2015年衢州市中考数学试题解析

2015 年浙江省衢州市中考数学试卷 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）（2015•衢州）﹣3 的相反数是（ ） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 2．（3 分）（2015•衢州）一个几何体零件如图所示，则它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 3．（3 分）（2015•衢州）下列运算正确的是（ ） A．a3+a3=2a6 B．（x2）3=x5 C．2a6÷a3=2a2 D．x3•x2=x5 4．（3 分）（2015•衢州）如图，在▱ ABCD 中，已知 AD=12cm，AB=8cm，AE 平分∠BAD 交 BC 边于点 E，则 CE 的长等于（ ） A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm 5．（3 分）（2015•衢州）某班七个兴趣小组人数分别为 4，4，5，x，6，6，7．已知这组数 据的平均数是 5，则这组数据的中位数是（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 6．（3 分）（2015•衢州）下列四个函数图象中，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小的是（ ） A． B． C． D． 7．（3 分）（2015•衢州）数学课上，老师让学生尺规作图画 Rt△ABC，使其斜边 AB=c，一 条直角边 BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是 （ ） A．勾股定理 B．直径所对的圆心角是直角 C．勾股定理的逆定理 D．90°的圆周角所对的弦是直径 8．（3 分）（2015•衢州）如图，已知某广场菱形花坛 ABCD 的周长是 24 米，∠BAD=60°， 则花坛对角线 AC 的长等于（ ） A．6 米 B．6 米 C．3 米 D．3 米 9．（3 分）（2015•衢州）如图，已知“人字梯”的 5 个踩档把梯子等分成 6 份，从上往下的第 二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条 60cm 长的绑绳 EF，tanα= ，则“人字梯”的顶端离 地面的高度 AD 是（ ） A．144cm B．180cm C．240cm D．360cm 10．（3 分）（2015•衢州）如图，已知△ABC，AB=BC，以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D， 过点 D 的⊙O 的切线交 BC 于点 E．若 CD=5，CE=4，则⊙O 的半径是（ ） A．3 B．4 C． D． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（4 分）（2015•衢州）从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取 1 人参加学校组织的 敬老活动，则小明被选中的概率是 ． 12．（4 分）（2015•衢州）如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高 EF 为 0.6 米，E 是 AB 的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度 BC 等于 米． 13．（4 分）（2015•衢州）写出一个解集为 x＞1 的一元一次不等式： ． 14．（4 分）（2015•衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OA=1m，水面宽 AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于 m． 15．（4 分）（2015•衢州）已知，正六边形 ABCDEF 在直角坐标系内的位置如图所示，A（﹣ 2，0），点 B 在原点，把正六边形 ABCDEF 沿 x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转 60°，经过 2015 次翻转之后，点 B 的坐标是 ． 16．（4 分）（2015•衢州）如图，已知直线 y=﹣ x+3 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B，P 是抛 物线 y=﹣ x2+2x+5 的一个动点，其横坐标为 a，过点 P 且平行于 y 轴的直线交直线 y=﹣ x+3 于点 Q，则当 PQ=BQ 时，a 的值是 ． 三、解答题（本题有 8 小题，第 17-19 小题每小题 6 分，第 20-21 小题每小题 6 分，第 22-23 小题每小题 6 分，第 24 小题 12 分，共 66 分。请务必写出解答过程） 17．（6 分）（2015•衢州）计算： ﹣|﹣2|+ ﹣4sin60°． 18．（6 分）（2015•衢州）先化简，再求值：（x2﹣9）÷ ，其中 x=﹣1． 19．（6 分）（2015•衢州）如图，已知点 A（a，3）是一次函数 y1=x+b 图象与反比例函数 y2= 图象的一个交点． （1）求一次函数的解析式； （2）在 y 轴的右侧，当 y1＞y2 时，直接写出 x 的取值范围． 20．（8 分）（2015•衢州）某校在开展读书交流活动中全体师生积极捐书．为了解所捐书籍 的种类，对部分书籍进行了抽样调查，李老师根据调查数据绘制了如图所示不完整统计图．请 根据统计图回答下面问题： （1）本次抽样调查的书籍有多少本？请补全条形统计图； （2）求出图 1 中表示文学类书籍的扇形圆心角度数； （3）本次活动师生共捐书 1200 本，请估计有多少本科普类书籍？ 21．（8 分）（2015•衢州）如图 1，将矩形 ABCD 沿 DE 折叠，使顶点 A 落在 DC 上的点 A′ 处，然后将矩形展平，沿 EF 折叠，使顶点 A 落在折痕 DE 上的点 G 处．再将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，此时顶点 B 恰好落在 DE 上的点 H 处．如图 2． （1）求证：EG=CH； （2）已知 AF= ，求 AD 和 AB 的长． 22．（10 分）（2015•衢州）小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数 y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1 是常数）与 y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2， b2，c2 是常数）满足 a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”． 求函数 y=﹣x2+3x﹣2 的“旋转函数”． 小明是这样思考的：由函数 y=﹣x2+3x﹣2 可知，a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根据 a1+a2=0，b1=b2， c1+c2=0，求出 a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数 y=﹣x2+3x﹣2 的“旋转函数”； （2）若函数 y=﹣x2+ mx﹣2 与 y=x2﹣2nx+n 互为“旋转函数”，求（m+n）2015 的值； （3）已知函数 y=﹣ （x+1）（x﹣4）的图象与 x 轴交于点 A、B 两点，与 y 轴交于点 C， 点 A、B、C 关于原点的对称点分布是 A1，B1，C1，试证明经过点 A1，B1，C1 的二次函数 与函数 y=﹣ （x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．” 23．（10 分）（2015•衢州）高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便，“五一”期间， 乐乐和颖颖相约到杭州市的某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发 1 小时后，颖颖乘坐 高铁从衢州出发，先到杭州火车站，然后再转车出租车取游乐园（换车时间忽略不计），两 人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离 y（千米）与乘车时间 t（小时）的关系如图 所示． 请结合图象解决下面问题： （1）高铁的平均速度是每小时多少千米？ （2）当颖颖达到杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？ （3）若乐乐要提前 18 分钟到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少千米/小时？ 24．（12 分）（2015•衢州）如图，在△ABC 中，AB=5，AC=9，S△ABC= ，动点 P 从 A 点 出发，沿射线 AB 方向以每秒 5 个单位的速度运动，动点 Q 从 C 点出发，以相同的速度在 线段 AC 上由 C 向 A 运动，当 Q 点运动到 A 点时，P、Q 两点同时停止运动，以 PQ 为边作 正方形 PQEF（P、Q、E、F 按逆时针排序），以 CQ 为边在 AC 上方作正方形 QCGH． （1）求 tanA 的值； （2）设点 P 运动时间为 t，正方形 PQEF 的面积为 S，请探究 S 是否存在最小值？若存在， 求出这个最小值，若不存在，请说明理由； （3）当 t 为何值时，正方形 PQEF 的某个顶点（ Q 点除外）落在正方形 QCGH 的边上，请 直接写出 t 的值． x kb 1 2015 年浙江省衢州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）（2015•衢州）﹣3 的相反数是（ ） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 考点：相反数． 专题：常规题型． 分析：根据相反数的概念解答即可． 解答：解：﹣3 的相反数是 3， 故选：A． 点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数 的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0． 2．（3 分）（2015•衢州）一个几何体零件如图所示，则它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 考点：简单组合体的三视图． 分析：根据从上面看得到的视图是俯视图，再结合几何体零件的实物图观察，即可判断出这 个几何体零件的俯视图是哪个． 解答：解：这个几何体零件的俯视图是一个正中间有一个小正方形的矩形， 所以它的俯视图是选项 C 中的图形． 故选：C． 点评：此题主要考查了简单组合体的三视图，要熟练掌握，考查了对三视图掌握程度和灵活 运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 3．（3 分）（2015•衢州）下列运算正确的是（ ） A．a3+a3=2a6 B．（x2）3=x5 C．2a6÷a3=2a2 D．x3•x2=x5 考点：整式的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 分析：根据合并同类项的法则，幂的乘方，单项式乘单项式，单项式除以单项式的法则进行 解答．． 解答：解：A、应为 a3+a3=2a3，故本选项错误； B、应为（x2）3=x6，故本选项错误； C、应为 2a6÷a3=2a3，故本选项错误； D、x3•x2=x5 正确． 故选 D． 点评：本题考查合并同类项，只需把系数相加减，字母和字母的指数不变；单项式乘单项式， 应把系数，同底数幂分别相乘． 单项式除以单项式，应把系数，同底数幂分别相除． 4．（3 分）（2015•衢州）如图，在▱ ABCD 中，已知 AD=12cm，AB=8cm，AE 平分∠BAD 交 BC 边于点 E，则 CE 的长等于（ ） A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm 考点：平行四边形的性质． 分析：由平行四边形的性质得出 BC=AD=12cm，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，证出 ∠BEA=∠BAE，得出 BE=AB，即可得出 CE 的长． 解答：解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD=12cm，AD∥BC， ∴∠DAE=∠BEA， ∵AE 平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BEA=∠BAE， ∴BE=AB=8cm， ∴CE=BC﹣BE=4cm； 故答案为：C． 点评：本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并 能进行推理计算是解决问题的关键． 5．（3 分）（2015•衢州）某班七个兴趣小组人数分别为 4，4，5，x，6，6，7．已知这组数 据的平均数是 5，则这组数据的中位数是（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 考点：中位数；算术平均数． 分析：本题可先算出 x 的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位 数． 解答：解：∵某班七个兴趣小组人数分别为 4，4，5，x，6，6，7．已知这组数据的平均数 是 5， ∴x=5×7﹣4﹣4﹣5﹣6﹣6﹣7=3， ∴这一组数从小到大排列为：3，4，4，5，6，6，7， ∴这组数据的中位数是：5． 故选 C． 点评：本题考查的是中位数，熟知中位数的定义是解答此题的关键． 6．（3 分）（2015•衢州）下列四个函数图象中，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小的是（ ） A． B． C． D． 考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象． 专题：计算题． 分析：利用一次函数，二次函数，以及反比例函数的性质判断即可． 解答： 解：当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小的是 ， 故选 B 点评：此题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，以及反比例函数的图象，熟练掌握各 自的图象与性质是解本题的关键． 7．（3 分）（2015•衢州）数学课上，老师让学生尺规作图画 Rt△ABC，使其斜边 AB=c，一 条直角边 BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是 （ ） A．勾股定理 B．直径所对的圆心角是直角 C．勾股定理的逆定理 D．90°的圆周角所对的弦是直径 考点：作图—复杂作图；勾股定理的逆定理；圆周角定理． 分析：由作图痕迹可以看出 AB 是直径，∠ACB 是直径所对的圆周角，即可作出判断． 解答：解：由作图痕迹可以看出 O 为 AB 的中点，以 O 为圆心，AB 为半径作圆，然后以 B 为圆心 BC=a 为半径花弧与圆 O 交于一点 C，故∠ACB 是直径所对的圆周角，所以 这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是：直径所对的圆心角是直角． 故选：B． 点评：本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论，能够看懂作图过程是解决问题的关 键． 8．（3 分）（2015•衢州）如图，已知某广场菱形花坛 ABCD 的周长是 24 米，∠BAD=60°， 则花坛对角线 AC 的长等于（ ） A．6 米 B．6 米 C．3 米 D．3 米 考点：菱形的性质． 专题：应用题． 分析：由四边形 ABCD 为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，根据∠BAD=60° 得到三角形 ABD 为等边三角形，在直角三角形 ABO 中，利用勾股定理求出 OA 的长， 即可确定出 AC 的长． 解答：解：∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=24÷4=6（米）， ∵∠BAD=60°， ∴△ABD 为等边三角形， ∴BD=AB=6（米），OD=OB=3（米）， 在 Rt△AOB 中，根据勾股定理得：OA= =3 （米）， 则 AC=2OA=6 米， 故选 A． 点评：此题考查了勾股定理，菱形的性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的 性质是解本题的关键． 9．（3 分）（2015•衢州）如图，已知“人字梯”的 5 个踩档把梯子等分成 6 份，从上往下的第 二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条 60cm 长的绑绳 EF，tanα= ，则“人字梯”的顶端离 地面的高度 AD 是（ ） A．144cm B．180cm C．240cm D．360cm 考点：解直角三角形的应用． 分析：根据题意可知：△AEO∽△ABD，从而可求得 BD 的长，然后根据锐角三角函数的定 义可求得 AD 的长． 解答：解：如图： 根据题意可知：：△AFO∽△ABD，OF= EF=30cm ∴ ， ∴ ∴CD=72cm， ∵tanα= ∴ ∴AD= =180cm． 故选：B． 点评：此题考查了三角函数的基本概念，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数 学问题加以计算． 10．（3 分）（2015•衢州）如图，已知△ABC，AB=BC，以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D， 过点 D 的⊙O 的切线交 BC 于点 E．若 CD=5，CE=4，则⊙O 的半径是（ ） A．3 B．4 C． D． 考点：切线的性质． 分析：首先连接 OD、BD，根据 DE⊥BC，CD=5，CE=4，求出 DE 的长度是多少；然后根 据 AB 是⊙O 的直径，可得∠ADB=90°，判断出 BD、AC 的关系；最后在 Rt△BCD 中，求出 BC 的值是多少，再根据 AB=BC，求出 AB 的值是多少，即可求出⊙O 的半 径是多少． 解答：解：如图 1，连接 OD、BD， ， ∵DE⊥BC，CD=5，CE=4， ∴DE= ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∵S△BCD=BD•CD÷2=BC•DE÷2， ∴5BD=3BC， ∴ ， ∵BD2+CD2=BC2， ∴ ， 解得 BC= ， ∵AB=BC， ∴AB= ， ∴⊙O 的半径是； ． 故选：D． 点评：此题主要考查了切线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆的切线 垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点 且垂直于切线的直线必经过圆心． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（4 分）（2015•衢州）从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取 1 人参加学校组织的 敬老活动，则小明被选中的概率是 ． 考点：概率公式． 分析：根据题意可得：从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取 1 人参加学校组织的敬老 活动，可以求出小明被选中的概率． 解答：解：∵从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取 1 人参加学校组织的敬老活动， ∴小明被选中的概率是： ． 故答案为： ． 点评：本题考查的是概率的求法．如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同， 其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ． 12．（4 分）（2015•衢州）如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高 EF 为 0.6 米，E 是 AB 的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度 BC 等于 1.2 米． 考点：三角形中位线定理． 专题：应用题． 分析：先求出 F 为 AC 的中点，根据三角形的中位线求出 BC=2EF，代入求出即可． 解答：解：∵EF⊥AC，BC⊥AC， ∴EF∥BC， ∵E 是 AB 的中点， ∴F 为 AC 的中点， ∴BC=2EF， ∵EF=0.6 米， ∴BC=1.2 米， 故答案为：1.2． 点评：本题考查了三角形的中位线性质，平行线的性质和判定的应用，解此题的关键是求出 BC=2EF，注意：垂直于同一直线的两直线平行． 13．（4 分）（2015•衢州）写出一个解集为 x＞1 的一元一次不等式： x﹣1＞0 ． 考点：不等式的解集． 专题：开放型． 分析：根据一元一次不等式的求解逆用，把 1 进行移项就可以得到一个；也可以对原不等式 进行其它变形，所以答案不唯一． 解答：解：移项，得 x﹣1＞0（答案不唯一）． 故答案为 x﹣1＞0． 点评：本题考查不等式的求解的逆用；写出的不等式只需符合条件，越简单越好． 14．（4 分）（2015•衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OA=1m，水面宽 AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了 0.2m，则此时排水管水面宽 CD 等于 1.6 m． 考点：垂径定理的应用；勾股定理． 分析：先根据勾股定理求出 OE 的长，再根据垂径定理求出 CF 的长，即可得出结论． 解答：解：如图： ∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m， ∴AE=0.8m， ∵水管水面上升了 0.2m， ∴AF=0.8﹣0.2=0.6m， ∴CF= m， ∴CD=1.6m． 故答案为：1.6． 点评：本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧是解答此题的关键． 15．（4 分）（2015•衢州）已知，正六边形 ABCDEF 在直角坐标系内的位置如图所示，A（﹣ 2，0），点 B 在原点，把正六边形 ABCDEF 沿 x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转 60°，经过 2015 次翻转之后，点 B 的坐标是 （4031， ） ． 考点：坐标与图形变化-旋转． 专题：规律型． 分析：根据正六边形的特点，每 6 次翻转为一个循环组循环，用 2015 除以 6，根据商和余数 的情况确定出点 B 的位置，然后求出翻转前进的距离，过点 B 作 BG⊥x 于 G，求出 ∠BAG=60°，然后求出 AG、BG，再求出 OG，然后写出点 B 的坐标即可． 解答：解：∵正六边形 ABCDEF 沿 x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转 60°， ∴每 6 次翻转为一个循环组循环， ∵2015÷6=335 余 5， ∴经过 2015 次翻转为第 336 循环组的第 5 次翻转，点 B 在开始时点 C 的位置， ∵A（﹣2，0）， ∴AB=2， ∴翻转前进的距离=2×2015=4030， 如图，过点 B 作 BG⊥x 于 G，则∠BAG=60°， 所以，AG=2× =1， BG=2× = ， 所以，OG=4030+1=4031， 所以，点 B 的坐标为（4031， ）． 故答案为：（4031， ）． 点评：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正六边形的性质，确定出最后点 B 所在的位置是 解题的关键，难点在于作辅助线构造出直角三角形． 16．（4 分）（2015•衢州）如图，已知直线 y=﹣ x+3 分别交 x 轴、y 轴于点 A、B，P 是抛 物线 y=﹣ x2+2x+5 的一个动点，其横坐标为 a，过点 P 且平行于 y 轴的直线交直线 y=﹣ x+3 于点 Q，则当 PQ=BQ 时，a 的值是 ﹣1，4，4+2 ，4﹣2 ． 考点：二次函数综合题． 分析：设点 P 的坐标为（a，﹣ a2+2a+5），分别表示出 B、Q 的坐标，然后根据 PQ=BQ， 列方程求出 a 的值． 解答：解：设点 P 的坐标为（a，﹣ a2+2a+5）， 则点 Q 为（a，﹣ a+3），点 B 为（0，3）， 当点 P 在点 Q 上方时，BQ= = a， PQ=﹣ a2+2a+5﹣（﹣ a+3）=﹣ a2+ a+2， ∵PQ=BQ， ∴ a=﹣ a2+ a+2， 整理得：a2﹣3a﹣4=0， 解得：a=﹣1 或 a=4， 当点 P 在点 Q 下方时，BQ= = a， PQ=﹣ a+3﹣（﹣ a2+2a+5）= a2﹣ a﹣2， ∵PQ=BQ， ∴ a= a2﹣ a﹣2， 整理得：a2﹣8a﹣4=0， 解得：a=4+2 或 a=4﹣2 ． 综上所述，a 的值为：﹣1，4，4+2 ，4﹣2 ． 故答案为：﹣1，4，4+2 ，4﹣2 ． 点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，以及两点间 的距离，解答本题的关键是设出点 P 的坐标，表示出 PQ、BQ 的长度，然后根据 PQ=BQ， 分情况讨论并求解，难度一般． 三、解答题（本题有 8 小题，第 17-19 小题每小题 6 分，第 20-21 小题每小题 6 分，第 22-23 小题每小题 6 分，第 24 小题 12 分，共 66 分。请务必写出解答过程） 17．（6 分）（2015•衢州）计算： ﹣|﹣2|+ ﹣4sin60°． 考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 分析：先化简二次根式，绝对值，计算 0 指数幂以及代入特殊角的三角函数值，再进一步计 算加减即可． 解答：解：原式=2 ﹣2+1﹣4× =﹣1． 点评：此题考查实数的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键． 18．（6 分）（2015•衢州）先化简，再求值：（x2﹣9）÷ ，其中 x=﹣1． 考点：分式的化简求值． 专题：计算题． 分析：原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值． 解答：解：原式=（x+3）（x﹣3）• =x（x+3）=x2+3x， 当 x=﹣1 时，原式=1﹣3=﹣2． 点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．（6 分）（2015•衢州）如图，已知点 A（a，3）是一次函数 y1=x+b 图象与反比例函数 y2= 图象的一个交点． （1）求一次函数的解析式； （2）在 y 轴的右侧，当 y1＞y2 时，直接写出 x 的取值范围． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 分析：（1）将点 A 的坐标代入反比例函数的解析式，求得 a 值后代入一次函数求得 b 的值 后即可确定一次函数的解析式； （2）y1＞y2 时 y1 的图象位于 y2 的图象的上方，据此求解． 解答：解：（1）将 A（a，3）代入 y2= 得 a=2， ∴A（2，3）， 将 A（2，3）代入 y1=x+b 得 b=1， ∴y1=x+1； （2）∵A（2，3）， ∴根据图象得在 y 轴的右侧，当 y1＞y2 时，x＞2． 点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能正确的确定点 A 的坐标是解答本题 的关键，难度不大． 20．（8 分）（2015•衢州）某校在开展读书交流活动中全体师生积极捐书．为了解所捐书籍 的种类，对部分书籍进行了抽样调查，李老师根据调查数据绘制了如图所示不完整统计图．请 根据统计图回答下面问题： （1）本次抽样调查的书籍有多少本？请补全条形统计图； （2）求出图 1 中表示文学类书籍的扇形圆心角度数； （3）本次活动师生共捐书 1200 本，请估计有多少本科普类书籍？ 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 分析：（1）根据已知条件列式计算即可，如图 2 所示，先计算出其它类的频数，再画条形 统计图即可； （2）根据已知条件列式计算即可； （3）根据已知条件列式计算即可． 解答：解；（1）8÷20%=40（本）， 其它类；40×15%=6（本）， 补全条形统计图，如图 2 所示： （2）文学类书籍的扇形圆心角度数为：360× =126°； （3）普类书籍有： ×1200=360（本）． 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的 信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直 接反映部分占总体的百分比大小． 21．（8 分）（2015•衢州）如图 1，将矩形 ABCD 沿 DE 折叠，使顶点 A 落在 DC 上的点 A′ 处，然后将矩形展平，沿 EF 折叠，使顶点 A 落在折痕 DE 上的点 G 处．再将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，此时顶点 B 恰好落在 DE 上的点 H 处．如图 2． （1）求证：EG=CH； （2）已知 AF= ，求 AD 和 AB 的长． 考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质． 菁优网版 权所有 分析：（1）由折叠的性质及矩形的性质可知 AE=AD=EG，BC=CH，再根据四边形 ABCD 是矩形，可得 AD=BC，等量代换即可证明 EG=CH； （2）由折叠的性质可知∠ADE=45°，∠FGE=∠A=90°，AF= ，那么 DG= ，利 用勾股定理求出 DF=2，于是可得 AD=AF+DF= +2；再利用 AAS 证明 △AEF≌△BCE，得到 AF=BE，于是 AB=AE+BE= +2+ =2 +2． 解答：（1）证明：由折叠知 AE=AD=EG，BC=CH， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD=BC， ∴EG=CH； （2）解：∵∠ADE=45°，∠FGE=∠A=90°，AF= ， ∴DG= ，DF=2， ∴AD=AF+DF= +2； 由折叠知∠AEF=∠GEF，∠BEC=∠HEC， ∴∠GEF+∠HEC=90°，∠AEF+∠BEC=90°， ∵∠AEF+∠AFE=90°， ∴∠BEC=∠AFE， 在△AEF 与△BCE 中， ， ∴△AEF≌△BCE（AAS）， ∴AF=BE， ∴AB=AE+BE= +2+ =2 +2． 点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状 和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了全等三角形的判定与性质， 矩形的性质，勾股定理等知识． 22．（10 分）（2015•衢州）小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数 y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1 是常数）与 y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2， b2，c2 是常数）满足 a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”． 求函数 y=﹣x2+3x﹣2 的“旋转函数”． 小明是这样思考的：由函数 y=﹣x2+3x﹣2 可知，a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根据 a1+a2=0，b1=b2， c1+c2=0，求出 a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数 y=﹣x2+3x﹣2 的“旋转函数”； （2）若函数 y=﹣x2+ mx﹣2 与 y=x2﹣2nx+n 互为“旋转函数”，求（m+n）2015 的值； （3）已知函数 y=﹣ （x+1）（x﹣4）的图象与 x 轴交于点 A、B 两点，与 y 轴交于点 C， 点 A、B、C 关于原点的对称点分布是 A1，B1，C1，试证明经过点 A1，B1，C1 的二次函数 与函数 y=﹣ （x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．” 考点：二次函数综合题． 专题：综合题． 分析：（1）根据“旋转函数”的定义求出 a2，b2，c2，从而得到原函数的“旋转函数”；x§k§b 1 （2）根据“旋转函数”的定义得到 m=﹣2n，﹣2+n=0，再解方程组求出 m 和 n 的值， 然后根据乘方的意义计算； （3）先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定 A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）， 再利用关于原点对称的点的坐标特征得到 A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2）， 则可利用交点式求出经过点 A1，B1，C1 的二次函数解析式为 y= （x﹣1）（x+4） = x2+ x﹣2，再把 y=﹣ （x+1）（x﹣4）化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义 进行判断． 解答：（1）解：∵a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2， ∴﹣1+a2=0，b2=3，﹣2+c2=0， ∴a2=11，b2=3，c2=2， ∴函数 y=﹣x2+3x﹣2 的“旋转函数”为 y=x2+3x+2； （2）解：根据题意得 m=﹣2n，﹣2+n=0，解得 m=﹣3，n=2， ∴（m+n）2015=（﹣3+2）2015=﹣1； （3）证明：当 x=0 时，y=﹣ （x+1）（x﹣4）=2，则 C（0，2）， 当 y=0 时，﹣ （x+1）（x﹣4）=0，解得 x1=﹣1，x2=4，则 A（﹣1，0），B（4，0）， ∵点 A、B、C 关于原点的对称点分布是 A1，B1，C1， ∴A1（1，0），B1（﹣4，0），C1（0，﹣2）， 设经过点 A1，B1，C1 的二次函数解析式为 y=a2（x﹣1）（x+4），把 C1（0，﹣2）代 入得 a2•（﹣1）•4=﹣2，解得 a2= ， ∴经过点 A1，B1，C1 的二次函数解析式为 y= （x﹣1）（x+4）= x2+ x﹣2， 而 y=﹣ （x+1）（x﹣4）=﹣ x2+ x+2， ∴a1+a2=﹣ + =0，b1=b2= ，c1+c2=2﹣2=0， ∴经过点 A1，B1，C1 的二次函数与函数 y=﹣ （x+1）（x﹣4）互为“旋转函数． 点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次 函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力． 23．（10 分）（2015•衢州）高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便，“五一”期间， 乐乐和颖颖相约到杭州市的某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发 1 小时后，颖颖乘坐高 铁从衢州出发，先到杭州火车站，然后再转车出租车取游乐园（换车时间忽略不计），两人 恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离 y（千米）与乘车时间 t（小时）的关系如图所 示． 请结合图象解决下面问题： （1）高铁的平均速度是每小时多少千米？ （2）当颖颖达到杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？ （3）若乐乐要提前 18 分钟到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少千米/小时？ 考点：一次函数的应用． 分析：（1）利用路程除以时间得出速度即可； （2）首先分别求出两函数解析式，进而求出 2 小时乐乐行驶的距离，进而得出距离 游乐园的路程； （3）把 y=216 代入 y=80t，得 t=2.7，进而求出私家车的速度． 解答：解：（1）v= =240． 答：高铁的平均速度是每小时 240 千米； （2）设 y=kt+b，当 t=1 时，y=0，当 t=2 时，y=240， 得： ， 解得： ， 故把 t=1.5 代入 y=240t﹣240，得 y=120， 设 y=at，当 t=1.5，y=120，得 k=80， ∴y=80t， 当 t=2，y=160，216﹣160=56（千米）， ∴乐乐距离游乐园还有 56 千米； （3）把 y=216 代入 y=80t，得 t=2.7， 2.7﹣ =2.4（小时）， =90（千米/时）． ∴乐乐要提前 18 分钟到达游乐园，私家车的速度必须达到 90 千米/小时． 点评：此题主要考查了一次函数的应用，根据题意结合函数图象得出一次函数解析式是解题 关键． 24．（12 分）（2015•衢州）如图，在△ABC 中，AB=5，AC=9，S△ABC= ，动点 P 从 A 点 出发，沿射线 AB 方向以每秒 5 个单位的速度运动，动点 Q 从 C 点出发，以相同的速度在 线段 AC 上由 C 向 A 运动，当 Q 点运动到 A 点时，P、Q 两点同时停止运动，以 PQ 为边 作正方形 PQEF（P、Q、E、F 按逆时针排序），以 CQ 为边在 AC 上方作正方形 QCGH． （1）求 tanA 的值； （2）设点 P 运动时间为 t，正方形 PQEF 的面积为 S，请探究 S 是否存在最小值？若存在， 求出这个最小值，若不存在，请说明理由； （3）当 t 为何值时，正方形 PQEF 的某个顶点（Q 点除外）落在正方形 QCGH 的边上，请 直接写出 t 的值． 考 点： 四边形综合题． 分 析： （1）如图 1，过点 B 作 BM⊥AC 于点 M，利用面积法求得 BM 的长度，利用勾股定理得到 AM 的长度，最后由锐角 三角函数的定义进行解答； （2）如图 2，过点 P 作 PN⊥AC 于点 N．利用（1）中的结论和勾股定理得到 PN2+NQ2=PQ2，所以由正方形的面积公 式得到 S 关于 t 的二次函数，利用二次函数的顶点坐标公式和二次函数图象的性质来求其最值； （3）需要分类讨论：当点 E 在边 HG 上、点 F 在边 HG 上、点 P 边 QH（或点 E 在 QC 上）、点 F 边 C 上时相对应的 t 的值． 解 答： 解：（1）如图 1，过点 B 作 BM⊥AC 于点 M， ∵AC=9，S△ABC= ， ∴ AC•BM= ，即 ×9•BM= ， 解得 BM=3． 由勾股定理，得 AM= = =4， 则 tanA= = ； （2）存在． 如图 2，过点 P 作 PN⊥AC 于点 N． 依题意得 AP=CQ=5t． ∵tanA= ， ∴AN=4t，PN=3t． ∴QN=AC﹣AN﹣CQ=9﹣9t． 根据勾股定理得到：PN2+NQ2=PQ2， S 正方形 PQEF=PQ2=（3t）2+（9﹣9t）2=90t2﹣162t+81（0＜t＜ ）． ∵﹣ = = 在 t 的取值范围之内， ∴S 最小值= = = ； （3） ①如图 3，当点 E 在边 HG 上时，t1= ； ②如图 4，当点 F 在边 HG 上时，t2= ； ③如图 5，当点 P 边 QH（或点 E 在 QC 上）时，t3=1 ④如图 6，当点 F 边 C 上时，t4= ． 点 评： 本题考查了四边形综合题．其中涉及到了三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理以及二次函数的最值的求法．其 中，解答（3）题时，要分类讨论，做到不重不漏，结合图形解题，更形象、直观．