2015年武威市中考数学试题解析

2015 年甘肃省武威市中考数学试卷（解析版） 一、本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 1．（3 分）（2015•荆门）64 的立方根是（ ） A ． 4 B ． ±4 C ． 8 D ． ±8 考点： 立方根． 菁优网版 权所有 分析： 如果一个数 x 的立方等于 a，那么 x 是 a 的立方根，根 据此定义求 解即可． 解答： 解：∵4 的立 方等于 64， ∴64 的立方 根等于 4． 故选 A． 点评： 此题主要考 查了求一个 数的立方根， 解题时应先 找出所要求 的这个数是 哪一个数的 立方．由开立 方和立方是 互逆运算，用 立方的方法 求这个数的 立方根．注意 一个数的立 方根与原数 的性质符号 相同． 2．（3 分）（2015•武威）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为 67500 吨．将数 67500 用科 学记数法表示为（ ） A ． 0.675×105 B ． 6.75×104 C ． 67.5×103 D ． 675×102 考点： 科学记数 法—表示较 大的数． 菁优网版 权所有 分析： 科学记数法 的表示形式 为 a×10n 的形 式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整 数．确定 n 的 值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移 动了多少位， n 的绝对值与 小数点移动 的位数相同． 当原数绝对 值＞1 时，n 是正数；当原 数的绝对值 ＜1 时，n 是 负数． 解答： 解：将 67500 用科学记数 法表示为： 6.75×104． 故选：B． 点评： 此题考查了 科学记数法 的表示方法． 科学记数法 的表示形式 为 a×10n 的形 式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整 数，表示时关 键要正确确 定 a 的值以及 n 的值． 3．（3 分）（2015•武威）若∠A=34°，则∠A 的补角为（ ） A ． 56° B ． 146° C ． 156° D ． 166° 考点： 余角和补角．菁 优网版权 所有 分析： 根据互补的 两角之和为 180°，可得出 答案． 解答： 解： ∵∠A=34°， ∴∠A 的补 角=180°﹣ 34°=146°． 故选 B． 点评： 本题考查了 余角和补角 的知识，解答 本题的关键 是掌握互补 的两角之和 为 180°． 4．（3 分）（2015•武威）下列运算正确的是（ ） A ． x2+x2=x4 B ． （a﹣b）2=a2 ﹣b2 C ． （﹣a2）3=﹣ a6 D ． 3a2•2a3=6a6 考点： 完全平方公 式；合并同类 项；幂的乘方 与积的乘方； 单项式乘单 项式．菁优网版 权所有 分析： 根据同类项、 完全平方公 式、幂的乘方 和单项式的 乘法计算即 可． 解答： 解：A、 x2+x2=2x2，错 误； B、（a﹣b） 2=a2﹣ 2ab+b2，错 误； C、（﹣a2）3= ﹣a6，正确； D、 3a2•2a3=6a5， 错误； 故选 C． 点评： 此题考查同 类项、完全平 方公式、幂的 乘方和单项 式的乘法，关 键是根据法 则进行计算． 5．（3 分）（2015•武威）如图是由 6 个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯 视图是（ ） A ． B ． C ． D ． 考点： 简单组合体 的三视图．菁优网版 权所有 分析： 找到从上面 看所得到的 图形即可，注 意所有的看 到的棱都应 表现在俯视 图中． 解答： 解：从上面看 易得上面第 一层中间有 1 个正方形，第 二层有 3 个正 方形．下面一 层左边有 1 个 正方形， 故选 A． 点评： 本题考查了 三视图的知 识，俯视图是 从物体的上 面看得到的 视图． 6．（3 分）（2015•武威）下列命题中，假命题是（ ） A ． 平行四边形 是中心对称 图形 B ． 三角形三边 的垂直平分 线相交于一 点，这点到三 角形三个顶 点的距离相 等 C ． 对于简单的 随机样本，可 以用样本的 方差去估计 总体的方差 D ． 若 x2=y2，则 x=y 考点： 命题与定理； 有理数的乘 方；线段垂直 平分线的性 质；中心对称 图形；用样本 估计总体．菁优网版 权所有 分析： 根据平行四 边形的性质、 三角形外心 的性质以及 用样本的数 字特征估计 总体的数字 特征和有理 数乘方的运 算逐项分析 即可． 解答： 解：A、平行 四边形是中 心对称图形， 它的中心对 称点为两条 对角线的交 点，故该命题 是真命题； B、三角形三 边的垂直平 分线相交于 一点，为三角 形的外心，这 点到三角形 三个顶点的 距离相等，故 该命题是真 命题； C、用样本的 数字特征估 计总体的数 字特征：主要 数据有众数、 中位数、平均 数、标准差与 方差，故该命 题是真命题； D、若 x2=y2， 则 x=±y，不 是 x=y，故该 命题是假命 题； 故选 D． 点评： 本题考查了 命题真假的 判断，属于基 础题．根据定 义：符合事实 真理的判断 是真命题，不 符合事实真 理的判断是 假命题，不难 选出正确项． 7．（3 分）（2015•武威）今年来某县加大了对教育经费的投入，2013 年投入 2500 万元，2015 年投入 3500 万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为 x，根据题意列方程，则下列 方程正确的是（ ） A ． 2500x2=3600 B ． 2500（1+x） 2=3600 C ． 2500（1+x%） 2=3600 D ． 2500（1+x） +2500（1+x） 2=3600 考点： 由实际问题 抽象出一元 二次方程．菁优网版 权所有 专题： 增长率问题． 分析： 根据 2013 年 教育经费额× （1+平均年 增长率） 2=2015 年教 育经费支出 额，列出方程 即可． 解答： 解：设增长率 为 x，根据题 意得 2500× （1+x） 2=3500， 故选 B． 点评： 本题考查一 元二次方程 的应用﹣﹣ 求平均变化 率的方法．若 设变化前的 量为 a，变化 后的量为 b， 平均变化率 为 x，则经过 两次变化后 的数量关系 为 a（1±x） 2=b．（当增长 时中间的“±” 号选“+”，当 下降时中间 的“±”号选 “﹣”）． 8．（3 分）（2015•武威）△ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC 的度数是 （ ） A ． 80° B ． 160° C ． 100° D ． 80°或 100° 考点： 圆周角定理．菁 优网版权 所有 分析： 首先根据题 意画出图形， 由圆周角定 理即可求得 答案∠ABC 的度数，又由 圆的内接四 边形的性质， 即可求得 ∠ABC 的度 数． 解答： 解：如图， ∵∠AOC=16 0°， ∴∠ABC= ∠AOC= ×1 60°=80°， ∵∠ABC+∠ AB′C=180°， ∴∠AB′C=1 80°﹣ ∠ABC=180° ﹣80°=100°． ∴∠ABC 的 度数是：80° 或 100°． 故选 D． 点评： 此题考查了 圆周角定理 与圆的内接 四边形的性 质．此题难度 不大，注意数 形结合思想 与分类讨论 思想的应用， 注意别漏解． 9．（3 分）（2015•武威）如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点，DE∥AC，若 S△BDE： S△CDE=1：3，则 S△DOE：S△AOC 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 考点： 相似三角形 的判定与性 质． 菁优网版 权所有 分析： 证明 BE： EC=1：3，进 而证明 BE： BC=1：4；证 明 △DOE∽△A OC，得到 = ， 借助相似三 角形的性质 即可解决问 题． 解答： 解：∵S△BDE： S△CDE=1：3， ∴BE：EC=1： 3； ∴BE：BC=1： 4； ∵DE∥AC， ∴△DOE∽ △AOC， ∴ = ， ∴S△DOE： S△AOC= = ， 故选 D． 点评： 本题主要考 查了相似三 角形的判定 及其性质的 应用问题；解 题的关键是 灵活运用形 似三角形的 判定及其性 质来分析、判 断、推理或解 答． 10．（3 分）（2015•武威）如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，点 P 是 BC 边上的一个动 点（点 P 与点 B、C 都不重合），现将△PCD 沿直线 PD 折叠，使点 C 落到点 F 处；过点 P 作∠BPF 的角平分线交 AB 于点 E．设 BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数 关系的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 考点： 动点问题的 函数图象．菁优网版 权所有 分析： 证明 △BPE∽△C DP，根据相似 三角形的对 应边的比相 等求得 y 与 x 的函数关系 式，根据函数 的性质即可 作出判断． 解答： 解： ∵∠CPD=∠ FPD， ∠BPE=∠FP E， 又 ∵∠CPD+∠ FPD+∠BPE+ ∠FPE=180°， ∴∠CPD+∠ BPE=90°， 又∵直角 △BPE 中， ∠BPE+∠BE P=90°， ∴∠BEP=∠ CPD， 又 ∵∠B=∠C， ∴△BPE∽ △CDP， ∴ ，即 ，则 y=﹣ x2+ ， y 是 x 的二次 函数，且开口 向下． 故选 C． 点评： 本题考查了 动点问题的 函数图象，求 函数的解析 式，就是把自 变量当作已 知数值，然后 求函数变量 y 的值，即求线 段长的问题， 正确证明 △BPE∽△C DP 是关键． 二、填空题，本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分 11．（3 分）（2015•武威）分解因式：x3y﹣2x2y+xy= xy（x﹣1）2 ． 考点： 提公因式法 与公式法的 综合运用．菁优网版 权所有 专题： 计算题． 分析： 原式提取公 因式，再利用 完全平方公 式分解即可． 解答： 解：原式=xy （x2﹣2x+1） =xy（x﹣1）2． 故答案为：xy （x﹣1）2 点评： 此题考查了 提公因式法 与公式法的 综合运用，熟 练掌握因式 分解的方法 是解本题的 关键． 12．（3 分）（2015•武威）分式方程 的解是 x=2 ． 考点： 解分式方程．菁 优网版权 所有 分析： 观察可得最 简公分母是 x （x+3），方程 两边乘最简 公分母，可以 把分式方程 转化为整式 方程求解． 解答： 解：方程的两 边同乘 x （x+3），得 2（x+3）=5x， 解得 x=2． 检验：把 x=2 代入 x（x+3） =10≠0，即x=2 是原分式方 程的解． 故原方程的 解为：x=2． 故答案为： x=2． 点评： 此题考查了 分式方程的 求解方法．注 意：①解分式 方程的基本 思想是“转化 思想”，把分 式方程转化 为整式方程 求解，②解分 式方程一定 注意要验根． 13．（3 分）（2015•武威）在函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 x≥﹣1 且 x≠0 ． 考点： 函数自变量 的取值范围．菁 优网版权 所有 分析： 根据二次根 式的性质和 分式的意义， 被开方数大 于或等于 0， 分母不等于 0，可以求出 x 的范围． 解答： 解：根据题意 得：x+1≥0 且 x≠0， 解得：x≥﹣1 且 x≠0． 故答案为：x≥ ﹣1 且 x≠0． 点评： 考查了函数 自变量的取 值范围，函数 自变量的取 值范围一般 从三个方面 考虑： （1）当函数 表达式是整 式时，自变量 可取全体实 数； （2）当函数 表达式是分 式时，考虑分 式的分母不 能为 0； （3）当函数 表达式是二 次根式时，被 开方数非负． 14．（3 分）（2015•武威）定义新运算：对于任意实数 a，b 都有：a⊕b=a（a﹣b）+1，其中 等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那 么不等式 3⊕x＜13 的解集为 x＞﹣1 ． 考点： 一元一次不 等式的应用．菁 优网版权 所有 专题： 新定义． 分析： 根据运算的 定义列出不 等式，然后解 不等式求得 不等式的解 集即可． 解答： 解：3⊕x＜ 13， 3（3﹣x）+1 ＜13， 解得：x＞﹣ 1． 故答案为：x ＞﹣1． 点评： 此题考查一 元一次不等 式解集的求 法，理解运算 的方法，改为 不等式是解 决问题的关 键． 15．（3 分）（2015•武威）已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣ |+ =0，则 α+β= 75° ． 考点： 特殊角的三 角函数值；非 负数的性质： 绝对值；非负 数的性质：算 术平方根．菁优网版 权所有 分析： 根据非负数 的性质求出 sinα、tanβ的 值，然后根据 特殊角的三 角函数值求 出两个角的 度数． 解答： 解：∵|sinα﹣ |+ =0， ∴sinα= ， tanβ=1， ∴α=30°， β=45°， 则 α+β=30°+45° =75°． 故答案为： 75°． 点评： 本题考查了 特殊角的三 角函数值，解 答本题的关 键是掌握几 个特殊角的 三角函数值． 16．（3 分）（2015•武威）关于 x 的方程 kx2﹣4x﹣ =0 有实数根，则 k 的取值范围是 k≥﹣ 6 ． 考点： 根的判别式； 一元一次方 程的解． 菁优网版 权所有 分析： 由于 k 的取值 不确定，故应 分 k=0（此时 方程化简为 一元一次方 程）和 k≠0（此 时方程为二 元一次方程） 两种情况进 行解答． 解答： 解：当k=0时， ﹣4x﹣ =0， 解得 x=﹣ ， 当 k≠0 时，方 程 kx2﹣4x﹣ =0 是一元 二次方程， 根据题意可 得：△=16﹣ 4k×（﹣ ）≥0， 解得 k≥﹣6， k≠0， 综上 k≥﹣6， 故答案为 k≥ ﹣6． 点评： 本题考查的 是根的判别 式，注意掌握 一元二次方 程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的根 与△=b2﹣4ac 有如下关系： ①当△＞0 时，方程有两 个不相等的 两个实数根； ②当△=0 时， 方程有两个 相等的两个 实数根；③当 △＜0 时，方 程无实数根． 同时解答此 题时要注意 分 k=0 和 k≠0 两种情况进 行讨论． 17．（3 分）（2015•武威）如图，半圆 O 的直径 AE=4，点 B，C，D 均在半圆上，若 AB=BC， CD=DE，连接 OB，OD，则图中阴影部分的面积为 π ． 考点： 扇形面积的 计算．菁优网版 权所有 分析： 根据题意可 知，图中阴影 部分的面积 等于扇形 BOD 的面积， 根据扇形面 积公式即可 求解． 解答： 解： ∵AB=BC， CD=DE， ∴ = ， = ， ∴ + = + ， ∴∠BOD=90 °， ∴S 阴影=S 扇形 OBD= =π． 故答案是：π． 点评： 本题考查了 扇形的面积 计算及圆心 角、弧之间的 关系．解答本 题的关键是 得出阴影部 分的面积等 于扇形 BOD 的面积． 18．（3 分）（2015•武威）古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中 1 是第一个三角形数，3 是第 2 个三角形数，6 是第 3 个三角形数，…依此类推，那么第 9 个三角形数是 45 ，2016 是第 63 个三角形数． 考点： 规律型：数字 的变化类．菁优网版 权所有 分析： 根据所给的 数据发现：第 n 个三角形数 是 1+2+3+…+n， 由此代入分 别求得答案 即可． 解答： 解：第 9 个三 角形数是 1+2+3+4+5+6 +7+8+9=45， 1+2+3+4+…+ n=2016， n（n+1） =4032， 解得：n=63． 故答案为： 45，63． 点评： 此题考查数 字的变化规 律，找出数字 之间的运算 规律，利用规 律解决问题． 三、简答题（一）本大题共 5 小题，共 26 分 19．（4 分）（2015•武威）计算：（ ）0+ +（﹣1）2015﹣ tan60°． 考点： 实数的运算； 零指数幂；特 殊角的三角 函数值． 菁优网版 权所有 专题： 计算题． 分析： 原式第一项 利用零指数 幂法则计算， 第二项利用 算术平方根 定义计算，第 三项利用乘 方的意义化 简，最后一项 利用特殊角 的三角函数 值计算即可 得到结果． 解答： 解：原式=1+2 ﹣1﹣ × =2﹣3 =﹣1． 点评： 此题考查了 实数的运算， 熟练掌握运 算法则是解 本题的关键． 20．（4 分）（2015•武威）先化简，再求值： ÷（1﹣ ），其中 x=0． 考点： 分式的化简 求值．菁优网版 权所有 分析： 先根据分式 混合运算的 法则把原式 进行化简，再 把x=0代入进 行计算即可． 解答： 解：原式 = ÷（ ﹣ ） = • = ， 当 x=0 时，原 式= ． 点评： 本题考查的 是分式的化 简求值，熟知 分式混合运 算的法则是 解答此题的 关键． 21．（6 分）（2015•武威）如图，已知在△ABC 中，∠A=90° （1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心 P 在 AC 边上，且与 AB，BC 两边都相切（保留作 图痕迹，不写作法和证明）． （2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P 的面积． 考点： 作图—复杂 作图；切线的 性质．菁优网版 权所有 分析： （1）作 ∠ABC 的平 分线交 AC 于 P，再以 P 为 圆心 PA 为半 径即可作出 ⊙P； （2）根据角 平分线的性 质得到 ∠ABP=30°， 根据三角函 数可得 AP= ，再根 据圆的面积 公式即可求 解． 解答： 解：（1）如图 所示，则⊙P 为所求作的 圆． （2） ∵∠B=60°， BP 平分 ∠ABC， ∴∠ABP=30 °， ∵tan∠ABP= ， ∴AP= ， ∴S⊙P=3π． 点评： 本题主要考 查了作图﹣ 复杂作图，角 平分线的性 质，即角平分 线上的点到 角两边的距 离相等．同时 考查了圆的 面积． 22．（6 分）（2015•武威）如图①所示，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别 交于点 D，E，F，G，已知∠CGD=42° （1）求∠CEF 的度数； （2）将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点 B，交 AC 边于点 H，如图②所示， 点 H，B 在直尺上的度数分别为 4，13.4，求 BC 的长（结果保留两位小数）． （参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90） 考点： 解直角三角 形． 菁优网版 权所有 分析： （1）先根据 直角三角形 的两锐角互 为求出 ∠CDG 的度 数，再根据两 直线平行，同 位角相等求 出∠DEF，然 后根据三角 形的一个外 角等于与它 不相邻的两 个内角的和 即可求出 ∠EFA； （2）根据度 数求出 HB 的 长度，再根据 ∠CBH=∠C GD=42°，利 用 42°的余弦 值进求解． 解答： 解：（1） ∵∠CGD=42 °，∠C=90°， ∴∠CDG=90 °﹣42°=48°， ∵DG∥EF， ∴∠CEF=∠ CDG=48°； （2）∵点 H， B 的读数分别 为 4，13.4， ∴HB=13.4﹣ 4=9.4（m）， ∴BC=HBcos 42°≈9.4×0.74 ≈6.96（m）． 答：BC 的长 为 6.96m． 点评： 本题考查了 解直角三角 形与平行线 的性质，直角 三角形两锐 角互余的性 质，三角形的 一个外角等 于与它不相 邻的两个内 角的和，综合 性较强，但难 度不大，仔细 分析图形并 认真计算即 可． 23．（6 分）（2015•武威）有三张卡片（形状、大小、颜色、质地都相等），正面分别下上整 式 x2+1，﹣x2﹣2，3．将这三张卡片背面向上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记卡片上的整 式为 A，再从剩下的卡片中任意抽取一张，记卡片上的整式为 B，于是得到代数式 ． （1）请用画树状图成列表的方法，写出代数式 所有可能的结果； （2）求代数式 恰好是分式的概率． 考点： 列表法与树 状图法；分式 的定义． 菁优网版 权所有 分析： （1）首先根 据题意画出 树状图，然后 由树状图即 可求得所有 等可能的结 果； （2）由（1） 中的树状图， 可求得抽取 的两张卡片 结果能组成 分式的情况， 然后利用概 率公式求解 即可求得答 案． 解答： 解：（1）画树 状图： 列表： 第一次 第二次 x2+1 ﹣x2﹣2 3 （2）代数式 所有可能的 结果共有 6 种，其中代数 式 是分式的 有 4 种： ， ， ， ， 所以 P（是分 式）= ． 点评： 此题考查的 是用列表法 或画树状图 法求概率．注 意列表法或 画树状图法 可以不重复 不遗漏的列 出所有可能 的结果，列表 法适合于两 步完成的事 件，树状图法 适合两步或 两步以上完 成的事件．注 意概率=所求 情况数与总 情况数之比． 四、简答题（二）本大题共 5 小题，共 40 分 24．（7 分）（2015•武威）某班同学响应“阳光体育运动”号召，利用课外活动积极参加体育锻 炼，每位同学从长跑、铅球、立定跳远、篮球定时定点投篮中任选一项进行了训练，训练前 后都进行了测试，现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮进球数进行整理，作出如下 统计图表． 训练后篮球定点投篮测试进球统计表 进球 数 （个） 8 7 6 5 4 3 人数 2 1 4 7 8 2 请你根据图表中的信息回答下列问题： （1）训练后篮球定时定点投篮人均进球数为 5 个； （2）选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是 10% ，该班共有同学 40 人； （3）根据测试资料，参加篮球定时定点投篮的学生训练后比训练前的人均进球增加了 25%， 求参加训练之前的人均进球数． 考点： 扇形统计图； 一元一次方 程的应用；统 计表．菁优网版 权所有 分析： （1）根据平 均数的概念 计算平均进 球数； （2）根据所 有人数的比 例和为 1 计算 选择长跑训 练的人数占 全班人数的 百分比；由总 人数=某种运 动的人数÷所 占比例计算 总人数； （3）通过比 较训练前后 的成绩，利用 增长率的意 义即可列方 程求解． 解答： 解：（1）参加 篮球训练的 人数是： 2+1+4+7+8+2 =24（人）． 训练后篮球 定时定点投 篮人均进球 数 = =5（个）． 故答案是：5； （2）由扇形 图可以看出： 选择长跑训 练的人数占 全班人数的 百分比=1﹣ 60%﹣10%﹣ 20%=10%， 则全班同学 的人数为 24÷60%=40 （人）， 故答案是： 10%，40； （3）设参加 训练之前的 人均进球数 为 x 个， 则 x（1+25%） =5，解得 x=4． 即参加训练 之前的人均 进球数是 4 个． 点评： 本题考查的 是条形统计 图和扇形统 计图的综合 运用，读懂统 计图，从不同 的统计图中 得到必要的 信息是解决 问题的关键． 条形统计图 能清楚地表 示出每个项 目的数据；扇 形统计图直 接反映部分 占总体的百 分比大小． 25．（7 分）（2015•武威）如图，平行四边形 ABCD 中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G 是 CD 的中点，E 是边 AD 上的动点，EG 的延长线与 BC 的延长线交于点 F，连结 CE，DF． （1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形； （2）①当 AE= 3.5 cm 时，四边形 CEDF 是矩形； ②当 AE= 2 cm 时，四边形 CEDF 是菱形． （直接写出答案，不需要说明理由） 考点： 平行四边形 的判定与性 质；菱形的判 定；矩形的判 定． 菁优网版 权所有 专题： 动点型． 分析： （1）证 △CFG≌△E DG，推出 FG=EG，根据 平行四边形 的判定推出 即可； （2）①求出 △MBA≌△ EDC，推出 ∠CED=∠A MB=90°，根 据矩形的判 定推出即可； ②求出 △CDE 是等 边三角形，推 出 CE=DE， 根据菱形的 判定推出即 可． 解答： （1）证明： ∵四边形 ABCD 是平 行四边形， ∴CF∥ED， ∴∠FCG=∠ EDG， ∵G 是 CD 的 中点， ∴CG=DG， 在△FCG 和 △EDG 中， ， ∴△FCG≌ △EDG （ASA） ∴FG=EG， ∵CG=DG， ∴四边形 CEDF 是平行 四边形； （2）①解： 当 AE=3.5 时，平行四边 形CEDF是矩 形， 理由是：过 A 作 AM⊥BC 于 M， ∵∠B=60°， AB=3， ∴BM=1.5， ∵四边形 ABCD 是平 行四边形， ∴∠CDA=∠ B=60°， DC=AB=3， BC=AD=5， ∵AE=3.5， ∴DE=1.5=B M， 在△MBA 和 △EDC 中， ， ∴△MBA≌ △EDC （SAS）， ∴∠CED=∠ AMB=90°， ∵四边形 CEDF 是平行 四边形， ∴四边形 CEDF 是矩 形， 故答案为： 3.5； ②当 AE=2 时，四边形 CEDF 是菱 形， 理由是： ∵AD=5， AE=2， ∴DE=3， ∵CD=3， ∠CDE=60°， ∴△CDE 是 等边三角形， ∴CE=DE， ∵四边形 CEDF 是平行 四边形， ∴四边形 CEDF 是菱 形， 故答案为：2． 点评： 本题考查了 平行四边形 的性质和判 定，菱形的判 定，矩形的判 定，等边三角 形的性质和 判定，全等三 角形的性质 和判定的应 用，注意：有 一组邻边相 等的平行四 边形是菱形， 有一个角是 直角的平行 四边形是矩 形． 26．（8 分）（2015•武威）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 C 与原点 O 重合， 点 B 在 y 轴的正半轴上，点 A 在反比例函数 y= （k＞x，x＞0）的图象上，点 D 的坐标为 （4，3）． （1）求 k 的值； （2）若将菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，当菱形的顶点 D 落在函数 y= （k＞0，x＞0）的 图象上时，求菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移的距离． 考点： 反比例函数 综合题． 菁优网版 权所有 分析： （1）过点 D 作 x 轴的垂 线，垂足为 F， 首先得出 A 点坐标，再利 用反比例函 数图象上点 的坐标性质 得出即可； （2）将菱形 ABCD 沿 x 轴 正方向平移， 使得点 D 落 在函数 （x＞0）的图 象 D′点处，得 出点 D′的纵 坐标为 3，求 出其横坐标， 进而得出菱 形 ABCD 平 移的距离． 解答： 解：（1）过点 D 作 x 轴的垂 线，垂足为 F， ∵点 D 的坐 标为（4，3）， ∴OF=4， DF=3， ∴OD=5， ∴AD=5， ∴点 A 坐标 为（4，8）， ∴k=xy=4×8= 32， ∴k=32； （2）将菱形 ABCD 沿 x 轴 正方向平移， 使得点 D 落 在函数 （x＞0）的图 象 D′点处， 过点D′做x轴 的垂线，垂足 为 F′． ∵DF=3， ∴D′F′=3， ∴点 D′的纵 坐标为 3， ∵点 D′在 的图象 上 ∴3= ， 解得：x= ， 即 OF′= ， ∴FF′= ﹣ 4= ， ∴菱形 ABCD 平移 的距离为 ． 点评： 此题主要考 查了反比例 函数综合以 及反比例函 数图象上点 的坐标性质， 得出 A 点坐 标是解题关 键． 27．（8 分）（2015•武威）已知△ABC 内接于⊙O，过点 A 作直线 EF． （1）如图①所示，若 AB 为⊙O 的直径，要使 EF 成为⊙O 的切线，还需要添加的一个条件 是（至少说出两种）： ∠BAE=90° 或者 ∠EAC=∠ABC ． （2）如图②所示，如果 AB 是不过圆心 O 的弦，且∠CAE=∠B，那么 EF 是⊙O 的切线吗？ 试证明你的判断． 考点： 切线的判定．菁 优网版权 所有 分析： （1）求出 ∠BAE=90°， 再根据切线 的判定定理 推出即可； （2）作直径 AM，连接 CM，根据圆 周角定理求 出∠M=∠B， ∠ACM=90°， 求出 ∠MAC+∠C AE=90°，再根 据切线的判 定推出即可． 解答： 解：（1） ①∠BAE=90 °， ②∠EAC=∠ ABC， 理由是： ①∵∠BAE= 90°， ∴AE⊥AB， ∵AB 是直 径， ∴EF 是⊙O 的切线； ②∵AB 是直 径， ∴∠ACB=90 °， ∴∠ABC+∠ BAC=90°， ∵∠EAC=∠ ABC， ∴∠BAE=∠ BAC+∠EAC =∠BAC+∠ ABC=90°， 即 AE⊥AB， ∵AB 是直 径， ∴EF 是⊙O 的切线； （2）EF 是 ⊙O 的切线． 证明：作直径 AM，连接 CM， 则 ∠ACM=90°， ∠M=∠B， ∴∠M+∠C AM=∠B+∠ CAM=90°， ∵∠CAE=∠ B， ∴∠CAM+ ∠CAE=90°， ∴AE⊥AM， ∵AM 为直 径， ∴EF 是⊙O 的切线． 点评： 本题考查了 圆周角定理， 切线的判定 的应用，主要 考查学生运 用定理进行 推理的能力， 注意：经过半 径的外端，并 且垂直于半 径的直线是 圆的切线． 28．（10 分）（2015•武威）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 A（0，4），B（1，0），C （5，0），其对称轴与 x 轴相交于点 M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使△PAB 的周长最小？若存在，请求出点 P 的 坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接 AC，在直线 AC 的下方的抛物线上，是否存在一点 N，使△NAC 的面积最大？ 若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综 合题．菁优网版 权所有 分析： （1）抛物线 经过点 A（0， 4），B（1，0）， C（5，0），可 利用两点式 法设抛物线 的解析式为 y=a（x﹣1）（x ﹣5），代入 A （0，4）即可 求得函数的 解析式，则可 求得抛物线 的对称轴； （2）点 A 关 于对称轴的 对称点 A′的 坐标为（6， 4），连接 BA′ 交对称轴于 点 P，连接 AP，此时 △PAB 的周 长最小，可求 出直线 BA′的 解析式，即可 得出点P的坐 标． （3）在直线 AC 的下方的 抛物线上存 在点 N，使 △NAC 面积 最大．设 N 点 的横坐标为 t，此时点 N （t， t2﹣ t+4）（0＜t ＜5），再求得 直线 AC 的解 析式，即可求 得 NG 的长与 △ACN 的面 积，由二次函 数最大值的 问题即可求 得答案． 解答： 解：（1）根据 已知条件可 设抛物线的 解析式为 y=a （x﹣1）（x﹣ 5）， 把点 A（0，4） 代入上式得： a= ， ∴y= （x﹣1） （x﹣5）= x2 ﹣ x+4= （x﹣3）2﹣ ， ∴抛物线的 对称轴是： x=3； （2）P 点坐标 为（3， ）． 理由如下： ∵点 A（0， 4），抛物线的 对称轴是 x=3， ∴点 A 关于 对称轴的对 称点 A′的坐 标为（6，4） 如图 1，连接 BA′交对称轴 于点 P，连接 AP，此时 △PAB 的周 长最小． 设直线 BA′的 解析式为 y=kx+b， 把 A′（6，4）， B（1，0）代 入得 ， 解得 ， ∴y= x﹣ ， ∵点P的横坐 标为 3， ∴y= ×3﹣ = ， ∴P（3， ）． （3）在直线 AC 的下方的 抛物线上存 在点 N，使 △NAC 面积 最大． 设 N 点的横 坐标为 t，此 时点 N（t， t2 ﹣ t+4）（0 ＜t＜5）， 如图 2，过点 N 作 NG∥y 轴交 AC 于 G；作 AD⊥NG 于 D， 由点 A（0，4） 和点 C（5，0） 可求出直线 AC 的解析式 为：y=﹣ x+4， 把 x=t 代入 得：y=﹣ t+4，则 G（t， ﹣ t+4）， 此时：NG=﹣ t+4﹣（ t2 ﹣ t+4）= ﹣ t2+4t， ∵AD+CF=C O=5， ∴S△ACN=S△ ANG+S△CGN= AM×NG+ NG×CF= N G•OC= ×（﹣ t2+4t）×5= ﹣2t2+10t=﹣ 2（t﹣ ） 2+ ， ∴当 t= 时， △CAN 面积 的最大值为 ， 由 t= ，得： y= t2﹣ t+4=﹣3， ∴N（ ，﹣ 3）． 点评： 本题主要考 查了二次函 数与方程、几 何知识的综 合应用，解题 的关键是方 程思想与数 形结合思想 的灵活应用．