2014年南通市中考数学试卷及答案

南通市 2014 年中考数学试卷最后一题解析 【试题】如图，抛物线 y=－x 2 +2x+3 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C，顶点为 D，对称轴与 BC 交 于 E. （1） 求 DE 的长， （2） 设过 E 的直线与抛物线 y=－x 2 +2x+3 与 x 轴相交于 M（x 1，y 1），N（x 2 ，y 2 ）试判断当 21 xx  的值最小时，直线 MN 与 x 轴的位置关系， （3） 设 P为 x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当 tan∠α=4 时，求 P 的坐标. 【解析】（1）略 （2）∵E的坐标为（1,2）∴用待定系数法得直线 MN 的解析式为 y=（2－b）x+b 点 M，N的坐标是方程组      32 )2( 2 xxy bxby 的解，用代入法将方程组化为关于 x的一元二次方程，得 x 2 － bx+b－3=0，由韦达定理得，x 1+ x 2 =b，x 1x 2 = b－3， ∵ 21 xx  = 2 21 )( xx  = 21 2 21 4)( xxxx  = )3(42  bb = 8)2( 2 b ， ∴当 b=2 时， 21 xx  最小值=2 2 .∵b=2，∴直线 MN 的解析式为 y=2，∴直线 MN∥x 轴. （4） 有三种解法： 1 如图 1，这里数学机智灵活的同学易发现 tan∠DOH=4，又∵tan∠α=4，∴∠DOH=∠α，应用三角形外 角定理与∠DAO+∠DPO=∠α，得∠DPO=∠ADO，显然△ADP∽△AOD，从而得 AD 2 =AO·AP 1，而 AD 2 =20， AO=1，因此 AP 1=20，∴OP 1=19，由对称性 OP 2 =17，∴P 1（19,0） P 2 （－17,0） ②③如图 2，应用三角形外角定理转化出∠α.延长 AD，过 P 1作 P 1F⊥AF 于 F，显然∠FD P 1=∠α，AD=2 5， ∵tan∠α=4，设 DF=m，则 P 1F=4m，△ADH∽△A P 1F，则 m m   52 4 2 4 解得 m=2 5，∴AF=4 5，P 1F=8 5，在直角三角形 AF P 1中由勾股定理得，AP 1=20， 以下与方法①相同. ③如图 3，如果高中生来解很简单，应用三角公式 tan（β+γ）= γβ γβ tantan1 tantan   ∵∠α=∠β+∠γ，tan∠α=4，tan∠β=2 tan∠γ= 1 4 HP ，将以上条件代入三角公式 tan（β+γ） = γβ γβ tantan1 tantan   ，可解得 H P 1=18，以下与方法①相同.