2015年武汉市中考数学试题解析

2015 年湖北省武汉市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）下列各题中均有四个备选答案，其中有 且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1．（3 分）（2015•武汉）在实数﹣3，0，5，3 中，最小的实数是（ ） A． ﹣3 B． 0 C． 5 D． 3 考点： 实数大小比较． 分析： 正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大 的反而小，据此判断即可． 解答： 解：根据实数比较大小的方法，可得 ﹣3＜0＜3＜5， 所以在实数﹣3，0，5，3 中，最小的实数是﹣3． 故选：A． 点评： 此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正 实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2．（3 分）（2015•武汉）若代数式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x≤2 考点： 二次根式有意义的条件． 分析： 根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0，就可以求解． 解答： 解：根据题意得：x﹣2≥0， 解得 x≥2． 故选：C． 点评： 本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 3．（3 分）（2015•武汉）把 a2﹣2a 分解因式，正确的是（ ） A．a（a﹣2） B．a（a+2） C．a（a2﹣2） D．a（2﹣a） 考点： 因式分解-提公因式法． 专题： 计算题． 分析： 原式提取公因式得到结果，即可做出判断． 解答： 解：原式=a（a﹣2）， 故选 A． 点评： 此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 4．（3 分）（2015•武汉）一组数据 3，8，12，17，40 的中位数为（ ） A． 3 B． 8 C． 12 D． 17 考 点： 中位数． 分析： 首先把这组数据 3，8，12，17，40 从小到大排列，然后判断出中间的数是多少， 即可判断出这组数据的中位数为多少． 解答： 解：把 3，8，12，17，40 从小到大排列，可得 3，8，12，17，40， 所以这组数据 3，8，12，17，40 的中位数为 12． 故选：C． 点评： 此题主要考查了中位数的含义和求法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明 确：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于 中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均 数就是这组数据的中位数． 5．（3 分）（2015•武汉）下列计算正确的是（ ） A．2a2﹣4a2=﹣2 B．3a+a=3a2 C．3a•a=3a2 D．4a6÷2a3=2a2 解：A、原式=﹣2a2，错误； B、原式=4a，错误； C、原式=3a2，正确； D、原式=2a3，错误． 故选 C． 6．（3 分）（2015•武汉）如图，在直角坐标系中，有两点 A（6，3），B（6，0），以原点 O 位似中心，相似比为 ，在第一象限内把线段 AB 缩小后得到线段 CD，则点 C 的坐标为 （ ） A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1） 解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是 ， ∴ = ，又 OB=6，AB=3， ∴OD=2，CD=1， ∴点 C 的坐标为：（2，1）， 故选：A． 7．（3 分）（2015•武汉）如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体．其主视图是（ ） A． B． C． D． 解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较宽的矩形． 故选：B． 8．（3 分）（2015•武汉）下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况．根据图中信息，下 列说法错误的是（ ） A．4：00 气温最低 B．6：00 气温为 24℃ C．14：00 气温最高 D．气温是 30℃的时刻为 16：00 解：A、由横坐标看出 4：00 气温最低是 24℃，故 A 正确； B、由纵坐标看出 6：00 气温为 24℃，故 B 正确； C、由横坐标看出 14：00 气温最高 31℃； D、由横坐标看出气温是 30℃的时刻是 12：00，16：00，故 D 错误； 故选：D． 9．（3 分）（2015•武汉）在反比例函数 y= 图象上有两点 A（x1，y1），B （x2，y2）， x1＜0＜x2，y1＜y2，则 m 的取值范围是（ ） A．m＞ B．m＜ C．m≥ D．m≤ 解：∵x1＜0＜x2 时，y1＜y2， ∴反比例函数图象在第一，三象限， ∴1﹣3m＞0， 解得：m＜ ． 故选 B． 10．（3 分）（2015•武汉）如图，△ABC，△EFG 均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC、EF 的中点，直线 AG、FC 相交于点 M．当△EFG 绕点 D 旋转时，线段 BM 长的最小 值是（ ） A．2﹣ B． +1 C． D． ﹣1 解：连接 AD、DG、BO、OM，如图． ∵△ABC，△EFG 均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC、EF 的中点， ∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF， ∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC， = ， ∴△DAG∽△DCF， ∴∠DAG=∠DCF． ∴A、D、C、M 四点共圆． 根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即 BM≥BO﹣OM， 当 M 在线段 BO 与该圆的交点处时，线段 BM 最小， 此时，BO= = = ，OM= AC=1， 则 BM=BO﹣OM= ﹣1． 故选 D． 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上． 11．（3 分）（2015•武汉）计算：﹣10+（+6）= ﹣4 ． 考点： 有理数的加法． 专题： 计算题． 分析： 原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果． 解答： 解：原式=﹣（10﹣6）=﹣4． 故答案为：﹣4． 点评： 此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．（3 分）（2015•武汉）中国的领水面积约为 370 000km2，将数 370 000 用科学记数法表 示为 3.7×105 ． 解：370 000=3.7×105， 故答案为：3.7×105． 13．（3 分）（2015•武汉）一组数据 2，3，6，8，11 的平均数是 6 ． 解：（2+3+6+8+11）÷5 =30÷5 =6 所以一组数据 2，3，6，8，11 的平均数是 6． 故答案为：6． 14．（3 分）（2015•武汉）如图所示，购买一种苹果，所付款金额 y（元）与购买量 x（千克） 之间的函数图象由线段 OA 和射线 AB 组成，则一次购买 3 千克这种苹果比分三次每次购买 1 千克这种苹果可节省 2 元． 解：由线段 OA 的图象可知，当 0＜x＜2 时，y=10x， 1 千克苹果的价钱为：y=10， 设射线 AB 的解析式为 y=kx+b（x≥2）， 把（2，20），（4，36）代入得： ， 解得： ， ∴y=8x+4， 当 x=3 时，y=8×3+4=28． 当购买 3 千克这种苹果分三次分别购买 1 千克时，所花钱为：10×3=30（元）， 30﹣28=2（元）． 则一次购买 3 千克这种苹果比分三次每次购买 1 千克这种苹果可节省 2 元． 15．（3 分）（2015•武汉）定义运算“*”，规定 x*y=ax2+by，其中 a、b 为常数，且 1*2=5，2*1=6， 则 2*3= 10 ． 解：根据题中的新定义化简已知等式得： ， 解得：a=1，b=2， 则 2*3=4a+3b=4+6=10， 故答案为：10． 16．（3 分）（2015•武汉）如图，∠AOB=30°，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM=1， ON=3，点 P、Q 分别在边 OB、OA 上，则 MP+PQ+QN 的最小值是 ． 解：作 M 关于 OB 的对称点 M′，作 N 关于 OA 的对称点 N′， 连接 M′N′，即为 MP+PQ+QN 的最小值． 根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°， ∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形， ∴∠N′OM′=90°， ∴在 Rt△M′ON′中， M′N′= = ． 故答案为 ． 三、解答题（共 8 小题，共 72 分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程． 17．（8 分）（2015•武汉）已知一次函数 y=kx+3 的图象经过点（1，4）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求关于 x 的不等式 kx+3≤6 的解集． 解：（1）∵一次函数 y=kx+3 的图象经过点（1，4）， ∴4=k+3， ∴k=1， ∴这个一次函数的解析式是：y=x+3． （2）∵k=1， ∴x+3≤6， ∴x≤3， 即关于 x 的不等式 kx+3≤6 的解集是：x≤3． 18．（8 分）（2015•武汉）如图，点 B、C、E、F 在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC 于点 C， DF⊥EF 于点 F，AC=DF．求证： （1）△ABC≌△DEF； （2）AB∥DE． 证明：（1）∵AC⊥BC 于点 C，DF⊥EF 于点 F， ∴∠ACB=∠DFE=90°， 在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； （2）∵△ABC≌△DEF， ∴∠B=∠DEF， ∴AB∥DE． 19．（8 分）（2015•武汉）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为 1， 2，3，4． （1）随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是 3”的概率； （2）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果： ①两次取出的小球一个标号是 1，另一个标号是 2 的概率； ②第一次取出标号是 1 的小球且第二次取出标号是 2 的小球的概率． 解：（1）∵一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为 1，2，3，4， ∴随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是 3”的概率为： ； （2）画树状图得： 则共有 16 种等可能的结果； ①∵两次取出的小球一个标号是 1，另一个标号是 2 的有 2 种情况， ∴两次取出的小球一个标号是 1，另一个标号是 2 的概率为： = ； ②∵第一次取出标号是 1 的小球且第二次取出标号是 2 的小球的只有 1 种情况， ∴第一次取出标号是 1 的小球且第二次取出标号是 2 的小球的概率为： ． 20．（8 分）（2015•武汉）如图，已知点 A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形 ABCD 的对角线交于坐标原点 O． （1）请直接写出点 C、D 的坐标； （2）写出从线段 AB 到线段 CD 的变换过程； （3）直接写出平行四边形 ABCD 的面积． 解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴四边形 ABCD 关于 O 中心对称， ∵A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2）， ∴C（4，﹣2），D（1，2）； （2）线段 AB 到线段 CD 的变换过程是：线段 AB 向右平移 5 个单位得到线段 CD； （3）由（1）得：A 到 y 轴距离为：4，D 到 y 轴距离为：1， A 到 x 轴距离为：2，B 到 x 轴距离为：2， ∴SABCD 的可以转化为边长为；5 和 4 的矩形面积， ∴SABCD=5×4=20． 21．（8 分）（2015•武汉）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT=45°，AT=AB． （1）求证：AT 是⊙O 的切线； （2）连接 OT 交⊙O 于点 C，连接 AC，求 tan∠TAC． 解：（1）∵∠ABT=45°，AT=AB． ∴∠TAB=90°， ∴TA⊥AB， ∴AT 是⊙O 的切线； （2）作 CD⊥AT 于 D， ∵TA⊥AB，TA=AB=2OA， 设 OA=x，则 AT=2x， ∴OT= x， ∴TC=（ ﹣1）x， ∵CD⊥AT，TA⊥AB ∴CD∥AB， ∴ = = ，即 = = ， ∴CD=（1﹣ ）x，TD=2（1﹣ ）x， ∴AD=2x﹣2（1﹣ ）x= x， ∴tan∠TAC= = = ﹣1． 22．（10 分）（2015•武汉）已知锐角△ABC 中，边 BC 长为 12，高 AD 长为 8． （1）如图，矩形 EFGH 的边 GH 在 BC 边上，其余两个顶点 E、F 分别在 AB、AC 边上， EF 交 AD 于点 K． ①求 的值； ②设 EH=x，矩形 EFGH 的面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式，并求 S 的最大值； （2）若 AB=AC，正方形 PQMN 的两个顶点在△ABC 一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形 PQMN 的边长． 解：（1）①∵EF∥BC， ∴ ， ∴ = ， 即 的值是 ． ②∵EH=x， ∴KD=EH=x，AK=8﹣x， ∵ = ， ∴EF= ， ∴S=EH•EF= x（8﹣x）=﹣ +24， ∴当 x=4 时，S 的最大值是 24． （2）设正方形的边长为 a， ①当正方形 PQMN 的两个顶点在 BC 边上时， ， 解得 a= ． ②当正方形 PQMN 的两个顶点在 AB 或 AC 边上时， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD=12÷2=6， ∴AB=AC= ， ∴AB 或 AC 边上的高等于： AD•BC÷AB =8×12÷10 = ∴ ， 解得 a= ． 综上，可得 正方形 PQMN 的边长是 或 ． 23．（10 分）（2015•武汉）如图，△ABC 中，点 E、P 在边 AB 上，且 AE=BP，过点 E、P 作 BC 的平行线，分别交 AC 于点 F、Q，记△AEF 的面积为 S1，四边形 EFQP 的面积为 S2， 四边形 PQCB 的面积为 S3． （1）求证：EF+PQ=BC； （2）若 S1+S3=S2，求 的值； （3）若 S3+S1=S2，直接写出 的值． （1）证明：∵EF∥BC，PQ∥BC， ∴ ， ， ∵AE=BP， ∴AP=BE， ∴ = =1， ∴ =1， ∴EF+PQ=BC； （2）解：过点 A 作 AH⊥BC 于 H，分别交 PQ 于 M、N，如图所示： 设 EF=a，PQ=b，AM=h， 则 BC=a+b， ∵EF∥PQ， ∴△AEF∽△APQ， ∴ = ， ∴AN= ，MN=（ ﹣1）h， ∴S1= ah，S2= （a+b）（ ﹣1）h，S3= （b+a+b）h， ∵S1+S3=S2， ∴ ah+ （a+b+b）h= （a+b）（ ﹣1）h， 解得：b=3a， ∴ =3， ∴ =2； （3）解：∵S3﹣S1=S2， ∴ （a+b+b）h﹣ ah= （a+b）（ ﹣1）h， 解得：b=（1± ）a（负值舍去）， ∴b=（1+ ）a， ∴ =1+ ， ∴ = ． 24．（12 分）（2015•武汉）已知抛物线 y= x2+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0），B 两点，交 y 轴 于点 C． （1）求抛物线的解析式； （2）点 E（m，n）是第二象限内一点，过点 E 作 EF⊥x 轴交抛物线于点 F，过点 F 作 FG⊥y 轴于点 G，连接 CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求 n 的值并直接写出 m 的取值范围（利用图 1 完成你的探究）． （3）如图 2，点 P 是线段 OB 上一动点（不包括点 O、B），PM⊥x 轴交抛物线于点 M， ∠OBQ=∠OMP，BQ 交直线 PM 于点 Q，设点 P 的横坐标为 t，求△PBQ 的周长． 解：（1）把 A（﹣1，0）代入 得 c=﹣ ， ∴抛物线解析式为 （2）如图 1，过点 C 作 CH⊥EF 于点 H， ∵∠CEF=∠CFG，FG⊥y 轴于点 G ∴△EHC∽△FGC ∵E（m，n） ∴F（m， ） 又∵C（0， ） ∴EH=n+ ，CH=﹣m，FG=﹣m，CG= m2 又∵ ， 则 ∴n+ =2 ∴n= （﹣2＜m＜0） （3）由题意可知 P（t，0），M（t， ） ∵PM⊥x 轴交抛物线于点 M，∠OBQ=∠OMP， ∴△OPM∽△QPB． ∴ ． 其中 OP=t，PM= ，PB=1﹣t， ∴PQ= ． BQ= ∴PQ+BQ+PB= ． ∴△PBQ 的周长为 2．