2013年南宁市中考数学试卷解析

广西南宁市中考 2013 年数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）每小题都给出代号（A）、（B）、（C）、 （D）四个结论，其中只有一个是正确的，请考上用 2B 铅笔在答题卡上将选定答案标号涂 黑． 1．（3 分）（2013•南宁）在﹣2，1，5，0 这四个数中，最大的数是（ ） A．﹣3 B．1 C．5 D．0 考点：有理数大小比较． 3718684 分析：根据有理数大小比较的法则：①正数都大于 0； ②负数都小于 0；③正数大于一切 负数进行比较即可． 解答：解：在﹣2，1，5，0 这四个数中， 大小顺序为：﹣2＜0＜1＜5， 所以最大的数是 5． 故选 C． 点评：本题主要考查了有理数的大小的比较，解题的关键利用熟练掌握有理数的大小比较法 则，属于基础题． 2．（3 分）（2013•南宁）如图所示，将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是（ ） A． B． C． D． 考点：点、线、面、体． 3718684 分析：根据半圆绕它的直径旋转一周形成球即可得出答案． 解答：解：半圆绕它的直径旋转一周形成球体． 故选：A． 点评：本题考查了平面图形与立体图形的联系，培养学生的观察能力和空间想象能力． 3．（3 分）（2013•南宁）2013 年 6 月 11 日，神舟十号飞船发射成功，神舟十号飞船身高 9 米，重约 8 吨，飞行速度约每秒 7900 米，将数 7900 用科学记数法表示，表示正确的是（ ） A．0.79×104 B．7.9×104 C．7.9×103 D．0.79×103 考点：科学记数法—表示较大的数．3718684 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：将 7900 用科学记数法表示为：7.9×103． 故选：C． 点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4．（3 分）（2013•南宁）小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这 块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（ ） A．三角形 B．线段 C．矩形 D．正方形 考点：平行投影．3718684 分析：根据平行投影的性质分别分析得出即可即可． 解答：解：将矩形木框立起与地面垂直放置时，形成的影子为线段； 将矩形木框与地面平行放置时，形成的影子为矩形； 将木框倾斜放置形成的影子为平行四边形； 由物体同一时刻物高与影长成比例，且矩形对边相等，故得到的投影不可能是三角形． 故选：A． 点评：本题考查了投影与视图的有关知识，是一道与实际生活密切相关的热点试题，灵活运 用平行投影的性质是解题的关键． 5．（3 分）（2013•南宁）甲、乙、丙、丁四名选手参加 100 米决赛，赛场只设 1、2、3、4 四个跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若甲首先抽签，则甲抽到 1 号跑道的概 率是（ ） A．1 B． C． D． 考点：概率公式．3718684 分析：由设 1、2、3、4 四个跑道，甲抽到 1 号跑道的只有 1 种情况，直接利用概率公式求 解即可求得答案． 解答：解：∵设 1、2、3、4 四个跑道，甲抽到 1 号跑道的只有 1 种情况， ∴甲抽到 1 号跑道的概率是： ． 故选 D． 点评：此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 6．（3 分）（2013•南宁）若分式 的值为 0，则 x 的值为（ ） A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣1 或 2 考点：分式的值为零的条件． 3718684 分析：根据分式值为零的条件可得 x﹣2=0，再解方程即可． 解答：解：由题意得：x﹣2=0，且 x+1≠0， 解得：x=2， 故选：C． 点评：此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分 母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 7．（3 分）（2013•南宁）如图，圆锥形的烟囱底面半径为 15cm，母线长为 20cm，制作这样 一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是（ ） A．150πcm2 B．300πcm2 C．600πcm2 D．150πcm2 考点：圆锥的计算． 3718684 专题：计算题． 分析：根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于 圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可． 解答：解：烟囱帽所需要的铁皮面积= ×20×2π×15=300π（cm2）． 故选 B． 点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周 长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 8．（3 分）（2013•南宁）下列各式计算正确的是（ ） A．3a3+2a2=5a6 B． C．a4•a2=a8 D．（ab2）3=ab6 考点：二次根式的加减法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．3718684 专题：计算题． 分析：分别根据合并同类项、同底数幂的乘法法则及幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行 逐一判断即可． 解答：解：A、3a3 与 2a2 不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、2 + =3 ，故本选项正确； C、a4•a2=a6，故本选项错误； D、（ab2）3=a3b6，故本选项错误． 故选 B． 点评：本题考查的是二次根式的加减法，即二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二 次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 9．（3 分）（2013•南宁）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类 有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要， 购买时以一束（4 个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的 价格为（ ） A．19 B．18 C．16 D．15 考点：二元一次方程组的应用．3718684 分析：要求出第三束气球的价格，先求出笑脸形和爱心形的气球的单价就可以求出结论． 解答：解：设笑脸形的气球 x 元一个，爱心形的气球 y 元一个，由题意，得 ， 解得：2x+2y=16． 故选 C． 点评：本题考查了学生观察能力和识图能力，列二元一次方程组解实际问题的运用和数学整 体思想的运用，解答本题时根据单价×数量=总价的数量关系建立方程是关键． 10．（3 分）（2013•南宁）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误 的是（ ） A．图象关于直线 x=1 对称 B．函数 ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4 C．﹣1 和 3 是方程 ax2+bx+c（a≠0）的两个根D．当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大 考点：二次函数的性质． 3718684 分析：根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况，结合二次函数的性质，即可对所得结论进行判 断． 解答：解：A、观察图象，可知抛物线的对称轴为直线 x=1，则图象关于直线 x=1 对称，正 确，故本选项不符合题意； B、观察图象，可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），又抛物线开口向上，所以函数 ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4，正确，故本选项不符合题意； C、由图象可知抛物线与 x 轴的一个交点为（﹣1，0），而对称轴为直线 x=1，所以抛 物线与 x 轴的另外一个交点为（3，0），则﹣1 和 3 是方程 ax2+bx+c（a≠0）的两个根， 正确，故本选项不符合题意； D、由抛物线的对称轴为 x=1，所以当 xx＜1 时，y 随 x 的增大而减小，错误，故本 选项符合题意． 故选 D． 点评：此题考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是利用数形结合思想解题． 11．（3 分）（2013•南宁）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，且 AE=CD=8， ∠BAC= ∠BOD，则⊙O 的半径为（ ） A．4 B．5 C．4 D．3 考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理． 3718684 专题：探究型． 分析：先根据∠BAC= ∠BOD 可得出 = ，故可得出 AB⊥CD，由垂径定理即可求出 DE 的长，再根据勾股定理即可得出结论． 解答：解：∵∠BAC= ∠BOD， ∴ = ， ∴AB⊥CD， ∵AE=CD=8， ∴DE= CD=4， 设 OD=r，则 OE=AE﹣r=8﹣r， 在 RtODE 中，OD=r，DE=4，OE=8﹣r， ∵OD2=DE2+OE2，即 r2=42+（8﹣r）2，解得 r=5． 故选 B． 点评：本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并 且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 12．（3 分）（2013•南宁）如图，直线 y= 与双曲线 y= （k＞0，x＞0）交于点 A，将直线 y= 向上平移 4 个单位长度后，与 y 轴交于点 C，与双曲线 y= （k＞0，x＞0）交于点 B， 若 OA=3BC，则 k 的值为（ ） A．3 B．6 C． D． 考点：反比例函数综合题．3718684 专题：探究型． 分析：先根据一次函数平移的性质求出平移后函数的解析式，再分别过点 A、B 作 AD⊥x 轴，BE⊥x 轴，CF⊥BE 于点 F，再设 A（3x， x），由于 OA=3BC，故可得出 B（x， x+4），再根据反比例函数中 k=xy 为定值求出 x 解答：解：∵将直线 y= 向上平移 4 个单位长度后，与 y 轴交于点 C， ∴平移后直线的解析式为 y= x+4， 分别过点 A、B 作 AD⊥x 轴，BE⊥x 轴，CF⊥BE 于点 F，设 A（3x， x）， ∵OA=3BC，BC∥OA，CF∥x 轴， ∴CF= OD， ∵点 B 在直线 y= x+4 上， ∴B（x， x+4）， ∵点 A、B 在双曲线 y= 上， ∴3x• x=x•（ x+4），解得 x=1， ∴k=3×1× ×1= ． 故选 D． 点评：本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，设出 A、B 两点的坐标，再 根据 k=xy 的特点求出 k 的值即可． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．（3 分）（2013•南宁）若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 x≥2 ． 考点：二次根式有意义的条件．3718684 分析：根据二次根式有意义的条件，可得 x﹣2≥0，解不等式求范围． 解答：解：根据题意，使二次根式 有意义，即 x﹣2≥0， 解得 x≥2； 故答案为 x≥2． 点评：本题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于或等于 0 即可． 14．（3 分）（2013•南宁）一副三角板如图所示放置，则∠AOB= 105 °． 考点：角的计算．3718684 分析：根据三角板的度数可得：∠1=45°，∠2=60°，再根据角的和差关系可得 ∠AOB=∠1+∠2，进而算出角度． 解答：解：根据三角板的度数可得：∠1=45°，∠2=60°， ∠AOB=∠1+∠2=45°+60°=105°， 故答案为：105． 点评：此题主要考查了角的计算，关键是掌握角之间的关系． 15．（3 分）（2013•南宁）分解因式：x2﹣25= （x+5）（x﹣5） ． 考点：因式分解-运用公式法． 3718684 分析：直接利用平方差公式分解即可． 解答：解：x2﹣25=（x+5）（x﹣5）． 故答案为：（x+5）（x﹣5）． 点评：本题主要考查利用平方差公式因式分解，熟记公式结构是解题的关键． 16．（3 分）（2013•南宁）某中学规定：学生的学期体育综合成绩满分为 100 分，其中，期 中考试成绩占 40%，期末考试成绩占 60%，小海这个学期的期中、期末成绩（百分制）分 别是 80 分、90 分，则小海这个学期的体育综合成绩是 86 分． 考点：加权平均数． 3718684 分析：利用加权平均数的公式直接计算．用 80 分，90 分分别乘以它们的百分比，再求和即 可． 解答：解：小海这学期的体育综合成绩=（80×40%+90×60%）=86（分）． 故答案为 86． 点评：本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求 80、90 这两个数的平均数， 对平均数的理解不正确． 17．（3 分）（2013•南宁）有这样一组数据 a1，a2，a3，…an，满足以下规律： ， （n≥2 且 n 为正整数），则 a2013 的值为 ﹣1 （结果用数字表示）． 考点：规律型：数字的变化类．3718684 专题：规律型． 分析：求出前几个数便不难发现，每三个数为一个循环组依次循环，用过 2013 除以 3，根据 商和余数的情况确定答案即可． 解答：解：a1= ， a2= =2， a3= =﹣1， a4= = ， …， 依此类推，每三个数为一个循环组依次循环， ∵2013÷3=671， ∴a2013 为第 671 循环组的最后一个数，与 a3 相同，为﹣1． 故答案为：﹣1． 点评：本题是对数字变化规律的考查，根据计算得到每三个数为一个循环组依次循环是解题 的关键． 18．（3 分）（2013•南宁）如图，在边长为 2 的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与 角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积 为 ﹣ π ． 考点：三角形的内切圆与内心．3718684 分析：连接 OB，以及⊙O 与 BC 的切点，在构造的直角三角形中，通过解直角三角形易求 得⊙O 的半径，然后作⊙O 与小圆的公切线 EF，易知△BEF 也是等边三角形，那么 小圆的圆心也是等边△BEF 的重心；由此可求得小圆的半径，即可得到四个圆的面积， 从而由等边三角形的面积减去四个圆的面积和所得的差即为阴影部分的面积． 解答：解：如图，连接 OB、OD； 设小圆的圆心为 P，⊙P 与⊙O 的切点为 G；过 G 作两圆的公切线 EF，交 AB 于 E， 交 BC 于 F， 则∠BEF=∠BFE=90°﹣30°=60°，所以△BEF 是等边三角形． 在 Rt△OBD 中，∠OBD=30°， 则 OD=BD•tan30°=1× = ，OB=2OD= ，BG=OB﹣OG= ； 由于⊙P 是等边△BEF 的内切圆，所以点 P 是△BEF 的内心，也是重心， 故 PG= BG= ； ∴S⊙O=π×（ ）2= π，S⊙P=π×（ ）2= π； ∴S 阴影=S△ABC﹣S⊙O﹣3S⊙P= ﹣ π﹣ π= ﹣ π． 故答案为 ﹣ π． 点评：此题主要考查了等边三角形的性质、相切两圆的性质以及图形面积的计算方法，难度 适中． 三、（本大题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分） 19．（6 分）（2013•南宁）计算：20130﹣ +2cos60°+（﹣2） 考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．3718684 分析：分别进行零指数幂、二次根式的化简，然后代入特殊角的三角函数值合并即可得出答 案． 解答：解：原式=1﹣3 +2× ﹣2=﹣3 ． 点评：本题考查了实数的运算，属于基础题，关键是掌握零指数幂的运算法则及一些特殊角 的三角函数值． 20．（6 分）（2013•南宁）先化简，再求值： ，其中 x=﹣2． 考点：分式的化简求值． 3718684 专题：计算题． 分析：先算括号里面的，再把除式的分母分解因式，并把除法转化为乘法，然后进行约分， 最后把 x 的值代入进行计算即可得解． 解答： 解：（ + ）÷ = ÷ = • =x﹣1， 当 x=﹣2 时，原式=﹣2﹣1=﹣3． 点评：本题考查了分式的化简求值，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘 法运算． 四、本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分 21．（8 分）（2013•南宁）如图，△ABC 三个定点坐标分别为 A（﹣1，3），B（﹣1，1），C （﹣3，2）． （1）请画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1； （2）以原点 O 为位似中心，将△A1B1C1 放大为原来的 2 倍，得到△A2B2C2，请在第三象 限内画出△A2B2C2，并求出 S△A1B1C1：S△A2B2C2 的值． 考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换． 3718684 专题：作图题． 分析：（1）根据网格结构找出点 A、B、C 关于 y 轴的对称点 A1、B1、C1 的位置，然后顺 次连接即可； （2）连接 A1O 并延长至 A2，使 A2O=2A1O，连接 B1O 并延长至 B2，使 B2O=2B1O， 连接 C1O 并延长至 C2，使 C2O=2C1O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积 的比等于相似比的平方解答． 解答：解：（1）△A1B1C1 如图所示； （2）△A2B2C2 如图所示， ∵△A1B1C1 放大为原来的 2 倍得到△A2B2C2， ∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为 ， ∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=（ ）2= ． 点评：本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出 对应点的位置是解题的关键，还利用了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性 质． 22．（8 分）（2013•南宁）2013 年 6 月，某中学结合广西中小学阅读素养评估活动，以“我最 喜爱的书籍”为主题，对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查，收集整理数据后， 绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图 1 和图 2 提供的信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？ （2）请把折线统计图（图 1）补充完整； （3）求出扇形统计图（图 2）中，体育部分所对应的圆心角的度数； （4）如果这所中学共有学生 1800 名，那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数． 考点：折线统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 3718684 专题：图表型． 分析：（1）用文学的人数除以所占的百分比计算即可得解； （2）根据所占的百分比求出艺术和其它的人数，然后补全折线图即可； （3）用体育所占的百分比乘以 360°，计算即可得解； （4）用总人数乘以科普所占的百分比，计算即可得解． 解答：解：（1）90÷30%=300（名）， 故，一共调查了 300 名学生； （2）艺术的人数：300×20%=60 名， 其它的人数：300×10%=30 名； 补全折线图如图； （3）体育部分所对应的圆心角的度数为： ×360°=48°； （4）1800× =480（名）． 答：1800 名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为 480． 点评：本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用，折线统计图表示的是事物的变化 情况，扇形统计图中每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数 与 360°的比． 五、（本大题满分 8 分） 23．（8 分）（2013•南宁）如图，在菱形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E、F 分别是边 BC、 AD 的中点． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若∠B=60°，AB=4，求线段 AE 的长． 考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质． 3718684 分析：（1）首先根据菱形的性质，得到 AB=BC=AD=CD，∠B=∠D，结合点 E、F 分别是 边 BC、AD 的中点，即可证明出△ABE≌△CDF； （2）首先证明出△ABC 是等边三角形，结合题干条件在 Rt△AEB 中，∠B=60°，AB=4， 即可求出 AE 的长． 解答：解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=BC=AD=CD，∠B=∠D， ∵点 E、F 分别是边 BC、AD 的中点， ∴BE=DF， 在△ABE 和△CDF 中， ∵ ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）∵∠B=60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∵点 E 是边 BC 的中点， ∴AE⊥BC， 在 Rt△AEB 中，∠B=60°，AB=4， sin60°= = ， 解得 AE=2 ． 点评：本题主要考查菱形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质、全等三 角形的证明以及等边三角形的性质，此题难度不大，是一道比较好的中考试题． 六、（本大题满分 10 分） 24．（10 分）（2013•南宁）在一条笔直的公路上有 A、B 两地，甲骑自行车从 A 地到 B 地； 乙骑自行车从 B 地到 A 地，到达 A 地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离 B 地的距离 y（km）与行驶时 x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题： （1）写出 A、B 两地直接的距离； （2）求出点 M 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； （3）若两人之间保持的距离不超过 3km 时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、 乙两人能够用无线对讲机保持联系时 x 的取值范围． 考点：一次函数的应用． 3718684 分析：（1）x=0 时甲的 y 值即为 A、B 两地的距离； （2）根据图象求出甲、乙两人的速度，再利用相遇问题求出相遇时间，然后求出乙 的路程即可得到点 M 的坐标以及实际意义； （3）分相遇前和相遇后两种情况求出 x 的值，再求出最后两人都到达 B 地前两人相 距 3 千米的时间，然后写出两个取值范围即可． 解答：解：（1）x=0 时，甲距离 B 地 30 千米， 所以，A、B 两地的距离为 30 千米； （2）由图可知，甲的速度：30÷2=15 千米/时， 乙的速度：30÷1=30 千米/时， 30÷（15+30）= ， ×30=20 千米， 所以，点 M 的坐标为（ ，20），表示 小时后两车相遇，此时距离 B 地 20 千米； （3）设 x 小时时，甲、乙两人相距 3km， ①若是相遇前，则 15x+30x=30﹣3， 解得 x= ， ②若是相遇后，则 15x+30x=30+3， 解得 x= ， ③若是到达 B 地前，则 15x﹣30（x﹣1）=3， 解得 x= ， 所以，当 ≤x≤ 或 ≤x≤2 时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系． 点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，难点在 于（3）要分情况讨论． 七、（本大题满分 10 分） 25．（10 分）（2013•南宁）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AB 是⊙O 的直径， ⊙O 交 BC 于点 D，DE⊥AC 于点 E，BE 交⊙O 于点 F，连接 AF，AF 的延长线交 DE 于点 P． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）求 tan∠ABE 的值； （3）若 OA=2，求线段 AP 的长． 考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．3718684 专题：证明题． 分析：（1）连结 AD、OD，根据圆周角定理得∠ADB=90°，由 AB=AC，根据等腰三角形的 直线得 DC=DB，所以 OD 为△BAC 的中位线，则 OD∥AC，然后利用 DE⊥AC 得到 OD⊥DE， 这样根据切线的判定定理即可得到结论； （2）易得四边形 OAED 为正方形，然后根据正切的定义计算 tan∠ABE 的值； （3）由 AB 是⊙O 的直径得∠AFB=90°，再根据等角的余角相等得∠EAP=∠ABF， 则 tan∠EAP=tan∠ABE= ，在 Rt△EAP 中，利用正切的定义可计算出 EP，然后利用 勾股定理可计算出 AP． 解答：（1）证明：连结 AD、OD，如图， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∵AB=AC， ∴AD 垂直平分 BC，即 DC=DB， ∴OD 为△BAC 的中位线， ∴OD∥AC， 而 DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∴DE 是⊙O 的切线； （2）解：∵OD⊥DE，DE⊥AC， ∴四边形 OAED 为矩形， 而 OD=OA， ∴四边形 OAED 为正方形， ∴AE=AO， ∴tan∠ABE= = ； （3）解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AFB=90°， ∴∠ABF+∠FAB=90°， 而∠EAP+∠FAB=90°， ∴∠EAP=∠ABF， ∴tan∠EAP=tan∠ABE= ， 在 Rt△EAP 中，AE=2， ∵tan∠EAP= = ， ∴EP=1， ∴AP= = ． 点评：本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查 了圆周角定理和解直角三角形． 八、（本大题满分 10 分） 26．（10 分）（2013•南宁）如图，抛物线 y=ax2+c（a≠0）经过 C（2，0），D（0，﹣1）两点， 并与直线 y=kx 交于 A、B 两点，直线 l 过点 E（0，﹣2）且平行于 x 轴，过 A、B 两点分别 作直线 l 的垂线，垂足分别为点 M、N． （1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM； （3）探究： ①当 k=0 时，直线 y=kx 与 x 轴重合，求出此时 的值； ②试说明无论 k 取何值， 的值都等于同一个常数． 考点：二次函数综合题． 3718684 专题：代数几何综合题． 分析：（1）把点 C、D 的坐标代入抛物线解析式求出 a、c，即可得解； （2）根据抛物线解析式设出点 A 的坐标，然后求出 AO、AM 的长，即可得证； （3）①k=0 时，求出 AM、BN 的长，然后代入 + 计算即可得解； ②设点 A（x1， x12﹣1），B（x2， x22﹣1），然后表示出 + ，再联立抛物线与 直线解析式，消掉未知数 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出 x1+x2，x1•2，并求出 x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解． 解答：（1）解：∵抛物线 y=ax2+c（a≠0）经过 C（2，0），D（0，﹣1）， ∴ ， 解得 ， 所以，抛物线的解析式为 y= x2﹣1； （2）证明：设点 A 的坐标为（m， m2﹣1）， 则 AO= = m2+1， ∵直线 l 过点 E（0，﹣2）且平行于 x 轴， ∴点 M 的纵坐标为﹣2， ∴AM= m2﹣1﹣（﹣2）= m2+1， ∴AO=AM； （3）解：①k=0 时，直线 y=kx 与 x 轴重合，点 A、B 在 x 轴上， ∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2， ∴ + = + =1； ②k 取任何值时，设点 A（x1， x12﹣1），B（x2， x22﹣1）， 则 + = + = = ， 联立 ， 消掉 y 得，x2﹣4kx﹣4=0， 由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4， 所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8， x12•x22=16， ∴ + = = =1， ∴无论 k 取何值， + 的值都等于同一个常数 1． 点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及 点到直线的距离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点 A、B 的坐标， 然后用含有 k 的式子表示出 + 是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要 认真仔细．