2015年日照市中考数学试题解析

2015 年山东省日照市中考数学试卷 一、选择题（1-8 小题每小题 3 分，9-12 小题每小题 3 分） 1．（3 分）（2015•日照）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个 标志中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 考点：轴对称图形． . 分析：根据轴对称图形的概念求解． 解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选 D． 点评：本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称 轴折叠后可重合． 2．（3 分）（2015•日照） 的算术平方根是（ ） A．2 B．±2 C． D．± 考点：算术平方根． . 专题：计算题． 分析：先求得 的值，再继续求所求数的算术平方根即可． 解答：解：∵ =2， 而 2 的算术平方根是 ， ∴ 的算术平方根是 ， 故选：C． 点评：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则 容易出现选 A 的错误． 3．（3 分）（2015•日照）计算（﹣a3）2 的结果是（ ） A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6 考点：幂的乘方与积的乘方． . 分析：根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解． 解答：解：（﹣a3）2=a6． 故选 C． 点评：本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握运算法则是解答本题关键． 4．（3 分）（2015•日照）某市测得一周 PM2.5 的日均值（单位：微克/立方米）如下：31， 30，34，35，36，34，31，对这组数据下列说法正确的是（ ） A．众数是 35 B．中位数是 34 C．平均数是 35 D．方差是 6 考点：方差；加权平均数；中位数；众数． . 分析：根据众数、平均数、中位数和方差的计算公式分别进行计算即可得出答案． 解答：解：A、31 和 34 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 31 和 34，故本选项错误； B、把这组数据从小到大排列，最中间的数是34，则中位数是 34，故本选项错正确； C、这组数据的平均数是：（31+30+34+35+36+34+31）÷7=33，故本选项错误； D、这组数据的方差是： [2（31﹣33）2+（30﹣33）2+2（34﹣33）2+（35﹣33）2+ （36﹣33）2 ] = ，故本选项错误； 故选 B． 点评：本题考查了众数、平均数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多 的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列， 如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据 的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组 数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设 n 个数据，x1，x2，…xn 的平均数 为 ，则方差 S2= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2 ] ． 5．（3 分）（2015•日照）小红在观察由一些相同小立方块搭成的几何体时，发现它的右视图、 俯视图、左视图均为如图，则构成该几何体的小立方块的个数有（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 考点：由三视图判断几何体． . 分析：根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 解答：解：从俯视图发现有 3 个立方体，从左视图发现第二层最多有 1 个立方块， 则构成该几何体的小立方块的个数有 4 个； 故选 B． 点评：此题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方 面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得 到答案． 6．（3 分）（2015•日照）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件： ①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD 中选两个作为补充条件，使▱ ABCD 为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 考点：正方形的判定．. 分析：利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即 可． 解答：解：A、∵四边形 ABCD 是平行四边形， 当①AB=BC 时，平行四边形 ABCD 是菱形， 当②∠ABC=90°时，菱形 ABCD 是正方形，故此选项错误； B、∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴当②∠ABC=90°时，平行四边形 ABCD 是矩形， 当 AC=BD 时，这是矩形的性质，无法得出四边形 ABCD 是正方形，故此选项正确； C、∵四边形 ABCD 是平行四边形， 当①AB=BC 时，平行四边形 ABCD 是菱形， 当③AC=BD 时，菱形 ABCD 是正方形，故此选项错误； D、∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴当②∠ABC=90°时，平行四边形 ABCD 是矩形， 当④AC⊥BD 时，矩形 ABCD 是正方形，故此选项错误． 故选：B． 点评：此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正确掌握正方形的判定方 法是解题关键． 7．（3 分）（2015•日照）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．. 分析：分别求出各不等式的解集，并在数轴上表示出来即可． 解答： 解： ，由①得，x≤﹣1，由②得，x＞﹣5， 故﹣5＜x≤﹣1． 在数轴上表示为： ． 故选 A． 点评：本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题 的关键． 8．（3 分）（2015•日照）如图，等腰直角△ABC 中，AB=AC=8，以 AB 为直径的半圆 O 交 斜边 BC 于 D，则阴影部分面积为（结果保留π）（ ） A．24﹣4π B．32﹣4π C．32﹣8π D．16 考点：扇形面积的计算． . 分析：连接 AD，因为△ABC 是等腰直角三角形，故∠ABD=45°，再由 AB 是圆的直径得出 ∠ADB=90°，故△ABD 也是等腰直角三角形，所以 = ，S 阴影=S△ABC﹣S△ABD﹣S 弓形 AD 由此可得出结论． 解答：解：连接 AD，OD， ∵等腰直角△ABC 中， ∴∠ABD=45°． ∵AB 是圆的直径， ∴∠ADB=90°， ∴△ABD 也是等腰直角三角形， ∴ = ． ∵AB=8， ∴AD=BD=4 ， ∴S 阴影=S△ABC﹣S△ABD﹣S 弓形 AD=S△ABC﹣S△ABD﹣（S 扇形 AOD ﹣ S△ABD）= ×8×8﹣ ×4 ×4 ﹣ + × ×4 ×4 =16﹣4π+8=24﹣ 4π． 故选 A． 点评：本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 9．（4 分）（2015•日照）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三 年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014 年县政府已投资 5 亿元人民币，若每 年投资的增长率相同，预计 2016 年投资 7.2 亿元人民币，那么每年投资的增长率为（ ） A．20% B．40% C．﹣220% D．30% 考点：一元二次方程的应用． . 专题：增长率问题． 分析：首先设每年投资的增长率为 x．根据 2014 年县政府已投资 5 亿元人民币，若每年投资 的增长率相同，预计 2016 年投资 7.2 亿元人民币，列方程求解． 解答：解：设每年投资的增长率为 x， 根据题意，得：5（1+x）2=7.2， 解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去）， 故每年投资的增长率为为 20%． 故选：A． 点评：此题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公 式为 a（1+x）n，其中 n 为共增长了几年，a 为第一年的原始数据，x 是增长率． 10．（4 分）（2015•日照）如图，在直角△BAD 中，延长斜边 BD 到点 C，使 DC= BD，连 接 AC，若 tanB= ，则 tan∠CAD 的值（ ） A． B． C． D． 考点：解直角三角形．. 分析：延长 AD，过点 C 作 CE⊥AD，垂足为 E，由 tanB= ，即 = ，设 AD=5x，则 AB=3x， 然后可证明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的对应边成比例可得： ， 进而可得 CE= x，DE= ，从而可求 tan∠CAD= = ． 解答：解：如图，延长 AD，过点 C 作 CE⊥AD，垂足为 E， ∵tanB= ，即 = ， ∴设 AD=5x，则 AB=3x， ∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD， ∴△CDE∽△BDA， ∴ ， ∴CE= x，DE= ， ∴AE= ， ∴tan∠CAD= = ． 故选 D． 点评：本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质， 是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD 放在直角三角 形中． 11．（4 分）（2015•日照）观察下列各式及其展开式： （a+b）2=a2+2ab+b2 （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 … 请你猜想（a+b）10 的展开式第三项的系数是（ ） A．36 B．45 C．55 D．66 考点：完全平方公式．. 专题：规律型． 分析：归纳总结得到展开式中第三项系数即可． 解答：解：解：（a+b）2=a22+2ab+b2； （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3； （a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； （a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； （a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6； （a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7； 第 8 个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1； 第 9 个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1； 第 10 个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1， 则（a+b）10 的展开式第三项的系数为 45． 故选 B． 点评：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 12．（4 分）（2015•日照）如图是抛物线 y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点 坐标 A（1，3），与 x 轴的一个交点 B（4，0），直线 y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于 A，B 两点，下列结论： ①2a+b=0；②abc＞0；③方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根；④抛物线与 x 轴的另一 个交点是（﹣1，0）；⑤当 1＜x＜4 时，有 y2＜y1， 其中正确的是（ ） A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤ 考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与 x 轴的交点．. 专题：数形结合． 分析：根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到 a＜0，由对称轴位置 可得 b＞0，由抛物线与 y 轴的交点位置可得 c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点 坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当 1＜x＜ 4 时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断． 解答：解：∵抛物线的顶点坐标 A（1，3）， ∴抛物线的对称轴为直线 x=﹣ =1， ∴2a+b=0，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴b=﹣2a＞0， ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以②错误； ∵抛物线的顶点坐标 A（1，3）， ∴x=1 时，二次函数有最大值， ∴方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根，所以③正确； ∵抛物线与 x 轴的一个交点为（4，0） 而抛物线的对称轴为直线 x=1， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误； ∵抛物线 y1=ax2+bx+c 与直线 y2=mx+n（m≠0）交于 A（1，3），B 点（4，0） ∴当 1＜x＜4 时，y2＜y1，所以⑤正确． 故选 C． 点评：本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线 向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴右．（简称： 左同右异）；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于（0，c）；抛物线与 x 轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△=b2﹣4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△=b2﹣4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点． 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 13．（4 分）（2015•日照）若 =3﹣x，则 x 的取值范围是 x≤3 ． 考点：二次根式的性质与化简．. 分析：根据二次根式的性质得出 3﹣x≥0，求出即可． 解答：解：∵ =3﹣x， ∴3﹣x≥0， 解得：x≤3， 故答案为：x≤3． 点评：本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当 a≥0 时， =a，当 a＜0 时， = ﹣a． 14．（4 分）（2015•日照）边长为 1 的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的 面积为 ． 考点：正方形的性质；等边三角形的性质；含 30 度角的直角三角形． . 分析：过点 C 作 CD 和 CE 垂直正方形的两个边长，再利用正方形和等边三角形的性质得出 CE 的长，进而得出△ABC 的面积即可． 解答：解：过点 C 作 CD 和 CE 垂直正方形的两个边长，如图， ∵一个正方形和一个等边三角形的摆放， ∴四边形 DBEC 是矩形， ∴CE=DB= ， ∴△ABC 的面积= AB•CE= ×1× = ， 故答案为： ． 点评：此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和等边三角形的性质得出 BE 和 CE 的长． 15．（4分）（2015•日照）如果 m，n 是两个不相等的实数，且满足 m2﹣m=3，n2﹣n=3，那 么代数式 2n2﹣mn+2m+2015= 2026 ． 考点：根与系数的关系． . 分析：由于 m，n 是两个不相等的实数，且满足 m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知 m，n 是 x2﹣x﹣ 3=0 的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=﹣3，又 n2=n+3， 利用它们可以化简 2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣ mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值． 解答：解：由题意可知：m，n 是两个不相等的实数，且满足 m2﹣m=3，n2﹣n=3， 所以 m，n 是 x2﹣x﹣3=0 的两个不相等的实数根， 则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3， 又 n2=n+3， 则 2n2﹣mn+2m+2015 =2（n+3）﹣mn+2m+2015 =2n+6﹣mn+2m+2015 =2（m+n）﹣mn+2021 =2×1﹣（﹣3）+2021 =2+3+2021 =2026． 故答案为：2026． 点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两 根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值． 16．（4 分）（2015•日照）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ODEF 和四边形 ABCD 都是正方形，点 F 在 x 轴的正半轴上，点 C 在边 DE 上，反比例函数 y= （k≠0，x＞0）的 图象过点 B，E．若 AB=2，则 k 的值为 6+2 ． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征．. 分析：设 E（x，x），则 B（2，x+2），根据反比例函数系数的几何意义得出 x2=x（x+2），求 得 E 的坐标，从而求得k 的值． 解答：解：设 E（x，x）， ∴B（2，x+2）， ∵反比例函数 y= （k≠0，x＞0）的图象过点 B、E． ∴x2=x（x+2）， 解得 x1=1+ ，x2=1﹣ （舍去）， ∴k=x2=6+2 ， 故答案为 6+2 ． 点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握反比例函数图象上点与反比 例函数中系数 k 的关系． 三、解答题 17．（9 分）（2015•日照）（1）先化简，再求值：（ +1） ，其中 a= ； （2）已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足 x+y=0，求实数 m 的值． 考点：分式的化简求值；二元一次方程组的解． . 分析：（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 a 的值代入进行计算即可； （2）先把 m 当作已知条件求出 x、y 的值，再根据足 x+y=0 求出 m 的值即可． 解答：解：（1）原式= • = • =a﹣1， 当 a= 时，原式= ﹣1； （2）解关于 x，y 的二元一次方程组 得 ， ∵x+y=0， ∴2m﹣11+7﹣m=0，解得 m=4． 点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 18．（9 分）（2015•日照）为进一步推广“阳光体育”大课间活动，某中学对已开设的 A 实心 球，B 立定跳远，C 跑步，D 跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分 学生，并将调查结果绘制成图 1，图 2 的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整； （2）随机抽取了 5 名喜欢“跑步”的学生，其中有 3 名女生，2 名男生，现从这 5 名学生中任 意抽取 2 名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率． 考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．. 分析：（1）用 A 的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数；用抽查的总人数减去 A、B、D 的人数，求出喜欢“跑步”的学生人数，再除以被调查的学生数，求出所占的 百分比，再画图即可； （2）用 A 表示男生，B 表示女生，画出树形图，再根据概率公式进行计算即可． 解答：解：（1）根据题意得： 15÷10%=150（名）． 本项调查中喜欢“跑步”的学生人数是；150﹣15﹣45﹣30=60（人）， 所占百分比是： ×100%=40%， 画图如下： （2）用 A 表示男生，B 表示女生，画图如下： 共有 20 种情况，同性别学生的情况是 8 种， 则刚好抽到同性别学生的概率是 = ． 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从 不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个 项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 19．（10 分）（2015•日照）如图 1 所示，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，列车匀 速行驶，图 2 为列车离乙地路程 y（千米）与行驶时间 x（小时）时间的函数关系图象． （1）填空：甲、丙两地距离 900 千米． （2）求高速列车离乙地的路程 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围． 考点：一次函数的应用． . 分析：（1）根据函数图形可得，甲、丙两地距离为：900+150=1050（千米）； （2）分两种情况：当 0≤x≤3 时，设高速列车离乙地的路程 y 与行驶时间 x 之间的函 数关系式为：y=kx+b，把（0，900），（3，0）代入得到方程组，即可解答；根据确定 高速列出的速度为 300（千米/小时），从而确定点 A 的坐标为（3.5，150），当 3＜x≤3.5 时，设高速列车离乙地的路程 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式为：y=k1x+b1，把（3， 0），（3.5，150）代入得到方程组，即可解答． 解答：解：（1）根据函数图形可得，甲、丙两地距离为：900+150=1050（千米），故答案为： 900． （2）当 0≤x≤3 时，设高速列车离乙地的路程 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式为： y=kx+b， 把（0，900），（3，0）代入得： ， 解得： ， ∴y=﹣300x+900， 高速列出的速度为：900÷3=300（千米/小时）， 150÷300=0.5（小时），3+0.5=3.5（小时） 如图 2，点 A 的坐标为（3.5，150） 当 3＜x≤3.5 时，设高速列车离乙地的路程 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式为： y=k1x+b1， 把（3，0），（3.5，150）代入得： ， 解得： ， ∴y=300x﹣900， ∴y= ． 点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂图象，获取相关信息，用待定系 数法求函数解析式． 20．（10 分）（2015•日照）如图，已知，在△ABC 中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F 分别是 CA，CB 边的三等分点，将△ECF 绕点 C 逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，连 接 AM，BN． （1）求证：AM=BN； （2）当 MA∥CN 时，试求旋转角α的余弦值． 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质． . 分析：（1）由 CA=CB，E，F 分别是 CA，CB 边的三等分点，得 CE=CF，根据旋转的性质， CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，证明△AMC≌△BNC 即可； （2）当 MA∥CN 时，∠ACN=∠CAM，由∠ACN+∠ACM=90°，得到 ∠CAM+∠ACM=90°，所以 cotα= = ． 解答：解：（1）∵CA=CB，∠ACB=90°，E，F 分别是 CA，CB 边的三等分点， ∴CE=CF， 根据旋转的性质，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α， 在△AMC 和△BNC 中， ， ∴△AMC≌△BNC， ∴AM=BN； （2）∵MA∥CN， ∴∠ACN=∠CAM， ∵∠ACN+∠ACM=90°， ∴∠CAM+∠ACM=90°， ∴∠AMC=90°， ∴cosα= = = ． 点评：本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质以及锐角三角 函数的综合运用，难度适中，掌握旋转的性质是关键． 21．（12 分）（2015•日照）阅读资料： 如图 1，在平面之间坐标系 xOy 中，A，B 两点的坐标分别为 A（x1，y1），B（x2，y2），由 勾股定理得 AB2=|x2﹣x1|2+|y2﹣y1|2，所以 A，B 两点间的距离为 AB= ． 我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图 2，在平面直角坐标系 xoy 中， A（x，y）为圆上任意一点，则 A 到原点的距离的平方为 OA2=|x﹣0|2+|y﹣0|2，当⊙O 的半 径为 r 时，⊙O 的方程可写为：x2+y2=r2． 问题拓展：如果圆心坐标为 P（a，b），半径为 r，那么⊙P 的方程可以写为 （x﹣a）2+（y ﹣b）2=r2 ． 综合应用： 如图 3，⊙P 与 x 轴相切于原点 O，P 点坐标为（0，6），A 是⊙P 上一点，连接 OA，使 tan∠POA= ，作 PD⊥OA，垂足为 D，延长 PD 交 x 轴于点 B，连接 AB． ①证明 AB 是⊙P 的切点； ②是否存在到四点 O，P，A，B 距离都相等的点 Q？若存在，求 Q 点坐标，并写出以 Q 为 圆心，以 OQ 为半径的⊙O 的方程；若不存在，说明理 由． 考点：圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中 线；勾股定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．. 专题：阅读型． 分析：问题拓展：设 A（x，y）为⊙P 上任意一点，则有 AP=r，根据阅读材料中的两点之间 距离公式即可求出⊙P 的方程； 综合应用：①由 PO=PA，PD⊥OA 可得∠OPD=∠APD，从而可证到△POB≌△PAB， 则有∠POB=∠PAB．由⊙P 与 x 轴相切于原点 O 可得∠POB=90°，即可得到 ∠PAB=90°，由此可得 AB 是⊙P 的切线； ②当点 Q 在线段 BP 中点时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 QO=QP=BQ=AQ．易证∠OBP=∠POA，则有 tan∠OBP= = ．由 P 点坐标可求出 OP、OB．过点 Q 作 QH⊥OB 于 H，易证△BHQ∽△BOP，根据相似三角形的性质可 求出 QH、BH，进而求出 OH，就可得到点 Q 的坐标，然后运用问题拓展中的结论就 可解决问题． 解答：解：问题拓展：设 A（x，y）为⊙P 上任意一点， ∵P（a，b），半径为 r， ∴AP2=（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2． 故答案为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2； 综合应用： ①∵PO=PA，PD⊥OA， ∴∠OPD=∠APD． 在△POB 和△PAB 中， ， ∴△POB≌△PAB， ∴∠POB=∠PAB． ∵⊙P 与 x 轴相切于原点 O， ∴∠POB=90°， ∴∠PAB=90°， ∴AB 是⊙P 的切线； ②存在到四点 O，P，A，B 距离都相等的点 Q． 当点 Q 在线段 BP 中点时， ∵∠POB=∠PAB=90°， ∴QO=QP=BQ=AQ． 此时点 Q 到四点 O，P，A，B 距离都相等． ∵∠POB=90°，OA⊥PB， ∴∠OBP=90°﹣∠DOB=∠POA， ∴tan∠OBP= =tan∠POA= ． ∵P 点坐标为（0，6）， ∴OP=6，OB= OP=8． 过点 Q 作 QH⊥OB 于 H，如图 3， 则有∠QHB=∠POB=90°， ∴QH∥PO， ∴△BHQ∽△BOP， ∴ = = = ， ∴QH= OP=3，BH= OB=4， ∴OH=8﹣4=4， ∴点 Q 的坐标为（4，3）， ∴OQ= =5， ∴以 Q 为圆心，以 OQ 为半径的⊙O 的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=25．xkb1 点评：本题是一道阅读题，以考查阅读理解能力为主，在解决问题的过程中，用到了全等三 角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、切线 的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角函数的定义等知识， 有一定的综合性． 22．（14 分）（2015•日照）如图，抛物线 y= x2+mx+n 与直线 y=﹣ x+3 交于 A，B 两点， 交 x 轴与 D，C 两点，连接 AC，BC，已知 A（0，3），C（3，0）． （Ⅰ）求抛物线的解析式和 tan∠BAC 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）条件下： （1）P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQ⊥PA 交 y 轴于点 Q，问：是否 存在点 P 使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，请求出所有符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （2）设 E 为线段 AC 上一点（不含端点），连接 DE，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE 以每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒 个单位的速度运动到 A 后停止， 当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？ 考点：二次函数综合题；线段的性质：两点之间线段最短；矩形的判定与性质；轴对称的性 质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义． . 专题：压轴题． 分析：（Ⅰ）只需把 A、C 两点的坐标代入 y= x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后 求出直线 AB 与抛物线的交点 B 的坐标，过点 B 作 BH⊥x 轴于 H，如图 1．易得 ∠BCH=∠ACO=45°，BC= ，AC=3 ，从而得到∠ACB=90°，然后根据三角函数 的定义就可求出 tan∠BAC 的值； （Ⅱ）（1）过点 P 作 PG⊥y 轴于 G，则∠PGA=90°．设点 P 的横坐标为 x，由 P 在 y 轴右侧可得 x＞0，则 PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°．若点 G 在点 A 的下方，①当 ∠PAQ=∠CAB 时，△PAQ∽△CAB．此时可证得△PGA∽△BCA，根据相似三角形 的性质可得 AG=3PG=3x．则有 P（x，3﹣3x），然后把 P（x，3﹣3x）代入抛物线的 解析式，就可求出点 P 的坐标②当∠PAQ=∠CBA 时，△PAQ∽△CBA，同理，可求 出点 P 的坐标；若点 G 在点 A 的上方，同理，可求出点 P 的坐标；（2）过点 E 作 EN⊥y 轴于 N，如图 3．易得 AE= EN，则点 M 在整个运动中所用的时间可表示为 + =DE+EN．作点 D 关于 AC 的对称点 D′，连接 D′E，则有 D′E=DE，D′C=DC， ∠D′CA=∠DCA=45°，从而可得∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．根据两点之间线段 最短可得：当 D′、E、N 三点共线时，DE+EN=D′E+EN 最小．此时可证到四边形 OCD′N 是矩形，从而有 ND′=OC=3，ON=D′C=DC．然后求出点 D 的坐标，从而得到 OD、 ON、NE 的值，即可得到点 E 的坐标． 解答：解：（Ⅰ）把 A（0，3），C（3，0）代入 y= x2+mx+n，得 ， 解得： ． ∴抛物线的解析式为 y= x2﹣ x+3． 联立 ， 解得： 或 ， ∴点 B 的坐标为（4，1）． 过点 B 作 BH⊥x 轴于 H，如图 1． ∵C（3，0），B（4，1）， ∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4﹣3=1， ∴BH=CH=1． ∵∠BHC=90°， ∴∠BCH=45°，BC= ． 同理：∠ACO=45°，AC=3 ， ∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°， ∴tan∠BAC= = = ； （Ⅱ）（1）存在点 P，使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似． 过点 P 作 PG⊥y 轴于 G，则∠PGA=90°． 设点 P 的横坐标为 x，由 P 在 y 轴右侧可得 x＞0，则 PG=x． ∵PQ⊥PA，∠ACB=90°， ∴∠APQ=∠ACB=90°． 若点 G 在点 A 的下方， ①如图 2①，当∠PAQ=∠CAB 时，则△PAQ∽△CAB． ∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB， ∴△PGA∽△BCA， ∴ = = ． ∴AG=3PG=3x． 则 P（x，3﹣3x）． 把 P（x，3﹣3x）代入 y= x2﹣ x+3，得 x2﹣ x+3=3﹣3x， 整理得：x2+x=0 解得：x1=0（舍去），x2=﹣1（舍去）． ②如图 2②，当∠PAQ=∠CBA 时，则△PAQ∽△CBA． 同理可得：AG= PG= x，则 P（x，3﹣ x）， 把 P（x，3﹣ x）代入 y= x2﹣ x+3，得 x2﹣ x+3=3﹣ x， 整理得：x2﹣ x=0 解得：x1=0（舍去），x2= ， ∴P（ ， ）； 若点 G 在点 A 的上方， ①当∠PAQ=∠CAB 时，则△PAQ∽△CAB， 同理可得：点 P 的坐标为（11，36）． ②当∠PAQ=∠CBA 时，则△PAQ∽△CBA． 同理可得：点 P 的坐标为 P（ ， ）． 综上所述：满足条件的点 P 的坐标为（11，36）、（ ， ）、（ ， ）； （2）过点 E 作 EN⊥y 轴于 N，如图 3． 在 Rt△ANE 中，EN=AE•sin45°= AE，即 AE= EN， ∴点 M 在整个运动中所用的时间为 + =DE+EN． 作点 D 关于 AC 的对称点 D′，连接 D′E， 则有 D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°， ∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN． 根据两点之间线段最短可得： 当 D′、E、N 三点共线时，DE+EN=D′E+EN 最小． 此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°， ∴四边形 OCD′N 是矩形， ∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC． 对于 y= x2﹣ x+3， 当 y=0 时，有 x2﹣ x+3=0， 解得：x1=2，x2=3． ∴D（2，0），OD=2， ∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1， ∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2， ∴点 E 的坐标为（2，1）． 点评：本题主要考查了运用待定系数法求抛物线 的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛 物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、 两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强， 难度大，准确分类是解决第（Ⅱ）（1）小题的关键，把点 M 运动的总时间 + 转 化为 DE+EN 是解决第（Ⅱ）（2）小题的关键．