2013年宁夏中考数学试卷解析

宁夏回族自治区 2013 年中考数学试卷 一、选择题（下列每小题所给的四个答案中只有一个是正确的，每小题 3 分，共 24 分） 1．（3 分）（2013•宁夏）计算（a2）3 的结果是（ ） A．a5 B．a6 C．a8 D．3a2 考点：幂的乘方与积的乘方． 3718684 分析：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算后直接选取答案． 解答：解：（a2）3=a6． 故选 B． 点评：本题考查了幂的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 2．（3 分）（2013•宁夏）一元二次方程 x（x﹣2）=2﹣x 的根是（ ） A．﹣1 B．2 C．1 和 2 D．﹣1 和 2 考点：解一元二次方程-因式分解法． 3718684 专题：计算题． 分析：先移项得到 x（x﹣2）+（x﹣2）=0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个 一元一次方程，解方程即可． 解答：解：x（x﹣2）+（x﹣2）=0， ∴（x﹣2）（x+1）=0， ∴x﹣2=0 或 x+1=0， ∴x1=2，x2=﹣1． 故选 D． 点评：本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方 程化为两个一元一次方程． 3．（3 分）（2013•宁夏）如图是某水库大坝横断面示意图．其中 AB、CD 分别表示水库上下 底面的水平线，∠ABC=120°，BC 的长是 50m，则水库大坝的高度 h 是（ ） A．25 m B．25m C．25 m D． m 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 3718684 分析：首先过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，易得∠CBE=60°，在 Rt△CBE 中，BC=50m，利用正 弦函数，即可求得答案． 解答：解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E， ∵∠ABC=120°， ∴∠CBE=60°， 在 Rt△CBE 中，BC=50m， ∴CE=BC•sin60°=25 （m）． 故选 A． 点评：此题考查了坡度坡角问题．注意能构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解 是解此题的关键． 4．（3 分）（2013•宁夏）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，沿 CD 折叠△CBD，使点 B 恰好 落在 AC 边上的点 E 处．若∠A=22°，则∠BDC 等于（ ） A．44° B．60° C．67° D．77° 考点：翻折变换（折叠问题）． 3718684 分析：由△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=22°，可求得∠B 的度数，由折叠的性质可得： ∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，由三角形外角的性质，可求得∠ADE 的度数，继 而求得答案． 解答：解：△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=22°， ∴∠B=90°﹣∠A=68°， 由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC， ∴∠ADE=∠CED﹣∠A=46°， ∴∠BDC= =67°． 故选 C． 点评：此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题难度不大， 注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 5．（3 分）（ 2013•宁夏）雅安地震后，灾区急需帐篷．某企业急灾区之所急，准备捐助甲、 乙两种型号的帐篷共 1500 顶，其中甲种帐篷每顶安置 6 人，乙种帐篷每顶安置 4 人，共安 置 8000 人．设该企业捐助甲种帐篷 x 顶、乙种帐篷 y 顶，那么下面列出的方程组中正确的 是（ ） A． B． C． D． 考点：由实际问题抽象出二元一次方程组． 3718684 分析：等量关系有：①甲种帐篷的顶数+乙种帐篷的顶数=1500 顶；②甲种帐篷安置的总人 数+乙种帐篷安置的总人数=8000 人，进而得出答案． 解答：解：根据甲、乙两种型号的帐篷共 1500 顶，得方程 x+y=1500；根据共安置 8000 人， 得方程 6x+4y=8000． 列方程组为： ． 故选：D． 点评：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组解应用题的关键是找准 等量关系，此题中要能够分别根据帐篷数和人数列出方程． 6．（3 分）（2013•宁夏）函数 （a≠0）与 y=a（x﹣1）（a≠0）在同一坐标系中的大致图象 是（ ） A． B． C． D． 考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．3718684 分析：首先把一次函数化为 y=ax﹣a，再分情况进行讨论，a＞0 时；a＜0 时，分别讨论出两 函数所在象限，即可选出答案． 解答：解：y=a（x﹣1）=ax﹣a， 当 a＞0 时，反比例函数在第一、三象限，一次函数在第一、三、四象限， 当 a＜0 时，反比例函数在第二、四象限，一次函数在第二、三、四象限， 故选：C． 点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数图象，关键是掌握一次函数图象与系数的关 系．一次函数 y=kx+b 的图象有四种情况： ①当 k＞0，b＞0，函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限，y 的值随 x 的值增大 而增大； ②当 k＞0，b＜0，函数 y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限，y 的值随 x 的值增大 而增大； ③当 k＜0，b＞0 时，函数 y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，y 的值随 x 的值增 大而减小； ④当 k＜0，b＜0 时，函数 y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限，y 的值随 x 的值增 大而减小． 7．（3 分）（2013•宁夏）如图是某几何体的三视图，其侧面积（ ） A．6 B．4π C．6π D．12π 考点：由三视图判断几何体． 3718684 分析：先判断出该几何体为圆柱，然后计算其侧面积即可． 解答：解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为 3cm，底面直径为 2cm， 侧面积为：πdh=2π×3=6π． 故选 C． 点评：本题考查了由三视图判断几何体及圆柱的计算，解题的关键是首先判断出该几何体． 8．（3 分）（2013•宁夏）如图，以等腰直角△ABC 两锐角顶点 A、B 为圆心作等圆，⊙A 与 ⊙B 恰好外切，若 AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ） A． B． C． D． 考点：扇形面积的计算；相切两圆的性质． 3718684 分析：根据题意可判断⊙A 与⊙B 是等圆，再由直角三角形的两锐角互余，即可得到 ∠A+∠B=90°，根据扇形的面积公式即可求解． 解答：解：∵⊙A 与⊙B 恰好外切， ∴⊙A 与⊙B 是等圆， ∵AC=2，△ABC 是等腰直角三角形， ∴AB=2 ， ∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和 = + = = πR2= ． 故选 B． 点评：本题考查了扇形的面积计算及相切两圆的性质，解答本题的关键是得出两扇形面积之 和的表达式，难度一般． 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．（3 分）（2013•宁夏）分解因式：2a2﹣4a+2= 2（a﹣1）2 ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．3718684 专题：计算题． 分析：先提公因式 2，再利用完全平方公式分解因式即可． 解答：解：2a2﹣4a+2， =2（a2﹣2a+1）， =2（a﹣1）2． 点评：本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取 公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 10．（3 分）（2013•宁夏）点 P（a，a﹣3）在第四象限，则 a 的取值范围是 0＜a＜3 ． 考点：点的坐标；解一元一次不等式组．3718684 分析：根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可． 解答：解：∵点 P（a，a﹣3）在第四象限， ∴ ， 解得 0＜a＜3． 故答案为：0＜a＜3． 点评：本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符 号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）； 第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 11．（3 分）（2013•宁夏）如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中 其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 3 种． 考点：概率公式；轴对称图形．3718684 分析：根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合， 那么这个图形叫做轴对称图形． 解答：解：选择小正三角形涂黑，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形， 选择的位置有以下几种：1 处，2 处，3 处，选择的位置共有 3 处． 故答案为：3． 点评：本题考查了利用轴对称设计图案的知识，关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图 形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 12．（3 分）（2013•宁夏）如图，将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O， 则折痕 AB 的长为 2 cm． 考点：垂径定理；勾股定理． 3718684 分析：通过作辅助线，过点 O 作 OD⊥AB 交 AB 于点 D，根据折叠的性质可知 OA=2OD， 根据勾股定理可将 AD 的长求出，通过垂径定理可求出 AB 的长． 解答：解：过点 O 作 OD⊥AB 交 AB 于点 D， ∵OA=2OD=2cm， ∴AD= = = cm， ∵OD⊥AB， ∴AB=2AD= cm． 点评：本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用． 13．（3 分）（2013•宁夏）如图，菱形 OABC 的顶点 O 是原点，顶点 B 在 y 轴上，菱形的两 条对角线的长分别是 6 和 4，反比例函数 的图象经过点 C，则 k 的值为 ﹣ 6 ． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．3718684 专题：探究型． 分析：先根据菱形的性质求出 C 点坐标，再把 C 点坐标代入反比例函数的解析式即可得出 k 的值． 解答：解：∵菱形的两条对角线的长分别是 6 和 4， ∴A（﹣3，2）， ∵点 A 在反比例函数 y= 的图象上， ∴2= ，解得 k=﹣6． 故答案为：﹣6． 点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定 适合此函数的解析式． 14．（3 分）（2013•宁夏）△ABC 中，D、E 分别是边 AB 与 AC 的中点，BC=4，下面四个 结论：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为 1：4； ④△ADE 的周长与△ABC 的周长之比为 1：4；其中正确的有 ①②③ ．（只填序号） 考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．3718684 分析：根据题意做出图形，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，可得 DE∥BC，DE= BC=2， 则可证得△ADE∽△ABC，由相似三角形面积比等于相似比的平方，证得△ADE 的 面积与△ABC 的面积之比为 1：4，然后由三角形的周长比等于相似比，证得△ADE 的周长与△ABC 的周长之比为 1：2，选出正确的结论即可． 解答：解：∵在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点， ∴DE∥BC，DE= BC=2， ∴△ADE∽△ABC， 故①②正确； ∵△ADE∽△ABC， = ， ∴△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为 1：4， △ADE 的周长与△ABC 的周长之比为 1：2， 故③正确，④错误． 故答案为：①②③． 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质，难度不大，注意掌握 数形结合思想的应用，要求同学们掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等 于相似比的平方． 15．（3 分）（2013•宁夏）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点 D 在 AB 边上，则旋转角的大小为 2a ． 考点：旋转的性质． 3718684 分析：由在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=α，可求得：∠B=90°﹣α，由旋转的性质可得： CB=CD，根据等边对等角的性质可得∠CDB=∠B=90°﹣α，然后由三角形内角和定理， 求得答案． 解答：解：∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=α， ∴∠B=90°﹣α， 由旋转的性质可得：CB=CD， ∴∠CDB=∠B=90°﹣α， ∴∠BCD =180°﹣∠B﹣∠CDB=2α． 即旋转角的大小为 2α． 故答案为：2α． 点评：此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大， 注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 16．（3 分）（2013•宁夏）若不等式组 有解，则 a 的取值范围是 a＞﹣1 ． 考点：不等式的解集．3718684 分析：先解出不等式组的解集，根据已知不等式组 有解，即可求出 a 的取值 范围． 解答：解：∵由①得 x≥﹣a， 由②得 x＜1， 故其解集为﹣a≤x＜1， ∴﹣a＜1，即 a＞﹣1， ∴a 的取值范围是 a＞﹣1． 故答案为：a＞﹣1． 点评：考查了不等式组的解集，求不等式组的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小 取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当 作已知数处理，求出不等式组的解集并与已知解集比较，进而求得另一个未知数的取 值范围． 三、解答题（共 24 分） 17．（6 分）（2013•宁夏）计算： ． 考点：实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．3718684 专题：计算题． 分析：分别进行负整数指数幂、二次根式的化简及绝对值的运算，代入特殊角的三角函数值 合并即可． 解答：解：原式= = = ． 点评：本题考查了实数的运算，涉及了绝对值、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，属于 基础题． 18．（6 分）（2013•宁夏）解方程： ． 考点：解分式方程． 3718684 分析：观察可得最简公分母是（x﹣2）（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转 化为整式方程求解． 解答：解：方程两边同乘以（x﹣2）（x+3）， 得 6（x+3）=x（x﹣2）﹣（x﹣2）（x+3）， 6x+18=x2﹣2x﹣x2﹣x+6， 化简得，9x=﹣12x= ， 解得 x= ． 经检验，x= 是原方程的解． 点评：本题考查了分式方程的解法，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分 式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定要验根． 19．（6 分）（2013•宁夏）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6） （1）画出△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°后得到的△A1B1C1 （2）以原点 O 为位似中心，画出将△A1B1C1 三条边放大为原来的 2 倍后的△A2B2C2． 考点：作图-位似变换；作 图-旋转变换． 3718684 分析：（1）由 A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质， 即可画出△A1B1C1； （2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2． 解答：解：如图：（1）△A1B1C1 即为所求； （2）△A2B2C2 即为所求． 点评：此题考查了位似变换的性质与旋转的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的 应用． 20．（6 分）（2013•宁夏）某校要从九年级（一）班和（二）班中各选取 10 名女同学组成礼 仪队，选取的两班女生的身高如下：（单位：厘米） （一）班：168 167 170 165 168 166 171 168 167 170 （二）班：165 167 169 170 165 168 170 171 168 167 （1）补充完成下面的统计分析表 班级 平均数 方差 中位数 极差 一班 168 168 6 二班 168 3.8 （2）请选一个合适的统计量作为选择标准，说明哪一个班能被选取． 考点：方差；加权平均数；中位数；极差；统计量的选择．3718684 分析：（1）根据方差、中位数及极差的定义进行计算，得出结果后补全表格即可； （2）应选择方差为标准 ，哪班方差小，选择哪班． 解答：解：（1）一班的方差= [（168﹣168）2+（167﹣168）2+（170﹣168）2+…+（170﹣ 168）2 ] =3.2； 二班的极差为 171﹣165= 6； 二班的中位数为 168； 补全表格如下： 班级 平均数 方差 中位数 极差 一班 168 3.2 168 6 二班 168 3.8 168 6 （2）选择方差做标准， ∵一班方差＜二班方差， ∴一班可能被选取． 点评：本题考查了方差、极差及中位数的知识，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方 差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程 度越小，稳定性越好． 四、解答题（共 48 分） 21．（6 分）（2013•宁夏）小明对自己所在班级的 50 名学生平均每周参加课外活动的时间进 行了调查，由调查结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题： （1）求 m 的值； （2）从参加课外活动时间在 6～10 小时的 5 名学生中随机选取 2 人，请你用列表或画树状 图的方法，求其中至少有 1 人课外活动时间在 8～10 小时的概率． 考点：频数（率）分布直方图；列表法与树状图法． 3718684 分析：（1）根据班级总人数有 50 名学生以及利用条形图得出 m 的值即可； （2）根据在 6～10 小时的 5 名学生中随机选取 2 人，利用树形图求出概率即可． 解答：解：（1）m=50﹣6﹣25﹣3﹣2=14； （2）记 6～8 小时的 3 名学生为 ，8～10 小时的两名学生为 ， P（至少 1 人时间在 8～10 小时）= ． 点评：此题主要考查了频数分布表以及树状图法求概率，正确画出树状图是解题关键． 22．（6 分）（2013•宁夏）在矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足 为 F； 求证：DF=DC． 考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质． 3718684 专题：证明题． 分析：根据矩形的性质和 DF⊥AE 于 F，可以得到∠DEC=∠AED，∠DFE=∠C=90，进而依 据 AAS 可以证明△DFE≌△DCE．然后利用全等三角形的性质解决问题． 解答：证明：连接 DE．（1 分） ∵AD=AE， ∴∠AED=∠ADE．（1 分） ∵有矩形 ABCD， ∴AD∥BC，∠C=90°．（1 分） ∴∠ADE=∠DEC，（1 分） ∴∠DEC=∠AED． 又∵DF⊥AE， ∴∠DFE=∠C=90°． ∵DE=DE，（1 分） ∴△DFE≌△DCE． ∴DF=DC．（1 分） 点评：此题比较简单，主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，综合利用它们解 题． 23．（8 分）（2013•宁夏）在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 是 AB 边上的一点，以 BD 为直 径作⊙O 交 AC 于点 E，连结 DE 并延长，与 BC 的延长线交于点 F．且 BD=BF． （1）求证：AC 与⊙O 相切． （2）若 BC=6，AB=12，求⊙O 的面积． 考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质． 3718684 分析：（1）连接 OE，求出∠ODE=∠F=∠DEO，推出 OE∥BC，得出 OE⊥AC，根据切线 的判定推出即可； （2）证△AEO∽△ACB，得出关于 r 的方程，求出 r 即可． 解答：证明：（1）连接 OE， ∵OD=OE， ∴∠ODE=∠OED， ∵BD=BF， ∴∠ODE=∠F， ∴∠OED=∠F， ∴OE∥BF， ∴∠AEO=∠ACB=90°， ∴AC 与⊙O 相切； （2）解：由（1）知∠AEO=∠ACB，又∠A=∠A， ∴△AOE∽△ABC， ∴ ， 设⊙O 的半径为 r，则 ， 解得：r=4， ∴⊙O 的面积π×42=16π． 点评：本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，平行线的性质和判定，相似三角形的性 质和判定的应用，主要考查学生的推理和计算能力，用了方程思想． 24．（8 分）（2013•宁夏）如图，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交 C 点，点 A 的坐 标为（2，0），点 C 的坐标为（0，3）它的对称轴是直线 x= （1）求抛物线的解析式； （2）M 是线段 AB 上的任意一点，当△MBC 为等腰三角形时，求 M 点的坐标． 考点：二次函数综合题． 3718684 专题：综合题． 分析：（1）根据抛物线的对称轴得到抛物线的顶点式，然后代入已知的两点理由待定系数 法求解即可； （2）首先求得点 B 的坐标，然后分 CM=BM 时和 BC=BM 时两种情况根据等腰三角 形的性质求得点 M 的坐标即可． 解答：解：（1）设抛物线的解析式 把 A（2，0）C（0，3）代入得： 解得： ∴ 即 （2）由 y=0 得 ∴x1=1，x2=﹣3 ∴B（﹣3，0） ①CM=BM 时 ∵BO=CO=3 即△BOC 是等腰直角三角形 ∴当 M 点在原点 O 时，△MBC 是等腰三角形 ∴M 点坐标（0，0） ②BC=BM 时 在 Rt△BOC 中，BO=CO=3， 由勾股定理得 ∴BC= ∴BM= ∴M 点坐标（ 点评：本题考查了二次函数的综合知识，第一问考查了待定系数法确定二次函数的解析式， 较为简单．第二问结合二次函数的图象考查了等腰三角形的性质，综合性较强． 25．（10 分）（2013•宁夏）如图 1，在一直角边长为 4 米的等腰直角三角形地块的每一个正 方形网格的格点（纵横直线的交点及三角形顶点） 上都种植同种农作物，根据以往种植实 验发现，每株农作物的产量 y（单位：千克） 受到与它周围直线距离不超过 1 米的同种农 作物的株数 x（单位：株） 的影响情况统计如下表： x（株） 1 2 3 4 y（千克） 21 18 15 12 （1）通过观察上表，猜测 y 与 x 之间之间存在哪种函数关系，求出函数关系式并加以验证； （2）根据种植示意图填写下表，并求出这块地平均每平方米的产量为多少千克？ y（千克） 21 18 15 12 频数 （3）有人为提高总产量，将上述地块拓展为斜边长为 6 米的等腰直角三角形，采用如图 2 所示的方式，在每个正方形网格的格点上都种植了与前面相同的农作物，共种植了 16 株， 请你通过计算平均每平方米的产量，来比较那种种植方式更合理？ 考点：一次函数的应用． 3718684 分析：（1）设 y=kx+b，然后根据表格数据，取两组数 x=1，y=21 和 x=2，y=18，利用待定 系数法求一次函数解析式解答； （2）根据图 1 查出与它周围距离为 1 米的农作物分别是 1 株、2 株、3 株、4 株棵树 即为相应的频数，然后利用加权平均数的计算方法列式进行计算即可得解； （3）先求出图 2 的面积，根据图形查出与它周围距离为 1 米的农作物分别是 1 株、2 株、3 株、4 株棵树即为相应的频数，然后利用加权平均数的计算方法列式进行计算 求出平均每平方米的产量，然后与（2）的计算进行比较即可得解． 解答：解（1）设 y=kx+b， 把 x=1，y=21 和 x=2，y=18 代入 y=kx+b 得， ， 解得 ， 则 y=﹣3x+24， 当 x=3 时 y=﹣3×3+24=15， 当 x=4 时 y=﹣3×4+24=12， 故 y=﹣3x+24 是符合条件的函数关系； （2）由图可知，y（千克）21、18、15、12 的频数分别为 2、4、6、3， 图 1 地块的面积： ×4×4=8（m2）， 所以，平均每平方米的产量：（21×2+18×4+15×6+12×3）÷8=30（千克 ）； （3）图 2 地块的面积： ×6×3=9， y（千克）21、18、15、12 的频数分别为 3、4、5、4， 所以，平均每平方米产量：（21×3+18×4+15×5+12×4）÷9=258÷9≈28.67（千克）， ∵30＞28.67， ∴按图（1）的种植方式更合理． 点评：本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，（2）（3）两 个小题，理解“频数”的含义并根据图形求出相应的频数是解题的关键． 26．（10 分）（2013•宁夏）在▱ ABCD 中，P 是 AB 边上的任意一点，过 P 点作 PE⊥AB， 交 AD 于 E，连结 CE，CP．已知∠A=60°； （1）若 BC=8，AB=6，当 AP 的长为多少时，△CPE 的面积最大，并求出面积的最大值． （2）试探究当△CPE≌△CPB 时，▱ ABCD 的两边 AB 与 BC 应满足什么关系？ 考点：四边形综合题．3718684 专题：计算题． 分析：（1）延长 PE 交 CD 的延长线于 F，设 AP=x，△CPE 的面积为 y，由四边形 ABCD 为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到 AB=DC，AD=BC，在直角三角形 APE 中，根据∠A 的度数求出∠PEA 的度数为 30 度，利用直角三角形中 30 度所对的 直角边等于斜边的一半表示出 AE 与 PE，由 AD﹣AE 表示出 DE，再利用对顶角相等 得到∠DEF 为 30 度，利用 30 度所对的直角边等于斜边的一半表示出 DF，由两直线 平行内错角相等得到∠F 为直角，表示出三角形 CPE 的面积，得出 y 与 x 的函数解析 式，利用二次函数的性质即可得到三角形 CPE 面积的最大值，以及此时 AP 的长； （2）由△CPE≌△CPB，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到 BC=CE， ∠B=∠PEC=120°，进而得出∠ECD=∠CED，利用等角对等边得到 ED=CD，即三角 形 ECD 为等腰三角形，过 D 作 DM 垂直于 CE，∠ECD=30°，利用锐角三角形函数定 义表示出 cos30°，得出 CM 与 CD 的关系，进而得出 CE 与 CD 的关系，即可确定出 AB 与 BC 满足的关系． 解答：解：（1）延长 PE 交 CD 的延长线于 F， 设 AP=x，△CPE 的面积为 y， ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AB=DC=6，AD=BC=8， ∵Rt△APE，∠A=60°， ∴∠PEA=30°， ∴AE=2x，PE= x， 在 Rt△DEF 中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD﹣AE=8﹣2x， ∴DF= DE=4﹣x， ∵AB∥CD，PF⊥AB， ∴PF⊥CD， ∴S△CPE= PE•CF， 即 y= × x×（10﹣x）=﹣ x2+5 x， 配方得：y=﹣ （x﹣5）2+ ， 当 x=5 时，y 有最大值 ， 即 AP 的长为 5 时，△CPE 的面积最大，最大面积是 ； （2）当△CPE≌△CPB 时，有 BC=CE，∠B=∠PEC=120°， ∴∠CED=180°﹣∠AEP﹣∠PEC=30°， ∵∠ADC=120°， ∴∠ECD=∠CED=180°﹣120°﹣30°=30°， ∴DE=CD，即△EDC 是等腰三角形， 过 D 作 DM⊥CE 于 M，则 CM= CE， 在 Rt△CMD 中，∠ECD=30°， ∴cos30°= = ， ∴CM= CD， ∴CE= CD， ∵BC=CE，AB=CD， ∴BC= AB， 则当△CPE≌△CPB 时，BC 与 AB 满足的关系为 BC= AB． 点评：此题考查了四边形的综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，含 30 度直角三角 形的性质，平行线的判定与性质，以及二次函数的性质，是一道多知识点综合的探究 题．