2013年南充市中考数学试卷解析

2013 四川南充中考数学试题 （满分 100 分，考试时间 90 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. （2013 四川南充，1，3 分）计算－2+3 的结果是 （ ） A.－5 B. 1 C.-1 D. 5 答案：B 解析：本题考查实数的运算，－2＋3＝1。 2. （2013 四川南充，2，3 分）0.49 的算术平方根的相反数是 （ ） A.0.7 B. －0.7 C. D. 0 答案：B 解析.0.49 的算术平方根为 0.7，又 0.7 的相反数为－0.7，所以，选 B。 3. （2013 四川南充，3，3 分） 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠B=70°，则∠A 的度数是（ ） A.70° B. 55° C. 50° D. 40° 答案：D 解析：因为 AB=AC，所以∠C＝∠B=70°， ∠A=180°－70°－70°＝40° 4. （2013 四川南充，4，3 分）“一方有难，八方支援。”2013 年 4 月 20 日四川省芦山县遭遇 强烈地震灾害，我市某校师生共同为地震灾区捐款 135000 元用于灾后重建，把 135000 用科 学记数法表示为 （ ） A.1.35×106 B. 13.5×10 5 C. 1.35×105 D. 13.5×104 答案：C 解析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确 定 a 的值以及 n 的值，135000＝1.35×105 5. （2013 四川南充，5，3 分）不等式组 的整数解是（ ） A.－1，0,1 B. 0,1 C. －2，0,1 D. －1,1 答案：A 解析：解第 1 个不等式，得：x＞－2，解第 2 个不等式，得： ，所以， ，整数 有：－1,0，1，选 A。 6. （2013 四川南充，6，3 分） 下列图形中，∠2＞∠1 （ ） 答案：C 解析：由对顶角相等，知 A 中∠1＝∠2，由平行四边形的对角相等，知 B 中∠1＝∠2， 由对顶角相等，两直线平行同位角相等，知 D 中∠1＝∠2，由三角形的外角和定理，知 C 符合 ∠2＞∠1 7. （2013 四川南充，7，3 分）有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图 形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆。将卡片背面朝上洗匀，从中 抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 （ ） A. B. C. D. 答案：B 解析：既是轴对称图形，又是中心对称图形的有线段、圆，共 2 张，所以，所求概率为： 8. （2013 四川南充，8，3 分）如图，函数 的图象相交于点 A（1,2）和点 B，当 时，自变量 x 的取值范围是（ ） A. x＞1 B. －1＜x＜0 C. －1＜x＜0 或 x＞1 D. x＜－1 或 0＜x＜1 答案：C 解析：将点 A（1,2）代入，可得： ， ， 联立方程组，可得另一交点 B（－1，－2），观察图象可知，当 时，自变量 x 的取值范 围是－1＜x＜0 或 x＞1 9. （2013 四川南充，3 分）如图，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，点 B 恰好落在 AD 边的 B′处， 若 AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形 ABCD 的面积是 （ ） A.12 B. 24 C. 12 D. 16 答案：D 解析：由两直线平行内错角相等，知∠DEF＝∠EFB=60°，又∠AEF=∠ EF＝120°，所以， ∠ E =60°， E＝AE＝2，求得 ，所以，AB＝2 ，矩形 ABCD 的面 积为 S＝2 ×8＝16 ，选 D。 10. （2013 四川南充，9，3 分） 如图 1，点 E 为矩形 ABCD 边 AD 上一点，点 P，点 Q 同时从 点 B 出发，点 P 沿 BE→ED→DC 运动到点 C 停止，点 Q 沿 BC 运动到点 C 停止，它们运动的 速度都是 1cm/s，设 P，Q 出发 t 秒时，△BPQ 的面积为 ycm，已知 y 与 t 的函数关系的图形如 图 2（曲线 OM 为抛物线的一部分），则下列结论：：①AD=BE=5cm；②当 0＜t≤5 时； ； ③直线 NH 的解析式为 y=－ t+27；④若△ABE 与△QBP 相似，则 t= 秒。其中正确的结论 个数为 （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 答案：B 解析：根据图（2）可得，当点 P 到达点 E 时点 Q 到达点 C， C 故②正确 故④正确 将 N（7,10）代入，知③错误，故选 B。 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分） 11. （2013 四川南充，11，3 分）－3.5 的绝对值是__________. 答案：3.5 解析：负数的绝对值是它的相反数，故｜－3.5｜＝3.5 12. （2013 四川南充，12，3 分）分解因式：x2－4（x－1）＝_________. 答案：（x－2）2 解析：x2－4（x－1）＝x2－4x＋4＝（x－2）2 13. （2013 四川南充，13，3 分）点 A,B，C 是半径为 15cm 的圆上三点，∠BAC=36°，则弧 BC 的长为__________cm. 答案：6π 解析：设圆心为 O，则∠BOC＝72°，所以，弧 BC 的长为 ＝6π 14. （2013 四川南充，14，3 分）如图，正方形 ABCD 的边长 为 2 ， 过 点 A 作 AE ⊥ AC,AE=1 ， 连 接 BE ， 则 tanE=_____________. 答案： 解析： 三、（本大题共 3 个小题，每小题6 分，共 18 分） 15. （2013 四川南充，15，6 分）计算（－1） +（2sin30°+ ）－ +（ ） 解析：解：原式=－1+1－2+3 ……………4′ =1 ……………6′ 16. （ 2013 四川南充，15，6 分） 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC,BD 交于点 O, 经过点 O 的直线交 AB 于 E，交 CD 于 F. 求证：OE=OF. A B C D E F O 解析：证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC,AB∥CD ……………2′ ∴∠OAE=∠OCF ……………3′ ∵∠AOE=∠COF ……………5′ ∴△OAE≌△OCF（ASA） ∴OE=OF ……………6′ 17. （2013 四川南充，17，6 分）某校九年级有 1200 名学生，在体育考试前随机抽取部分学生 进行体能测试，成绩分别记为 A、B、C、D 共四个等级，其中Ａ级和Ｂ级成绩为“优”， 将测试结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图． A B C D 人数 等级 A 成绩频数条形统计图 30 A 级 20 C 级 B 级 D 级 成绩频数扇形统计图 （1）求抽取参加体能测试的学生人数； （２）估计该校九年级全体学生参加体能测试成绩为“优”的学生共有多少人？ 解析：（1）参加体能测试的学生人数为 60÷30%=200（人）……………2′ （2）C 级人数为 200×20%=40（人）……………3′ ∴B 级人数为 200－60－15－40=85（人）……………4′ ∴“优”生共有人数为 1200× =870（人）……………6′ 四、（本大题有 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 18. （2013 四川南充，18，8 分）某商场购进一种每件价格为 100 元的新商品,在商场试销发现: 销售单价 x(元/件)与每天销售量 y（件）之间满足如图所示的关系： （1）求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）写出每天的利润 W 与销售单价 x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多 少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？ y(件) x(元/件) 30 50 130 150O 解析：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx＋b（k≠0）.由所给函数图象得 ……………1′ ……………2′解得 ……………3′ ∴函数关系式为 y＝－x＋180. ……………4′ (2)W＝(x－100) y＝(x－100)( －x＋180) ……………5′ ＝－x2＋280x－18000 ……………6′ ＝－(x－140) 2＋1600 ……………7′ 当售价定为 140 元, W 最大＝1600. ∴售价定为 140 元/件时,每天最大利润 W＝1600 元 ……………8′ 19. （2013 四川南充，19，8 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B ＝60°，P 为 BC 边上一点（不与 B，C 重合），过点 P 作∠APE＝∠B，PE 交 CD 于 E. (1)求证:△APB∽△PEC; (2)若 CE＝3,求 BP 的长. A B D CP E 解析：(1)证明:梯形 ABCD 中,∵AD∥BC,AB＝DC. ∴∠B＝∠C＝60°. ……………1′ ∵∠APC＝∠B＋∠BAP, 即∠APE＋∠EPC＝∠B＋∠BAP. ∵∠APE＝∠B, ∴∠BAP＝∠EPC. ……………2′ ∴△APB∽△PEC. ……………3′ (2)过点 A 作 AF∥CD 交 BC 于 F. 则四边形 ADCF 为平行四边形,△ABC 为等边三角形. ……………4′ ∴CF＝AD＝3,AB＝BF＝7－3＝4. ∵△APB∽△PEC, ……………5′ ∴ ＝ , 设 BP＝x,则 PC＝7－x,又 EC＝3, AB＝4, ∴ ＝ ……………6′ 整理,得 x2－7x＋12＝0. 解得 x1＝3, x2＝4. ……………7′ 经检验, x1＝3, x2＝4 是所列方程的根, ∴BP 的长为 3 或 4. ……………8′ A B D CP E F 五、（满分 8 分） 20. （2013 四川南充，20，8 分）关于 x 的一元二次方程为（ｍ－1）x2－2ｍx＋ｍ＋1＝0 （1）求出方程的根； （2）ｍ为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 解析：（1）根据题意得ｍ≠1 ……………1′ △＝（–2ｍ）2－4（ｍ－1）（ｍ＋1）＝4 ……………2′ ∴x1＝ ＝ ……………3′ x2＝ ……………4′ （2）由（1）知 x1＝ = ……………5′ ∵方程的两个根都是正整数， ∴ 是正整数， ……………6′ ∴ｍ－1=1 或 2. ……………7′ ∴ｍ=2 或 3 ……………8′ 六、（满分 8 分） 21．（2013 四川南充，21，8 分）如图，公路 AB 为东西走向，在点 A 北偏东 36.5° 方向上， 距离 5 千米处是村庄 M；在点 A 北偏东 53.5°方向上，距离 10 千米处是村庄 N（参考数据： sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75）. （1）求 M，N 两村之间的距离； （2）要在公路 AB 旁修建一个土特产收购站 P，使得 M，N 两村到 P 站的距离之和最短，求这 个最短距离。 北 A NM B 解析： (1)如图,过点 M 作 CD∥ AB,NE⊥AB. ……………1′ 在 Rt△ACM 中，∠CAM=36.5°，AM=5， ∴sin36.5°＝ ＝0.6， ∴CM＝3，AC＝4. ……………2′ 在 Rt△ANE 中, ∠NAE=90°－53.5°=36.5°，AN=10， ∴sin36.5°＝ ＝0.6 ∴NE＝6，AE＝8. ……………3′ 在 Rt△MND 中,MD＝5，ND＝2. ∴MN＝ ＝ (km) ……………4′ (2)作点 N 关于 AB 的对称点 G，连接 MG 交 AB 于点 P. 点 P 即为站点. ……………5′ ∴PM＋PN＝PM＋PG＝MG. ……………6′ 在 Rt△MDG 中,MG＝ ＝ ＝ (km) ……………7′w w w . ∴最短距离为 km ……………8′ P 北 A NM B C D G E 七、（满分 8 分） 22．（2013 四川南充，21，8 分）如图，二次函数 y=x2+bx－3b+3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点 （点 A 在点 B 的左边），交 y 轴于点 C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）. （1）求这条抛物线的解析式； （2）⊙M 过 A、B、C 三点，交 y 轴于另一点 D，求点 M 的坐标； （3）连接 AM、DM，将∠AMD 绕点 M 顺时针旋转，两边 MA、MD 与 x 轴、y 轴分别交于点 E、 F，若△DMF 为等腰三角形，求点 E 的坐标. 解析：（1）把点（b－2，2b2－5b－1）代入解析式，得 2b2－5b－1=（b－2）2+b（b－2）－3b+3， ……………1′ 解得 b=2. ∴抛物线的解析式为 y=x2+2x－3. ……………2′ （2）由 x2+2x－3=0，得 x=－3 或 x=1. ∴A（－3，0）、B（1，0）、C（0，－3）. 抛物线的对称轴是直线 x=－1，圆心 M 在直线 x=－1 上. ……………3′ ∴设 M（－1，n），作 MG⊥x 轴于 G，MH⊥y 轴于 H，连接 MC、MB. ∴MH=1，BG=2. ……………4′ ∵MB=MC，∴BG2+MG2=MH2+CH2， 即 4+n2=1+（3+n）2，解得 n=－1，∴点 M（－1，－1） ……………5′ （3）如图，由 M（－1，－1），得 MG=MH. ∵MA=MD，∴Rt△AMG≌RtDMH，∴∠1=∠2. 由旋转可知∠3=∠4. ∴△AME≌△DMF. 若△DMF 为等腰三角形，则△AME 为等腰三角形. ……………6′ 设 E（x，0），△AME 为等腰三角形，分三种情况： ①AE=AM= ，则 x= －3，∴E（ －3，0）； ②∵M 在 AB 的垂直平分线上， ∴MA=ME=MB，∴E（1，0） ……………7′ ③点 E 在 AM 的垂直平分线上，则 AE=ME. AE=x+3，ME2=MG2+EG2=1+（－1－x）2，∴（x+3）2=1+（－1－x）2，解得 x= ，∴E（ ， 0）. ∴所求点 E 的坐标为（ －3，0），（1，0），（ ，0） ……………8′