2015年株洲市中考数学试题答案解析

2015 年株洲市中考学业考试试题 一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共 8 小题，共 24 分） 1、2 的相反数是新*课标*第*一*网 A、 B、2 C D、 【试题分析】 本题知识点：相反数的意义，可以从代数意义与几何意义上理解。 答案为 A 2、已知∠α＝35°，那么∠α的余角等于 A、35° B、55° C、65° D、145° 【试题分析】 本题考点为互余两个角的性质理解：互余的两个角和为 90°，从而解得。 答案为：B 3、下列等式中，正确的是 A、 B、 C、 D、 【试题分析】 本题考点为：简单的整式的运算：A、 同类项的合并，系数合并，字母与指数 不变；B、 是同底数幂相乘，底数不变，指数相加；C、 是积的 乘方的运用，同时要注意符号的确定；D、 是整式乘法公式的运用 答案为：B 4、下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A、等腰三角形 B、正三角形 C、平行四边形 D、正方形 【试题分析】 本题考点为 ：轴对称图形与中心对称图形的理解 答案为：D 5、从 2，3,4，5 中任意选两个数，记作 a 和b ，那么点（ a ，b ）在函数 12y x  图象上的 概率是 A、 1 2 B、 1 3 C、 1 4 D、 1 6 【试题分析】 本题有两个：一、2,3，4,5 从中选出一组数的所有可能性，注意任选两个，是指不能重复； 二、反比例函数经过的点的理解； 答案为：D 6、如图，圆 O 是△ABC 的外接圆，∠A＝68°，则∠OBC 的大小是 A、22° B、26° C、32° D、68° 【试题分析】 本题考点为：通过圆心角∠BOC＝2∠A＝136°，再利用等腰三角形 AOC 求出∠OBC 的度数 答案为：A 7、如图，已知 AB、CD、EF 都与 BD 垂直，垂足分别是 B、D、F，且 AB＝1，CD＝3，那么 EF 的长是 A、 1 3 B、 2 3 C、 3 4 D、 4 5 【试题分析】 本题考点为：相似的三角形性质的运用：利用 AB∥EF∥CD 得到△ABE∽ △DCE，得到 1 3 EC DC BE AB   ，△BEF∽△BCD 得到 1 4 EF BE BE CD BC BE EC    ，故可知答案 答案为：C 8、有两个一元二次方程：M： 2 0ax bx c   N： 2 0cx bx a   ，其中 0a c  ，以下 列四个结论中，错误的是 A、如果方程 M 有两个不相等的实数根，那么方程 N 也有两个不相等的实数根； B、如果方程 M 有两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同； C、如果 5 是方程 M 的一个根，那么 1 5 是方程 N 的一个根； D、如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么这个根必是 1x  【试题分析】 本题是关于二元一次方程的判别式，及根与系数的关系： A、∵M 有两个不相等的实数根 ∴△＞0 即 2 4 0b ac  而此时 N 的判别式△＝ 2 4 0b ac  ，故它也有两个不相等的实数根； B、M 的两根符号相同：即 1 2 0cx x a    ，而 N 的两根之积＝ a c ＞0 也大于 0，故 N 的 两个根也是同号的。 C、如果 5 是 M 的一个根，则有：25 5 0a b c   ①，我们只需要考虑将 1 5 代入 N 方程 看是否成立，代入得： 1 1 025 5c b a   ②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除 以 25 得到，故②式成立。 D、比较方程 M 与 N 可得： 故可知，它们如果有根相同的根可是 1 或-1 答案为：D 二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9、如果手机通话每分钟收费 m 元，那么通话 a 分钟，收费 元。 【试题分析】 本题考点是：列代数式，根据公式：收费＝单价×时间 答案为： am 10、在平面直角坐标系中，点（－3,2）关于 y 轴的对称点的坐标是 。 【试题分析】 本题考点是：坐标的对称问题。可以利用图形解答，也可以记住规律，关于哪条轴对称，哪 个坐标不变，关于原点对称都变。 答案为：（3,2） 11、如图，l ∥ m ，∠1＝120°，∠A＝55°，则∠ACB 的大小是 。 【试题分析】 本题考点为：平行线的性质，邻补角的关系，三角形的内角和。 答案为：65° 12、某大学自主招生考试只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40% 计算。已知孔明数学得分为 95 分，综合得分为 93 分，那么孔明物理得分是 分。 【试题分析】 本题考点为：加权平均数的运用，或者直接利用应用题来解答。 答案为：90 分 13、因式分解： 2 ( 2) 16( 2)x x x   ＝ 。 【试题分析】 本题考点为：分解因式，首先提取整体公因式 ( 2)x  ，然后还要注意彻底分解， 2( 16)x  仍可以利用平方差公式分解。 答案为： ( 2)( 4)( 4)x x x   14、已知直线 2 (3 )y x a   与 x 轴的交点在 A（2,0），B（3,0）之间（包括 A、B 两点） 则 a 的取值范围是 。 【试题分析】 本题考点为：一次函数与 x 轴的性质，方程，不等式的综合考点 2 2 ( ) ( ) 1 1 a c x a c x x       　　 　　 2 (3 ) 0x a   3 2 ax  而 x 的取值范围为： 2 3x  即 32 32 a   从而解出 a 的取值范围 答案为： 7 9a  15、如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边 形 ABCD 和 EFGH 都是正方形，如果 AB＝10，EF＝2，那么 AH 等于 【试题分析】 本题考点为：全等三角形的对应边相等，直角三角形的勾股定理，正方形的边长相等； 由全等可知：AH＝DE，AE＝AH＋HE 由直角三角形可得： 2 2 2AE DE AB  ，代入可得 答案为：6 16、“皮克定理”是来计算原点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为 12 bS a   ，孔 明只记得公式中的 S 表示多边形的面积，a 和b 中有一个表示多边形那边上（含原点）的整 点个数，另一个表示多边形内部的整点的个数，但不记得究竟是 a 还是b 表示多边形内部的 整点的个数，请你选择一些特殊的多边形（如图 1）进行验证，得到公式中表示多边形内部 整点个数的字母是 ；并运用这个公式求得如图 2 中多边形的面积是 【试题分析】 本题考点：找到规律，求出 ,a b 表示的意义； 由图 1 的直角三角形的面积可以利用三角形面积公式求出为：4；而边上的整点为 8，里面 的点为 1；由公式 12 bS a   可知，b 为偶数，故 8b  ， 1a  ，即b 为边上整点的个数， a 为形内的整点的个数；利用矩形面积进行验证： 10b  ， 2a  ，代入公式 12 bS a   ＝6；利用长×宽也可以算出＝6，验证正确。 利用数出公式中的 7, 15b a  ，代入公式求得 S＝17.5 答案为：17.5 三、解答题（要求写出必要的解答步骤，本大题共 8 小题，共 52 分） 17、（本题满分 4 分）计算： 0 03 (2015 ) 2sin30    【试题分析】 本题考点为：简单的计算，包含绝对值的计算，零指数次幂，特殊角的三角函数值 解：原式＝3＋1－1 ＝3 18、（本题满分 4 分）先化简，再求值： 23 4( )2 2 3 x x x x x     ，其中 4x  【试题分析】 本题考点为：分式的混合运算，化简后求值 23 4( )2 2 3 3 ( 2)( 2) 2 3 2 4 2 6 x x x x x x x x x x x x x           　　　　　　 解：原式＝ 　　　　＝ 　当 ＝ 时 　原式＝ 　　　＝ 19、（本题满分 6 分）为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买 20 乒乓球做道具，并买一些 乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个 1.5 元，球拍每个 22 元，如果购买金额不超过 200 元， 且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？ 【试题分析】 本题考点为：一元一次不等式的应用题： 由已知可知，乒乓球共买 20 个，单价为 1.5 元每个，而球拍为每个 22 元，总金额不超过 200 元，即乒乓球的金额＋球拍的金额≤200① 涉及的公式为：金额＝单价×数量 金额 单价 数量 乒乓球 1.5×20＝30 1.5 20 球拍 22x 22 x 将相关数据代入①即可解得： w!w!w.!x!k!b!1.com 解：设购买球拍 x 个，依题意得： 1.5 20 22 200x   解之得： 8711x  由于 x 取整数，故 x 的最大值为 7。 答：略 20、（本题满分 6 分）某学校举行一次体育测试，从所有参加测试 的学生中随机抽取 10 名 学生的成绩，制作出如下统计表和条形统计图： 编号 成绩 等级 编号 成绩 等级 1 95 A ⑥ 76 B 2 78 B ⑦ 85 A 3 72 C ⑧ 82 B 4 79 B ⑨ 77 B 5 92 A ⑩ 69 C 请回答下列问题： （1）孔明同学这次测试的成绩是 87 分，则他的成绩等级是 ; （2）请将条形统计图补充完整； （3）已知该校所有参加这次测试的学生中，有 60 名学生成绩是 A 等，请根据以上抽样结 果，估计该校参加这次测试的学生总人数是多少？ 【试题分析】 本题考点：数据分析与统计 （1）从表格中找到 A 的最低分为 85 分，故易知孔明的成绩为 A （2）易知：C 等的人数为 10－3－5＝2 （3）这是由抽样来衡量整体的方法：10 个中 A 有 3 个，所以 A 的比例为 3 10 总人数为： 360 20010   21、（本题满分 6 分）P 表示 n 边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些 交点都不重合，那么 P 与 n 的关系式是： )(24 )1( 2 bannnnP  (其中， ,a b 是常数， 4n  ) （1）填空：通过画图可得： 四边形时，P＝ (填数字)，五边形时，，P＝ (填数字) （2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求 ,a b 的值 （注：本题的多边形均指凸多边形） 【试题分析】 本题考点：待定系数法求出 ,a b ，二元一次方程组 （1）由画图可得，当 4n  时， 1P  当 5n  时， 5P  （2）将上述值代入公式可得： 4 (4 1) (16 4 ) 124 5 (5 1) (25 5 ) 524 a b a b             ① ② 化简得：⊥AB 于 M，OE⊥BC 于 E ∴OM＝OE＝OF ∵OM⊥AB 于 M， OE⊥BC 于 E ∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90° ∵ OM OF AO AO    ∴Rt△AMO≌Rt△AFO ∴∠MA0＝∠FAO 新*课标*第*一*网 ∴点 O 在∠BAC 的平分线上 （2）方法一： ∵Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12 ∴AB＝13 易证：BE＝BM，AM＝AF 又 BE＝BC－CE，AF＝：AC－CF，而 CE＝CF＝OE 故：BE＝12－OE，AF＝5－OE 显然：BM＋AM＝AB 即：BE＋AF＝13 12－OE＋5－OE＝13 解得 OE＝2 方法二 利用面积法： S△ABC＝ 1 2 AC BC S△ABC＝ 1 1 1 2 2 2BC OE AC OE BA OE     从而解得。 23、（本题满分 8 分）已知 AB 是圆 O 的切线，切点为 B，直线 AO 交圆 O 于 C、D 两点，CD＝2，∠DAB=30°,动点 P 在直线 AB 上运动，PC 交圆 O 于另一点 Q， （1）当点 P，运动到 Q、C 两点重合时（如图 1），求 AP 的长。 （2）点运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD 的面积为 1 2 ?（ 直接写出答案） （3）当使△CQD 的面积为 1 2 ，且 Q 位于以 CD 为直径的的上半圆上，CQ＞QD 时（如图 2）， 求 AP 的长。 【试题分析】 （1）本小问是利用切线的性质，得到∠ACP＝90°，CD＝2，得到半径的长度：OD＝OC＝ OB 从而利用解直角三角形的方法来解得 AP 的长度。 解：∵AB 是圆 O 的切线 ∴∠OBA＝90° ∵ Rt△ ABC 中，CD＝2，∠DAB=30° ∴OB＝1 ∴OB＝OC＝AC＝1 ∵当点 P，运动到 Q、C 两点重合时 ∴PC 为圆 O 的切线 ∴∠PCA＝90° ∵∠DAB =30°，AC＝1 ∴AP＝ 2 33 （2）利用三角形的面积公式，知底和积可求高，然后用平行线去截圆，即可以得到解。 由于 CD 的长度 2，而 S△CQD＝ 1 2 ，故 CD 上的高的长度为： 1 2 ，从而如图，我们可得到答 案： （3）利用 S△CQD＝ 1 2 ，求出 CD 上的高 QN 的长度，过点 PM⊥AD 于点 M， 然后利用相似△QCN∽△DQN 求出 CN 的长度，再次利用相似△PMC∽△QNC，从而得到 MC 与 MP 的关系，由已知易知 AM＝ 3MP ，由 AC＝1，从而可以解出 MP，从而求出 AP 的长度。 解答如下： 过点 Q 作 QN⊥AD 于点 N， 过点 P 作 PM⊥AD 于点 M ∵S△CQD＝ 1 2 ∴ 1 2 QN×CD＝ 1 2 ∴CD＝ 1 2 ∵CD 是圆 O 的直径 ∴∠CQD＝90° 易证△QCN∽△DQN ∴ QN CN DN QN  ∴ 2QN CN DN  设 CN＝X，则 DN＝2－X ∴ 1(2 ) 4x x  解得： 1 2 2 3 2 3,2 2x x   ∵CQ＞QD ∴CN＝ 2 3 2  ∴ 2 3CN QN   易证：△PMC∽△QNC 易得： 2 3CN CM QN MP    ∴ (2 3)CM MP  在 Rt△ AMP 中易得： 3AM MP ∵AM＋CM＝AC＝1 ∴ (2 3)MP ＋ 3MP ＝1 ∴MP＝ 3 1 4  ∴AP＝2MP＝ 3 1 2  24、（本题满分 10 分）已知抛物线的表达式为 2 6y x x c    （1）若抛物线与 x 轴有交点，求 c 的取值范围； （2）设抛物线与 x 轴两个交点的横坐标分别为 1x 、 2x ，若 2 2 1 2 26x x  ，求 c 的值； （3）若 P、Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA、QB 都垂直于 x 轴，垂足分别为 A、 B，且△OPA 与△OQB 全等，求证： 21 4c   【试题分析】 （1）利用二次函数与一元二次方程的关系， 直接用判别式解答。 ∵ 2 6y x x c    与 x 轴有交点 ∴ 2 6 0x x c    有实数根 ∴△＝ 2 4 0b ac  即： 26 4 ( 1) 0c     解之得： 9c   （2）根据根与系数的关系，求出 c ∵ 2 6 0x x c    有解，且 2 2 1 2 26x x  ∴ 9c   ， 2 1 2 1 2( ) 2 26x x x x   即： 26( ) 2 261 1 c     解之得： 5c   （3）由全等得到P、Q 两点的坐标特点，然 后利用过度参数，比较两个式子 来描述坐标方程，方程有解。 易知： 设 P 的坐标为 ( , )m n ，则 Q 点坐标为 ( , )n m ， 且 0, 0m n  ， m n 将这两个点的坐标代入方程得： 2 2 6 1 6 2 m m c n n n c m        （ ） （ ） （1）－（2）得： 2 2 7( ) 0 ( )( 7) 0 n m m n m n m n         故可得： 7m n  故可得 7n m  代入方程（2）得： 2 7 ( 7) 0m m c     因为存在这样的点，所以上方程有解，所以 判别式 2 4 0b ac  即 27 4 ( 1) ( 7) 0c      故： 21 4c   而当 21 4c   时， 7 2m  ，此时 7 2n  故 21 4c  