益阳市 2014 年普通初中毕业学业考试试卷
数 学
注意事项：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；
2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上；
3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效；
4．本学科为闭卷考试，考试时量为 90 分钟，卷面满分为 120 分；
5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
试 题 卷
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1．四个实数 2 ， 0 ， 2 ，1中，最大的实数是
A． 2 B． 0 C． 2 D．1
2．下列式子化简后的结果为 6x 的是
A． 3 3x x B． 3 3x x C． 3 3( )x D． 12 2x x
3．小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题 6 个，数学题 5 个，综合题 9 个，
她从中随机抽取 1 个，抽中数学题的概率是
A． 1
20 B． 1
5 C． 1
4 D． 1
3
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A B C D
5．一元二次方程 2 2 0x x m 总有实数根，则 m 应满足的条件是
A． 1m B． 1m C． 1m D． 1m
6．正比例函数 6y x 的图象与反比例函数 6y x
的图象的交点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第一、三象限
姓
名
准
考
证
号
图 2
P
y
O
-1
1 x
1
1600
20O
s
t
图 3
（分钟）
（米）
7．如图1，平行四边形 ABCD 中， ,E F 是对角线 BD 上的两点，如果添加一个条件使
ABE ≌ CDF ，则添加的条件不能．．是
A． AE CF B． BE FD C． BF DE D． 1 2
8．如图 2 ，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 2 的⊙P 的圆心 P 的坐标为 ( 3,0) ，将⊙P
沿 x 轴正方向平移，使⊙P 与 y 轴相切，则平移的距离为
A．1 B．1 或 5 C．3 D．5
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．把答案填在答题卡．．．中对应题号
后的横线上）
9．若 2 9 ( 3)( )x x x a ，则 a ．
10．分式方程 2 3
3 2x x
的解为 ．
11．小斌所在的课外活动小组在大课间活动中练习立定跳远，成绩如下（单位：米）：1.96，
2.16，2.04，2.20，1.98，2.22，2.32，则这组数据的中位数是 米．
12．小明放学后步行回家，他离家的路程 s ( 米 ) 与步行时间 (t 分钟 ) 的函数图象如图 3所
示，则他步行回家的平均速度是 米/分钟．
13．如图 4，将等边 ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转，使边 AB 与 AC 重合得 ACD ，BC
的中点 E 的对应点为 F ，则 EAF 的度数是 ．
三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分）
14．计算： 0 3| 3| 3 27 ．
15．如图 5， EF ∥ BC ， AC 平分 BAF ， 80B ．求 C 的度数．
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）
图 1
1
2
A
B C
D
E
F
图 4
A
80°
E
B C
F
图 5
B
C
A
F
E
D
16．先化简，再求值： 21( 2)( 2) ( 1)2 x xx
，其中 3x ．
17．某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书小组
协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、
艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（图 6），
请你结合图中的信息解答下列问题：
（1）求被调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校有 1200 名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？
18．“中国 益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江
北岸的新大桥．如图7，新大桥的两端位于 A B、 两点，小张为了测量 A B、 之间的河宽，在
垂直于新大桥 AB 的直线型道路l 上测得如下数据：
76.1BDA ， 68.2BCA , 82CD 米．求 AB
的长（精确到 0.1米）．
参考数据：
sin76.1 0.97 ，cos76.1 0.24 ，tan76.1 4.0 ；
sin68.2 0.93 ，cos68.2 0.37 ，tan68.2 2.5 ．
五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）
19．某电器超市销售每台进价分别为 200 元、170 元的 A 、B 两种型号的电风扇，下表是
ADC
图 7
l
C
B
图 6
4
8
12
类别
人数
文学 艺体 科普 其他
16
O
20
24
文学类
艺体类
科普类
20%
其他
最喜爱的各类图书的人数 最喜爱的各类图书的人数占总人数的百分比
近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A 种型号 B 种型号
第一周 3 台 5 台 1800 元
第二周 4 台 10 台 3100 元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入－进货成本）
（1）求 A 、 B 两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于 5400 元的金额再采购这两种型号的电风扇共 30 台，求 A 种型
号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在 (2) 的条件下，超市销售完这 30 台电风扇能否实现利润为1400 元的目标，若能，
请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
20．如图8，直线 3 3y x 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、 B ，抛物线 2( 2)y a x k 经
过点 A 、 B ，并与 x 轴交于另一点 C ，其顶点为 P ．
（1）求 a ， k 的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q ，使 ABQ 是以 AB
为底边的等腰三角形，求Q 点的坐标．
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点 M 、 N ，使以
, , ,A C M N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形
的边长．
六、解答题（本题满分 12 分）
21．如图 9，在直角梯形 ABCD 中， AB ∥ CD , AD ⊥ AB , 60B , 10AB , 4BC ，
点 P 沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设 AP x ．
（1）求 AD 的长；
（2）点 P 在运动过程中，是否存在以 A P D、 、
为顶点的三角形与以 P C B、 、 为顶点的三
角形相似？若存在，求出 x 的值；若不存
在，请说明理由；
（3）设 ADP 与 PCB 的外接圆的面积分别为
1S 、 2S ，若 1 2S S S ，求 S 的最小值．
益阳市 2014 年普通初中毕业学业考试试卷
数学参考答案及评分标准
D C
BA
图 9
P
60°
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
9．3； 10． 9x ； 11．2.16； 12．80； 13． 60 ．
三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分）
14.解：原式 3 1 3 1 .…………………………………………………………………６分
15.解：∵ EF ∥ BC ,
∴ 180 100BAF B .……………………………………………………２分
∵ AC 平分 BAF ,
∴ 1 502CAF BAF ,………………………………………………………４分
∵ EF ∥ BC ，
∴ 50C CAF .……………………………………………………………６分
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）
16.解： 21( 2)( 2) ( 1)2 x xx
21 2 4 2 1x x x
2 2x ……………………………………………………………………………６分
当 3x 时，原式 2( 3) 2 1 .…………………………………………………８分
17.解：（1）被调查的学生人数为：12 20% 60 ( 人 ) ；……………………………２分
（2）如图
……………………５分
（3）全校最喜爱文学类图书的学生约有 241200 48060
( 人 ) .………………８分
18.解：设 AD x 米，则 ( 82)AC x 米.
在 Rt ABC 中，tan ABBCA AC
，∴ tan 2.5( 82)AB AC BCA x .…………２分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C C D D A B
第 17 题解图
4
8
12
类别
人数
文学 艺体 科普 其他
16
O
20
24
在 Rt ABD 中，tan ABBDA AD
,∴ tan 4AB AD BDA x .……………………４分
∴ 2.5( 82) 4x x ，∴ 410
3x .………………………………………………………６分
∴ 4104 4 546.73AB x .
答： AB 的长约为 546.7 米. …………………………………………………………８分
五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）
19.解：(1)设 A 、 B 两种型号电风扇的销售单价分别为 x 元、 y 元.依题意得:
3 5 1800,
4 10 3100;
x y
x y
解得 250,
210.
x
y
答： A 、 B 两种型号电风扇的销售单价分别为 250 元、210 元.……………4 分
（2）设采购 A 种型号电风扇 a 台，则采购 B 种型号电风扇 (30 )a 台.
依题意得： 200 170(30 )a a ≤5400 ,
解得： 10a .
答：超市最多采购 A 种型号电风扇10 台时，采购金额不多于5400 元.………7 分
（3）依题意有： (250 200) (210 170)(30 ) 1400a a ,
解得: 20,a 此时， 10a .
所以在（２）的条件下超市不能实现利润1400 元的目标. …………………10 分
20. 解：(1)∵直线 3 3y x 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、 B ，
∴ (1,0)A ， (0,3)B .
又抛物线 2( 2)y a x k 经过点 (1,0)A ， (0,3)B ，
∴ 0,
4 3;
a k
a k
解得 1,
1.
a
k
即 a ，k 的值分别为1， 1 .………………………………………………3 分
（2）设 Q 点的坐标为 (2, )m ，对称轴 2x 交 x 轴于点 F ，过点 B 作 BE 垂直于
直线 2x 于点 E .
在 Rt AQF 中， 2 2 2 21AQ AF QF m ，
在 Rt BQE 中， 2 2 2 24 (3 )BQ BE EQ m .
∵ AQ BQ ，∴ 2 21 4 (3 )m m ，∴ 2m .
∴ Q 点的坐标为 (2,2) .………………………………………………………6 分
（3）当点 N 在对称轴上时， NC 与 AC 不垂直.所以 AC 应为正方形的对角线.
又对称轴 2x 是 AC 的中垂线，所以，M 点与顶点 (2, 1)P 重合，N 点为点
P 关于 x 轴的对称点，其坐标为 (2,1) .
此时， 1MF NF AF CF ，且 AC MN ，
∴ 四边形 AMCN 为正方形.
在 Rt AFN 中， 2 2 2AN AF NF ，即正方形的边长为 2 .……10 分
六、解答题（本题满分 12 分）
21.解：(1)过点 C 作CE AB 于 E .在 Rt BCE 中， 60B ， 4BC .
∴ 3sin 4 2 32CE BC B ,
∴ 2 3AD CE . ………………………………………………………………2 分
(2)存在.若以 A 、 P 、 D 为顶点的三角形与以 P 、C 、 B 为顶点的三角形相似，
则 PCB 必有一个角是直角. ……………………………………………………3 分
①当 90PCB 时，在 Rt PCB 中， 4, 60BC B ， 8PB ，
∴ 2AP AB PB .
又由(1)知 2 3AD ，在 Rt ADP 中 , 2 3tan 32
ADDPA AP
，
∴ 60DPA ，∴ DPA B .
∴ ADP ∽ CPB . ………………………………………………………………5 分
②当 90CPB 时，在 Rt PCB 中， 60B ， 4BC ，
∴ 2PB ， 2 3PC ，∴ 8AP .
则 AD AP
PC PB
且 AD AP
PB PC
，此时 PCB 与 ADP 不相似.
∴存在 ADP 与 CPB 相似，此时 2x .………………………………………7 分
（3）如图，因为 Rt ADP 外接圆的直径为斜边 PD ，
∴
2
2
1
12( )2 4
PD xS .
①当 2 10x 时，作 BC 的垂直平分线交 BC 于 H ，交 AB 于G ；作 PB 的垂
Q
E
第 20 题解图
N
(M）
F x
B
O A
1
-1
y
C
P
直平分线交 PB 于 N ，交 GH 于 M ，连结 BM .则 BM 为 PCB 外接圆的半径.
在 Rt GBH 中， 1 22BH BC ， 30MGB ，∴ 4BG ,
又 1 1 1(10 ) 52 2 2BN PB x x ，∴ 1 12GN BG BN x .
在 Rt GMN 中，∴ 3 1tan ( 1)3 2MN GN MGN x .
在 Rt BMN 中， 2 2 2 21 16 76
3 3 3BM MN BN x x ，
∴ 2 2
2
1 16 76( )3 3 3S BM x x .
②当 0 2x 时， 2
2
1 16 76( )3 3 3S x x 也成立. …………………………10 分
∴
2
2
1 2
12 1 16 76( )4 3 3 3
xS S S x x 27 32 113( )12 7 7x .
∴当 32
7x 时, 1 2S S S 取得最小值 113
7
. ………………………………12 分
D C
BA
第 21 题解图 2
P
60°
NG
M
H
D C
BA
第 21 题解图 1
P
60°
E(P)P
微信/支付宝扫码支付