2015年汕尾市中考数学试卷及答案

2015 年汕尾市初中毕业生学业考试 数 学 说明：本试卷共 4 页，25 小题，满分 150 分，考试用时 100 分钟 一、选择题：每小题 4 分，共 40 分。每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的。 1．1 2 的相反数是 A．2 B.-2 C. 1 2 D.- 1 2 2．下图所示几何体的左视图为 3．下列计算正确的是 A.x+x2=x3 B.x2·x3=x6 C.(x3)2=x6 D.x9÷x3=x3 4．下列说法正确的是 A.掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6 点朝上是必然事件 B.甲、乙两人在相同条件下各射击 10 次，他们的成绩平均数相同，方差是 s2 甲 = 0.4 ， s2 乙 = 0.6，则甲的射击成绩较稳定 C.“明天降雨的概率为1 2 ”,表示明天有半天都在降雨 D.了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式 5．今年五月份香港举办“保普选反暴力”大联盟大型签名行动，9 天共收集超 121 万个签名， 将 121 万用科学记数法表示为 A.1.21×106 B.12.1×105 C.0.121×107 D.1.21×105 6．下列命题正确的是 A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 7．使不等式 x-1≥2 与 3x-7＜8 同时成立的 x 的整数值是 A.3,4 B.4,5 C.3,4,5 D.不存在 8．如图，AB 是⊙ O 的弦，AC 是⊙ O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心。若∠B=20°，则∠C 的 大小等于 A.20° B.25° C.40° D.50° 9．如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 A 与点 C 重合，折痕为 EF，若 AB=4，BC=2，那么线段 EF 的长为 A.2 5 B. 5 C. 4 5 5 D. 2 5 5 10.对于二次函数 y = - x2 + 2x.有下列四个结论： ①它的对称轴是直线 x = 1；②设 y1 = - x1 2 + 2x1，y2 = - x2 2 + 2x2，则当 x2＞x1 时，有 y2＞y1；③它的图象与 x 轴的两个交点是（0,0）和（2,0）；④当 0 ＜ x ＜ 2 时，y＞0. 其中正确结论的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：每小题 5 分，共 30 分。 11.函数 y = x – 1 的自变量 x 的取值范围是 . 12.分解因式：m3 – m = . 13.一个学习兴趣小组有 4 名女生，6 名男生，现要从这 10 名学生中选出一人担任组长，则女 生当选组长的概率是 . 14.已知：△ABC 中，点 E 是 AB 边的中点，点 F 在 AC 边上，若以 A,E,F 为顶点的三角形与△ ABC 相似，则需要增加的一个条件是 .（写出一个即可） 15.如图，在□ABCD 中，BE 平分∠ABC，BC = 6，DE = 2 ，则□ABCD 周长等于 . 16.若 1 (2n-1)(2n+1) = a 2n-1 + b 2n+1 ,对任意 自然数 n 都成立，则 a = ，b = ； 计算：m= 1 1×3 + 1 3×5 + 1 5×7 + … + 1 19×21 = . 三、解答题（一）（本大题有 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 17．本题满分 7 分. 在“全民读书月活动中，小明调查了班级 里 40 名同学本学期计划购买课外书的花费情 况，并将结果绘制成如图所示的统计图。请根 据相关信息，解答下列问题：（直接填写结果） （ 1 ） 这 次 调 查 获 取 的 样 本 数 据 的 众 数 是 ； （2）这次调查获取的样本数据的中位数 是 ； （3）若该校共有学生 1000 人，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费 50 元的学生 有 人。 18.本题满分 7 分. 计算： 8 + |2 2 - 3| - （1 3 ）-1 -（2015 + 2 ）0 [来源:学&科&网 Z&X&X&K] 19.本题满分 7 分. 已知 a + b = - 2 ，求代数式（a - 1）2 + b（2a + b）+ 2a 的值. 四、解答题（二）（本大题有 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 20. 本题满分 9 分. 已知关于 x 的方程 x2 + 2x + a – 2 = 0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围； (2)当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根。 21. 本题满分 9 分. 如图，已知△ABC.按如下步骤作图： ①以 A 为圆心，AB 长为半径画弧； ②以 C 为圆心，CB 长为半径画弧,两弧相交于点 D； ③连结 BD，与 AC 交于点 E，连结 AD，CD. （1）求证：△ABC≌△ADC； （2）若∠BAC = 30°,∠BCA = 45°,AC = 4，求 BE 的长. 22. 本题满分 9 分. 九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表： 售价(元/件) 100 110 120 130 … 月销量(件) 200 180 160 140 … 已知该运动服的进价为每件 60 元，设售价为 x 元. (1)请用含 x 的式子表示： ①销售该运动服每件的利润是 元；②月销量是 件；（直接填写结果） (2)设销量该运动服的月利润为 y 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 四、解答题（三）（本大题有 3 小题，第 23、24 小题各 11 分，第 25 小题 10 分，共 32 分）. 23.本题满分 11 分. 如图，已知直线 y = - 3 4 x + 3 分别与 x、y 轴交于点 A 和 B. （1）求点 A、B 的坐标； （2）求原点 O 到直线 l 的距离； （3）若圆 M 的半径为 2，圆心 M 在 y 轴上，当圆 M 与直线 l 相 切时，求点 M 的坐标. 24.本题满分 11 分. (为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形) 在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AC = AB = 4，D，E 分别是边 AB，AC 的中点.若等腰 Rt△ADE 绕点 A 逆时针旋转，得到等腰 RtRt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线 BD1 与 CE1 的交点为 P. (1)如图 1，当α=90°时，线段 BD1 的长等于 ，线段 CE1 的长等于 ；（直接填写结果） (2)如图 2，当α=135°时，求证：BD1 = CE1 ，且 BD1 ⊥ CE1 ； (3)求点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值．（直接写出结果） 25.本题满分 10 分. (为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形) 如图，过原点的直线 xky 1 和 xky 2 与反比例函数 xy 1 的图象分别交于两点 A，C 和 B，D，连结 AB，BC，CD，DA． （1）四边形 ABCD 一定是 四边形；（直接填写结果） （2）四边形 ABCD 可能是矩形吗？若可能，试求此时 k1 和 k2 之间的关系式；若不可能，说 明理由； （3）设 P（ 1x ， 1y ），Q（ 2x ， 2y ）（x2 > x1 > 0）是函数 xy 1 图象上的任意两点， 2 21 yya  ， 21 2 xxb  ，试判断 a ，b 的大小关系，并说明理由． 2015 年汕尾市初中毕业生学业考试 数学参考答案 一、选择题：每小题 4 分，共 40 分 1.D 2.A 3.C 4.B 5.A 6.D 7.A 8.D 9.B 10.C 二、填空题：每小题 5 分，共 30 分 11.x≥0 12.m（m+1）（m-1） 13. 2 5 14.F 是 AC 的中点（或 EF∥BC 或∠AEF=∠B 或∠AEF=∠C 或∠AFE=∠B 或∠AFE=∠C） 15.20 16.a = 1 2 ，b = - 1 2 ；m = 10 21 三、解答题（一）（本大题有 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 17.（1）30 元； ……2 分 （2）50 元； ……2 分 （3）250 ……3 分 18.解：原式 = 2 2 + 3 - 2 2 - 3 – 1 …… 5 分 = - 1 …… 7 分 19.解：原式 = a2 – 2a + 1 + 2ab + b2 + 2ª ……4 分 = （a + b ）2 + 1 ……5 分 当 a + b = - 2 时，原式 = 3. ……7 分 四、解答题（二）（本大题有 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 20.解：（1）依题意有：Δ = 22 – 4（a - 2）＞ 0 ……2 分 解得 a ＜ 3 ……4 分 （2）依题意得：1 + 2 + a – 2 = 0 ……5 分 解得 a = - 1 ……6 分 ∴原方程为 x2 + 2x – 3 = 0 ……7 分 解得 x1 = 1， x2 = - 3 ……8 分 ∴a = - 1，方程的另一根为 x2 = - 3 ……9 分 （用韦达定理求解同样给分） 21.（1）证明：由作法可知：AB = AD，CB = CD ……1 分 又∵AC = AC ……2 分 ∴△ABC ≌ △ADC（SSS） ……3 分 （2）解：由（1）可得，AB=AD，∠BAC=∠CAD ∴AE⊥BD，即 AC⊥BE ……5 分 在 Rt△ABE 中，∠BAC=30°，∴AE = 3 BE ……6 分 在 Rt△BEC 中，∠BCE=45°，∴EC = BE ……7 分 又 AE + EC = AC = 4，∴ 3 BE + BE = 4, ……8 分 ∴BE = 2 3 – 2 ∴BE 的长为 2 3 – 2 ……9 分 22.解：（1）①（ = OB–BM = 1 2 或 OM = OB + BM = 11 2 ∴点 M 的坐标为 M（0，1 2 ）或 M（0，11 2 ） ……11 分 24.解：（1）BD1 = 2 5 ，CE1 = 2 5 ……2 分 （2）证明：当α=135°时，由旋转可知∠D1AB = E1AC = 135° ……3 分 又 AB=AC，AD1=AE1，∴△D1AB ≌ △E1AC ……4 分 ∴BD1=CE1 且 ∠D1BA = E1CA ……5 分 设直线 BD1 与 AC 交于点 F，有∠BFA=∠CFP ……6 分 ∴∠CPF=∠FAB=90°，∴BD1⊥CE1 ……7 分 （3）1 + 3 ……11 分 （四边形 AD1PE1 为正方形时，距离最大，此时 PD1=2，PB=2+2 3 ） 25.解：（1）平行 ……2 分 （2）四边形 ABCD 可以是矩形，此时 k1k2=1 ……3 分 理由如下： 当四边形 ABCD 是矩形时，OA=OB ……4 分 OA2 = x2 + y2 = 1 k1 + k1，OB2 = x2 + y2 = 1 k2 + k2， ……5 分 ∴1 k1 + k1 = 1 k2 + k2 ，得（k2 – k1）（ 1 k1k2 - 1）= 0 ∵k2 – k1 ≠ 0, ∴ 1 k1k2 – 1 = 0 ∴k1k2=1 ……6 分 所以四边形 ABCD 可以是矩形，此时 k1k2=1 （3）a ＞ b ……7 分 ∵a – b = y1 + y2 2 - 2 x1 + x2 = 1 2 ( 1 x1 + 1 x2 ) - 2 x1 + x2 = (x1+x2)2 - 4x1x2 2x1x2 (x1+ x2) = (x1-x2)2 2x1x2 (x1+ x2) ……9 分 ∵x2 > x1 > 0，∴（x1 – x2）2 ＞ 0，2x1x2 (x1+ x2) ＞ 0 ∴ (x1-x2)2 2x1x2 (x1+ x2) ＞ 0 ∴a ＞ b ……6 分