向旋转 30°.理由如下： 如答图，电脑显示屏 'O B ’绕点 'O 按顺时针方向旋转 度至 'O E 处， 'O F ∥ OA . ∵电脑显示屏 'O B ’ 与水平线的夹角仍保持 120°， ∴ 0' 120EO F  .∴ 0' ' 30FO A CAO    .∴ 0' ' 120AO B  . ∴ 0' ' ' 30EO B FO A    ，即 030  . ∴显示屏 ' 'O B 应绕点 'O 按顺时针方向旋转 30°. 【考点】解直角三角形的应用；线动旋转问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值. 【分析】（1）直接正弦函数定义和 30 度角的正弦函数值求解即可. （2）过点 B 作 BD AO 交 AO 的延长线于点 D ，则显示屏的顶部 'B 比原来升高的距离就是 'CB BD ，从而由 sinBD OB BOD   求出 BD 即可求解. （3）根据旋转和平行的的性质即可得出结论. 23. （2015 年浙江舟山 10 分）某企业接到一批粽子生产任务，按要求在 15 天内完成，约定这批粽子的出 厂价为每只 6 元. 为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第 x 天生产的粽子数量为 y 只，y 与 x 满足如下关系式：     50 0 5 30 120 5 < 15 x x y x x       . （1）李明第几天生产的粽子数量为 420 只？ （2）如图，设第 x 天每只粽子的成本是 p 元， p 与 x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画. 若李明第 x 天创造的利润为 w 元，求 w 与 x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元（利润= 出厂价-成本）？ （3）设（2）小题中第 m 天利润达到最大值，若要使第（ 1m  ）天的利润比第 m 天的利润至少多 48 元， 则第（ 1m  ）天每只粽子至少应提价几元？ 【答案】解：（1）设李明第 n 天生产的粽子数量为 420 只， 根据题意，得 30 120 420n   ， 解得 10n  . 答：李明第 10 天生产的粽子数量为 420 只. （2）由图象可知，当 0 < 9x 时， 4.1p  ； 当9 15x  时，设 p kx b  ， 把点（9，4.1），（15，4.7）代入止式，得 9 4.1 15 4.7 k b k b      ，解得 0.1 3.2 k b    . ∴ 0.1 3.2p x  . ① 0 5x  时，  6 4.1 54 102.6w x x    ，当 5x  时， 513w 最大 （元）； ②5 < < 9x 时，    6 4.1 30 120 57 228w x x      ， ∵ x 是整数，∴当 8x  时， 684w 最大 （元）； ③9 15x  时，      226 0.1 3.2 30 120 3 72 336 3 12 768w x x x x x           ， ∵ 3 < 0 ，∴当 12x  时， 768w 最大 （元）. 综上所述， w 与 x 之间的函数表达式为      2 102.6 0 5 57 228 5 < < 9 3 72 336 9 15 x x w x x x x x           ，第 12 天的 利润最大，最大值是 768 元. （3）由（2）知， 12m  ， 1 13m   ，设第 13 天提价 z 元. 由题意，得     12 6 30 120 510 1.5w z p x z      ， ∴  510 1.5 768 48z    ，得 0.1z  . 答：第 13 天应皮至少提价 0.1 元. 【考点】一元一次方程。一元一次不等式、一次函数和二次函数的综合应用；分类思想的应用. 【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解. 本题设李明第 n 天生产的粽子数量为 420 只，等量关系为：“第 n 天生产的粽子数量等于 420 只”. （2）先求出 p 与 x 之间的关系式，分 0 5x  ， 5 < < 9x ，9 15x  三种情况求解即可. （3）不等式的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解. 本题先求出 12m  ，从而设第 13 天提价 z 元，不等量关系为：“第 13 天的利润比第 12 天的利润至少多 48 元”. 24. （2015 年浙江舟山 12 分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻 边四边形”. （1）概念理解： 如图 1，在四边形 ABCD 中，添加一个条件，使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个 条件； （2）问题探究： ①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由； ②如图 2，小红画了一个 Rt △ ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将 Rt △ ABC 沿∠B 的平分线 'BB 方 向平移得到 ' ' 'A B CV ，连结 ' 'AA BC， . 小红要使平移后的四边形 ' 'ABC A 是“等邻边四边形”，应平移多 少距离（即线段 'BB 的长）？ （3）应用拓展： 如图 3，“等邻边四边形”ABCD 中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD 为对角线， 2AC AB .试探 究 BC，CD，BD 的数量关系. 【答案】解：（1） DA AB （答案不唯一）. （2）①正确.理由如下： ∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形. ∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等. ∴这个四边形是菱形. ②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，∴ 5AC  . ∵将 Rt △ ABC 平移得到 ' ' 'A B CV ， ∴ ' 'BB AA ， 'AB ∥ AB ， ' ' 2, ' ' 1, ' ' 5A B AB B C BC A C AC      . i）如答图 1，当 ' 2AA AB  时， ' ' 2BB AA AB   ； ii）如答图 2，当 ' ' ' 5AA A C  时， ' ' ' ' 5BB AA A C   ； iii）如答图 3，当 ' ' ' 5A C BC  时，延长 ' 'C B 交 AB 于点 D ，则 ' 'C B AB . ∵ 'BB 平分 ABC ，∴ 01' 452ABB ABC  R . 设 'B D BD x  ，则 ' 1, ' 2C D x BB x   . 在 'Rt BC D 中， 2 2 2' 'BD C D BC  ， ∴    222 1 5x x   ，解得 1 21, 2x x   （不合题意，舍去）. ∴ ' 2 2BB x  . iv）如答图 4，当 ' 2BC AB  时，同 ii）方法，设 'B D BD x  ， 可得 2 2 2' 'BD C D BC  ，即  22 21 2x x   ， 解得 1 2 1 7 1 7,2 2x x     （不合题意，舍去）. ∴ 14 2' 2 2BB x   . 综上所述，要使平移后的四边形 ' 'ABC A 是“等邻边四边形”，应平移 2 或 5 或 2 或 14 2 2  的距离. （3）BC，CD，BD 的数量关系为 2 2 22BC CD BD  . 如答图 5， ∵ AB AD ，∴将 ADCV 绕点 A 旋转到 ABFV . ∴ ADC ABFV V≌ . ∴ , , ,ABF ADC BAF DAC AF AC FB CD        . ∴ , 1AC ADBAD CAF AF AB      . ∴ ACF ABDV V∽ .∴ 2CF AC BD AB   .∴ 2CF BD . ∵ 0360BAD ADC BCD ABC      + ， ∴  0 0 0 0360 360 90 270ABC ADC BAD BCD         + . ∴ 0270ABC ABF    .∴ 090CBF  . ∴  22 2 2 22 2BC CD CF BD BD    . 【考点】新定义；面动平移问题；菱形的判定；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；等 腰直角三角形的判定和性质；多边形内角和定理；勾股定理；分类思想和方程思想的应用. 【分析】（1）根据定义，添加 AB BC 或 BC CD 或 CD DA 或 DA AB 即可（答案不唯一）. （2）根据定义，分 ' 2AA AB  ， ' ' ' 5AA A C  ， ' ' ' 5A C BC  ， ' 2BC AB  四种情况 讨论即可. （3）由 AB AD ，可将 ADCV 绕点 A 旋转到 ABFV ，构成全等三角形： ADC ABFV V≌ ，从而 得到 , , ,ABF ADC BAF DAC AF AC FB CD        ，进而证明 ACF ABDV V∽ 得到 2CF BD ， 通过角的转换，证明 090CBF  ，根据勾股定理即可得出 2 2 22BC CD BD  .