2014年孝感市中考数学试卷及答案解析

湖北省孝感市 2014 年中考数学试卷 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题 给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得 0 分） 1．（3 分）（2014•孝感）下列各数中，最大的数是（ ） A．3 B．1 C．0 D．﹣5 考点：有理数大小比较 分析：根据正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的 数反而小，再进行比较，即可得出答案． 解答：解：∵﹣5＜0＜1＜3， 故最大的数为 3， 故答案选 A． 点评：本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两 个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键． 2．（3 分）（2014•孝感）如图是某个几何体的三视图，则该几何体的形状是（ ） A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．三棱柱 考点：由三视图判断几何体 分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 解答：解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几 何体应该是三棱柱． 故选 D． 点评：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考 查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 3．（3 分）（2014•孝感）下列二次根式中，不能与 合并的是（ ） A． B． C． D． 考点：同类二次根式 分析：根据二次根式的乘除法，可化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得 答案． 解答：解：A、 ，故 A 能与 合并； B、 ，故 B 能与 合并； C、 ，故 C 不能与 合并； D、 ，故 D 能与 合并； 故选：C． 点评：本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式． 4．（3 分）（2014•孝感）如图，直线 l1∥l2，l3⊥l4，∠1=44°，那么∠2 的度数（ ） A．46° B．44° C．36° D．22° 考点：平行线的性质；垂线． 分析：根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，再根据直角三角形两锐角互余列式计算 即可得解． 解答：解：∵l1∥l2， ∴∠3=∠1=44°， ∵l3⊥l4， ∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣44°=46°． 故选 A． 点评：本题考查了平行线的性质，垂线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键． 5．（3 分）（2014•孝感）已知 是二元一次方程组 的解，则 m﹣n 的值是 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点：二元一次方程组的解． 专题：计算题． 分析：将 x 与 y 的值代入方程组求出 m 与 n 的值，即可确定出 m﹣n 的值． 解答： 解：将 x=﹣1，y=2 代入方程组得： ， 解得：m=1，n=﹣3， 则 m﹣n=1﹣（﹣3）=1+3=4． 故选 D 点评：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数 的值． 6．（3 分）（2014•孝感）分式方程 的解为（ ） A．x=﹣ B．x= C．x= D． 考点：解分式方程 专题：计算题． 分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分 式方程的解． 解答：解：去分母得：3x=2， 解得：x= ， 经检验 x= 是分式方程的解． 故选 B 点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整 式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 7．（3 分）（2014•孝感）为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区 10 户居民进行了调 查，下表是这 10 户居民 2014 年 4 月份用电量的调查结果： 居民（户） 1 3 2 4 月用电量（度/户） 40 50 55 60 那么关于这 10 户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（ ） A．中位数是 55 B．众数是 60 C．方差是 29 D．平均数是 54 考点：方差；加权平均数；中位数；众数． 分析：根据中位数、众数、平均数和方差的概念分别求得这组数据的中位数、众数、平均数 和方差，即可判断四个选项的正确与否． 解答：解：A、月用电量的中位数是 55 度，正确； B、用电量的众数是 60 度，正确； C、用电量的方差是 24.9 度，错误； D、用电量的平均数是 54 度，正确． 故选 C． 点评：考查了中位数、众数、平均数和方差的概念．中位数是将一组数据从小到大（或从大 到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中 位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组 数据最中间的那个数当作中位数． 8．（3 分）（2014•孝感）如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC、BD 相交成的锐角为α，若 AC=a， BD=b，则▱ ABCD 的面积是（ ） A． absinα B．absinα C．abcosα D． abcosα 考点：平行四边形的性质；解直角三角形． 分析：过点 C 作 CE⊥DO 于点 E，进而得出 EC 的长，再利用三角形面积公式求出即可． 解答：解：过点 C 作 CE⊥DO 于点 E， ∵在▱ ABCD 中，对角线 AC、BD 相交成的锐角为α，AC=a，BD=b， ∴sinα= ， ∴EC=COsinα= asinα， ∴S△BCD= CE×BD= × asinα×b= absinα， ∴▱ ABCD 的面积是： absinα×2= absinα． 故选；A． 点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及解直角三角形，得出 EC 的长是解题关键． 9．（3 分）（2014•孝感）如图，正方形 OABC 的两边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上，点 D （5，3）在边 AB 上，以 C 为中心，把△CDB 旋转 90°，则旋转后点 D 的对应点 D′的坐标 是（ ） A．（2，10） B．（﹣2，0） C．（2，10）或（﹣2， 0） D．（10，2）或（﹣2， 0） 考点：坐标与图形变化-旋转． 分析：分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可． 解答：解：∵点 D（5，3）在边 AB 上， ∴BC=5，BD=5﹣3=2， ①若顺时针旋转，则点 D′在 x 轴上，OD′=2， 所以，D′（﹣2，0）， ②若逆时针旋转，则点 D′到 x 轴的距离为 10，到 y 轴的距离为 2， 所以，D′（2，10）， 综上所述，点 D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）． 故选 C． 点评：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论． 10．（3 分）（2014•孝感）如图，在半径为 6cm 的⊙O 中，点 A 是劣弧 的中点，点 D 是 优弧 上一点，且∠D=30°，下列四个结论： ①OA⊥BC；②BC=6 ；③sin∠AOB= ；④四边形 ABOC 是菱形． 其中正确结论的序号是（ ） A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 考点：垂径定理；菱形的判定；圆周角定理；解直角三角形． 分析：分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即 可． 解答： 解：∵点 A 是劣弧 的中点，OA 过圆心， ∴OA⊥BC，故①正确； ∵∠D=30°， ∴∠ABC=∠D=30°， ∴∠AOB=60°， ∵点 A 是点 A 是劣弧 的中点， ∴BC=2CE， ∵OA=OB， ∴OB=OB=AB=6cm， ∴BE=AB•cos30°=6× =3 cm， ∴BC=2BE=6 cm，故 B 正确； ∵∠AOB=60°， ∴sin∠AOB=sin60°= ， 故③正确； ∵∠AOB=60°， ∴AB=OB， ∵点 A 是劣弧 的中点， ∴AC=OC， ∴AB=BO=OC=CA， ∴四边形 ABOC 是菱形， 故④正确． 故选 B． 点评：本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强，是一 道好题． 11．（3 分）（2014•孝感）如图，直线 y=﹣x+m 与 y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2， 则关于 x 的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0 的整数解为（ ） A．﹣1 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3 考点：一次函数与一元一次不等式． 分析：满足不等式﹣x+m＞nx+4n＞0 就是直线 y=﹣x+m 位于直线 y=nx+4n 的上方且位于 x 轴的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可． 解答：解：∵直线 y=﹣x+m 与 y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2， ∴关于 x 的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0 的解集为 x＜﹣2， ∴关于 x 的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0 的整数解为﹣3， 故选 D． 点评：本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握． 12．（3 分）（2014•孝感）抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 D（﹣1，2），与 x 轴的一个交点 A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论： ①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程 ax2+bx+c﹣2=0 有两个相等的实数根． 其中正确结论的个数为（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与 x 轴的交点 专题：数形结合． 分析：由抛物线与 x 轴有两个交点得到 b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴 为直线 x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与 x 轴的另一个交点在点（0，0）和 （1，0）之间，所以当 x=1 时，y＜0，则 a+b+c＜0；由抛物线的顶点为 D（﹣1，2） 得 a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线 x=﹣ =1 得 b=2a，所以 c﹣a=2；根据二次 函数的最大值问题，当 x=﹣1 时，二次函数有最大值为 2，即只有 x=1 时，ax2+bx+c=2， 所以说方程 ax2+bx+c﹣2=0 有两个相等的实数根． 解答：解：∵抛物线与 x 轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，所以①错误； ∵顶点为 D（﹣1，2）， ∴抛物线的对称轴为直线 x=﹣1， ∵抛物线与 x 轴的一个交点 A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间， ∴当 x=1 时，y＜0， ∴a+b+c＜0，所以②正确； ∵抛物线的顶点为 D（﹣1，2）， ∴a﹣b+c=2， ∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣ =1， ∴b=2a， ∴a﹣2a+c=2，即 c﹣a=2，所以③正确； ∵当 x=﹣1 时，二次函数有最大值为 2， 即只有 x=1 时，ax2+bx+c=2， ∴方程 ax2+bx+c﹣2=0 有两个相等的实数根，所以④正确． 故选 C． 点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛 物线，当 a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线 x=﹣ ；抛物线与 y 轴的交点坐标 为（0，c）；当 b2﹣4ac＞0，抛物线与 x 轴有两个交点；当 b2﹣4ac=0，抛物线与 x 轴 有一个交点；当 b2﹣4ac＜0，抛物线与 x 轴没有交点． 二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请将结果 直接填写在答题卡相应位置上） 13．（3 分）（2014•孝感）函数 的自变量 x 的取值范围为 x≠1 ． 考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件 专题：计算题． 分析：根据分式的意义，分母不能为 0，据此求解． 解答：解：根据题意，得 x﹣1≠0， 解得 x≠1． 故答案为 x≠1． 点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 14．（3 分）（2014•孝感）下列事件： ①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数； ②测得某天的最高气温是 100℃； ③掷一次骰子，向上一面的数字是 2； ④度量四边形的内角和，结果是 360°． 其中是随机事件的是 ①③ ．（填序号） 考点：随机事件 分析：随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可判断． 解答：解：①是随机事件； ②是不可能事件； ③是随机事件； ④是必然事件． 故答案是：①③． 点评：本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事 件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下， 一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发 生的事件． 15．（3 分）（2014•孝感）若 a﹣b=1，则代数式 a2﹣b2﹣2b 的值为 1 ． 考点：完全平方公式 分析：运用平方差公式，化简代入求值， 解答：解：因为 a﹣b=1， a2﹣b2﹣2b=（a+b）（a﹣b）﹣2b=a+b﹣2b=a﹣b=1， 故答案为：1． 点评：本题主要考查了平方差公式，关键要注意运用公式来求值． 16．（3 分）（2014•孝感）如图，已知矩形 ABCD，把矩形沿直线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，连接 DE、BE，若△ABE 是等边三角形，则 = ． 考点：翻折变换（折叠问题）． 分析：过 E 作 EM⊥AB 于 M，交 DC 于 N，根据矩形的性质得出 DC=AB，DC∥AB， ∠ABC=90°，设 AB=AE=BE=2a，则 BC= = a，即 MN= a，求出 EN，根据 三角形面积公式求出两个三角形的面积，即可得出答案． 解答： 解： 过 E 作 EM⊥AB 于 M，交 DC 于 N， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴DC=AB，DC∥AB，∠ABC=90°， ∴MN=BC， ∴EN⊥DC， ∵延 AC 折叠 B 和 E 重合，△AEB 是等边三角形， ∴∠EAC=∠BAC=30°， 设 AB=AE=BE=2a，则 BC= = a， 即 MN= a， ∵△ABE 是等边三角形，EM⊥AB， ∴AM=a，由勾股定理得：EM= = a， ∴△DCE 的面积是 ×DC×EN= ×2a×（ a﹣ a）= a2， △ABE 的面积是 AB×EM= ×2a× a= a2， ∴ = = ， 故答案为： ． 点评：本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的性质的应用，解此题 的关键是求出两个三角形的面积，题目比较典型，难度适中． 17．（3 分）（2014•孝感）如图，Rt△AOB 的一条直角边 OB 在 x 轴上，双曲线 y= 经过斜边 OA 的中点 C，与另一直角边交于点 D．若 S△OCD=9，则 S△OBD 的值为 6 ． 考点：反比例函数系数 k 的几何意义． 分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角 形面积 S 是个定值，即 S= |k|． 解答：解：如图，过 C 点作 CE⊥x 轴，垂足为 E． ∵Rt△OAB 中，∠OAB=90°， ∴CE∥AB， ∵C 为 Rt△OAB 斜边 OA 的中点 C， ∴CE 为 Rt△OAB 的中位线， ∵△OEC∽△OBA， ∴ = ． ∵双曲线的解析式是 y= ， ∴S△BOD=S△COE= k， ∴S△AOB=4S△COE=2k， 由 S△AOB﹣S△BOD=S△OBC=2S△DOC=18，得 2k﹣ k=18， k=12， S△BOD=S△COE= k=6， 故答案为：6． 点评：本题考查了反比函数 k 的几何意义，过图象上的任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，所得 三角形的面积是 |k|，是经常考查的知识点，也体现了数形结合的思想． 18．（3 分）（2014•孝感）正方形 A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点 A1，A2，A3，…和点 C1，C2，C3，…分别在直线 y=x+1 和 x 轴上，则点 B6 的坐标是 （63， 32） ． 考点：一次函数图象上点的坐标特征 专题：规律型． 分析：首先利用直线的解析式，分别求得 A1，A2，A3，A4…的坐标，由此得到一定的规律， 据此求出点 An 的坐标，即可得出点 B6 的坐标． 解答：解：∵直线 y=x+1，x=0 时，y=1， ∴A1B1=1，点 B2 的坐标为（3，2）， ∴A1 的纵坐标是：1=20，A1 的横坐标是：0=20﹣1， ∴A2 的纵坐标是：1+1=21，A2 的横坐标是：1=21﹣1， ∴A3 的纵坐标是：2+2=4=22，A3 的横坐标是：1+2=3=22﹣1， ∴A4 的纵坐标是：4+4=8=23，A4 的横坐标是：1+2+4=7=23﹣1， 即点 A4 的坐标为（7，8）． 据此可以得到 An 的纵坐标是：2n﹣1，横坐标是：2n﹣1﹣1． 即点 An 的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1）． ∴点 A6 的坐标为（25﹣1，25）． ∴点 B6 的坐标是：（26﹣1，25）即（63，32）． 故答案为：（63，32）． 点评：此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标 的规律是解题的关键． 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共 7 小题，满分 66 分．解答写在答题卡上） 19．（6 分）（2014•孝感）计算：（﹣ ）﹣2+ ﹣|1﹣ | 考点：实数的运算；负整数指数幂． 分析：本题涉及负整指数幂、绝对值、二次根式化简三个考点．针对每个考点分别进行计算， 然后根据实数的运算法则求得计算结果． 解答：解：原式= +2﹣|﹣2| =4+2﹣2 =4． 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关 键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对 值等考点的运算． 20．（8 分）（2014•孝感）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°． （1）先作∠ABC 的平分线交 AC 边于点 O，再以点 O 为圆心，OC 为半径作⊙O（要求： 尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）请你判断（1）中 AB 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论． 考点：作图—复杂作图；直线与圆的位置关系． 分析：（1）根据角平分线的作法求出角平分线 BO； （2）过 O 作 OD⊥AB 交 AB 于点 D，先根据角平分线的性质求出 DO=CO，再根据 切线的判定定理即可得出答案． 解答：解：（1）如图： （2）AB 与⊙O 相切． 证明：作 OD⊥AB 于 D，如图． ∵BO 平分∠ABC，∠ACB=90°，OD⊥AB， ∴OD=OC， ∴AB 与⊙O 相切． 点评：此题主要考查了复杂作图以及切线的判定等知识，正确把握切线的判定定理是解题关 键． 21．（10 分）（2014•孝感）为了解中考体育科目训练情况，某县从全县九年级学生中随机抽 取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A 级：优秀；B 级： 良好；C 级：及格；D 级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根 据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 40 ； （2）图 1 中∠α的度数是 54° ，并把图 2 条形统计图补充完整； （3）该县九年级有学生 3500 名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人 数为 700 ． （4）测试老师想从 4 位同学（分别记为 E、F、G、H，其中 E 为小明）中随机选择两位同 学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率． 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；列表法与树状图法． 分析：（1）用 B 级的人数除以所占的百分比求出总人数； （2）用 360°乘以 A 级所占的百分比求出∠α的度数，再用总人数减去 A、B、D 级的 人数，求出 C 级的人数，从而补全统计图； （3）用九年级所有得学生数乘以不及格的人数所占的百分比，求出不及格的人数； （4）根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可． 解答：解：（1）本次抽样测试的学生人数是： =40（人）， 故答案为：40； （2）根据题意得： 360°× =54°， 答：图 1 中∠α的度数是 54°； C 级的人数是：40﹣6﹣12﹣8=14（人）， 如图： 故答案为：54°； （3）根据题意得： 3500× =700（人）， 答：不及格的人数为 700 人． 故答案为：700； （4）根据题意画树形图如下： 共有 12 种情况，选中小明的有 6 种， 则 P（选中小明）= = ． 点评：此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用到的知识点是用样本估计总体、 频数、频率、总数之间的关系等，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是 解决问题的关键． 22．（10 分）（2014•孝感）已知关于 x 的方程 x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0 有两个不相等的实数 根 x1、x2． （1）求 k 的取值范围； （2）试说明 x1＜0，x2＜0； （3）若抛物线 y=x2﹣（2k﹣3）x+k2+1 与 x 轴交于 A、B 两点，点 A、点 B 到原点的距离 分别为 OA、OB，且 OA+OB=2OA•OB﹣3，求 k 的值． 考点：抛物线与 x 轴的交点；根的判别式；根与系数的关系 分析：（1）方程有两个不相等的实数根，则判别式大于 0，据此即可列不等式求得 k 的范围； （2）利用根与系数的关系，说明两根的和小于 0，且两根的积大于 0 即可； （3）不妨设 A（x1，0），B（x2，0）．利用 x1，x2 表示出 OA、OB 的长，则根据根 与系数的关系，以及 OA+OB=2OA•OB﹣3 即可列方程求解． 解答：解：（1）由题意可知：△=【﹣（2k﹣3）】2﹣4（k2+1）＞0， 即﹣12k+5＞0 ∴ ． （2）∵ ， ∴x1＜0，x2＜0． （3）依题意，不妨设 A（x1，0），B（x2，0）． ∴OA+OB=|x1|+|x2|=﹣（x1+x2）=﹣（2k﹣3）， OA•OB=|﹣x1||x2|=x1x2=k2+1， ∵OA+OB=2OA•OB﹣3， ∴﹣（2k﹣3）=2（k2+1）﹣3， 解得 k1=1，k2=﹣2． ∵ ， ∴k=﹣2． 点评：本题考查了二次函数与 x 轴的交点，两交点的横坐标就是另 y=0，得到的方程的两根， 则满足一元二次方程的根与系数的关系． 23．（10 分）（2014•孝感）我市荸荠喜获丰收，某生产基地收获荸荠 40 吨．经市场调查， 可采用批发、零售、加工销售三种销售方式，这三种销售方式每吨荸荠的利润如下表： 销售方式 批发 零售 加工销售 利润（百元/吨） 12 22 30 设按计划全部售出后的总利润为 y 百元，其中批发量为 x 吨，且加工销售量为 15 吨． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若零售量不超过批发量的 4 倍，求该生产基地按计划全部售完荸荠后获得的最大利润． 考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用． 分析：（1）根据总利润=批发的利润+零售的利润+加工销售的利润就可以得出结论； （2）由（1）的解析式，根据零售量不超过批发量的 4 倍，建立不等式求出 x 的取值 范围，由一次函数的性质就可以求出结论． 解答：解：（1）依题意可知零售量为（25﹣x）吨，则 y=12 x+22（25﹣x）+30×15 ∴y=﹣10 x+1000； （2）依题意有： ， 解得：5≤x≤25． ∵k=﹣10＜0， ∴y 随 x 的增大而减小． ∴当 x=5 时，y 有最大值，且 y 最大=950（百元）． ∴最大利润为 950 百元． 点评：本题考查了总利润=批发的利润+零售的利润+加工销售的利润的运用，一元一次不等 式组的运用，一次函数的性质的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． 24．（10 分）（2014•孝感）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点，AD 与过点 C 的 切线垂直，垂足为点 D，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P，弦 CE 平分∠ACB，交 AB 于点 F，连接 BE． （1）求证：AC 平分∠DAB； （2）求证：△PCF 是等腰三角形； （3）若 tan∠ABC= ，BE=7 ，求线段 PC 的长． 考点：切线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质 分析：（1）由 PD 切⊙O 于点 C，AD 与过点 C 的切线垂直，易证得 OC∥AD，继而证得 AC 平分∠DAB； （2）由 AD⊥PD，AB 为⊙O 的直径，易证得 CE 平分∠ACB，继而可得 ∴∠PFC=∠PCF，即可证得 PC=PF，即△PCF 是等腰三角形； （3）首先连接 AE，易得 AE=BE，即可求得 AB 的长，继而可证得△PAC∽△PCB， 又由 tan∠ABC= ，BE=7 ，即可求得答案． 解答：解：（1）∵PD 切⊙O 于点 C， ∴OC⊥PD． （1 分） 又∵AD⊥PD， ∴OC∥AD． ∴∠ACO=∠DAC． 又∵OC=OA， ∴∠ACO=∠CAO， ∴∠DAC=∠CAO， 即 AC 平分∠DAB．（3 分） （2）∵AD⊥PD， ∴∠DAC+∠ACD=90°． 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°． ∴∠PCB+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠PCB． 又∵∠DAC=∠CAO， ∴∠CAO=∠PCB．…（4 分） ∵CE 平分∠ACB， ∴∠ACF=∠BCF， ∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF， ∴∠PFC=∠PCF，…（5 分） ∴PC=PF， ∴△PCF 是等腰三角形．…（6 分） （3）连接 AE． ∵CE 平分∠ACB， ∴ = ， ∴ ． ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB=90°． 在 Rt△ABE 中， ． （7 分） ∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P， ∴△PAC∽△PCB，（8 分） ∴ ． 又∵tan∠ABC= ， ∴ ， ∴ ． 设 PC=4k，PB=3k，则在 Rt△POC 中，PO=3k+7，OC=7， ∵PC2+OC2=OP2， ∴（4k）2+72=（3k+7）2， ∴k=6 （k=0 不合题意，舍去）． ∴PC=4k=4×6=24． （10 分） 点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定 理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握 数形结合思想的应用． 25．（12 分）（2014•孝感）如图 1，矩形 ABCD 的边 AD 在 y 轴上，抛物线 y=x2﹣4x+3 经 过点 A、点 B，与 x 轴交于点 E、点 F，且其顶点 M 在 CD 上． （1）请直接写出下列各点的坐标：A （0，3） ，B （4，3） ，C （4，﹣1） ， D （0，﹣1） ； （2）若点 P 是抛物线上一动点（点 P 不与点 A、点 B 重合），过点 P 作 y 轴的平行线 l 与 直线 AB 交于点 G，与直线 BD 交于点 H，如图 2． ①当线段 PH=2GH 时，求点 P 的坐标； ②当点 P 在直线 BD 下方时，点 K 在直线 BD 上，且满足△KPH∽△AEF，求△KPH 面积 的最大值． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）令 x=0，得到点 A 的坐标，再根据点 A 的纵坐标得到点 B 的坐标，根据抛物线 的顶点式和矩形的性质可得 C．D 的坐标； （2）①根据待定系数法可得直线 BD 的解析式，设点 P 的坐标为（x，x2﹣4x+3）， 则点 H（x，x﹣1），点 G（x，3）．分三种情况：1°当 x≥1 且 x≠4 时；2°当 0＜x＜1 时； 3°当 x＜0 时；三种情况讨论可得点 P 的坐标； ②根据相似三角形的性质可得 ，再根据二次 函数的增减性可得△KPH 面积的最大值． 解答：解：（1）A（0，3），B（4，3），C（4，﹣1），D（0，﹣1）． （2）①设直线 BD 的解析式为 y=kx+b（k≠0），由于直线 BD 经过 D（0，﹣1），B （4，3）， ∴ ， 解得 ， ∴直线 BD 的解析式为 y=x﹣1．（5 分） 设点 P 的坐标为（x，x2﹣4x+3），则点 H（x，x﹣1），点 G（x，3）． 1°当 x≥1 且 x≠4 时，点 G 在 PH 的延长线上，如图①． ∵PH=2GH， ∴（x﹣1）﹣（x2﹣4x+3）=2[3﹣（x﹣1） ] ， ∴x2﹣7x+12=0， 解得 x1=3，x2=4． 当 x2=4 时，点 P，H，G 重合于点 B，舍去． ∴x=3． ∴此时点 P 的坐标为（3，0）． 2°当 0＜x＜1 时，点 G 在 PH 的反向延长线上，如图②，PH=2GH 不成立． 3°当 x＜0 时，点 G 在线段 PH 上，如图③． ∵PH=2GH， ∴（x2﹣4x+3）﹣（x﹣1）=2[3﹣（x﹣1） ] ， ∴x2﹣3x﹣4=0，解得 x1=﹣1，x2=4（舍去）， ∴x=﹣1．此时点 P 的坐标为（﹣1，8）． 综上所述可知，点 P 的坐标为（3，0）或（﹣1，8）． ②如图④，令 x2﹣4x+3=0，得 x1=1，x2=3， ∴E（1，0），F（3，0）， ∴EF=2． ∴S△AEF= EF•OA=3． ∵△KPH∽△AEF， ∴ ， ∴ ． ∵1＜x＜4， ∴当 时，s△KPH 的最大值为 ． 故答案为：（0，3），（4，3），（4，﹣1），（0，﹣1）． 点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上的点的坐标特征，抛物线的顶点 式，矩形的性质，待定系数法求直线的解析式，相似三角形的性质，二次函数的增减 性，分类思想，综合性较强，有一定的难度．．