2015年咸宁市中考数学试题解析

湖北省咸宁市 2015 年中考数学试卷 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1．如图，检测 4 个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负 数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ） A． B． C． D． 考点：正数和负数． . 分析：求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 解答：解：∵|﹣0.6|＜|+0.7|＜|+2.5|＜|﹣3.5|， ∴﹣0.6 最接近标准， 故选：C． 点评：本题考查了绝对值和正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解 题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大． 2．（3 分）（2015•咸宁）方程 2x﹣1=3 的解是（ ） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D． 2 考点：解一元一次方程． . 专题：计算题． 分析：方程移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解． 解答：解：方程 2x﹣1=3， 移项合并得：2x=4， 解得：x=2， 故选 D 点评：此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数 化为 1，求出解． 3．（3 分）（2015•咸宁）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．正方体 考点：由三视图判断几何体． . 分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 解答：解：由主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆可得此几何体为 圆柱． 故选 A． 点评：本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视 图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整 体形状． 4．（3 分）（2015•咸宁）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°， 则∠2 的度数为（ ） [来 源:Z*xx*k.Com ] A．50° B．40° C．30° D．25° 考点：平行线的性质．. 分析：由两直线平行，同位角相等，可求得∠3 的度数，然后求得∠2 的度数． 解答： 解：如图， ， ∵∠1=50°， ∴∠3=∠1=50°， ∴∠2=90°﹣50°=40°． 故选 B． 点评：此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键． 5．（3 分）（2015•咸宁）下列运算正确的是（ ） A．a6÷a2=a3 B．（a+b）2=a2+b2 C．2﹣3=﹣6 D． =﹣3 考点：同底数幂的除法；立方根；完全平方公式；负整数指数幂． . 专题：计算题． 分析：A、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断； B、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断； C、原式利用负整数指数幂法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式利用立方根定义计算得到结果，即可做出判断． 解答：解：A、原式=a4，错误； B、原式=a2+b2+2ab，错误； C、原式= ，错误； D、原式=﹣3，正确， 故选 D 点评：此题考查了同底数幂的除法，立方根，完全平方公式，以及负整数指数幂，熟练掌握 公式及法则是解本题的关键． 6．（3 分）（2015•咸宁）如图，以点 O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF．若 AD=OA， 则△ABC 与△DEF 的面积之比为（ ） A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6 考点：位似变换．. 分析：利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比． 解答：解：∵以点 O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF，AD=OA， ∴OA：OD=1：2， ∴△ABC 与△DEF 的面积之比为：1：4． 故选：B． 点评：此题主要考查了位似图形的性质，得出位似比是解题关键． 7．（3 分）（2015•咸宁）如图，在△ABC 中，CA=CB，∠ACB=90°，以 AB 的中点 D 为圆 心，作圆心角为 90°的扇形 DEF，点 C 恰在 EF 上，设∠BDF=α（0°＜α＜90°），当α由小到 大变化时，图中阴影部分的面积（ ） A．由小到大 B．由大到小 C．不变 D．先由小到大，后由大到小 考点：扇形面积的计算． . 分析：作 DM⊥AC 于 M，DN⊥BC 于 N，构造正方形 DMCN，利用正方形和等腰直角三角 形的性质，通过证明△DMG≌△DNH，把△DHN 补到△DNG 的位置，得到四边形 DGCH 的面积=正方形 DMCN 的面积，于是得到阴影部分的面积=扇形的面积﹣正方 形 DMCN 的面积，即为定值． 解答：解：作 DM⊥AC 于 M，DN⊥BC 于 N，连接 DC， ∵CA=CB，∠ACB=90°， ∴∠A=∠B=45°， DM= AD= AB，DN= BD= AB， ∴DM=DN， ∴四边形 DNCN 是正方形， ∴∠MDN=90°， ∴∠MDG=90°﹣∠GDN， ∵∠EDF=90°， ∴∠NDH=90°﹣∠GDN， ∴∠MDG=∠NDH， 在△DMG 和△DNH 中， ， ∴△DMG≌△DNH， ∴四边形 DGCH 的面积=正方形 DMCN 的面积， ∵正方形 DMCN 的面积=DM2= AB2， ∴四边形 DGCH 的面积= ， ∵扇形 FDE 的面积= = ， ∴阴影部分的面积=扇形面积﹣四边形 DGCH 的面积= （定值）， 故选 C． 点评：本题主要考查了等腰直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，全等三角形的判定 和性质，能正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（3 分）（2015•咸宁）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，下列结论： ①二次三项式 ax2+bx+c 的最大值为 4； ②4a+2b+c＜0； ③一元二次方程 ax2+bx+c=1 的两根之和为﹣1； ④使 y≤3 成立的 x 的取值范围是 x≥0． 其中正确的个数有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 考点：二次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与 x 轴的交 点；二次函数与不等式（组）．. 分析：①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式 ax2+bx+c 的最大值； ②根据 x=2 时，y＜0 确定 4a+2b+c 的符号； ③根据抛物线的对称性确定一元二次方程 ax2+bx+c=1 的两根之和； ④根据函数图象确定使 y≤3 成立的 x 的取值范围． 解答：解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式 ax2+bx+c 的最大值为 4，①正 确； ∵x=2 时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确； 根据抛物线的对称性可知，一元二次方程 ax2+bx+c=1 的两根之和为﹣2，③错误； 使 y≤3 成立的 x 的取值范围是 x≥0 或 x≤﹣2，④错误， 故选：B． 点评：本题考查的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式，掌握二次函数 的性质、正确获取图象信息是解题的关键． 二、细心填一填（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9．（3 分）（2015•咸宁）﹣6 的倒数是 ． 考点：倒数．. 分析：根据倒数的定义求解． 解答：解：因为（﹣6）×（﹣ ）=1， 所以﹣6 的倒数是﹣ ． 点评：倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数． 10．（3 分）（2015•咸宁）端午节期间，“惠民超市”销售的粽子打 8 折后卖 a 元，则粽子的原 价卖 a 元． 考点： x k b 1 列代数式．. 分析：8 折=80%，把原价当作单位“1”，则现价是原价的 80%，根据分数除法的意义原价是： a÷80%= ，得结果． 解答：解：8 折=80%， a÷80%= ， 故答案为： ． 点评：本题主要考查了打折问题，找准单位“1”，弄清各种量的关系是解答此题的关键． 11．（3 分）（2015•咸宁）将 x2+6x+3 配方成（x+m）2+n 的形式，则 m= 3 ． 考点：配方法的应用．. 专题：计算题． 分析：原式配方得到结果，即可求出 m 的值． 解答：解：x2+6x+3=x2+6x+9﹣6=（x+3）2﹣6=（x+m）2+n， 则 m=3， 故答案为：3 点评：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 12．（3 分）（2015•咸宁）如果实数 x，y 满足方程组 ，则 x2﹣y2 的值为 ﹣ ． 考点：解二元一次方程组；平方差公式．. 专题：计算题． 分析：方程组第二个方程变形求出 x+y 的值，原式利用平方差公式化简，将各自的值代入计 算即可求出值． 解答：解：方程组第二个方程变形得：2（x+y）=5，即 x+y= ， ∵x﹣y=﹣ ， ∴原式=（x+y）（x﹣y）=﹣ ， 故答案为：﹣ 点评：此题考查了解二元一次方程组，以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．（3 分）（2015•咸宁）为了解学生课外阅读的喜好，某校从八年级 1200 名学生中随机抽 取 50 名学生进行问卷调查，整理数据后绘制如图所示的统计图．由此可估计该年级喜爱“科 普常识”的学生约有 360 人． 考点：扇形统计图． . 分析：根据扇形图求出喜爱科普常识的学生所占的百分比，1200 乘百分比得到答案． 解答：解：喜爱科普常识的学生所占的百分比为：1﹣40%﹣20%﹣10%=30%， 1200×30%=360， 故答案为：360． 点评：本题考查的是扇形统计图的知识，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问 题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 14．（3 分）（2015•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，6），将△OAB 沿 x 轴向左平移得到△O′A′B′，点 A 的对应点 A′落在直线 y=﹣ x 上，则点 B 与其对应点 B′ 间的距离为 8 ． 考点：一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移． . 分析：根据题意确定点 A′的纵坐标，根据点 A′落在直线 y=﹣ x 上，求出点 A′的横坐标， 确定△OAB 沿 x 轴向左平移的单位长度即可得到答案． 解答：解：由题意可知，点 A 移动到点 A′位置时，纵坐标不变， ∴点 A′的纵坐标为 6， ﹣ x=6，解得 x=﹣8， ∴△OAB 沿 x 轴向左平移得到△O′A′B′位置，移动了 8 个单位， ∴点 B 与其对应点 B′间的距离为 8， 故答案为：8． 点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征和图形的平移，确定三角形 OAB 移动的 距离是解题的关键． 15．（3 分）（2015•咸宁）古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一 定的规律性．若把第一个三角数记为 a1，第二个三角数记为 a2…，第 n 个三角数记为 an，计 算 a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算 a399+a400= 1.6×105 或 160000 ． 考点：规律型：数字的变化类．. 分析：首先计算 a1+a2，a2+a3，a3+a4 的值，然后总结规律，根据规律可以得出结论． 解答：解：∵ ； ； ；… ∴ ； ∴ ． 故答案为：1.6×105 或 160000． 点评：本题考查的是规律发现，根据计算 a1+a2，a2+a3，a3+a4 的值可以发现规律为 ，发现规律是解决本题的关键． 16．（3 分）（2015•咸宁）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 是边 BC 上的动点，BF⊥AE 交 CD 于点 F，垂足为 G，连结 CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点 G 运动的 路径长为π；④CG 的最小值为 ﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说 法的序号都填上） 考点：四边形综合题．. 分析：根据正方形对角线的性质可得出当 E 移动到与 C 重合时，AG=GE，故①错误；求得 ∠BAE=∠CBF，根据正方形的性质可得 AB=BC，∠ABC=∠C=90°，然后利用“角角 边”证明△ABE 和△BCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得 AE=BF，判断出② 正确；根据题意，G 点的轨迹是以 A 为圆心以 AB 长为半径的圆弧 BD 的长，然后求 出弧 BD的长度，判断出③正确；正方形的对角线减去圆弧的半径就是 CG 的最小值， 通过计算从而判断出④错误． 解答：解：∵在正方形 ABCD 中，AE、BD 垂直平分， ∴当 E 移动到与 C 重合时，AG=GE，故①错误； ∵BF⊥AE， ∴∠AEB+∠CBF=90°， ∵∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠CBF， 在△ABE 和△BCF 中， ， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴故②正确； 根据题意，G 点的轨迹是以 A 为圆心以 AB 长为半径的圆弧 BD 的长， ∴圆弧 BD 的长= =π，故③正确； CG 的最小值为 AC﹣AB=4 ﹣2，故④错误； 综上所述，正确的结论有②③． 故答案为②③． 点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，勾股定理的应用， 熟记性质并求出△ABE 和△BCF 全等是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更 形象直观． 三、专心解一解（本大题共 8 小题，满分 72 分） 17．（8 分）（2015•咸宁）（1）计算：|1﹣ |+ +（﹣2）0； （2）化简：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a﹣b）2． 考点：整式的混合运算；实数的运算；零指数幂．. 专题：计算题． 分析：（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利 用零指数幂法则计算即可得到结果； （2）原式第一项利用多项式除以单项式法则计算，第二项利用完全平方公式化简， 去括号合并即可得到结果． 解答：解：（1）原式= ﹣1+2 +1=3 ； （2）原式=a2﹣2ab﹣b2﹣a2+2ab﹣b2=﹣2b2． 点评：此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（6 分）（2015•咸宁）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 为角平分线，DE⊥AB， 垂足为 E． （1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为 1 的相似三角形； （2）选择（1）中一对加以证明． 考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定． . 分析：（1）利用相似三角形的性质以及全等三角形的性质得出符合题意的答案； （2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可． 解答：解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD； （2）证明：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD 为角平分线， ∴∠ABD= ∠ABC=36°=∠A， 在△ADE 和△BDE 中 ∵ ， ∴△ADE≌△BDE（AAS）； 证明：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD 为角平分线， ∴∠DBC= ∠ABC=36°=∠A， ∵∠C=∠C， ∴△ABC∽△BCD． 点评：此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键． 19．（8 分）（2015•咸宁）已知关于 x 的一元二次方程 mx2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论 m 为何值时，方程总有实数根； （2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法． . 分析：（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可； （2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出 m 的值． 解答：解：（1）△=（m+2）2﹣8m =m2﹣4m+4 =（m﹣2）2， ∵不论 m 为何值时，（m﹣2）2≥0， ∴△≥0， ∴方程总有实数根； （2）解方程得，x= ， x1= ，x2=1， ∵方程有两个不相等的正整数根， ∴m=1 或 2，m=2 不合题意， ∴m=1． 点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情 况与判别式△的关系：△＞0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根；△=0 ⇔ 方程有两个相等 的实数根；△＜0 ⇔ 方程没有实数根是解题的关键． 20．（9 分）（2015•咸宁）某校九年级两个班，各选派 10 名学生参加学校举行的“汉字听写” 大赛预赛．各参赛选手的成绩如图： 九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100 九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99 通过整理，得到数据分析表如下： 班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差 九（1）班 100 m 93 93 12 九（2）班 99 95 n 93 8.4 （1）直接写出表中 m、n 的值； （2）依据数据分析表，有人说：“最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好”，但也有 人说（2）班的成绩要好，请给出两条支持九（2）班成绩好的理由； （3）若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另 外两个名额在四个“98 分”的学生中任选二个，试求另外两个决赛名额落在同一个班的概率． 考点：列表法与树状图法；加权平均数；中位数；众数；方差．. 专题：计算题． 分析：（1）求出九（1）班的平均分确定出 m 的值，求出九（2）班的中位数确定出n 的值 即可； （2）分别从平均分，方差，以及中位数方面考虑，写出支持九（2）班成绩好的原因； （3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出另外两个决赛名额落在同一个班的情 况数，即可求出所求的概率． 解答：解：（1）m= （88+91+92+93+93+93+94+98+98+100）=94； 把九（2）班成绩排列为：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99， 则中位数 n= （95+96）=95.5； （2）①九（2）班平均分高于九（1）班；②九（2）班的成绩比九（1）班稳定； ③九（2）班的成绩集中在中上游，故支持九（2）班成绩好（任意选两个即可）； （3）用 A1，B1 表示九（1）班两名 98 分的同学，C2，D2 表示九（2）班两名 98 分 的同学， 画树状图，如图所示： 所有等可能的情况有 12 种，其中另外两个决赛名额落在同一个班的情况有 4 种， 则 P（另外两个决赛名额落在同一个班）= = ． 点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21．（9 分）（2015•咸宁）如图，在△ABC 中，∠C=90°，以 AB 上一点 O 为圆心，OA 长为 半径的圆恰好与 BC 相切于点 D，分别交 AC、AB 于点 E、F． （1）若∠B=30°，求证：以 A、O、D、E 为顶点的四边形是菱形． （2）若 AC=6，AB=10，连结 AD，求⊙O 的半径和 AD 的长． 考点：切线的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．. 分析：（1）连接 OD、OE、ED．先证明△AOE 是等边三角形，得到 AE=AO=0D，则四边 形 AODE 是平行四边形，然后由 OA=OD 证明四边形 AODE 是菱形； （2）连接 OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O 的半径，然后证明△ADC∽△AFD， 得出 AD2=AC•AF，进而求出 AD． 解答：（1）证明：如图 1，连接 OD、OE、ED． ∵BC 与⊙O 相切于一点 D， ∴OD⊥BC， ∴∠ODB=90°=∠C， ∴OD∥AC， ∵∠B=30°， ∴∠A=60°， ∵OA=OE， ∴△AOE 是等边三角形， ∴AE=AO=0D， ∴四边形 AODE 是平行四边形， ∵OA=OD， ∴四边形 AODE 是菱形． （2）解：设⊙O 的半径为 r． ∵OD∥AC， ∴△OBD∽△ ABC． ∴ ，即 8r=6（8﹣r）． 解得 r= ， ∴⊙O 的半径为 ． 如图 2，连接 OD、DF． ∵OD∥AC， ∴∠DAC=∠ADO， ∵OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∴∠DAC=∠DAO， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF=90°=∠C， ∴△ADC∽△AFD， ∴ ， ∴AD2=AC•AF， ∵AC=6，AF= ， ∴AD2= ×6=45， ∴AD= =3 ． 点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质 以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．熟练掌握相关图形的性质 及判定是解本题的关键． 22．（10 分）（2015•咸宁）在“绿满鄂南”行动中，某社区计划对面积为 1800m2 的区域进行 绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能 完成绿化面积的 2 倍，并且在独立完成面积为 400m2 区域的绿化时，甲队比乙队少用 4 天． （1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积． （2）设甲工程队施工 x 天，乙工程队施工 y 天，刚好完成绿化任务，求 y 与 x 的函数解析 式． （3）若甲队每天绿化费用是 0.6 万元，乙队每天绿化费用为 0.25 万元，且甲乙两队施工的 总天数不超过 26 天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费 用． 考点：一次函数的应用；分式方程的应用． . 分析：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是 xm2，根据在独立完成面积为 400m2 区域 的绿化时，甲队比乙队少用 4 天，列方程求解； （2）根据题意得到 100x+50y=1800，整理得：y=36﹣2x，即可解答． （3）根据甲乙两队施工的总天数不超过 26 天，得到 x≥10，设施工总费用为 w 元， 根据题意得：w=0.6x+0.25y=0.6x+0.25×（36﹣2x）=0.1x+9，根据一次函数的性质， 即可解答． 解答：解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是 xm2， 根据题意得： ， 解得：x=50， 经检验，x=50 是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是 50×2=100（m2）， 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 100m2、50m2； （2）根据题意，得：100x+50y=1800， 整理得：y=36﹣2x， ∴y 与 x 的函数解析式为：y=36﹣2x． （3）∵甲乙两队施工的总天数不超过 26 天， ∴x+y≤26， ∴x+36﹣2x≤26， 解得：x≥10， 设施工总费用为 w 元，根据题意得： w=0.6x+0.25y=0.6x+0.25×（36﹣2x）=0.1x+9， ∵k=0.1＞0， ∴w 随 x 减小而减小， ∴当 x=10 时，w 有最小值，最小值为 0.1×10+9=10， 此时 y=36﹣20=16． 答：安排甲队施工 10 天，乙队施工 16 天时，施工总费用最低． 点评：本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未 知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． 23．（10 分）（2015•咸宁）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而 另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形． 理解：（1）如图 1，已知 A、B、C 在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格 点为顶点，AB、BC 为边的两个对等四边形 ABCD； （2）如图 2，在圆内接四边形 ABCD 中，AB 是⊙O 的直径，AC=BD．求证：四边形 ABCD 是对等四边形； （3）如图 3，在 Rt△PBC 中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC= ，点 A 在 BP 边上，且 AB=13．用圆规在 PC 上找到符合条件的点 D ，使四边形 ABCD 为对等四边形，并求出 CD 的长． 考点：四边形综合题．. 分析：（1）根据对等四边形的定义，进行画图即可； （2）连接 AC，BD，证明 Rt△ADB≌Rt△ACB，得到 AD=BC，又 AB 是⊙O 的直 径，所以 AB≠CD，即可解答； （3）根据对等四边形的定义，分两种情况：①若 CD=AB，此时点 D 在 D1 的位置， CD1=AB=13；②若 AD=BC=11，此时点 D 在 D2、D3 的位置，AD2=AD3=BC=11；利 用勾股定理和矩形的性质，求出相关相关线段的长度，即可解答． 解答：解：（1）如图 1 所示（画 2 个即可）． （2）如图 2，连接 AC，BD， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=∠ACB=90°， 在 Rt△ADB 和 Rt△ACB 中， ∴Rt△ADB≌Rt△ACB， ∴AD=BC， 又∵AB 是⊙O 的直径， ∴AB≠CD， ∴四边形 ABCD 是对等四边形． （3）如图 3，点 D 的位置如图所示： ①若 CD=AB，此时点 D 在 D1 的位置，CD1=AB=13； ②若 AD=BC=11，此时点 D 在 D2、D3 的位置，AD2=AD3=BC=11， 过点 A 分别作 AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为 E，F， 设 BE=x， ∵tan∠PBC= ， ∴AE= ， 在 Rt△ABE 中，AE2+BE2=AB2， 即 ， 解得：x1=5，x2﹣5（舍去）， ∴BE=5，AE=12， ∴CE=BC﹣BE=6， 由四边形 AECF 为矩形，可得 AF=CE=6，CF=AE=12， 在 Rt△AFD2 中， ， ∴ ， ， 综上所述，CD 的长度为 13、12﹣ 或 12+ ． 点评：本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概 念．在（3）中注意分类讨论思想的应用、勾股定理的应用． 24．（12 分）（2015•咸宁）如图 1，已知直线 y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将 直线在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V 形折线”）． （1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式； （2）如图 2，双曲线 y= 与新函数的图象交于点 C（1，a），点 D 是线段 AC 上一动点（不 包括端点），过点 D 作 x 轴的平行线，与新函数图象交于另一点 E，与双曲线交于点 P． ①试求△PAD 的面积的最大值； ②探索：在点 D 运动的过程中，四边形 PAEC 能否为平行四边形？若能，求出此时点 D 的 坐标；若不能，请说明理由． 考点：反比例函数综合题．. 分析：（1）根据一次函数的性质，结合函数图象可写出新函数的两条性质；求新函数的解 析式，可分两种情况进行讨论：①x≥﹣3 时，显然 y=x+3；②当 x＜﹣3 时，利用待 定系数法求解； （2）①先把点 C（1，a）代入 y=x+3，求出 C（1，4），再利用待定系数法求出反比 例函数解析式为 y= ．由点 D 是线段 AC 上一动点（不包括端点），可设点 D 的坐标 为（m，m+3），且﹣3＜m＜1，那么 P（ ，m+3），PD= ﹣m，再根据三角形 的面积公式得出△PAD 的面积为 S= （ ﹣m）×（m+3）=﹣ m2﹣ m+2=﹣ （m+ ） 2+ ，然后利用二次函数的性质即可求解； ②先利用中点坐标公式求出 AC 的中点 D 的坐标，再计算 DP，DE 的长度，如果 DP=DE，那么根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形 PAEC 为平行四 边形；如果 DP≠DE，那么不是平行四边形． 解答：解：（1）如图 1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为 0； ②函数图象的对称轴为直线 x=﹣3； 由题意得 A 点坐标为（﹣3，0）．分两种情况： ①x≥﹣3 时，显然 y=x+3； ②当 x＜﹣3 时，设其解析式为 y=kx+b． 在直线 y=x+3 中，当 x=﹣4 时，y=﹣1， 则点（﹣4，﹣1）关于 x 轴的对称点为（﹣4，1）． 把（﹣4，1），（﹣3，0）代入 y=kx+b， 得 ，解得 ， ∴y=﹣x﹣3． 综上所述，新函数的解析式为 y= ； （2）如图 2，①∵点 C（1，a）在直线 y=x+3 上， ∴a=1+3=4． ∵点 C（1，4）在双曲线 y= 上， ∴k=1×4=4，y= ． ∵点 D 是线段 AC 上一动点（不包括端点）， ∴可设点 D 的坐标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1． ∵DP∥x 轴，且点 P 在双曲线上， ∴P（ ，m+3）， ∴PD= ﹣m， ∴△PAD 的面积为 S= （ ﹣m）×（m+3）=﹣ m2﹣ m+2=﹣ （m+ ）2+ ， ∵a=﹣ ＜0， ∴当 m=﹣ 时，S 有最大值，为 ， 又∵﹣3＜﹣ ＜1， ∴△PAD 的面积的最大值为 ； ②在点 D 运动的过程中，四边形 PAEC 不能为平行四边形．理由如下： 当点 D 为 AC 的中点时，其坐标为（﹣1，2），此时 P 点的坐标为（2，2），E 点的坐 标为（﹣5，2）， ∵DP=3，DE=4， ∴EP 与 AC 不能互相平分， ∴四边形 PAEC 不能为平行四边形． 点评：本题是反比例函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求反比例函数、一次函数的解 析式，反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，二次函数最值的 求法，平行四边形的判定等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论 是解题的关键．