2013年莱芜市中考数学试卷解析

山东省莱芜市 2013 年中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把 正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个 均记零分，共 36 分）. 1．（3 分）（2013•莱芜）在 ， ，﹣2，﹣1 这四个数中，最大的数是（ ） A． B． C．﹣2 D．﹣1 考点：有理数大小比较． 3718684 分析：求出每个数的绝对值，根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可． 解答：解：∵|﹣ |= ，|﹣ |= ，|﹣2|=2，|﹣1|=1， ∴ ＜ ＜1＜2， ∴﹣ ＞﹣ ＞﹣1＞﹣2， 即最大的数是﹣ ， 故选 B． 点评：本题考查了绝对值和有理数的大小比较的应用，注意：两个负数比较大小，其绝对值 大的反而小． 2．（3 分）（2013•莱芜）在网络上用“Google”搜索引擎搜索“中国梦”，能搜索到与之相关的 结果个数约为 45100000，这个数用科学记数法表示为 （ ） A．451×105 B．45.1×106 C．4.51×107 D．0.451×10 考点：科学记数法—表示较大的数．3718684 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：45 100 000=4.51×107， 故选：C． 点评：此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．（3 分）（2013•莱芜）下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 考点：简单几何体的三视图． 3718684 分析：四个几何体的左视图：球是圆，圆锥是等腰三角形，正方体是正方形，圆柱是矩形， 由此可确定答案． 解答：解：由图示可得：球的左视图是圆，圆锥的左视图是等腰三角形，正方体的左视图是 正方形，圆柱的左视图是矩形， 所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体． 故选 B． 点评：本题主要考查三视图的左视图的知识；考查了学生的空间想象能力，属于基础题． 4．（3 分）（2013•莱芜）方程 =0 的解为（ ） A．﹣2 B．2 C．±2 D． 考点：解分式方程． 3718684 专题：计算题． 分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分 式方程的解． 解答：解：去分母得：x2﹣4=0， 解得：x=2 或 x=﹣2， 经检验 x=2 是增根，分式方程的解为 x=﹣2． 故选 A 点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整 式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 5．（3 分）（2013•莱芜）一组数据：10、5、15、5、20，则这组数据的平均数和中位数分别 是（ ） A．10，10 B．10，12.5 C．11，12.5 D．11，10 考点：中位数；加权平均数． 3718684 分析：根据中位数和平均数的定义结合选项选出正确答案即可． 解答：解：这组数据按从小到大的顺序排列为：5，5，10，15，20， 故平均数为： =11， 中位数为：10． 故选 D． 点评：本题考查了中位数和平均数的知识，属于基础题，解题的关键是熟练掌握其概念． 6．（3 分）（2013•莱芜）如图所示，将含有 30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条 直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2 的度数为（ ） A．10° B．20° C．25° D．30° 考点：平行线的性质．3718684 分析：延长 AB 交 CF 于 E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性 质得出∠2=∠AEC，代入求出即可． 解答：解：如图，延长 AB 交 CF 于 E， ∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠ABC=60°， ∵∠1=35°， ∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°， ∵GH∥EF， ∴∠2=∠AEC=25°， 故选 C． 点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，主要考查学 生的推理能力． 7．（3 分）（2013•莱芜）将半径为 3cm 的圆形纸片沿 AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心 O， 用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ） A． B． C． D． 考点：圆锥的计算． 3718684 分析：过 O 点作 OC⊥AB，垂足为 D，交⊙O 于点 C，由折叠的性质可知 OD 为半径的一半， 而OA为半径，可求∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由内角和定理求∠AOB， 然后求得弧 AB 的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理 求得其高即可． 解答：解：过 O 点作 OC⊥AB，垂足为 D，交⊙O 于点 C， 由折叠的性质可知，OD= OC= OA， 由此可得，在 Rt△AOD 中，∠A=30°， 同理可得∠B=30°， 在△AOB 中，由内角和定理， 得∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=120° ∴弧 AB 的长为 =2π 设围成的圆锥的底面半径为 r， 则 2πr=2π ∴r=1cm ∴圆锥的高为 =2 故选 A． 点评：本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．关键是由折叠的性质得 出含 30°的直角三角形． 8．（3 分）（2013•莱芜）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ） ①等边三角形；②矩形；③等腰梯形；④菱形；⑤正八边形；⑥圆． A．2 B．3 C．4 D．5 考点：中心对称图形；轴对称图形．3718684 分析：根据轴对称及中心对称的定义，结合各项进行判断即可． 解答：解：①是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； ②是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； ③是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； ④是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． ⑤是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． ⑥是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 综上可得符合题意的有 4 个． 故选 C． 点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转 180 度后与原图形重合． 9．（3 分）（2013•莱芜）如图，在⊙O 中，已知∠OAB=22.5°，则∠C 的度数为（ ） A．135° B．122.5° C．115.5° D．112.5° 考点：圆周角定理． 3718684 分析：首先利用等腰三角形的性质求得∠AOB 的度数，然后利用圆周角定理即可求解． 解答：解：∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBC=22.5°， ∴∠AOB=180°﹣22.5°﹣22.5°=135°． ∴∠C= （360°﹣135°）=112.5°． 故选 D． 点评：本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理，正确理解定理是关键． 10．（3 分）（2013•莱芜）下列说法错误的是（ ） A．若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心 B．2+ 与 2﹣ 互为倒数 C．x若 a＞|b|，则 a＞b D．梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半 考点：相交两圆的性质；绝对值；分母有理化；梯形中位线定理． 分析：根据相交两圆的性质以及互为倒数和有理化因式以及梯形的面积求法分别分析得出 即可． 解答：解：A、根据相交两圆的性质得出，若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两 圆的圆心，故此选项正确，不符合题意； B、∵2+ 与 2﹣ = 互为倒数，∴2+ 与 2﹣ 互为倒数，故此选项正确， 不符合题意； C、若 a＞|b|，则 a＞b，此选项正确，不符合题意； D、梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 点评：此题主要考查了相交两圆的性质以及分母有理化和梯形面积求法等知识，正确把握相 关定理是解题关键． 11．（3 分）（2013•莱芜）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（1， ）， M 为坐标轴上一点，且使得△MOA 为等腰三角形，则满足条件的点 M 的个数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．3718684 专题：数形结合． 分析：作出图形，利用数形结合求解即可． 解答：解：如图，满足条件的点 M 的个数为 6． 故选 C． 点评：本题考查了等腰三角形的判定，利用数形结合求解更形象直观． 12．（3 分）（2013•莱芜）如图，等边三角形 ABC 的边长为 3，N 为 AC 的三等分点，三角 形边上的动点 M 从点 A 出发，沿 A→B→C 的方向运动，到达点 C 时停止．设点 M 运动的 路程为 x，MN2=y，则 y 关于 x 的函数图象大致为（ ） A． B． C． D． 考点：动点问题的函数图象． 3718684 分析：注意分析 y 随 x 的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决． 解答：解：∵等边三角形 ABC 的边长为 3，N 为 AC 的三等分点， ∴AN=1． ∴当点 M 位于点 A 处时，x=0，y=1． ①当动点 M 从 A 点出发到 AM=1 的过程中，y 随 x 的增大而减小，故排除 D； ②当动点 M 到达 C 点时，x=6，y=3﹣1=2，即此时 y 的值与点 M 在点 A 处时的值不 相等．故排除 A、C． 故选 B． 点评：本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根 据动点的行程判断 y的变化情况． 二、填空题（本大题共 5 小题，只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分，共 20 分）. 13．（3 分）（2013•莱芜）分解因式：2m3﹣8m= 2m（m+2）（m﹣2） ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．3718684 专题：计算题． 分析：提公因式 2m，再运用平方差公式对括号里的因式分解． 解答：解：2m3﹣8m=2m（m2﹣4） =2m（m+2）（m﹣2）． 故答案为：2m（m+2）（m﹣2）． 点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因 式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 14．（3 分）（2013•莱芜）正十二边形每个内角的度数为 150° ． 考点：多边形内角与外角．3718684 分析：首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解． 解答：解：正十二边形的每个外角的度数是： =30°， 则每一个内角的度数是：180°﹣30°=150°． 故答案为：150°． 点评：本题考查了多边形的计算，掌握多边形的外角和等于 360 度，正确理解内角与外角的 关系是关键． 15．（4 分）（2013•莱芜）M（1，a）是一次函数 y=3x+2 与反比例函数 图象的公共点， 若将一次函数 y=3x+2 的图象向下平移 4 个单位，则它与反比例函数图象的交点坐标为 （﹣ 1，﹣5），（ ） ． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换． 3718684 专题：计算题． 分析：将 M 坐标代入一次函数解析式中求出 a 的值，确定出 M 坐标，将 M 坐标代入反比例 解析式中求出 k 的值，确定出反比例解析式，根据平移规律求出平移后的一次函数解 析式，与反比例函数联立即可求出交点坐标． 解答：解：将 M（1，a）代入一次函数解析式得：a=3+2=5，即 M（1，5）， 将 M（1，5）代入反比例解析式得：k=5，即 y= ， ∵一次函数解析式为 y=3x+2﹣4=3x﹣2， ∴联立得： ， 解得： 或 ， 则它与反比例函数图象的交点坐标为（﹣1，﹣5）或（ ，3）． 故答案为：（﹣1，﹣5）或（ ，3） 点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数 解析式，平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 16．（4 分）（2013•莱芜）如图，矩形 ABCD 中，AB=1，E、F 分别为 AD、CD 的中点，沿 BE 将△ABE 折叠，若点 A 恰好落在 BF 上，则 AD= ． 考点：翻折变换（折叠问题）． 3718684 分析：连接 EF，则可证明△EA'F≌△EDF，从而根据 BF=BA'+A'F，得出 BF 的长，在 Rt△BCF 中，利用勾股定理可求出 BC，即得 AD 的长度． 解答：解：连接 EF， ∵点 E、点 F 是 AD、DC 的中点， ∴AE=ED，CD=DF= CD= AB= ， 由折叠的性质可得 AE=A'E， ∴A'E=DE， 在 Rt△EA'F 和 Rt△EDF 中， ∵ ， ∴Rt△EA'F≌Rt△EDF（HL）， ∴A'F=DF= ， BF=BA'+A'F=AB+DF=1+ = ， 在 Rt△BCF 中，BC= = ． ∴AD=BC= ． 故答案为： ． 点评：本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是连接 EF，证明 Rt△EA'F≌Rt△EDF， 得出 BF 的长，注意掌握勾股定理的表达式． 17．（3 分）（2013•莱芜）已知 123456789101112…997998999 是由连续整数 1 至 999 排列组 成的一个数，在该数中从左往右数第 2013 位上的数字为 7 ． 考点：规律型：数字的变化类．3718684 分析：根据已知得出第 2013 个数字是第 638 个 3 位数的第 3 位，进而得出即可． 解答：解：∵共有 9 个 1 位数，90 个 2 位数，900 个 3 位数 ∴2013﹣9﹣90=1914， ∴ =638， 因此第 2013 个数字是第 638 个 3 位数的第 3 位， 第 638 个数为 637，故第 638 个 3 位数的第 3 位是：7． 故答案为：7． 点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出变化规律是解题关键． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 64 分，解得要写出必要的文字说明、证明过程或推演步 骤） 18．（9 分）（2013•莱芜）先化简，再求值： ，其中 a= +2． 考点：分式的化简求值． 3718684 专题：计算题． 分析：先计算括号里面的，再将除法转化为乘法，然后代入求值． 解答：解： = = = ． 当 a= 时，原式= ． 点评：本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解及分式的除法是解题的关键． 19．（8 分）（2013•莱芜）在学校开展的“学习交通安全知识，争做文明中学生”主题活动月 中，学校德工处随机选取了该校部分学生，对闯红灯情况进行了一次调查，调查结果有三种 情况：A．从不闯红灯；B．偶尔闯红灯；C 经常闯红灯．德工处将调查的数据进行了整理， 并绘制了尚不完整的统计图如下，请根据相关信息，解答下列问题． （1）求本次活动共调查了多少名学生； （2）请补全（图二），并求（图一）中 B 区域的圆心角的度数； （3）若该校有 240 名学生，请估算该校不严格遵守信号灯指示的人数． 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 3718684 分析：（1）根据总数=频数÷百分比，可得共调查的学生数； （2）B 区域的学生数=总数减去 A、C 区域的人数即可；再根据百分比=频数÷总数计 算可得最喜爱甲类图书的人数所占百分比，从而求出 B 区域的圆心角的度数； （3）用总人数乘以样本的概率即可解答． 解答：解：（1） （名）． 故本次活动共调查了 200 名学生． （2）补全图二， 200﹣120﹣20=60（名）． ． 故 B 区域的圆心角的度数是 108°． （3） （人）． 故估计该校不严格遵守信号等指示的人数为 960 人． 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中 得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇 形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20．（9 分）（2013•莱芜）如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心 通知附近两个小岛 A、B 上的观测点进行观测，从 A 岛测得渔船在南偏东 37°方向 C 处，B 岛在南偏东 66°方向，从 B 岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是 72 海里，A 岛上维修船的速度为每小时 20 海里，B 岛上维修船的速度为每小时 28.8 海里，为及时赶到 维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？ （参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4） 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 3718684 分析：作 AD⊥BC 的延长线于点 D，先解 Rt△ADB，求出 AD，BD，再解 Rt△ADC，求出 AC，CD，则 BC=BD﹣CD．然后分别求出 A 岛、B 岛上维修船需要的时间，则派遣 用时较少的岛上的维修船． 解答：解：作 AD⊥BC 的延长线于点 D． 在 Rt△ADB 中，AD=AB•cos∠BAD=72×cos66°=72×0.4=28.8（海里）， BD=AB•sin∠BAD=72×sin66°=72×0.9=64.8（海里）． 在 Rt△ADC 中， （海里）， CD=AC•sin∠CAD=36×sin37°=36×0.6=21.6（海里）． BC=BD﹣CD=64.8﹣21.6=43.2（海里）． A 岛上维修船需要时间 （小时）． B 岛上维修船需要时间 （小时）． ∵tA＜tB， ∴调度中心应该派遣 B 岛上的维修船． 点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角 三角形，进而解直角三角形求出 BD 与 CD 的值是解题的关键． 21．（9 分）（2013•莱芜）如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，以 AC 为一边向外作等边三角 形 ACD，点 E 为 AB 的中点，连结 DE． （1）证明 DE∥CB； （2）探索 AC 与 AB 满足怎样的数量关系时，四边形 DCBE 是平行四边形． 考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 3718684 分析：（1）首先连接 CE，根据直角三角形的性质可得 CE= AB=AE，再根据等边三角形的 性质可得 AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有 ∠DCB=150°可证明 DE∥CB； （2）当 AC= 或 AB=2AC 时，四边形 DCBE 是平行四边形．若四边形 DCBE 是 平行四边形，则 DC∥BE，∠DCB+∠B=180°进而得到∠B=30°，再根据三角函数可推 出 AC= 或 AB=2AC． 解答：（1）证明：连结 CE． ∵点 E 为 Rt△ACB 的斜边 AB 的中点， ∴CE= AB=AE． ∵△ACD 是等边三角形， ∴AD=CD． 在△ADE 与△CDE 中， ， ∴△ADE≌△CDE（SSS）， ∴∠ADE=∠CDE=30°． ∵∠DCB=150°， ∴∠EDC+∠DCB=180°． ∴DE∥CB． （2）解：∵∠DCB=150°，若四边形 DCBE 是平行四边形，则 DC∥BE， ∠DCB+∠B=180°． ∴∠B=30°． 在 Rt△ACB 中，sinB= ，sin30°= ，AC= 或 AB=2AC． ∴当 AC= 或 AB=2AC 时，四边形 DCBE 是平行四边形． 点评：此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定， 关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质． 22．（10 分）（2013•莱芜）某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动，为此学校准备购置 长、短两种跳绳若干．已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多 4 元，且购买 2 条长跳绳与 购买 5 条短跳绳的费用相同． （1）两种跳绳的单价各是多少元？ （2）若学校准备用不超过 2000 元的现金购买 200 条长、短跳绳，且短跳绳的条数不超过长 跳绳的 6 倍，问学校有几种购买方案可供选择？ 考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．3718684 专题：计算题． 分析：（1）设长跳绳的单价是 x 元，短跳绳的单价为 y 元，根据长跳绳的单价比短跳绳单 价的两倍多 4 元；购买 2 条长跳绳与购买 5 条短跳绳的费用相同，可得出方程组，解 出即可； （2）设学校购买 a 条长跳绳，购买资金不超过 2000 元，短跳绳的条数不超过长跳绳 的 6 倍，可得出不等式组，解出即可． 解答：解：（1）设长跳绳的单价是 x 元，短跳绳的单价为 y 元． 由题意得： ． 解得： ．所以长跳绳单价是 20 元，短跳绳的单价是 8 元． （2）设学校购买 a 条长跳绳， 由题意得： ． 解得： ． ∵a 为正整数， ∴a 的整数值为 29，3，31，32，33． 所以学校共有 5 种购买方案可供选择． 点评：本题考查了一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解答本题的关键仔细审题，设 出未知数，找到其中的等量关系和不等关系． 23．（10 分）（2013•莱芜）如图，⊙O 的半径为 1，直线 CD 经过圆心 O，交⊙O 于 C、D 两点，直径 AB⊥CD，点 M 是直线 CD 上异于点 C、O、D 的一个动点，AM 所在的直线交 于⊙O 于点 N，点 P 是直线 CD 上另一点，且 PM=PN． （1）当点 M 在⊙O 内部，如图一，试判断 PN 与⊙O 的关系，并写出证明过程； （2）当点 M 在⊙O 外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由； （3）当点 M 在⊙O 外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积． 考点：圆的综合题． 3718684 分析：（1）根据切线的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA 进而求出即可； （2）根据已知得出∠PNM+∠ONA=90°，进而得出∠PNO=180°﹣90°=90°即可得出答 案； （3）首先根据外角的性质得出∠AON=30°进而利用扇形面积公式得出即可． 解答：（1）PN 与⊙O 相切． 证明：连接 ON， 则∠ONA=∠OAN， ∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN． ∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO． ∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°． 即 PN 与⊙O 相切． （2）成立． 证明：连接 ON， 则∠ONA=∠OAN， ∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN． 在 Rt△AOM 中， ∴∠OMA+∠OAM=90°， ∴∠PNM+∠ONA=90°． ∴∠PNO=180°﹣90°=90°． 即 PN 与⊙O 相切． （3）解：连接 ON，由（2）可知∠ONP=90°． ∵∠AMO=15°，PM=PN，∴∠PNM=15°，∠OPN=30°， ∵∠PON=60°，∠AON=30°． 作 NE⊥OD，垂足为点 E， 则 NE=ON•sin60°=1× = ． S 阴影=S△AOC+S 扇形 AON﹣S△CON= OC•OA+ CO•NE = ×1×1+ π﹣ ×1× = + π﹣ ． 点评：此题主要考查了扇形面积公式以及切线的判定等知识，熟练根据切线的判定得出对应 角的度数是解题关键． 24．（12 分）（2013•莱芜）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）经过点 A（﹣3，0）、B（1，0）、 C（﹣2，1），交 y 轴于点 M． （1）求抛物线的表达式； （2）D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作 DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM 于点 F， 求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标； （3）抛物线上是否存在一点 P，作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 P、A、N 为顶点的三角 形与△MAO 相似？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题． 3718684 分析：（1）把点 A、B、C 的坐标分别代入已知抛物线的解析式列出关于系数的三元一次方 程组 ，通过解该方程组即可求得系数的值； （2）由（1）中的抛物线解析式易求点 M 的坐标为（0，1）．所以利用待定系数法即 可求得直线 AM 的关系式为 y= x+1．由题意设点 D 的坐标为 （ ），则点 F 的坐标为（ ）．易求 DF= = ．根据 二次函数最值的求法来求线段 DF 的最大值； （3）需要对点 P 的位置进行分类讨论：点 P 分别位于第一、二、三、四象限四种情 况．此题主要利用相似三角形的对应边成比例进行解答． 解答： 解：由题意可知 ．解得 ． ∴抛物线的表达式为 y= ． （2）将 x=0 代入抛物线表达式，得 y=1．∴点 M 的坐标为（0，1）． 设直线 MA 的表达式为 y=kx+b，则 ． 解得 ． ∴直线 MA 的表达式为 y= x+1． 设点 D 的坐标为（ ），则点 F 的坐标为（ ）． DF= = ． 当 时，DF 的最大值为 ． 此时 ，即点 D 的坐标为（ ）． （3）存在点 P，使得以点 P、A、N 为顶点的三角形与△MAO 相似．设 P（m， ）． 在 Rt△MAO 中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点 P 不可能在第一 象限． ①设点 P 在第二象限时，∵点 P 不可能在直线 MN 上，∴只能 PN=3NM， ∴ ，即 m2+11m+24=0．解得 m=﹣3（舍去）或 m=﹣8．又 ﹣3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在． ②当点 P 在第三象限时，∵点 P 不可能在直线 MN 上，∴只能 PN=3NM， ∴ ，即 m2+11m+24=0． 解得 m=﹣3 或 m=﹣8．此时点 P 的坐标为（﹣8，﹣15）． ③当点 P 在第四象限时，若 AN=3PN 时，则﹣3 ，即 m2+m ﹣6=0． 解得 m=﹣3（舍去）或 m=2． 当 m=2 时， ．此时点 P 的坐标为（2，﹣ ）． 若 PN=3NA，则﹣ ，即 m2﹣7m﹣30=0． 解得 m=﹣3（舍去）或 m=10，此时点 P 的坐标为（10，﹣39）． 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣ ）、（10，﹣39）． 点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求二次函数解析式，相似三角 形的性质以及二次函数最值的求法．需注意分类讨论，全面考虑点 P 所在位置的各种 情况．