2013年临沂市中考数学试卷解析

2013 年临沂市初中学生学业考试试题 数 学（解析） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 4 页，第 II 卷 5 至 12 页. 共 120 分．考试时间 120 分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共 42 分） 一、选择题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分）在每小题所给的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 2 的绝对值是 （A） 2 .（B） 2 . （C） 1 2 . （D） 1 2  . 答案：A 解析：负数的绝对值是它的相反数，故选 A。 2.拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓.据统计全国每年浪费食物总量约 50 000 000 000 千克，这 个数据用科学计数法表示为 (A) 110.5 10 千克 . (B) 950 10 千克 . (C) 95 10 千克 . (D) 105 10 千克. 答案：D 解析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看 把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞ 1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 50 000 000 000＝ 105 10 千克 3．如图，已知 AB∥CD，∠2=135°，则∠1 的度数是 (A) 35°. (B) 45°. (C) 55°. (D) 65°. 答案：B 解析：因为∠2=135°，所以，∠2 的邻补角为 45°，又两直线 平行，内错角相等，所以，∠1=45° 4．下列运算正确的是 (A) 2 3 5x x x  . (B) 4)2( 22  xx . (C) 2 3 52 2x x x  . (D)   743x x .w w w . 答案：C 解析：对于 A，不是同类项不能相加，故错；完全平方展开后有三项，故 B 也错；由幂的乘方知  43 12x x ，故 D 错，选 C。 5．计算 148 9 3  的结果是 (A) 3 . (B) 3 . (C) 11 33  . (D)11 33 . 答案：B 解析： 148 9 3  ＝ 34 3 9 33    ，选 B。 6．化简 2 1 2(1 )2 1 1 a a a a      的结果是 (A) 1 1a  . (B) 1 1a  . (C) 2 1 1a  . (D) 2 1 1a  . 答案：A 解析： 2 1 2(1 )2 1 1 a a a a      ＝ 2 1 1 2( )( 1) 1 1 a a a a a      ＝ 2 1 1( )( 1) 1 a a a a    ＝ 1 1a  7.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是 （A） 212 cm （B） 28 cm (C) 26 cm (D) 23 cm 答案：C 解析：由三视图可知，这是一个圆柱，底面半径为 1cm，高为 3cm，侧面展开图是矩形，它的面 积为 S＝2  3＝ 26 cm 8．不等式组 2 0, 1 3.2 x x x      的解集是 (A) 8x  . (B) 2x  . (C) 0 2x  . (D) 2 8x  答案：D 解析：第一个不等式的解集为 x＞2，解第二个不等式得：x  8，所以不等式的解集为：2 8x  9.在一次歌咏比赛中，某选手的得分情况如下：92, 88, 95, 93, 96, 95, 94.这组 数据的众数和中位数分别是 (A) 94，94 . (B) 95，95. (C) 94，95. (D) 95，94. 答案：D 解析：95 出现两次，最多，故众数为 95，又由小到大排列为：88，92，93，94，95，95，96， 故中位数为 94，选 D。 10.如图，四边形 ABCD 中,AC 垂直平分 BD,垂足为 E,下列结论不一定．．．成立的是 （A） AB=AD. (B) AC 平分∠BCD. (C) AB=BD. (D) △BEC≌△DEC. O 4 8 8 16 t(s) S( 2cm （A） O 4 8 8 16 t(s) S( 2cm （B） 答案：C 解析：由中垂线定理，知 AB＝AD，故 A 正确，由三线合一知 B 正确，且有 BC＝BD，故 D 也正确， 只有 C 不一定成立。 11.如图，在平面直角坐标系中,点 A1 ， A2 在 x 轴上，点 B1，B2 在 y 轴上，其坐标分别为 A1(1， 0),A2(2,0),B1(0,1)，B2（0,2），分别以 A1A2B1B2 其中的任意两点与点．．O．为顶点作三角形，所作三 角形是等腰三角形的概率是 （A） 3 4 . (B) 1 3 . (C) 2 3 . (D) 1 2 . 答案：D 解析：以 A1A2B1B2 其中的任意两点与点．．O．为顶点作三角形，能作 4 个，其中 A1B1O，A2B2O 为等腰三角形，共 2 个，故概率为： 1 2 12.如图，在⊙O 中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB 的 度数是 (A)75°. (B)60°. (C)45°. (D)30°. 答案：B 解析：连结 OC，则∠OCB=45°，∠OCA=15°， 所以，∠ACB=30°，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半，知 ∠AOB=60° 13.如图，等边三角形 OAB 的一边 OA 在 x 轴上，双曲线 xy 3 在第一象限内的图像经过 OB 边的中点 C，则点 B 的坐 标是 （A）( 1， 3 ). （B）( 3 ， 1 ). （C）( 2 ， 32 ). （D）( 32 ，2 ). 答案：C 解析：设 B 点的横坐标为 a，等边三角形 OAB 中，可求出 B 点的纵 坐标为 3a ，所以，C 点坐标为（ 3,2 2 a a ），代入 xy 3 得：a ＝2，故 B 点坐标为( 2 ， 32 ) 14、如图，正方形 ABCD 中，AB=8cm,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 分别从 B,C 两点同时出发， 以 1cm/s 的速度沿 BC,CD 运动，到点 C,D 时停止运动，设运动时间为 t(s),△OEF 的面积为 s( 2cm )，则 s( 2cm )与 t(s) 的函数关系可用图 像表示为 O 4 8 8 16 t(s) S( 2cm （C） O 4 8 8 16 t(s) S( 2cm （D） 答案：B 解析：经过 t 秒后，BE＝CF＝t，CE＝DF ＝ 8 － t ， 1 4 22BECS t t     ， 21 1(8 ) 42 2ECFS t t t t       ， 1 (8 ) 4 16 22ODFS t t       ， 所以， 2 21 132 2 (4 ) (16 2 ) 4 162 2OEFS t t t t t t          ，是以（4,8）为顶点，开口向上 的抛物线，故选 B。 2013 年临沂市初中学生学业考试试题 数 学 第Ⅱ卷（非选择题 共 78 分）． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）把答案填在题中横线上． 15．分解因式 24x x  . 答案： (2 )(2 )x x x  解析： 24x x  2(4 )x x ＝ (2 )(2 )x x x  16．分式方程 2 1 31 1 x x x    的解是 . 答案： 2x  解析：去分母，得：2x－1＝3x－3，解得：x＝2，经检验 x＝2 是原方程的解。 17.如图，菱形 ABCD 中，AB＝4， o60B  , ,AE BC AF CD  ,垂足分别为 E,F,连接 EF,则 的△AEF 的面积是 . 答案：3 3 解析：依题可求得：∠BAD＝120°，∠BAE＝∠DAF＝30°， 选项 人数 A B C D 4 12 56 图 1 BE＝DF＝2，AE＝AF＝ 2 3 ，所以，三角形 AEF 为等边三角形，高为 3，面积 S＝ 1 3 2 32   ＝ 3 3 18．如图，等腰梯形 ABCD 中， / / , , ,AD BC DE BC BD DC  垂足分别为 E,D,DE=3，BD=5， 则腰长 AB= 答案：15 4 解析：由 DE＝3，BD＝5，∠BED＝90°，得 BE＝4，又 DE2＝BE·EC，得 EC＝ 9 4 ，所以，BC＝ 25 4 ， 由勾股定理，得： 2 2CD BC BD  ＝15 4 19. 对于实数 a,b,定义运算“﹡”：a﹡b= 2 2 ( ), ). a ab a b ab b a b      （ 例如 4﹡2，因为 4>2,所以 4﹡ 2 24 4 2 8    .若 1 2,x x 是一元二次方程 2 5 6 0x x   的两个根，则 1x ﹡ 2x = 答案：3或-3 解析：（1）当 1 2x  ， 2x ＝3 时， 1x ﹡ 2x = 22 3 3  ＝－3； （2）当 1 3x  ， 2x ＝2 时， 1x ﹡ 2x = 23 3 2  ＝3； 三、开动脑筋，你一定能做对！（本大题共 3 小题，共 21 分） 20．（本小题满分 7 分） 2013 年 1 月 1 日新交通法规开始实施。为了解某社区居民遵守交通法规情 况，小明随机选取部分居民就“行人闯红灯现象”进行问卷调查，调查分 为“A：从不闯红灯;B：偶尔闯红灯;C:经常闯红灯;D：其他”四种情况，并根据调查结果绘制出 部分条形统计图（如图 1）和部分扇形统计图（如图 2）.请根据图中信息，解答下列问题： 得分 评卷人 选项 人数 A B C D 4 8 12 56 (1)本次调查共选取 名居民; (2)求出扇形统计图中“C”所对扇形的圆心角的度数，并将条形统计图补充完整; (3)如果该社区共有居民 1600 人，估计有多少人从不闯红灯？ 解析：（1）80 ………………………………(2 分) （2）80 56 12 4 8    （人） ……………(3 分) o o8 100% 360 3680    . 所以“C”所对圆心角的度数是 o36 ………(4 分) 图形补充正确 ………………………………(5 分) （3）1600 70% 1120  （人）． 所以该社区约有 1120 人从不闯红灯．…………………………………(7 分) 21．(本小题满分 7 分) 为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金 用于购买 A,B 两种型号的学习用品共 1000 件，已知 A 型学习用品的单价 为 20元，B 型学习用品的单价为 30 元. （1）若购买这批学习用品用了 26000 元，则购买 A,B 两种学习用品各多少件？ （2）若购买这批学习用品的钱不超过 28000 元，则最多购买 B 型学习用品多少件？ 解 析 ： （ 1 ） 设 购 买 A 型 学 习 用 品 x 件 ， 则 B 型 学 习 用 品 为 (1000 )x ． ……(1 分) 根据题意，得 20 30(1000 ) 26000x x   ………………(2 分) 解方程，得 x=400． 则1000 1000 400 600x    ． 答 ： 购 买 A 型 学 习 用 品 400 件 ， 购 买 B 型 学 习 用 品 600 件． ………………………(4 分) （2）设最多购买 B 型学习用品 x 件，则购买 A 型学习用品为 (1000 )x 件. 根据题意，得 20(1000 )+30 28000x x  ……………………(6 分) 解不等式，得 800x  . 答：最多购买 B 型学习用品 800 件. ……………………(7 分) 得分 评卷人 22．（本小题满分 7 分） 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的 平行线交 BE 的延长线于点 F,连接 CF. （1）求证：AF=DC； （2）若 AB⊥AC,试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论. 解 析 ： 证 明 ： （ 1 ） ∵ E 是 AD 的 中 点 ， ∴ AE=ED.……………………………(1 分) ∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE, ∠FAE=∠BDE, ∴ △ AFE ≌ △ DBE. ………………………(2 分) ∴AF=DB. ∵AD 是 BC 边上的中点，∴DB=DC,AF=DC ……………(3 分) （2）四边形 ADCF 是菱形. …………………………………(4 分) 理由：由（1）知，AF=DC, ∵AF∥CD, ∴四边形 ADCF 是平行四边形. ……(5 分) 又∵AB⊥AC, ∴△ABC 是直角三角形 ∵AD 是 BC 边上的中线, ∴ 1 2AD BC DC  . … (6 分) ∴平行四边形 ADCF 是菱形. …………………(7 分) 四、认真思考，你一定能成功！（本大题共 2 小题，共 18 分） 23． (本小题满分 9 分) 如图，在△ABC 中，∠ACB= o90 ， E 为 BC 上一点，以 CE 为直径作⊙O,AB 与⊙O 相切于点 D，连接 CD,若 BE=OE=2. （1）求证：∠A=2∠DCB； （2）求图中阴影部分的面积（结果保留 和根号）. 解析： (1)证明：连接 OD. ∵AB 与 ⊙ O 相 切 于 点 D , ∴ o90ODB  ， ∴ o90B DOB    . ∵ o90ACB  ,∴ o90A B    ,∴ A DOB   ∵OC=OD, ∴ 2DOB DCB   .∴ 2A DCB   (2)方法一：在 Rt△ODB 中，OD=OE,OE=BE ∴ 1sin 2 ODB OB    得分 评卷人 得分 评卷人 （第 22 题图） a z 55 75 15 35 （第 24 题图） ∴ o o30 , 60B DOB    ……6 分 1.c Om ∵ osin60 2 3BD OB   ∴ 1 1 2 2 3 2 32 2DOBS OD DB      260 2 360 3ODE ODS   扇形 2= 2 3 3D OOB DES S S   阴影 扇形 方法二：连接 DE,在 Rt△ODB 中，∵BE=OE=2 ∴ 1 2DE OB OE  , ∵OD=OE, ∴△DOE 为等边三角形，即 o60DOB  24．（本小题满分 9 分） 某工厂投入生产一种机器的总成本为 2000 万元.当该机器生产数量至少为 10 台，但不超过 70 台时，每台成本 y 与生产数量 x 之间是一次函数关系， 函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表： x(单位：台） 10 20 30 y(单位：万元∕台） 60 55 50 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)求该机器的生产数量； (3)市场调查发现，这种机器每月销售量 z（台）与售价 a（万元∕台）之间满足如图所示的函数 关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器 25 台，请你求出该厂第一个月销 售这种机器的利润.（注：利润=售价  成本） 解析：以下解题过程同方法一. 24．解：（1）设y与x的函数解析式为 +y kx b 根 据 题 意 ， 得 10 60, 20 55, k b k b      解 得 1 2 65 k b      ∴y 与 x 之间的函数关系式为 1 +65(10 70)2y x x    ；…(3 分) （2）设该机器的生产数量为 x 台， 根据题意，得 1( +65) 20002x x  ，解得 1 250, 80.x x  ∵10 70x  ∴x=50. 答：该机器的生产数量为 50 台. ………… …………………(6 分) 得分 评卷人 （3）设销售数量 z 与售价 a 之间的函数关系式为 z ka b  根据题意，得 55 35, 75 15, k b k b      解得 1, 90. k b     ∴ 90.z a   ……………………(8 分) 当 z=25 时，a=65. 设该厂第一个月销售这种机器的利润为 w 万元. 200025 (65 ) 62550w     (万元). …………………(9 分) 五、相信自己，加油呀！（本大题共 2 小题，共 24 分） 25．（本小题满分 11 分）如图，矩形 ABCD 中，∠ACB = o30 ，将一块直 角三角板的直角顶点 P 放在两对角线 AC,BD 的交点处，以点 P 为旋转中心 转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边 AB,BC 所在的直线相交，交点分别为 E,F. (1)当 PE⊥AB,PF⊥BC 时，如图 1，则 PE PF 的值为 . (2)现将三角板绕点 P 逆时针旋转 （ o o0 60  ）角，如图 2，求 PE PF 的值； (3)在（2）的基础上继续旋转，当 o o60 90  ，且使 AP:PC=1：2 时，如图 3， PE PF 的值是否 变化？证明你的结论. 解析： （ 1 ） 3 …………………………(2 分) （2）过点 P 作 PH⊥AB,PG⊥BC,垂足分别为 H,G.…………………(3 分) ∵在矩形 ABCD 中, o90ABC  ，∴PH∥BC. 又∵ o30ACB  ，∴ o30APH PCG    ∴ o 3cos30 2PH AP AP   , o 1sin30 2PG PC PC   ………………(5 分) 由题意可知 HPE GPE      , ∴Rt△PHE∽Rt△PGF. 得分 评卷人 x y A O C B （第 26 题图） ∴ 3 32 1 2 APPE PH AP PF PG PCPC    …………(7 分) 又∵点 P 在矩形 ABCD 对角线交点上，∴AP=PC. ∴ 3PE PF  ………………(8 分) （3）变化 ……………………………………………………(9 分) 证明：过点 P 作 PH⊥AB,PG⊥BC,垂足分别为 H,G. 根据（2），同理可证 3PE AP PF PC  ………(10 分) 又∵ : 1: 2AP PC  ∴ 3 2 PE PF  ………………………(11 分) 26、（本小题满分 13 分） 如图，抛物线经过 5( 1,0), (5,0), (0, )2A B C  三点. (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标； (3)点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A,C,M,N 四点构成的四边形为平行 四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由. 得分 评卷人 x y A O C B （第 26 题图） 'N P N M H 'M 解析：解：（1）设抛物线的解析式为 2y ax bx c   ， 根据题意，得 0, 25 5 0, 5.2 a b c a b c c              ， 解得 1 ,2 2, 5.2 a b c           ∴抛物线的解析式为： 21 52 .2 2y x x   ………(3 分) （2）由题意知，点 A 关于抛物线对称轴的对称点为点 B,连接 BC 交抛物线的对称轴于点 P， 则 P 点 即为所求. 设直线 BC 的解析式为 y kx b  ， 由题意，得 5 0, 5.2 k b b     解得 1 ,2 5.2 k b      ∴直线 BC 的解析式为 1 5 .2 2y x  …………(6 分) ∵抛物线 21 522 2y x x   的对称轴是 2x  ， ∴当 2x  时， 1 5 3 .2 2 2y x    ∴点 P 的坐标是 3(2, )2  . …………(7 分) （3）存在 …………………………(8 分) (i)当存在的点 N 在 x 轴的下方时，如图所示，∵四边形 ACNM 是平行四边形，∴CN∥x 轴，∴点 C 与点 N 关于对称轴 x=2 对称，∵C 点的坐标为 5(0, )2  ，∴点 N 的坐标为 5(4, ).2  ………………………(11 分) （II）当存在的点 'N 在 x 轴上方时，如图所示，作 'N H x 轴于点 H，∵四边形 ' 'ACM N 是平 行四边形，∴ ' ' ' ',AC M N N M H CAO    , ∴Rt△CAO ≌Rt△ ' 'N M H ,∴ 'N H OC . ∵点 C 的坐标为 '5 5(0, ),2 2N H   ,即 N 点的纵坐标为 5 2 ， ∴ 21 5 52 ,2 2 2x x   即 2 4 10 0x x   解得 1 22 14, 2 14.x x    ∴点 'N 的坐标为 5(2 14, )2  和 5(2 14, )2  . 综上所述，满足题目条件的点 N 共有三个， 分别为 5(4, ).2  ， 5(2 14, )2  ， 5(2 14, )2  ………………………(13 分)