2015年厦门市中考数学试卷及答案

2015 年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试 数 学 （试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟） 准考证号 姓名 座位号 注意事项： 1．全卷三大题，27 小题，试卷共 4 页，另有答题卡． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 3．可直接用 2B 铅笔画图． 一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正 确） 1. 反比例函数 y＝1 x 的图象是 A． 线段 B．直线 C．抛物线 D．双曲线 2. 一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，投掷这样的骰子一次，向上一面点数 是偶数的结果有 A.1 种 B. 2 种 C. 3 种 D．6 种 3. 已知一个单项式的系数是 2，次数是 3，则这个单项式可以是 A. －2xy2 B. 3x2 C. 2xy3 D. 2x 3 4. 如图 1，△ABC 是锐角三角形，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D， 则点 C 到直线 AB 的距离是 图 1 A. 线段 CA 的长 B.线段 CD 的长 C. 线段 AD 的长 D.线段 AB 的长 5. 2—3 可以表示为 A．22÷25 B．25÷22 C．22×25 D．（－2）×（－2）×（－2） 6．如图 2，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D，E 分别在边 AC，AB 上， 若∠B＝∠ADE，则下列结论正确的是 A．∠A 和∠B 互为补角 B． ∠B 和∠ADE 互为补角 C．∠A 和∠ADE 互为余角 D．∠AED 和∠DEB 互为余角 图 2 7. 某商店举办促销活动，促销的方法是将原价 x 元的衣服以(4 5x－10) 元出售，则下列说法中，能正确表 达该商店促销方法的是 A. 原价减去 10 元后再打 8 折 B. 原价打 8 折后再减去 10 元 C. 原价减去 10 元后再打 2 折 D. 原价打 2 折后再减去 10 元 8. 已知 sin6°＝a，sin36°＝b，则 sin2 6°＝ A. a2 B. 2a C. b2 D． b 9．如图 3，某个函数的图象由线段 AB 和 BC 组成，其中点 A（0，4 3 ），B（1，1 2 ），C（2，5 3 ），则此函数的最小值是 A．0 B．1 2 C．1 D．5 3 图 3 10．如图 4，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 边 BC 的中点，一个圆过点 A，交边 AB 于点 E，且与 BC 相切 于点 D，则该圆的圆心是 A．线段 AE 的中垂线与线段 AC 的中垂线的交点 B．线段 AB 的中垂线与线段 AC 的中垂线的交点 C．线段 AE 的中垂线与线段 BC 的中垂线的交点 D．线段 AB 的中垂线与线段 BC 的中垂线的交点 图 4 二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．不透明的袋子里装有 1 个红球、1 个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机 摸出一个球，则摸出红球的概率是 ． 12．方程 x2＋x＝0 的解是 ． 13．已知 A，B，C 三地位置如图 5 所示，∠C＝90°，A，C 两地的距离是 4 km， B，C 两地的距离是 3 km，则 A，B 两地的距离是 km；若 A 地在 C 地的正东方向，则Ｂ地在 C 地的 方向． 14．如图 6，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是边 AD 的中点， 图 5 若 AC＝10，DC＝2 5，则 BO＝ ，∠EBD 的大小约为 度 分．（参考数据：tan26°34′≈1 2 ） 15．已知(39＋ 8 13)×(40＋ 9 13)＝a＋b，若 a 是整数，1＜b＜2，则 a＝ ． 图 6 16．已知一组数据 1，2，3，…，n（从左往右数，第 1 个数是 1，第 2 个数是 2，第 3 个 数是 3，依此类 推，第 n 个数是 n）．设这组数据的各数之和是 s，中位数是 k，则 s＝ （用只含有 k 的代数式表示）． 三、解答题（本大题有 11 小题，共 86 分） 17．（本题满分 7 分） 计算：1－2＋2×(－3)2 ． 18．（本题满分 7 分） 在平面直角坐标系中，已知点 A（－3,1），B（－2,0）， C（0,1）,请在图 7 中画出△ABC，并画出与△ABC 关于原点 O 对称的图形． 图 7 19．（本题满分 7 分） 计算： x x＋1 ＋x＋2 x＋1 ． 20．（本题满分 7 分） 如图 8，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，若 DE∥BC， AD＝3 ，AB＝5，求DE BC 的值． 图 8 21．（本题满分 7 分） 解不等式组 2x＞2， x＋2≤6＋3x. 22.（本题满分 7 分） 某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进行面试和笔试，他们的成绩（百分制）如下表 所示． 应聘者 面试 笔试 甲 87 90 乙 91 82 若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩 6 和 4 的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？ 23．（本题满分 7 分） 如图 9，在△ABC 中，AB＝AC，点 E，F 分别是边 AB，AC 的中点，点 D 在边 BC 上． 若 DE＝DF，AD＝2，BC＝6，求四边形 AEDF 的周长． 图 9 24．（本题满分 7 分） 已知实数 a，b 满足 a－b＝1，a2－ab＋2＞0，当 1≤x≤2 时，函数 y＝a x （a≠0）的最大值与最小值之 差是 1，求 a 的值． 25.（本题满分 7 分） 如图 10，在平面直角坐标系中，点 A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）(q＜n），点 B，D 在 直线 y＝1 2x＋1 上．四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 E，且 AB∥CD， CD＝4，BE＝DE，△AEB 的面积是 2． 求证：四边形 ABCD 是矩形． 图 10 26．（本题满分 11 分） 已知点 A（－2，n）在抛物线 y＝x2＋bx＋c 上． （1）若 b＝1，c＝3，求 n 的值； （2）若此抛物线经过点 B（4，n），且二次函数 y＝x2＋bx＋c 的最小值是－4，请画出点 P（x－1，x2＋bx＋c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由． 27．（本题满分 12 分） 已知四边形 ABCD 内接于⊙O，∠ADC＝90°，∠DCB＜90°，对角线 AC 平分∠DCB ， 延长 DA，CB 相交于点 E． （1）如图 11，EB＝AD，求证：△ABE 是等腰直角三角形； （2）如图 12，连接 OE，过点 E 作直线 EF，使得∠OEF＝30°． 当∠ACE≥30°时，判断直线 EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由． 图 11 图 12 2015 年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试 数学参考答案 说明：解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应 评分. 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 D C D B A C B A B C 二、填空题（本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分） 11. 1 2 12. 0，－1 13. 5；正北 14. 5，18,26 15. 1611 16. 2k2－k 三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分） 17．（本题满分 7 分） 解： 1－2＋2×(－3)2 ＝－1＋2×9 ＝17. ……………………………7 分 18．（本题满分 7 分） 解： ……………………………7 分 19．（本题满分 7 分） 解： x x＋1 ＋x＋2 x＋1 ＝2x＋2 x＋1 ……………………………5 分 ＝2 ……………………………7 分 20．（本题满分 7 分） 解：∵ DE∥BC， ∴ △ADE ∽△ABC. ……………………………4 分 ∴ DE BC ＝AD AB . ……………………………6 分 ∵ AD AB ＝3 5 ， ∴ DE BC ＝3 5 . ……………………………7 分 21．（本题满分 7 分） 解：解不等式 2x＞2，得 x＞1. ……………………………3 分 解不等式 x＋2≤6＋3x，得 x≥－2. ……………………………6 分 1 2 3 4-4 -3 -2 -1 -1 1 O y x A B C 不等式组 2x＞2， x＋2≤6＋3x 的解集是 x＞1. ……………………………7 分 22.（本题满分 7 分） 解：由题意得， 甲应聘者的加权平均数是6×87＋4×90 6＋4 ＝88.2. ……………………………3 分 乙应聘者的加权平均数是6×91＋4×82 6＋4 ＝87.4. ……………………………6 分 ∵88.2＞87.4， ∴甲应聘者被录取. ……………………………7 分 23．（本题满分 7 分） 解：∵AB＝AC，E，F 分别是边 AB，AC 的中点， ∴AE＝AF＝1 2AB. ……………………………1 分 又∵DE＝DF，AD＝AD，w!w!w.!x!k!b!1.com ∴△AED≌△AFD. ……………………………2 分 ∴∠EAD＝∠FAD. ∴AD⊥BC， ……………………………3 分 且 D 是 BC 的中点. 在 Rt△ABD 中，∵E 是斜边 AB 的中点， ∴DE＝AE. ……………………………6 分 同理，DF＝AF. ∴四边形 AEDF 的周长是 2AB. ∵BC＝6，∴BD＝3. 又 AD＝2， ∴AB＝ 13. ∴四边形 AEDF 的周长是 2 13. ……………………………7 分 24．（本题满分 7 分） 解 1：由 a－b＝1，a2－ab＋2＞0 得，a＞－2. ……………………………2 分 ∵a≠0， （1）当－2＜a＜0 时， ……………………………3 分 在 1≤x≤2 范围内 y 随 x 的增大而增大， ∴ a 2 －a＝1. ∴ a＝－2 ……………………………4 分 不合题意，舍去. （2）当 a＞0 时， ……………………………5 分 在 1≤x≤2 范围内 y 随 x 的增大而减小， ∴ a－a 2 ＝1. ∴ a＝2. ……………………………6 分 综上所述 a＝2. ……………………………7 分 解 2：（1）当 a＜0 时， ……………………………1 分 在 1≤x≤2 范围内 y 随 x 的增大而增大， ∴ a 2 －a＝1. ∴ a＝－2. ……………………………2 分 ∴ b＝－3. 而 a2－ab＋2＝0，不合题意， ∴a≠－2. ……………………………3 分 （2）当 a＞0 时， ……………………………4 分 在 1≤x≤2 范围内 y 随 x 的增大而减小， ∴ a－a 2 ＝1. ∴ a＝2. ……………………………5 分 ∴ b＝1. 而 a2－ab＋2＝4＞0，符合题意， ∴ a＝2. ……………………………6 分 综上所述， a＝2. ……………………………7 分 25.（本题满分 7 分） 解 1：∵ AB∥CD， ∴∠EAB＝∠ECD，∠EBA＝∠EDC. ∵ BE＝DE， ∴ △AEB≌△CED. ……………………………1 分 ∴ AB＝CD＝4. ∵AB∥CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ……………………………2 分 A（2，n），B（m，n）（m＞2）， ∴ AB∥x 轴，且 CD∥x 轴. ∵ m＞2，∴m＝6. ……………………………3 分 ∴n＝1 2 ×6＋1＝4. ∴ B（6，4）. ∵△AEB 的面积是 2， ∴△AEB 的高是 1. ……………………………4 分 ∴平行四边形 ABCD 的高是 2. ∵ q＜n， ∴q＝2. ∴p＝2， ……………………………5 分 即 D（2，2）. ∵点 A（2，n）， ∴DA∥y 轴. ……………………………6 分 ∴AD⊥CD，即∠ADC＝90°. ∴四边形 ABCD 是矩形. ……………………………7 分 解 2：∵AB∥CD， ∴∠EAB＝∠ECD，∠EBA＝∠EDC. ∵ BE＝DE， ∴ △AEB≌△CED. ……………………………1 分 ∴ AB＝CD＝4. ∵AB∥CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ……………………………2 分 ∵A（2，n），B（m，n）（m＞2）， ∴ AB∥x 轴，且 CD∥x 轴. ∵ m＞2，∴m＝6. ……………………………3 分 ∴n＝1 2 ×6＋1＝4. ∴ B（6，4）. 过点 E 作 EF⊥AB，垂足为 F， ∵△AEB 的面积是 2， ∴EF＝1. ……………………………4 分 ∵ q＜n， ∴点 E 的纵坐标是 3. ∴点 E 的横坐标是 4. ∴点 F 的横坐标是 4. ……………………………5 分 ∴点 F 是线段 AB 的中点. ∴直线 EF 是线段 AB 的中垂线. ∴EA＝EB. ……………………………6 分 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AE＝EC，BE＝ED. ∴AC＝BD. ∴四边形 ABCD 是矩形. ……………………………7 分 26．（本题满分 11 分） （1）解：∵ b＝1，c＝3， ∴ y＝x2＋x＋3. ……………………………2 分 ∵点 A（－2，n）在抛物线 y＝x2＋x＋3 上， ∴n＝4－2＋3 ……………………………3 分 ＝5. ……………………………4 分 （2）解：∵点 A（－2，n），B（4，n）在抛物线 y＝x2＋bx＋c 上， ∴ 4－2b＋c＝n， 16＋4b＋c＝n. ∴b＝－2. ∴顶点的横坐标是－b 2 ＝1. 即顶点为（1，－4）. ∴－4＝1－2＋c. ∴c＝－3. ……………………………7 分 ∴P（x－1，x2－2x－3）. ∵将点（x，x2－2x－3）向左平移一个单位得点 P（x－1，x2－2x－3）， ∴将点（x，x2－2x－3）的纵坐标随横坐标变化的函数的图象向左平移 一个单位后可得点 P（x－1，x2－2x－3）的纵坐标随横坐标变化的函 数的图象. ……………………………8 分 设 p＝x－1，q＝x2－2x－3， 则 q＝p2－4. 画出抛物线 q＝p2－4 的图象. ……………………………11 分 27．（本题满分 12 分） （1）证明：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∠ADC＝90°， ∴∠ABC＝90°. ∴∠ABE＝90°. ……………………………1 分 ∵AC 平分∠DCB， ∴∠ACB＝∠ACD. ……………………………2 分 ∴AB＝AD. ……………………………3 分 ∵EB＝AD， ∴EB＝AB. ……………………………4 分 ∴△ABE 是等腰直角三角形. ……………………………5 分 （2）直线 EF 与⊙O 相离. 证明：过 O 作 OG⊥EF，垂足为 G. 在 Rt△OEG 中， ∵∠OEG＝30°， ∴OE＝2OG. ……………………………6 分 ∵∠ADC＝90°, ∴AC 是直径. 设∠ACE＝ ，AC＝2r. 由（1）得∠DCE＝2 ， 又∠ADC＝90°， ∴∠AEC＝90°－2 . ∵ ≥30°， ∴（90°－2 ）－ ≤0. ……………………………8 分 ∴∠AEC≤∠ACE. ∴AC≤AE. ……………………………9 分 在△AEO 中，∠EAO＝90°＋ ， ∴∠EAO＞∠AOE. ∴EO＞AE. ……………………………10 分 ∴EO－AE＞0. 由 AC≤AE 得 AE－AC≥0. ∴EO－AC＝EO＋AE－AE－AC ＝（EO－AE）＋（AE－AC）＞0. ∴EO＞AC. 即 2OG≥2r. ∴OG＞r. ……………………………11 分 ∴直线 EF 与⊙O 相离. ……………………………12 分 O E D C B A E D A C B F O G