2013年呼和浩特中考数学试卷及答案解析

内蒙古呼和浩特市 2013 年中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．（3 分）（2013•呼和浩特）﹣3 的相反数是（ ） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 考点：相反数． 3718684 分析：根据相反数的概念解答即可． 解答：解：﹣3 的相反数是 3， 故选 A． 点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数 的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0． 2．（3 分）（2013•呼和浩特）下列运算正确的是（ ） A．x2+x3=x5 B．x8÷x2=x4 C．3x﹣2x=1 D．（x2）3=x6 考点：同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方． 3718684 专题：计算题． 分析：根据同底数幂的乘法与除法，幂的乘方的运算法则计算即可． 解答：解：A、x2 与 x3 不是同类项不能合并，故选项错误； B、应为 x8÷x2=x6，故选项错误； C、应为 3x﹣2x=x，故选项错误； D、（x2）3=x6，正确． 故选 D． 点评：本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方的性质以及合并同类项的法则；合并同类项 时，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，不是同类项的一定不能合并． 3．（3 分）（2013•呼和浩特）观察下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 考点：中心对称图形；轴对称图形．3718684 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解答：解：第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； 第二个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 第三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形； 所以，既是轴对称图形又是中心对称图形共有 3 个． 故选 C． 点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图 形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 4．（3 分）（2013•呼和浩特）下列说法正确的是（ ） A．“打开电视剧，正在播足球赛”是必然事件 B．甲组数据的方差 =0.24，乙组数据的方差 =0.03，则乙组数据比甲组数据稳定 C．一组数据 2，4，5，5，3，6 的众数和中位数都是 5 D．“掷一枚硬币正面朝上的概率是 ”表示每抛硬币 2 次就有 1 次正面朝上 考点：方差；中位数；众数；随机事件；概率的意义．3718684 分析：根据方差、中位数、众数、随机事件和概率的意义分别对每一项进行分析即可． 解答：解：A、“打开电视剧，正在播足球赛”是随机事件，故本选项错误； B、甲组数据的方差 =0.24，乙组数据的方差 =0.03，则乙组数据比甲组数据稳 定，故本选项正确； C、一组数据 2，4，5，5，3，6 的众数是 5，中位数是 4.5，故本选项错误； D、“掷一枚硬币正面朝上的概率是 ”表示每抛硬币 2 次可能有 1 次正面朝上，故本 选项错误； 故选 B． 点评：此题考查了方差、中位数、众数、随机事件和概率的意义，解题的关键是熟练掌握方 差、中位数、众数、随机事件和概率的定义和计算方法． 5．（3 分）（2013•呼和浩特）用激光测距仪测得两地之间的距离为 14 000 000 米，将 14 000 000 用科学记数法表示为（ ） A．14×107 B．14×106 C．1.4×107 D．0.14×108 考点：科学记数法—表示较大的数．3718684 专题：应用题． 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值大于 1 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数． 解答：解：14 000 000=1.4×107． 故选 C． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 6．（3 分）（2013•呼和浩特）只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（ ） A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形 考点：平面镶嵌（密铺）． 3718684 分析：根据密铺的知识，找到一个内角能整除周角 360°的正多边形即可． 解答：解：A、正十边形每个内角是 180°﹣360°÷10=144°，不能整除 360°，不能单独进行镶 嵌，不符合题意； B、正八边形每个内角是 180°﹣360°÷8=135°，不能整除 360°，不能单独进行镶嵌，不 符合题意； C、正六边形的每个内角是 120°，能整除 360°，能整除 360°，可以单独进行镶嵌，符 合题意； D、正五边形每个内角是 180°﹣360°÷5=108°，不能整除 360°，不能单独进行镶嵌，不 符合题意； 故选：C． 点评：本题考查了平面密铺的知识，注意几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起 的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 7．（3 分）（2013•呼和浩特）从 1 到 9 这九个自然数中任取一个，是偶数的概率是（ ） A． B． C． D． 考点：概率公式．3718684 分析：先从 1～9 这九个自然数中找出是偶数的有 2、4、6、8 共 4 个，然后根据概率公式求 解即可． 解答：解：1～9 这九个自然数中，是偶数的数有：2、4、6、8，共 4 个， ∴从 1～9 这九个自然数中任取一个，是偶数的概率是： ． 故选：B． 点评：本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况 数之比． 8．（3 分）（2013•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数 y=mx+m 和 y=﹣mx2+2x+2（m 是 常数，且 m≠0）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 考点：二次函数的图象；一次函数的图象． 3718684 分析：本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是 m 的正负的 确定，对于二次函数 y=ax2+bx+c，当 a＞0 时，开口向上；当 a＜0 时，开口向下．对 称轴为 x= ，与 y 轴的交点坐标为（0，c）． 解答：解：当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0， 对称轴 x= ＜0， 这时二次函数图象的对称轴在 y 轴左侧， 一次函数图象过二、三、四象限．故选 D． 点评：主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的 性质才能灵活解题． 9．（3 分）（2013•呼和浩特）（非课改）已知α，β是关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+3）x+m2=0 的两个不相等的实数根，且满足 + =﹣1，则 m 的值是（ ） A．3 或﹣1 B．3 C．1 D．﹣3 或 1 考点：根与系数的关系；根的判别式． 3718684 分析：由于方程有两个不相等的实数根可得△＞0，由此可以求出 m 的取值范围，再利用根 与系数的关系和 + =1，可以求出 m 的值，最后求出符合题意的 m 值． 解答：解：根据条件知： α+β=﹣（2m+3），αβ=m2， ∴ =﹣1， 即 m2﹣2m﹣3=0， 所以，得 ， 解得 m=3． 故选 B． 点评：1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力．一元 二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根； （2）△=0 ⇔ 方程有两个相等的实数根； （3）△＜0 ⇔ 方程没有实数根． 2、一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣ ，x1•x2= ． 10．（3 分）（2013•呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成： 第 1 个图案需 7 根火柴，第 2 个图案需 13 根火柴，…，依此规律，第 11 个图案需（ ） 根火柴． A．156 B．157 C．158 D．159 考点：规律型：图形的变化类．3718684 分析：根据第 1 个图案需 7 根火柴，7=1×（1+3）+3，第 2 个图案需 13 根火柴，13=2×（2+3） +3，第 3 个图案需 21 根火柴，21=3×（3+3）+3，得出规律第 n 个图案需 n（n+3）+3 根火柴，再把 11 代入即可求出答案． 解答：解：根据题意可知： 第 1 个图案需 7 根火柴，7=1×（1+3）+3， 第 2 个图案需 13 根火柴，13=2×（2+3）+3， 第 3 个图案需 21 根火柴，21=3×（3+3）+3， …， 第 n 个图案需 n（n+3）+3 根火柴， 则第 11 个图案需：11×（11+3）+3=157（根）； 故选 B． 点评：此题主要考查了图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳 总结出规律，再利用规律解决问题，难度一般偏大，属于难题． 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，本题要求把正确结果填在答题纸 规定的横线上，不需要解答过程） 11．（3 分）（2013•呼和浩特）如图，AB∥CD，∠1=60°，FG 平分∠EFD，则∠2= 30 度． 考点：平行线的性质；角平分线的定义．3718684 分析：根据平行线的性质得到∠EFD=∠1，再由 FG 平分∠EFD 即可得到． 解答：解：∵AB∥CD ∴∠EFD=∠1=60° 又∵FG 平分∠EFD． ∴∠2= ∠EFD=30°． 点评：本题主要考查了两直线平行，同位角相等． 12．（3 分）（2013•呼和浩特）大于 且小于 的整数是 2 ． 考点：估算无理数的大小．3718684 分析：根据 =2 和 ＜ ＜ 即可得出答案． 解答：解：∵ =2， ＜ ＜ ， ∴大于 且小于 的整数有 2， 故答案为：2． 点评：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的北京两个无理数大小的能力． 13．（3 分）（2013•呼和浩特）一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则圆锥侧面展开图扇形 的圆心角是 180° ． 考点：圆锥的计算． 3718684 分析：根据圆锥的侧面积是底面积的 2 倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧 面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数． 解答：解：设母线长为 R，底面半径为 r， ∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR， ∵侧面积是底面积的 2 倍， ∴2πr2=πrR， ∴R=2r， 设圆心角为 n，有 =πR， ∴n=180°． 故答案为：180． 点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两 者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的 底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键． 14．（3 分）（2013•呼和浩特）某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间比原计划生产 450 台机器所需时间相同，现在平均每天生产 200 台机器． 考点：分式方程的应用． 3718684 分析：根据现在生产 600 台机器的时间与原计划生产 450 台机器的时间相同．所以可得等量 关系为：现在生产 600 台机器时间=原计划生产 450 台时间． 解答：解：设：现在平均每天生产 x 台机器，则原计划可生产（x﹣50）台． 依题意得： = ． 解得：x=200． 检验：当 x=200 时，x（x﹣50）≠0． ∴x=200 是原分式方程的解． 答：现在平均每天生产 200 台机器． 故答案为：200． 点评：此题主要考查了分式方程的应用，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依 据．而难点则在于对题目已知条件的分析，也就是审题，一般来说应用题中的条件有 两种，一种是显性的，直接在题目中明确给出，而另一种是隐性的，是以题目的隐含 条件给出．本题中“现在平均每天比原计划多生产 50 台机器”就是一个隐含条件，注 意挖掘． 15．（3 分）（2013•呼和浩特）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC⊥BD，垂足为 O，点 E、F、G、H 分别为边 AD、AB、BC、CD 的中点．若 AC=8，BD=6，则四边形 EFGH 的 面积为 12 ． 考点：中点四边形． 3718684 分析：有一个角是直角的平行四边形是矩形．利用中位线定理可得出四边形 EFGH 矩形，根 据矩形的面积公式解答即可． 解答：解：∵点 E、F 分别为四边形 ABCD 的边 AD、AB 的中点， ∴EF∥BD，且 EF= BD=3． 同理求得 EH∥AC∥GF，且 EH=GF= BD， 又∵AC⊥BD， ∴EF∥GH，FG∥HE 且 EF⊥FG． 四边形 EFGH 是矩形． ∴四边形 EFGH 的面积=EF•EH=3×4=12，即四边形 EFGH 的面积是 12． 故答案是：12． 点评：本题考查的是中点四边形．解题时，利用了矩形的判定以及矩形的定理，矩形的判定 定理有： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形． 16．（3 分）（2013•呼和浩特）在平面直角坐标系中，已知点 A（4，0）、B（﹣6，0），点 C 是 y 轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点 C 的坐标为 （0，12）或（0，﹣12） ． 考点：圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理．3718684 分析：如解答图所示，构造含有 90°圆心角的⊙P，则⊙P 与 y 轴的交点即为所求的点 C． 注意点 C 有两个． 解答：解：设线段 BA 的中点为 E， ∵点 A（4，0）、B（﹣6，0），∴AB=10，E（﹣1，0）． （1）如答图 1 所示，过点 E 在第二象限作 EP⊥BA，且 EP= AB=5，则易知△PBA 为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB= ； 以点 P 为圆心，PA（或 PB）长为半径作⊙P，与 y 轴的正半轴交于点 C， ∵∠BCA 为⊙P 的圆周角， ∴∠BCA= ∠BPA=45°，即则点 C 即为所求． 过点 P 作 PF⊥y 轴于点 F，则 OF=PE=5，PF=1， 在 Rt△PFC 中，PF=1，PC= ，由勾股定理得：CF= =7， ∴OC=OF+CF=5+7=12， ∴点 C 坐标为（0，12）； （2）如答图 2 所示，在第 3 象限可以参照（1）作同样操作，同理求得 y 轴负半轴上 的点 C 坐标为（0，﹣12）． 综上所述，点 C 坐标为（0，12）或（0，﹣12）． 故答案为：（0，12）或（0，﹣12）． 点评：本题难度较大．由 45°的圆周角联想到 90°的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点 所在． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分，解答应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说 明） 17．（10 分）（2013•呼和浩特）（1）计算： （2）化简： ． 考点：分式的混合运算；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 3718684 分析：（1）本题涉及到负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂四个考点 的计算，根据实数的运算顺序和法则计算即可求解； （2）首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化 简． 解答：解：（1） =3﹣|﹣2+ |+1 =3﹣2+ +1 =2+ ； （2） = • = ． 点评：本题主要考查实数的运算和分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． 18．（6 分）（2013•呼和浩特）如图，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB． 考点：全等三角形的判定与性质． 3718684 专题：证明题． 分析：根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB=∠DCE，再根据 SAS 可证 △ABC≌△DEC，继而可得出结论． 解答：证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+ECA=∠2+∠ACE， 即∠ACB=∠DCE， 在△ABC 和△DEC 中， ∵ ∴△ABC≌△DEC（SAS）． ∴DE=AB． 点评：本题考查了三角形全等的判定方法和性质，由∠1=∠2 得∠ACB=∠DCE 是解决本题 的关键，要求我们熟练掌握全等三角形的几种判定定理． 19．（6 分）（2013•呼和浩特）某次知识竞赛共有 20 道题，每一题答对得 10 分，答错或不 答都扣 5 分，小明得分要超过 90 分，他至少要答对多少道题？ 考点：一元一次不等式的应用．3718684 分析：根据小明得分要超过 90 分，就可以得到不等关系：小明的得分≤90 分，设应答对 x 道，则根据不等关系就可以列出不等式求解． 解答：解：设应答对 x 道，则：10x﹣5（20﹣x）＞90 解得 x＞12 ， ∵x 取整数， ∴x 最小为：13， 答：他至少要答对 13 道题． 点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意 的不等关系式，正确表示出小明的得分是解决本题的关键． 20．（6 分）（2013•呼和浩特）如图，A、B 两地之间有一座山，汽车原来从 A 地到 B 地经 过 C 地沿折线 A→C→B 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB 行驶．已知 AC=10 千米， ∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少千米？（结果保留 根号） 考点：解直角三角形的应用． 3718684 分析：过 C 作 CD⊥AB 于 D，在 Rt△ACD 中，根据 AC=10，∠A=30°，解直角三角形求出 AD、CD 的长度，然后在 Rt△BCD 中，求出 BD、BC 的长度，用 AC+BC﹣（AD+BD） 即可求解． 解答：解：过 C 作 CD⊥AB 于 D， 在 Rt△ACD 中， ∵AC=10，∠A=30°， ∴DC=ACsin30°=5， AD=ACcos30°=5 ， 在 Rt△BCD 中， ∵∠B=45°， ∴BD=CD=5，BC=5 ， 则用 AC+BC﹣（AD+BD）=10+5 ﹣（5 +5）=5+5 ﹣5 （千米）． 答：汽车从 A 地到 B 地比原来少走（5+5 ﹣5 ）千米． 点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是作三角形的高建立直 角三角形幷解直角三角形． 21．（6 分）（2013•呼和浩特）如图，平面直角坐标系中，直线 与 x 轴交于点 A， 与双曲线 在第一象限内交于点 B，BC 丄 x 轴于点 C，OC=2AO．求双曲线的解析式． 考点：反比例函数综合题．3718684 专题：综合题． 分析：先利用一次函数与图象的交点，再利用 OC=2AO 求得 C 点的坐标，然后代入一次函 数求得点 B 的坐标，进一步求得反比例函数的解析式即可． 解答：解：由直线 与 x 轴交于点 A 的坐标为（﹣1，0）， ∴OA=1． 又∵OC=2OA， ∴OC=2， ∴点 B 的横坐标为 2， 代入直线 ，得 y= ， ∴B（2， ）． ∵点 B 在双曲线上， ∴k=xy=2× =3， ∴双曲线的解析式为 y= ． 点评：本题考查了反比例函数的综合知识，解题的关键是根据一次函数求出反比例函数与直 线的交点坐标． 22．（8 分）（2013•呼和浩特）某区八年级有 3000 名学生参加“爱我中华知识竞赛”活动．为 了了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中抽取了 200 名学生的得分进行统计． 请你根据不完整的表格，回答下列问题： 成绩 x（分） 频数 频率 50≤x＜60 10 0.05 60≤x＜70 16 0.08 70≤x＜80 10 0.02 80≤x＜90 62 0.47 90≤x＜100 72 0.36 （1）补全频率分布直方图； （2）若将得分转化为等级，规定 50≤x＜60 评为“D”，60≤x＜70 评为“C”，70≤x＜90 评为“B”， 90≤x＜100 评为“A”．这次全区八年级参加竞赛的学生约有多少学生参赛成绩被评为“D”？如 果随机抽查一名参赛学生的成绩等级，则这名学生的成绩等级哪一个等级的可能性大？请说 明理由． 考点：频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；可能性的大小．3718684 专题：计算题． 分析：（1）由 60≤x＜70 分数段的人数除以所占的百分比，求出总人数，进而求出 70≤x＜80 分数段的频数，以及 80≤x＜90 分数段的频率，补全表格即可； （2）找出样本中评为“D”的百分比，估计出总体中“D”的人数即可；求出等级为 A、B、 C、D 的概率，表示大小，即可作出判断． 解答：解：（1）根据题意得：16÷0.08=200（人）， 则 70≤x＜80 分数段的频数为 200﹣（10+16+62+72）=10（人），50≤x＜60 分数段频率 为 0.05，80≤x＜90 分数段的频率为 0.47，补全条形统计图，如图所示： ； 故答案为：0.05；10；0.47； （2）由表格可知：评为“D”的频率是 = ，由此估计全区八年级参加竞赛的学生 约有 ×3000=150（人）被评为“D”； ∵P（A）=0.36；P（B）=0.51；P（C）=0.08；P（D）=0.05， ∴P（B）＞P（A）＞P（C）＞P（D）， ∴随机调查一名参数学生的成绩等级“B”的可能性较大． 点评：此题考查了频数（率）分布直方图，频数（率）分布表，以及可能性大小，弄清题意 是解本题的关键． 23．（9 分）（2013•呼和浩特）如图，在边长为 3 的正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上的点， BE=1，∠AEP=90°，且 EP 交正方形外角的平分线 CP 于点 P，交边 CD 于点 F， （1） 的值为 ； （2）求证：AE=EP； （3）在 AB 边上是否存在点 M，使得四边形 DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明； 若不存在，请说明理由． 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定． 3718684 分析：（1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF， 根据同角的正弦值相等即可解答； （2）在 BA 边上截取 BK=NE，连接 KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP， 由 AB=CB，BK=BE，得 AK=EC，结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE≌△ECP，于是 结论得出； （3）作 DM⊥AE 于 AB 交于点 M，连接 ME、DP，易得出 DM∥EP，由已知条件证 明△ADM≌△BAE，进而证明 MD=EP，四边形 DMEP 是平行四边形即可证出． 解答：（1）解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠B=∠D， ∵∠AEP=90°， ∴∠BAE=∠FEC， 在 Rt△ABE 中，AE= = ， ∵sin∠BAE= =sin∠FEC= ， ∴ = ， （2）证明：在 BA 边上截取 BK=NE，连接 KE， ∵∠B=90°，BK=BE， ∴∠BKE=45°， ∴∠AKE=135°， ∵CP 平分外角， ∴∠DCP=45°， ∴∠ECP=135°， ∴∠AKE=∠ECP， ∵AB=CB，BK=BE， ∴AB﹣BK=BC﹣BE， 即：AK=EC， 易得∠KAE=∠CEP， ∵在△AKE 和△ECP 中， ， ∴△AKE≌△ECP（ASA）， ∴AE=EP； （3）答：存在． 证明：作 DM⊥AE 于 AB 交于点 M， 则有：DM∥EP，连接 ME、DP， ∵在△ADM 与△BAE 中， ， ∴△ADM≌△BAE（AAS）， ∴MD=AE， ∵AE=EP， ∴MD=EP， ∴MD EP， ∴四边形 DMEP 为平行四边形． 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等 知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅 助线的准确选择． 24．（9 分）（2013•呼和浩特）如图，AD 是△ABC 的角平分线，以点 C 为圆心，CD 为半径 作圆交 BC 的延长线于点 E，交 AD 于点 F，交 AE 于点 M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3． （1）求证：点 F 是 AD 的中点； （2）求 cos∠AED 的值； （3）如果 BD=10，求半径 CD 的长． 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形． 3718684 分析：（1）由 AD 是△ABC 的角平分线，∠B=∠CAE，易证得∠ADE=∠DAE，即可得 ED=EA，又由 ED 是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得 EF⊥AD，由三线合 一的知识，即可判定点 F 是 AD 的中点； （2）首先连接 DM，设 EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得 ED 的长，继而求得 DM 与 ME 的长，由余弦的定义，即可求得答案； （3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k） 2= k•（10+5k），解此方程即可求得答案． 解答：（1）证明：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠1=∠2， ∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3， ∴∠ADE=∠DAE， ∴ED=EA， ∵ED 为⊙O 直径， ∴∠DFE=90°， ∴EF⊥AD， ∴点 F 是 AD 的中点； （2）解：连接 DM， 设 EF=4k，df=3k， 则 ED= =5k， ∵ AD•EF= AE•DM， ∴DM= = = k， ∴ME= = k， ∴cos∠AED= = ； （3）解：∵∠B=∠3，∠AEC 为公共角， ∴△AEC∽△BEA， ∴AE：BE=CE：AE， ∴AE2=CE•BE， ∴（5k）2= k•（10+5k）， ∵k＞0， ∴k=2， ∴CD= k=5． 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股 定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思 想与方程思想的应用． 25．（12 分）（2013•呼和浩特）如图，已知二次函数的图象经过点 A（6，0）、B（﹣2，0） 和点 C（0，﹣8）． （1）求该二次函数的解析式； （2）设该二次函数图象的顶点为 M，若点 K 为 x 轴上的动点，当△KCM 的周长最小时， 点 K 的坐标为 （ ，0） ； （3）连接 AC，有两动点 P、Q 同时从点 O 出发，其中点 P 以每秒 3 个单位长度的速度沿 折线 OAC 按 O→A→C 的路线运动，点 Q 以每秒 8 个单位长度的速度沿折线 OCA 按 O→C→A 的路线运动，当 P、Q 两点相遇时，它们都停止运动，设 P、Q 同时从点 O 出发 t 秒时， △OPQ 的面积为 S． ①请问 P、Q 两点在运动过程中，是否存在 PQ∥OC？若存在，请求出此时 t 的值；若不存 在，请说明理由； ②请求出 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； ③设 S0 是②中函数 S 的最大值，直接写出 S0 的值． 考点：二次函数综合题． 3718684 分析：（1）根据已知的与 x 轴的两个交点坐标和经过的一点利用交点式求二次函数的解析 式即可； （2）首先根据上题求得的函数的解析式确定顶点坐标，然后求得点C 关于 x 轴的对 称点的坐标 C′，从而求得直线 C′M 的解析式，求得与 x 轴的交点坐标即可； （3）（3）①如果 DE∥OC，此时点 D，E 应分别在线段 OA，CA 上，先求出这个区 间 t 的取值范围，然后根据平行线分线段成比例定理，求出此时 t 的值，然后看 t 的 值是否符合此种情况下 t 的取值范围．如果符合则这个 t 的值就是所求的值，如果不 符合，那么就说明不存在这样的 t． ②本题要分三种情况进行讨论： 当 E 在 OC 上，D 在 OA 上，即当 0≤t≤1 时，此时 S= OE•OD，由此可得出关于 S， t 的函数关系式； 当 E 在 CA 上，D 在 OA 上，即当 1＜t≤2 时，此时 S= OD×E 点的纵坐标．由此可得 出关于 S，t 的函数关系式； 当 E，D 都在 CA 上时，即当 2＜t＜ 相遇时用的时间，此时 S=S△AOE﹣S△AOD，由 此可得出 S，t 的函数关系式； 综上所述，可得出不同的 t 的取值范围内，函数的不同表达式． ③根据②的函数即可得出 S 的最大值． 解答：解：（1）设二次函数的解析式为 y=a（x+2）（x﹣6） ∵图象过点（0，﹣8） ∴a= ∴二次函数的解析式为 y= x2﹣ x﹣8； （2）∵y= x2﹣ x﹣8= （x2﹣4x+4﹣4）﹣8= （x﹣2）2﹣ ∴点 M 的坐标为（2，﹣ ） ∵点 C 的坐标为（0，﹣8）， ∴点 C 关于 x 轴对称的点 C′的坐标为（0，8） ∴直线 C′M 的解析式为：y=﹣ x+8 令 y=0 得﹣ x+8=0 解得：x= ∴点 K 的坐标为（ ，0）； （3）①不存在 PQ∥OC， 若 PQ∥OC，则点 P，Q 分别在线段 OA，CA 上， 此时，1＜t＜2 ∵PQ∥OC， ∴△APQ∽△AOC ∴ ∵AP=6﹣3t AQ=18﹣8t， ∴ ∴t= ∵t= ＞2 不满足 1＜t＜2； ∴不存在 PQ∥OC； ②分情况讨论如下， 情况 1：0≤t≤1 S= OP•OQ= ×3t×8t=12t2； 情况 2：1＜t≤2 作 QE⊥OA，垂足为 E， S= OP•EQ= ×3t× =﹣ + 情况 3：2＜t＜ 作 OF⊥AC，垂足为 F，则 OF= S= QP•OF= ×（24﹣11t）× =﹣ + ； ③当 0≤t≤1 时，S=12t2，函数的最大值是 12； 当 1＜t≤2 时，S=﹣ + ，函数的最大值是 ； 当 2＜t＜ ，S= QP•OF=﹣ + ，函数的最大值为 ； ∴S0 的值为 ． 点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的应用等知识点，综合性 较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．