2014年新疆中考数学试卷及答案解析

新疆生产建设兵团 2014 年中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 9 题，每题 5 分，共 45 分） 1．（5 分）（2014•新疆）下表是四个城市今年二月份某一天的平均气温： 城市 吐鲁番 乌鲁木齐 喀什 阿勒泰 气温（℃） ﹣8 ﹣16 ﹣5 ﹣25 其中平均气温最低的城市是（ ） A．阿勒泰 B．喀什 C．吐鲁番 D．乌鲁木齐 考点：有理数大小比较 分析：根据正数大于 0，0 大于负数，可得答案． 解答：解：﹣25＜﹣16＜﹣8＜﹣5， 故选：A． 点评：本题考查了有理数比较大小，负数比较大小，绝对值大的数反而小． 2．（5 分）（2014•新疆）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ） A． B． C． D． 考点：简单组合体的三视图． 分析：俯视图是从物体上面看所得到的图形． 解答：解：上面看，是上面 2 个正方形，左下角 1 个正方形，故选 C． 点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形，解答时学生易将三 种视图混淆而错误地选其它选项． 3．（5 分）（2014•新疆）下列各式计算正确的是（ ） A．a2+2a3=3a5 B．（a2）3=a5 C．a6÷a2=a3 D．a•a2=a3 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 分析：根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相 乘，底数不变指数相加，对各选项分析判断利用排除法求解． 解答：解：A、a2 与 2a3 不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误； C、a6÷a2=a6﹣2=a4，故本选项错误； D、a•a2=a1+2=a3，故本选项正确． 故选 D． 点评：本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，熟记性质并理清指 数的变化是解题的关键． 4．（5 分）（2014•新疆）四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，下列条件不能判定 这个四边形是平行四边形的是（ ） A．OA=OC，OB=OD B．AD∥BC，AB∥DCC．AB=DC，AD=BC D．AB∥DC，AD=BC 考点：平行四边形的判定． 分析：根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 解答：解：A、∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形； B、∵AD∥BC，AB∥DC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形； C、AB=DC，AD=BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形．故能能判定这个四边形是平行四边形； D、AB∥DC，AD=BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形或等腰梯形．故不能能判定这个四边形是平行四边形． 故选 D． 点评：此题考查了平行四边形的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键． 5．（5 分）（2014•新疆）在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②， ③，④，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标 号相同的概率是（ ） A． B． C． D． 考点：列表法与树状图法． 分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的 标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 解答：解：画树状图得： ∵共有 16 种等可能的结果，两次摸出的小球的标号相同的有 4 种情况， ∴两次摸出的小球的标号相同的概率是： = ． 故选 C． 点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏 的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以 上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 6．（5 分）（2014•新疆）对于二次函数 y=（x﹣1）2+2 的图象，下列说法正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴是 x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2）D．与 x 轴有两个交点 考点：二次函数的性质． 专题：常规题型． 分析：根据抛物线的性质由 a=1 得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2）， 对称轴为直线 x=1，从而可判断抛物线与 x 轴没有公共点． 解答：解：二次函数 y=（x﹣1）2+2 的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线 x=1，抛物线与 x 轴没有公共点． 故选 C． 点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为 y=a（x﹣ ） 2+ ，的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线 x=﹣b2a，当 a＞0 时， 抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当 a＜0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的开 口向下． 7．（5 分）（2014•新疆）某学校教研组对八年级 360 名学生就“分组合作学习”方式的支持程 度进行了调查，随机抽取了若干名学生进行调查，并制作统计图，据此统计图估计该校八年 级支持“分组合作学习”方式的学生约为（含非常喜欢和喜欢两种情况）（ ） A．216 B．252 C．288 D．324 考点：条形统计图；用样本估计总体． 分析：用分组合作学习所占的百分比乘以该校八年级的总人数，即可得出答案． 解答：解：根据题意得：360× =252（人）， 答：该校八年级支持“分组合作学习”方式的学生约为 252 人； 故选 B． 点评：此题考查了条形统计图和用样本估计总体，关键是根据题意求出抽查人数中分组合作 学习所占的百分比． 8．（5 分）（2014•新疆）“六•一”儿童节前夕，某超市用 3360 元购进 A，B 两种童装共 120 套，其中 A 型童装每套 24 元，B 型童装每套 36 元．若设购买 A 型童装 x 套，B 型童装 y 套，依题意列方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 考点：由实际问题抽象出二元一次方程组 分析：设购买 A 型童装 x 套，B 型童装 y 套，根据超市用 3360 元购进 A，B 两种童装共 120 套，列方程组求解． 解答：解：设购买 A 型童装 x 套，B 型童装 y 套， 由题意得， ． 故选 B． 点评：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未 知数，找出合适的等量关系，列出方程． 9．（5 分）（2014•新疆）如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，E 为 AB 上一点， 分别以 ED，EC 为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点 A，B 恰好落在 CD 边的点 F 处．若 AD=3，BC=5，则 EF 的值是（ ） A． B．2 C． D．2 考点：翻折变换（折叠问题） 专题：计算题． 分析：先根据折叠的性质得 EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，则 AB=2EF，DC=8， 再作 DH⊥BC 于 H，由于 AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形 ABHD 为矩形，所以 DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=2，然后在 Rt△DHC 中，利用勾股定理计算出 DH=2 ，所以 EF= ． 解答：解：∵分别以 ED，EC 为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点 A，B 恰好落在 CD 边的点 F 处， ∴EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5， ∴AB=2EF，DC=DF+CF=8， 作 DH⊥BC 于 H， ∵AD∥BC，∠B=90°， ∴四边形 ABHD 为矩形， ∴DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=5﹣3=2， 在 Rt△DHC 中，DH= =2 ， ∴EF= DH= ． 故选 A． 点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状 和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理． 二、填空题（本大题共 6 题，每题 5 分，共 30 分） 10．（5 分）（2014•新疆）不等式组 的解集是 ﹣5＜x＜﹣2 ． 考点：解一元一次不等式组 分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解 集． 解答： 解： ， 解①得：x＞﹣5， 解②得：x＜﹣2， 则不等式组的解集是：﹣5＜x＜﹣2． 故答案是：﹣5＜x＜﹣2． 点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观 察不等式的解，若 x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为 x 介于两数之间． 11．（5 分）（2014•新疆）若点 A（1，y1）和点 B（2，y2）在反比例函数 y= 图象上，则 y1 与 y2 的大小关系是：y1 ＞ y2（填“＞”、“＜”或“=”）． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 分析：直接把点 A（1，y1）和点 B（2，y2）代入反比例函数 y= ，求出点 y1，y2 的值，再 比较出其大小即可． 解答：解：∵点 A（1，y1）和点 B（2，y2）在反比例函数 y= 的图象上， ∴y1= =1，y2= ， ∵1＞ ， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一 定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 12．（5 分）（2014•新疆）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=40°，点 D 在 AC 上，BD=BC， 则∠ABD 的度数是 30 °． 考点：等腰三角形的性质． 分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠C，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ ABC﹣∠CBD 代入数据计算即可得解． 解答：解：∵AB=AC，∠A=40°， ∴∠ABC=∠C= （180°﹣40°）=70°， ∵BD=BC， ∴∠CBD=180°﹣70°×2=40°， ∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD =70°﹣40° =30°． 故答案为：30． 点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识 图是解题的关键． 13．（5 分）（2014•新疆）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则 AC= 24 ． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 考点：解直角三角形． 专题：计算题． 分析：根据正切的定义得到 tanB= ，然后把 tan37°≈0.75 和 BC=32 代入计算即可． 解答：解：在 Rt△ABC 中，∠C=90°， 所以 tanB= ，即 tan37°= ， 所以 AC=32•tan37°=32×0.75=24． 故答案为 24． 点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直 角三角形． 14．（5 分）（2014•新疆）如图，Rt△ABC 中，∠ABC=90°，DE 垂直平分 AC，垂足为 O， AD∥BC，且 AB=3，BC=4，则 AD 的长为 ． 考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质． 分析：先根据勾股定理求出 AC 的长，再根据 DE 垂直平分 AC 得出 OA 的长，根据相似三 角形的判定定理得出△AOD∽△CBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 解答：解：∵Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4， ∴AC= = =5， ∵DE 垂直平分 AC，垂足为 O， ∴OA= AC= ，∠AOD=∠B=90°， ∵AD∥BC， ∴∠A=∠C， ∴△AOD∽△CBA， ∴ = ，即 = ，解得 AD= ． 故答案为： ． 点评：本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中， 两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 15．（5 分）（2014•新疆）规定用符号[x ] 表示一个实数的整数部分，例如[3.69 ] =3．[ ] =1， 按此规定，[ ﹣1 ] = 2 ． 考点：估算无理数的大小 专题：新定义． 分析：先求出（ ﹣1）的范围，再根据范围求出即可． 解答：解：∵9＜13＜16， ∴3＜ ＜4， ∴2＜ ﹣1＜3， ∴[ ﹣1 ] =2． 故答案是：2． 点评：本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 三、解答题（一）（本大题共 4 题，共 32 分） 16．（6 分）（2014•新疆）计算：（﹣1）3+ +（ ﹣1）0﹣ ． 考点：实数的运算；零指数幂． 分析：先根据数的乘方法则与开方法则、0 指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混合 运算的法则进行计算即可． 解答：解：原式=﹣1+2 +1﹣ = ． 点评：本题考查的是实数的运算，熟知数的乘方法则与开方法则、0 指数幂的运算法则是解 答此题的关键． 17．（8 分）（2014•新疆）解分式方程： + =1． 考点：解分式方程． 分析：根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解． 解答：解：方程两边都乘以（x+3）（x﹣3），得 3+x（x+3）=x2﹣9 3+x2+3x=x2﹣9 解得 x=﹣4 检验：把 x=﹣4 代入（x+3）（x﹣3）≠0， ∴x=﹣4 是原分式方程的解． 点评：本题考查了解分式方程，先求出整式方程的解，检验后判定分式方程解的情况． 18．（8 分）（2014•新疆）如图，是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速（单位： 千米/时）情况． （1）计算这些车的平均速度； （2）车速的众数是多少？ （3）车速的中位数是多少？ 考点：条形统计图；加权平均数；中位数；众数． 分析：（1）根据平均数的计算公式列式计算即可； （2）根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数，即可得出答案； （3）根据中位数的定义即可得出答案． 解答：解：（1）这些车的平均速度是：（40×2+50×3+60×4+70×5+80×1）÷15=60（千米/时）； （2）70 千米/时出现的次数最多，则这些车的车速的众数 70 千米/时； （3）共有 15 个，最中间的数是第 8 个数，则中位数是 60 千米/时． 点评：此题考查了频数（率）分布直方图，中位数、众数和平均数，掌握中位数、众数和平 均数的计算公式是解本题的关键． 19．（10 分）（2014•新疆）如图，要利用一面墙（墙长为 25 米）建羊圈，用 100 米的围栏 围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB，BC 各为多少米？ 考点：一元二次方程的应用． 专题：几何图形问题． 分析：设 AB 的长度为 x，则 BC 的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方 程． 解答：解：设 AB 的长度为 x，则 BC 的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400， 解得 x1=20，x2=5． 则 100﹣4x=20 或 100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5 舍去． 即 AB=20，BC=20． 答：羊圈的边长 AB，BC 分别是 20 米、20 米． 点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条 件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 四、解答题（二）（本大题共 4 小题，共 43 分） 20．（10 分）（2014•新疆）如图，已知△ABC，按如下步骤作图： ①分别以 A，C 为圆心，大于 AC 的长为半径画弧，两弧交于 P，Q 两点； ②作直线 PQ，分别交 AB，AC 于点 E，D，连接 CE； ③过 C 作 CF∥AB 交 PQ 于点 F，连接 AF． （1）求证：△AED≌△CFD； （2）求证：四边形 AECF 是菱形． 考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；作图—基本作图． 分析：（1）由作图知：PQ 为线段 AC 的垂直平分线，从而得到 AE=CE，AD=CD，然后根 据 CF∥AB 得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用 ASA 证得两三角形全等即可； （2）根据全等得到 AE=CF，然后根据 EF 为线段 AC 的垂直平分线，得到 EC=EA， FC=FA，从而得到 EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形 AECF 为菱形． 解答：解：（1）由作图知：PQ 为线段 AC 的垂直平分线， ∴AE=CE，AD=CD， ∵CF∥AB ∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED， 在△AED 与△CFD 中， ， ∴△AED≌△CFD； （2）∵△AED≌△CFD， ∴AE=CF， ∵EF 为线段 AC 的垂直平分线， ∴EC=EA，FC=FA， ∴EC=EA=FC=FA， ∴四边形 AECF 为菱形． 点评：本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，解题的关键是了解通过作图 能得到直线的垂直平分线． 21．（10 分）（2014•新疆）如图，AB 是⊙O 的直径，点 F，C 是⊙O 上两点，且 = = ， 连接 AC，AF，过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 延长线于点 D，垂足为 D． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若 CD=2 ，求⊙O 的半径． 考点：切线的判定． 专题：证明题． 分析： （1）连结 OC，由 = ，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA， 则∠FAC=∠OCA，可判断 OC∥AF，由于 CD⊥AF，所以 OC⊥CD，然后根据切线 的判定定理得到 CD 是⊙O 的切线； （2）连结 BC，由 AB 为直径得∠ACB=90°，由 = = 得∠BOC=60°，则∠ BAC=30°，所以∠DAC=30°，在 Rt△ADC 中，利用含 30 度的直角三角形三边的关系 得 AC=2CD=4 ，在 Rt△ACB 中，利用含 30 度的直角三角形三边的关系得 BC= AC=4，AB=2BC=4，所以⊙O 的半径为 4． 解答：（1）证明：连结 OC，如图， ∵ = ， ∴∠FAC=∠BAC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠FAC=∠OCA， ∴OC∥AF， ∵CD⊥AF， ∴OC⊥CD， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）解：连结 BC，如图， ∵AB 为直径， ∴∠ACB=90°， ∵ = = ， ∴∠BOC= ×180°=60°， ∴∠BAC=30°， ∴∠DAC=30°， 在 Rt△ADC 中，CD=2 ， ∴AC=2CD=4 ， 在 Rt△ACB 中，BC= AC= ×4 =4， ∴AB=2BC=4， ∴⊙O 的半径为 4． 点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也 考查了圆周角定理和含 30 度的直角三角形三边的关系． 22．（11 分）（2014•新疆）如图 1 所示，在 A，B 两地之间有汽车站 C 站，客车由 A 地驶往 C 站，货车由 B 地驶往 A 地．两车同时出发，匀速行驶．图 2 是客车、货车离 C 站飞路程 y1，y2（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数关系图象． （1）填空：A，B 两地相距 420 千米； （2）求两小时后，货车离 C 站的路程 y2 与行驶时间 x 之间的函数关系式； （3）客、货两车何时相遇？ 考点：一次函数的应用． 分析：（1）由题意可知：B、C 之间的距离为 60 千米，A、C 之间的距离为 360 千米，所以 A，B 两地相距 360+60=420 千米； （2）根据货车两小时到达 C 站，求得货车的速度，进一步求得到达 A 站的时间，进 一步设 y2 与行驶时间 x 之间的函数关系式可以设 x 小时到达 C 站，列出关系式，代 入点求得函数解析式即可； （3）两函数的图象相交，说明两辆车相遇，求得 y1 的函数解析式，与（2）中的函 数解析式联立方程，解决问题． 解答：解：（1）填空：A，B 两地相距 420 千米； （2）由图可知货车的速度为 60÷2=30 千米/小时， 货车到达 A 地一共需要 2+360÷30=14 小时， 设 y2=kx+b，代入点（2，0）、（14，360）得 ， 解得 ， 所以 y2=30x﹣60； （3）设 y1=mx+n，代入点（6，0）、（0，360）得 解得 ， 所以 y1=﹣60x+360 由 y1=y2 得 30x﹣60=﹣60x+360 解得 x= 答：客、货两车经过 小时相遇． 点评：本题考查了一次函数的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图象 说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题． 23．（12 分）（2014•新疆）如图，直线 y=﹣ x+8 与 x 轴交于 A 点，与 y 轴交于 B 点，动点 P 从 A 点出发，以每秒 2 个单位的速度沿 AO 方向向点 O 匀速运动，同时动点 Q 从 B 点出 发，以每秒 1 个单位的速度沿 BA 方向向点 A 匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也 随之停止运动，连接 PQ，设运动时间为 t（s）（0＜t≤3）． （1）写出 A，B 两点的坐标； （2）设△AQP 的面积为 S，试求出 S 与 t 之间的函数关系式；并求出当 t 为何值时，△AQP 的面积最大？ （3）当 t 为何值时，以点 A，P，Q 为顶点的三角形与△ABO 相似，并直接写出此时点 Q 的坐标． 考点：一次函数综合题． 专题：压轴题． 分析：（1）分别令 y=0，x=0 求解即可得到点 A、B 的坐标； （2）利用勾股定理列式求出 AB，然后表示出 AP、AQ，再利用∠OAB 的正弦求出 点 Q 到 AP 的距离，然后利用三角形的面积列式整理即可得解； （3）根据相似三角形对应角相等，分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况，利用∠OAB 的余弦列式计算即可得解． 解答：解：（1）令 y=0，则﹣ x+8=0， 解得 x=6， x=0 时，y=y=8， ∴OA=6，OB=8， ∴点 A（6，0），B（0，8）； （2）在 Rt△AOB 中，由勾股定理得，AB= = =10， ∵点 P 的速度是每秒 2 个单位，点 Q 的速度是每秒 1 个单位， ∴AP=2t， AQ=AB﹣BQ=10﹣t， ∴点 Q 到 AP 的距离为 AQ•sin∠OAB=（10﹣t）× = （10﹣t）， ∴△AQP 的面积 S= ×2t× （10﹣t）=﹣ （t2﹣10t）=﹣ （t﹣5）2+20， ∵﹣ ＜0，0＜t≤3， ∴当 t=3 时，△AQP 的面积最大，S 最大=﹣ （3﹣5）2+20= ； （3）若∠APQ=90°，则 cos∠OAB= ， ∴ = ， 解得 t= ， 若∠AQP=90°，则 cos∠OAB= ， ∴ = ， 解得 t= ， ∵0＜t≤3， ∴t 的值为 ， 此时，OP=6﹣2× = ， PQ=AP•tan∠OAB=（2× ）× = ， ∴点 Q 的坐标为（ ， ）， 综上所述，t= 秒时，以点 A，P，Q 为顶点的三角形与△ABO 相似，此时点 Q 的坐 标为（ ， ）． 点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求法，三角形的面 积，二次函数的最值问题，相似三角形对应角相等的性质，锐角三角函数，（2）要注 意根据 t 的取值范围求三角形的面积的最大值，（3）难点在于要分情况讨论．