2013年黄冈市中考数学试题解析

2013 年湖北省黄冈市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（下列各题 A、B、C、D 四个选项中，有且仅有一个十正确的，每小题 3 分，共 24 分） 1．（3 分）（2013•黄冈）﹣（﹣3）2=（ ） A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9 考点：有理数的乘方．3481324 分析：根据有理数的乘方的定义解答． 解答：解：﹣（﹣3）2=﹣9． 故选 C． 点评：本题考查了有理数的乘方的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 2．（3 分）（2013•黄冈）随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽 车标志中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 考点：中心对称图形．3481324 分析：根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可． 解答：解：A、是中心对称图形，故本选项正确； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误； 故选 A． 点评：本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转 180 度后 与原图形重合． 3．（3 分）（2013•黄冈）如图，AB∥CD∥EF，AC∥DF，若∠BAC=120°，则∠CDF=（ ） A．60° B．120° C．150° D．180° 考点：平行线的性质．3481324 专题：计算题． 分析：根据两直线平行，同旁内角互补由 AB∥CD 得到∠BAC+∠ACD=180°，可计算出∠ACD=60°， 然后由 AC∥DF，根据平行线的性质得到∠ACD=∠CDF=60°． 解答：解：∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD=180°， ∵∠BAC=120°， ∴∠ACD=180°﹣120°=60°， ∵AC∥DF， ∴∠ACD=∠CDF， ∴∠CDF=60°． 故选 A． 点评：本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 4．（3 分）（2013•黄冈）下列计算正确的是（ ） A．x4•x4=x16 B．（a3）2•a4=a9 C．（ab2）3÷（﹣ab）2= ﹣ab4 D．（a6）2÷（a4）3=1 考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 3481324 分析：根据同底数幂的乘除法则及幂的乘方法则，结合各选项进行判断即可． 解答：解：A、x4×x4=x8，原式计算错误，故本选项错误； B、（a3）2•a4=a10，原式计算错误，故本选项错误； C、（ab2）3÷（﹣ab）2=ab4，原式计算错误，故本选项错误； D、（a6）2÷（a4）3=1，计算正确，故本选项正确； 故选 D． 点评：本题考查了同底数幂的乘除、幂的乘方与积的乘方的知识，解答本题的关键是掌握各部分的 运算法则． 5．（3 分）（2013•黄冈） 已知一个正棱柱的俯视图和左视图如图，则其主视图为（ ） A． B． C． D． 考点：由三视图判断几何体；简单组合体的三视图． 3481324 分析：首先根据俯视图和左视图判断该几何体，然后确定其主视图即可； 解答：解：根据此正棱柱的俯视图和左视图得到该几何体是正五棱柱， 其主视图应该是矩形，而且有看到两条棱，背面的棱用虚线表示， 故选 D． 点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正 面、左面和上面看，所得到的图形． 6．（3 分）（2013•黄冈）已知一元二次方程 x2﹣6x+C=0 有一个根为 2，则另一根为（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 考点：根与系数的关系． 3481324 分析：利用根与系数的关系来求方程的另一根． 解答：解：设方程的另一根为α，则α+2=6， 解得α=4． 故选 C． 点评：本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为 1，常用以下关系：x1，x2 是方程 x2+px+q=0 的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得 p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根 的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． 7．（3 分）（2013•黄冈） 已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（ ） A．π B．4π C．π或 4π D．2π或 4π 考点：几何体的展开图． 3481324 分析：分底面周长为 4π和 2π两种情况讨论，先求得底面半径，再根据圆的面积公式即可求解． 解答：解：①底面周长为 4π时，半径为 4π÷π÷2=2，底面圆的面积为π×22=4π； ②底面周长为 2π时，半径为 2π÷π÷2=1，底面圆的面积为π×12=π． 故选 C． 点评：考查了圆柱的侧面展开图，注意分长为底面周长和宽为底面周长两种情况讨论求解． 8．（3 分）（2013•黄冈）一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为 100 千米/小时，特快车的速度为 150 千米/小时，甲乙两地之间的距离为 1000 千米，两车同时出发，则 图中折线大致表示两车之间的距离 y（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象是（ ） A． B． C． D． 考点：函数的图象． 3481324 分析：分三段讨论，①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小，②相遇后向相反方向行驶至 特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加，③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车 距缓慢增大，结合实际选符合的图象即可． 解答：解：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小； ②相遇后向相反方向行驶至特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加； ③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大； 结合图象可得 C 选项符合题意． 故选 C． 点评：本题考查了函数的图象，解答本题关键是分段讨论，要结合实际解答，明白每条直线所代表 的实际含义及拐点的含义． 二、填空题（每小题 3 分，满分 21 分） 9．（3 分）（2013•黄冈）计算： = ﹣ （或 ） ． 考点：分式的加减法．3481324 专题：计算题． 分析：分母相同，直接将分子相减再约分即可． 解答： 解：原式= = =﹣ ，（或 ）． 点评：本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直 接相加减即可． 10．（3 分）（2013•黄冈）分解因式：ab2﹣4a= a（b﹣2）（b+2） ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．3481324 分析：先提取公因式 a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 解答：解：ab2﹣4a =a（b2﹣4） =a（b﹣2）（b+2）． 故答案为：a（b﹣2）（b+2）． 点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然 后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 11．（3 分）（2013•黄冈）已知△ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长 BC 至 E，使 CE=CD=1，连 接 DE，则 DE= ． 考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．3481324 分析：根据等腰三角形和三角形外角性质求出 BD=DE，求出 BC，在 Rt△△BDC 中，由勾股定理求 出 BD 即可． 解答：解：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC， ∵BD 为中线， ∴∠DBC= ∠ABC=30°， ∵CD=CE， ∴∠E=∠CDE， ∵∠E+∠CDE=∠ACB， ∴∠E=30°=∠DBC， ∴BD=DE， ∵BD 是 AC 中线，CD=1， ∴AD=DC=1， ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC， 在 Rt△△BDC 中，由勾股定理得：BD= = ， 即 DE=BD= ， 故答案为： ． 点评：本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应 用，关键是求出 DE=BD 和求出 BD 的长． 12．（3 分）（2013•黄冈）已知反比例函数 在第一象限的图象如图所示，点 A 在其图象上，点 B 为 x 轴正半轴上一点，连接 AO、AB，且 AO=AB，则 S△AOB= 6 ． 考点：反比例函数系数 k 的几何意义；等腰三角形的性质．3481324 分析：根据等腰三角形的性质得出 CO=BC，再利用反比例函数系数 k 的几何意义得出 S△AOB 即可． 解答：解：过点 A 作 AC⊥OB 于点 C， ∵AO=AB， ∴CO=BC， ∵点 A 在其图象上， ∴ AC×CO=3， ∴ AC×BC=3， ∴S△AOB=6． 故答案为：6． 点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及反比例函数系数 k 的几何意义，正确分割△AOB 是解 题关键． 13．（3 分）（2013•黄冈）如图，M 是 CD 的中点，EM⊥CD，若 CD=4，EM=8，则 所在圆的半 径为 ． 考点：垂径定理；勾股定理． 3481324 专题：探究型． 分析：首先连接 OC，由 M 是 CD 的中点，EM⊥CD，可得 EM 过⊙O 的圆心点 O，然后设半径为 x， 由勾股定理即可求得：（8﹣x）2+22=x2，解此方程即可求得答案． 解答：解：连接 OC， ∵M 是 CD 的中点，EM⊥CD， ∴EM 过⊙O 的圆心点 O， 设半径为 x， ∵CD=4，EM=8， ∴CM= CD=2，OM=8﹣OE=8﹣x， 在 Rt△OEM 中，OM2+CM2=OC2， 即（8﹣x）2+22=x2， 解得：x= ． ∴ 所在圆的半径为： ． 故答案为： ． 点评：此题考查了垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形 结合思想与方程思想的应用． 14．（3 分）（2013•黄冈）钓鱼岛自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼岛开展常态化巡逻．某天， 为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨 1：00 出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽 搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达．如图是该艇行驶的路 程 y（海里）与所用时间 t（小时）的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是 7：00 ． 考点：一次函数的应用． 3481324 分析：根据函数图象和题意可以求出开始的速度为 80 海里/时，故障排除后的速度是 100 海里/时， 设计划行驶的路程是 a 海里，就可以由时间之间的关系建立方程求出路程，再由路程除以速 度就可以求出计划到达时间． 解答：解：由图象及题意，得 故障前的速度为：80÷1=80 海里/时， 故障后的速度为：（180﹣80）÷1=100 海里/时． 设航行额全程由 a 海里，由题意，得 ， 解得：a=480， 则原计划行驶的时间为：480÷80=6 小时， 故计划准点到达的时刻为：7：00． 故答案为：7：00． 点评：本题考查了运用函数图象的意义解答行程问题的运用，行程问题的数量关系路程=速度×时间 的运用，解答时先根据图象求出速度是关键，再建立方程求出距离是难点． 15．（3 分）（2013•黄冈）如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，边 CD 在直线 l 上，将矩形 ABCD 沿直线 l 作无滑动翻滚，当点 A 第一次翻滚到点 A1 位置时，则点 A 经过的路线长为 6π ． 考点：弧长的计算；矩形的性质；旋转的性质． 3481324 专题：规律型． 分析：如图根据旋转的性质知，点 A 经过的路线长是三段：①以 90°为圆心角，AD 长为半径的扇 形的弧长；②以 90°为圆心角，AB 长为半径的扇形的弧长；③90°为圆心角，矩形 ABCD 对 角线长为半径的扇形的弧长． 解答：解：∵四边形 ABCD 是矩形，AB=4，BC=3， ∴BC=AD=3，∠ADC=90°，对角线 AC（BD）=5． ∵根据旋转的性质知，∠ADA′=90°，AD=A′D=BC=3， ∴点 A 第一次翻滚到点 A′位置时，则点 A′经过的路线长为： = ． 同理，点 A′第一次翻滚到点 A″位置时，则点 A′经过的路线长为： =2π． 点″第一次翻滚到点 A1 位置时，则点 A″经过的路线长为： = ． 则当点 A 第一次翻滚到点 A1 位置时，则点 A 经过的路线长为： +2π+ =6π． 故答案是：6π． 点评：本题考查了弧长的计算、矩形的性质以及旋转的性质．根据题意画出点 A 运动轨迹，是突破 解题难点的关键． 三、解答题（本大题共 10 个小题，共 86 分．每小题给出必要的演算过程或推理步骤．） 16．（6 分）（2013•黄冈）解方程组： ． 考点：解二元一次方程组．3481324 专题：计算题． 分析：把方程组整理成一般形式，然后利用代入消元法其求即可． 解答： 解：方程组可化为 ， 由②得，x=5y﹣3③， ③代入①得，5（5y﹣3）﹣11y=﹣1， 解得 y=1， 把 y=1 代入③得，x=5﹣3=2， 所以，原方程组的解是 ． 点评：本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数 的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 17．（6 分）（2013•黄冈）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC、BD 相交于点 O，DH⊥AB 于 H，连接 OH，求证：∠DHO=∠DCO． 考点：菱形的性质． 3481324 专题：证明题． 分析：根据菱形的对角线互相平分可得 OD=OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可 得 OH=OB，然后根据等边对等角求出∠OHB=∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求出 ∠OBH=∠ODC，然后根据等角的余角相等证明即可． 解答：证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴OD=OB，∠COD=90°， ∵DH⊥AB， ∴OH=OB， ∴∠OHB=∠OBH， 又∵AB∥CD， ∴∠OBH=∠ODC， 在 Rt△COD 中，∠ODC+∠DCO=90°， 在 Rt△GHB 中，∠DHO+∠OHB=90°， ∴∠DHO=∠DCO． 点评：本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的 性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键． 18．（7 分）（2013•黄冈）为了倡导“节约用水，从我做起”，黄冈市政府决定对市直机关 500 户家庭 的用水情况作一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中 100 户家庭一年的月平均用水量（单位： 吨）．并将调查结果制成了如图所示的条形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）求这 100 个样本数据的平均数，众数和中位数； （3）根据样本数据，估计黄冈市直机关 500 户家庭中月平均用水量不超过 12 吨的约有多少户？ 考点：条形统计图；用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数．3481324 分析：（1）根据条形图中数据得出平均用水 11 吨的户数，进而画出条形图即可； （2）根据平均数、中位数、众的定义分别求法即可； （3）根据样本估计总体得出答案即可． 解答：解：（1）根据条形图可得出： 平均用水 11 吨的用户为：100﹣20﹣10﹣20﹣10=40（户）， 如图所示： （2）平均数为： （20×10+40×11+12×10+13×20+10×14）=11.6（吨）， 根据 11 出现次数最多，故众数为：11， 根据 100 个数据的最中间为第 50 和第 51 个数据， 按大小排列后第 50，51 个数据是 11，故中位数为：11； （3）样本中不超过 12 吨的有 20+40+10=70（户）， ∴黄冈市直机关 500 户家庭中月平均用水量不超过 12 吨的约有：500× =350（户）． 点评：此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排 列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数 据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 19．（6 分）（2013•黄冈）如图，有四张背面相同的纸牌 A，B，C，D，其正面分别是红桃、方块、 黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这 4 张纸牌背面朝上洗匀后，摸 出一张，将剩余 3 张再摸出一张． （1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌用 A，B，C，D 表示）； （2）求摸出的两张牌同为红色的概率． 考点：列表法与树状图法．3481324 分析：（1）画出树状图即可； （2）根据树状图可以直观的得到共有 12 种情况，都是红色情况有 2 种，进而得到概率． 解答：解：（1）如图所示： （2）根据树状图可得共有 12 种情况，都是红色情况有 2 种， 概率为 = ． 点评：本题考查概率公式，即如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= ． 20．（7 分）（2013•黄冈）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过 C 点的直线互相垂直， 垂足为 D，且 AC 平分∠DAB． （1）求证：DC 为⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为 3，AD=4，求 AC 的长． 考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质． 3481324 分析：（1）连接 OC，由 OA=OC 可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分线的性质可以证明 ∠DAC=∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到 OC∥AD，然后就得到 OC⊥CD，由此即 可证明直线 CD 与⊙O 相切于 C 点； （2）连接 BC，根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到 △ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题． 解答：（1）证明：连接 OC ∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA ∵AC 平分∠DAB ∴∠DAC=∠OAC ∴∠DAC=∠OCA ∴OC∥AD ∵AD⊥CD∴OC⊥CD ∴直线 CD 与⊙O 相切于点 C； （2）解：连接 BC，则∠ACB=90°． ∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴ ， ∴AC2=AD•AB， ∵⊙O 的半径为 3，AD=4， ∴AB=6， ∴AC=2 ． 点评：此题主要考查了切线的性质与判定，解题时 首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的 想这已知条件证明三角形相似即可解决问题． 21．（8 分）（2013•黄冈）为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了 240 吨救灾物资，现准 备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 45 30 租金（元/辆） 400 300 如果计划租用 6 辆货车，且租车的总费用不超过 2300 元，求最省钱的租车方案． 考点：一元一次不等式组的应用． 3481324 分析：根据设租用甲种货车 x 辆，则租用乙种 6﹣x 辆，利用某市民政局组织募捐了 240 吨救灾物资， 以及每辆货车的载重量得出不等式求出即可，进而根据每辆车的运费求出最省钱方案． 解答：解：设租用甲种货车 x 辆，则租用乙种 6﹣x 辆， 根据题意得出： 45x+30（6﹣x）≥240， 解得：x≥4， 则租车方案为：甲 4 辆，乙 2 辆；甲 5 辆，乙 1 辆；甲 6 辆，乙 0 辆； 租车的总费用分别为：4×400+2×300=2200（元），5×400+1×300=2300（元）， 6×400=2400（元）＞2300（不合题意舍去）， 故最省钱的租车方案是租用甲货车 4 辆，乙货车 2 辆． 点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据已知得出不等式求出所有方案是解题关键． 22．（8 分）（2013•黄冈）如图，小山顶上有一信号塔 AB，山坡 BC 的倾角为 30°，现为了测量塔高 AB，测量人员选择山脚 C 处为一测量点，测得塔顶仰角为 45°，然后顺山坡向上行走 100 米到达 E 处，再测得塔顶仰角为 60°，求塔高 AB（结果保留整数， ≈1.73， ≈1.41） 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 3481324 专题：应用题． 分析：先判断△ACE 为等腰三角形，在 Rt△AEF 中表示出 EF、AF，在 Rt△BEF 中求出 BF，根据 AB=AF﹣BF 即可得出答案． 解答：解：依题意可得：∠AEB=30°，∠ACE=15°， 又∵∠AEB=∠ACE+∠CAE ∴∠CAE=15°， 即△ACE 为等腰三角形， ∴AE=CE=100m， 在 Rt△AEF 中，∠AEF=60°， ∴EF=AEcos60°=50m，AF=AEsin60°=50 m， 在 Rt△BEF 中，∠BEF=30°， ∴BF=EFtan30°=50× = m， ∴AB=AF﹣BF=50 ﹣ = ≈58（米）． 答：塔高 AB 大约为 58 米． 点评：本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出 相关线段的长度，难度一般． 23．（12 分）（2013•黄冈）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国 外市场上全部售完．该公司的年产量为 6 千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润 y1（元） 与国内销售量 x（千件）的关系为： y1= 若在国外销售，平均每件产品的利润 y2（元）与国外的销售数量 t（千件）的关系为 y2= （1）用 x 的代数式表示 t 为：t= 6﹣x ；当 0＜x≤4 时，y2 与 x 的函数关系为：y2= 5x+80 ；当 4 ＜x＜ 6 时，y2=100； （2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润 w（千元）与国内销售数量 x（千件）的函数关系式， 并指出 x 的取值范围； （3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？ 考点：二次函数的应用． 3481324 分析：（1）由该公司的年产量为 6 千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+ 国外销售量=6 千件，即 x+t=6，变形即为 t=6﹣x； 根据平均每件产品的利润 y2（元）与国外的销售数量 t（千件）的关系 及 t=6﹣x 即可求出 y2 与 x 的函数关系：当 0＜x≤4 时， y2=5x+80；当 4≤x＜6 时，y2=100； （2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论： ①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6； （3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大 值，再比较即可． 解答：解：（1）由题意，得 x+t=6， ∴t=6﹣x； ∵ ， ∴当 0＜x≤4 时，2≤6﹣x＜6，即 2≤t＜6， 此时 y2 与 x 的函数关系为：y2=﹣5（6﹣x）+110=5x+80； 当 4≤x＜6 时，0≤6﹣x＜2，即 0≤t＜2， 此时 y2=100． 故答案为 6﹣x；5x+80；4，6； （2）分三种情况： ①当 0＜x≤2 时，w=（15x+90）x+（5x+80）（6﹣x）=10x2+40x+480； ②当 2＜x≤4 时，w=（﹣5x+130）x+（5x+80）（6﹣x）=﹣10x2+80x+480； ③当 4＜x＜6 时，w=（﹣5x+130）x+100（6﹣x）=﹣5x2+30x+600； 综上可知，w= ； （3）当 0＜x≤2 时，w=10x2+40x+480=10（x+2）2+440，此时 x=2 时，w 最大=600； 当 2＜x≤4 时，w=﹣10x2+80x+480=﹣10（x﹣4）2+640，此时 x=4 时，w 最大=640； 当 4＜x＜6 时，w=﹣5x2+30x+600=﹣5（x﹣3）2+645，4＜x＜6 时，w＜640； ∴x=4 时，w 最大=640． 故该公司每年国内、国外的销售量各为 4 千件、2 千件，可使公司每年的总利润最大，最大 值为 64 万元． 点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，有一定难度．涉及到一次函数、二次函数的性 质，分段函数等知识，进行分类讨论是解题的关键． 24．（15 分）（2013•黄冈）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是梯形，其中 A（6，0），B （3， ），C（1， ），动点 P 从点 O 以每秒 2 个单位的速度向点 A 运动，动点 Q 也同时从点 B 沿 B→C→O 的线路以每秒 1 个单位的速度向点 O 运动，当点 P 到达 A 点时，点 Q 也随之停止，设 点 P，Q 运动的时间为 t（秒）． （1）求经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式； （2）当点 Q 在 CO 边上运动时，求△OPQ 的面积 S 与时间 t 的函数关系式； （3）以 O，P，Q 顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出 t 的值；若不能，请说明理由； （4）经过 A，B，C 三点的抛物线的对称轴、直线 OB 和 PQ 能够交于一点吗？若能，请求出此时 t 的值（或范围），若不能，请说明理由）． 考点：二次函数综合题． 3481324 分析：（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）根据已知得出△OPQ 的高，进而利用三角形面积公式求出即可； （3）根据题意得出：0≤t≤3，当 0≤t≤2 时，Q 在 BC 边上运动，得出若△OPQ 为直角三角形， 只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，当 2＜t≤3 时，Q 在 OC 边上运动，得出△OPQ 不可能为直 角三角形； （4）首先求出抛物线对称轴以及 OB 直线解析式和 PM 的解析式，得出 （1﹣t）× =3 ﹣t﹣2t，恒成立，即 0≤t≤2 时，P，M，Q 总在一条直线上，再利用 2＜t≤3 时，求出 t 的值， 根据 t 的取值范围得出答案． 解答：解：（1）设所求抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把 A（6，0），B（3， ），C（1， ）三 点坐标代入得： ， 解得： ， 即所求抛物线解析式为：y=﹣ x2+ x+ ； （2）如图 1，依据题意得出：OC=CB=2，∠COA=60°， ∴当动点 Q 运动到 OC 边时，OQ=4﹣t， ∴△OPQ 的高为：OQ×sin60°=（4﹣t）× ， 又∵OP=2t， ∴S= ×2t×（4﹣t）× =﹣ （t2﹣4t）（2≤t≤3）； （3）根据题意得出：0≤t≤3， 当 0≤t≤2 时，Q 在 BC 边上运动，此时 OP=2t，OQ= ， PQ= = ， ∵∠POQ＜∠POC=60°， ∴若△OPQ 为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°， 若∠OPQ=90°，如图 2，则 OP2+PQ2=QO2，即 4t2+3+（3t﹣3）2=3+（3﹣t）2， 解得：t1=1，t2=0（舍去）， 若△OPQ 为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°， 若∠OQP=90°，如图，3，则 OQ2+PQ2=PO2，即（3﹣t）2+6+（3t﹣3）2=4t2， 解得：t=2， 当 2＜t≤3 时，Q 在 OC 边上运动，此时 QP=2t＞4， ∠POQ=∠COP=60°， OQ＜OC=2， 故△OPQ 不可能为直角三角形， 综上所述，当 t=1 或 t=2 时，△OPQ 为直角三角形； （4）由（1）可知，抛物线 y=﹣ x2+ x+ =﹣ （x﹣2）2+ ， 其对称轴为 x=2， 又∵OB 的直线方程为 y= x， ∴抛物线对称轴与 OB 交点为 M（2， ）， 又∵P（2t，0） 设过 P，M 的直线解析式为：y=kx+b， ∴ ， 解得： ， 即直线 PM 的解析式为：y= x﹣ ， 即 （1﹣t）y=x﹣2t， 又 0≤t≤2 时，Q（3﹣t， ），代入上式，得： （1﹣t）× =3﹣t﹣2t，恒成立， 即 0≤t≤2 时，P，M，Q 总在一条直线上， 即 M 在直线 PQ 上； 当 2＜t≤3 时，OQ=4﹣t，∠QOP=60°， ∴Q（ ， ）， 代入上式得： × （1﹣t）= ﹣2t， 解得：t=2 或 t= （均不合题意，舍去）． ∴综上所述，可知过点 A、B、C 三点的抛物线的对称轴 OB 和 PQ 能够交于一点，此时 0≤t≤2． 点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求二次函数解析式和待定系数法求一次 函数解析式等知识，利用分类讨论思想得出 t 的值是解题关键．