2014年江西省中考数学试卷及答案解析

江西省 2014 年中等学校招生考试数学试卷 (江西 毛庆云） 说明：1．本卷共有六个大题，24 个小题，全卷满分 120 分，考试时间 120 分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，每小题只有一个正确选项） 1．下列四个数中，最小的数是（ ）． A．－1 2 B．0 C．－2 D．2 【答案】 C. 【考点】 有理数大小比较． 【分析】 根据有理数大小比较的法则：①正数都大于 0；②负数都小于 0；③正数大于一切负数 进行比较即可． 【解答】 解：在－1 2 ，0，－2，2 这四个数中，大小顺序为：﹣2＜－1 2 ＜0＜2，所以最小的数 是－1 2 ．故选 C． 【点评】 本题主要考查了有理数的大小的比较，解题的关键是熟练掌握有理数大小比较的 法则， 属于基础题． 2．某市６月份某周气温（单位：℃）为 23，25，28，25，28，31，28，这给数据的众数和中位数 分别是（ ）． A．25，25 B．28，28 C．25，28 D．28，31 【答案】 B. 【考点】 众数和中位数. 【分析】 根据中位数的定义“将一组数据从小到大或从大到小排序，处于中间（数据个数为奇数 时）的数或中间两个数的平均数（数据为偶数个时）就是这组数据的中位数”；众数是指一组数据 中出现次数最多的那个数。 【解答】 这组数据中 28 出现 4 次，最多，所以众数为 28。由小到大排列为：23，25，25，28， 28，28，31，所以中位数为 28，选 B。 【点评】 本题考查的是统计初步中的基本概念——中位数和众数，要知道什么是中位数、众数． 3．下列运算正确的是是（ ）． A．a2+a3=a5 B．(－2a2)3=－6a5 C．(2a+1)(2a-1)=2a2-1 D．(2a3-a2)÷2a=2a-1 【答案】 D. 【考点】 代数式的运算。 【分析】 本题考查了代数式的有关运算，涉及单项式的加法、除法、完全平方公式、幂的运算性 质中的同底数幂相除、积的乘方和幂的乘方等运算性质，正确掌握相关运算性质、法则是解题的前 提．根据法则直接计算． 【解答】 A 选项中 3a 与 2a 不是同类项，不能相加（合并）， 3a 与 2a 相乘才得 5a ；B 是幂的乘方， 幂的运算性质（积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，幂的乘方（底数 不变，指数相乘），结果应该-8 6a ；C 是平方差公式的应用，结果应该是 24a 1 ；D.是多项式除 以单项式，除以 2a 变成乘以它的倒数，约分后得 2a-1。故选 D。 4．直线 y=x+1 与 y=－2x+a 的交点在第一象限，则 a 的取值可以是（ ）． A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】 D. 【考点】 两条直线相交问题，一次函数图像和性质、一元一次不等式组的解法，考生的直觉判断 能力． 【分析】 解法一：一次函数 y=kx+b，当 k>0，b>0 时，直线经过一、三、二象限，截距在 y 的正 半轴上当；k>0，b0）对应的碟宽为____；抛物线 2( 2) 3( 0)y a x a= - + > 对应的碟宽____； （2）若抛物线 2 54 ( 0)3y ax ax a= - - > 对应的碟宽为 6，且在 x 轴上，求 a 的值； （3）将抛物线 2 ( 0)n n n n ny a x b x c a= + + > 的对应准蝶形记为 Fn（n=1,2,3，…），定义 F1， F2，…..Fn 为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比。若 Fn 与 Fn-1 的相似比为 1 2 ，且 Fn 的碟顶是 Fn-1 的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为 y1，其对应的准蝶形记为 F1. ①求抛物线 y2 的表达式 ② 若 F1 的碟高为 h1,F2 的碟高为 h2，…Fn 的碟高为 hn。则 hn=_______,Fn 的碟宽右端点横坐标为 _______；F1，F2，….Fn 的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出改直线的表达式；若不 是，请说明理由。 【答案】 （1）4、、2 a 、2 a ；（2）1 3 ；（3）① 2 2 2 8 8 3 3 3 y x x   ；② 1 1 3 3 22 2n n 　、　 、 5y x  . 【考点】 二次函数解析式与图像性质，等腰直角三角形性质，探索规律. 【分析】 （1）根据准碟形的定义易算出含具体值的抛物线 y=1 2 x2、抛物线 y=4x2 的碟宽，且都 利用第一象限端点 B 的横纵坐标的相等，类似推广至含字母的抛物线 y=ax2（a＞0）．而抛物线 y=a(x-2)2+3（a＞0）为顶点式，可看成 y=ax2 向右、向上平移得到，因而发现碟宽的规律，只与 a 有关，碟宽= 2 a ． 亦可先根据 2y ax= 画出二次函数的大致图像，根据题意并从图像分析可知，其准碟形碟宽两 端点 A、B 和抛物线的顶点 M 围成的△AMB 是等腰直角三角形，进而知道 A、B 两点的纵坐标和横坐 标绝对值相等，代入 2y ax= 即可求出二次项系数 a 与碟宽之间的关系式，而 y=a(x-2)2+3（a＞0） 为顶点式，可看成 y=ax2 平移得到，只与 a 有关。 （2）根据（1）中的结论，根据碟宽为 6，列出方程2 a =6，求出 a 的值． （3）①把(2)中求出的 a 代入，得出 y1 的解析式，易推出 y2． ②结合画图，易知 1 2 3h h h， ， ，…， 1hn ， hn 都在直线 x=2 上，但证明需要有一般推广， 可以考虑 nh ∥ 1nh  ，且都过 Fn-1 的碟宽中点，进而可得．另外，画图时易知碟宽有规律递减，所以 推理也可得右端点的特点．对于 F1，F2，…，Fn 的碟宽右端点是否在一条直线上，如果写出所有端 点规律不可能，找规律更难，所以可以考虑基础的几个图形关系，如果相邻 3 个点构成的两条线段 不共线，则结论不成立，反正结论成立．而最后一空的求直线表达式只需考虑特殊点即可． 【解答】 解：（1）4、1 2 、2 a 、2 a . ∵a＞0，∴y=ax2 的图象大致如图 1，其必经过原点 O. 记线段 AB 为其准蝶形碟宽，AB 与 y 轴的交点为 C，连接 OA，OB． ∵△OAB 为等腰直角三角形，AB∥x 轴， ∴OC⊥AB， ∴∠AOC=∠BOC＝1 2 ∠AOB＝1 2 ×90°=45°， 即△AOC=△BOC 亦为等腰直角三角形，∴AC=OC=BC． ∴ A A B Bx y x y ， ，即 A、B 两点 x 轴和 y 轴坐标绝对值相同． 代入 2y ax ，得方程 2x ax ，解得 1x a  . ∴由图像可知，A（－ 1 a ， 1 a ），B（ 1 a ， 1 a ），C（0， 1 a ）， 即 AC=OC=BC＝ 1 a ， ∴AB= 1 a ·2＝ 2 a ， 即 2y ax 的碟宽为 AB＝ 2 a . ∴①抛物线 y=1 2 x2 对应的 1a 2  ，得碟宽 2 a =4； ②抛物线 y=4x2 对应的 a=4，得碟宽 2 a = 1 2 ； ③抛物线 2y ax= (a＞0)的碟宽为 2 a ； ④抛物线 y=a（x-2）2+3（a＞0）可看成 y=ax2 向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长 度后得到的图形， ∵平移不改变形状、大小、方向， ∴抛物线 y=a（x-2）2+3（a＞0）的准碟形≌抛物线 y=ax2 的准碟， ∵抛物线 y=ax2（a＞0），碟宽为 2 a ， ∴抛物线 y=a（x-2）2+3（a＞0），碟宽为 2 a . （2）解法一： ∵y=ax2―4ax－5 3 ＝a(x－2)2－（4a＋5 3 ) ∴同（1）得其碟宽为2 a ， ∵y=ax2―4ax－5 3 的碟宽为 6， ∴2 a =6，解得，a=1 3 . ∴y＝1 3 (x-2)2-3． 解法二： ∵ 2 54 ( 0)3y ax ax a= - - > 可得， 2 5( 2) 4 3y a x a= - - - ， 又已知碟宽在 x 轴上， ∴碟高＝ 54 3a- - ＝6 2 =3，解得 a＝±1 3 ， 又∵a＞0，a＝－ 1 3 不合题意舍去，∴a1＝1 3 . (3) ①解法一： ∵F1 的碟宽︰F2 的碟宽=2：1， ∴ 1 2 2 2 2:1a a : ∵ 1 1a ,3  ∴ 2 2a .3  ∵ 2 1 1y x 2 33   （ ） 的碟宽 AB 在 x 轴上（A 在 B 左边）， ∴A（-1，0），B（5，0）， ∴F2 的碟顶坐标为（2，0）， ∴ 2 2 2y x 23  （ ） 解法二： ∵ 2 1 5( 2) 4 3y a x a= - - - ，a＝1 3 ， ∴ 2 1 1 ( 2) 33y x= - - ， 即碟顶 1M 的坐标为（2，－3）. ∵ 2F 的碟顶是的碟宽的中点，且 1F 的碟宽线段在 x 轴上， ∴ 2F 的碟顶 2M 的坐标为（2,0），设 2 2 2 ( 2)y a x  ， ∵ 2F 与 1F 的相似比为 1 2 ， 1F 的碟宽为 6， ∴ 2F 的碟宽为 6× 1 2 ＝3，即 2 2 a ＝3， 2a ＝ 2 3 . ∴ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 8( 2) ( 2) ( 4 4)3 3 3 3 3y a x x x x x x          . ②∵ nF 的准碟形为等腰直角三角形， ∴ nF 的碟宽为 2 nh ， ∵ n n 1 2h 1 2h 2  ∴ 2 3 1 n n 1 n 2 n 3 1 1 1 1 1h h ( ) h ( ) h ... ( ) h2 2 2 2 n        . ∵ 1h =3， ∴ n 1 n 1h 2 （ ） ·3. ∵ nh ∥ n 1h  ，且都过 n 1F  的碟宽中点， ∴ 1 2 3 n 1 nh h h h h， ， ， ， ， 都在同一条直线上， ∵ 1h 在直线 x=2 上， ∴ 1 2 3 n 1 nh h h h h， ， ， ， ， 都在直线 x=2 上， ∴ nF 的碟宽右端点横坐标为 2+ n 11 2 （ ） ·3. F1，F2，…，Fn 的的碟宽右端点在一条直线上，直线为 y=-x+5． 理由： 考虑 Fn-2，Fn-1，Fn 情形，关系如图 2， Fn-2，Fn-1，Fn 的碟宽分别为 AB，DE，GH； 且 C，F，I 分别为其碟宽的中点，都在直线 x=2 上， 连接右端点，BE，EH． ∵AB∥x 轴，DE∥x 轴，GH∥x 轴， ∴AB∥DE∥GH， ∴GH 平行相等于 FE，DE 平行相等于 CB， ∴四边形 GFEH、四边形 DCBE 都是平行四边形， ∴HE∥GF，EB∥DC， ∵∠GFI=1 2 •∠GFH= 1 2 •∠DCE=∠DCF， ∴GF∥DC， ∴HE∥EB， ∵HE，EB 都过 E 点， ∴HE，EB 在一条直线上， ∴ n 2 n 1 nF F F ， ， 的碟宽的右端点是在一条直线， ∴ 1 2 nF F F， ， ， 的碟宽的右端点是在一条直线． 根据②中得出的碟高和右边端点公式，可知 2 1 1= x 2 33  y （ ） 准碟形右端点坐标为（5，0）， 2 2 2= x 23 y （ ）准碟形右端点坐标为 2 1 2 11 12 ( ) 3,( ) 32 2        ，即(3.5，1.5) ∴待定系数可得过两点的直线为 y=－x+5， ∴F1，F2，…，Fn 的碟宽的右端点是在直线 y=-x+5 上． 【点评】 本题考查学生对新定义和新知识的学习、模仿和应用能力．题目中主要涉及特殊直角三 角形，二次函数解析式与图象性质，多点共线证明等知识，综合难度较高，学生对题意要清晰的理 解比较困难。